ESTIMASI DAN UJI EKSAK KOMPONEN VARIANSI PADA MODEL RANDOM KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN DATA TIDAK SEIMBANG

ESTIMASI DAN UJI EKSAK KOMPONEN VARIANSI

PADA MODEL RANDOM KLASIFIKASI DUA ARAH

DENGAN DATA TIDAK SEIMBANG

Rustam Efendi

Program Studi Matematika

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru (28293)

Abstract

This manuscript dicusses about the model equation ijk ij j i ijk e y 











(



)  ; i 1,2,,r; j 1,2,,s; k1,2,,n_ij ; n_ij 1 where



is a constant and



_i,



_j, (



)_ij, e_ijk are distributed independently and normally with zero means and variances



_2,



_2 ,



_2 ,



_e2, respectively. From this model is given estimation and exact test of the its variance components.

Key Words: Unbalanced Data, Variance Components, and Testing Hypothesis.

Pendahuluan

Salah satu model yang penting dari rancangan percobaan adalah model random klasifikasi dua arah. Pada model ini tidak saja penting menentukan apakah kedua faktor berpengaruh pada respon, tapi juga penting menentukan apakah terdapat interaksi yang berarti antara kedua faktor. Data pengamatan disajikan dalam bentuk suatu matriks yang barisnya menyatakan taraf faktor pertama dan kolomnya menyatakan taraf faktor kedua. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matriks. Kenyataan dilapangan sering dijumpai jumlah data untuk setiap sel tidak selalu sama. Data seperti ini disebut data tidak

seimbang (unbalanced data). Untuk

mengambil kesimpulan tentang efek utama dari data yang diolah diperlukan suatu uji statistk, dan dari model ini akan diturunkan uji eksaknya. Disamping itu, dalam praktik untuk model ini peneliti tidak tertarik pada pengujian

pengaruh rata-rata tiap taraf dari masing-masing faktor, melainkan tertarik pada estimasi

komponen variansinya. Permasalahannya

adalah bagaimana menentukan estimasi dan uji eksak komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang.

Wald, 1940 merupakan orang pertama

yang menerangkan proses uji eksak untuk model klasifikasi satu arah dan dua arah tanpa interaksi pada data tidak seimbang. Dengan dua pendekatan yang berbeda, Spjotvoll, 1968 dan Thomsen, 1975 mengembangkan uji eksak tentang komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan interaksi untuk data

tidak seimbang. Sedangkan estimasi

komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang disajikan oleh Searle 1971 dan

Searle, Casella, McCulloch 1992.

Estimasi Komponen Variansi

Bentuk model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang yang dibahas adalah

ijk ij i i ijk e y 











(



)  ;i1,2,,r; j1,2,,s;k1,2,,n_ij (1)

dengan: n_ij1 untuk setiap (i, j).

y_ijkobservasi ke–k dalam taraf ke–i faktor



dan taraf ke–j faktor



 parameter konstan tidak diketahui



_jN(0,



_2);



_jN(0,



_2); (



)_ijN(0,



_2 ); e_ijkN(0,



_e2)

Dengan menggunakan metoda analisis variansi diperoleh estimasi untuk masing-masing variansi dari model Persamaan (1), yaitu sebagai berikut:

2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ) 1 ( ) ( _e r i r i s j ij i s j ij r i s j j i s j ij r i i r n n n n n n n n n n n SS E _



_



_



_  



                                         















        .. . .. . . .. . .. (2)

(ii). Ekspektasi jumlah kuadrat faktor



2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ) 1 ( ) ( _e s j r i s j ij j r i ij s j j s j r i i j r i ij s n n n n n n n n n n n SS E _



_



_



_  



                                         















        .. . .. . .. .. . . (3)

(iii). Ekspektasi jumlah kuadrat interaksi antara faktor



dan faktor



2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ) ( _



_



_                                













      r i i s j ij s j i s j j r i ij r i i n n n n n n n n SS E . .. . . .. . 2





2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ) 1 )( 1 ( _e r i s j r i s j ij j r i ij i s j ij s r n n n n n n n



_   



                 











      .. . . .. (4)

(iv). Ekspektasi jumlah kuadrat kesalahan





2

)

(SS_e n rs _e

E  _.. 



(5)

dengan: n_ij Jumlah pengamatanpadaselke-(i,j)



   s j ij i i n n 1 faktor -ke taraf pengamatan Jumlah



.



   r i ij j j n n 1 faktor -ke taraf pengamatan Jumlah



.



    r i s j ij n n 1 1 pengamatan semua Jumlah ..









             s j n k ijk s j n k s j ij ij s j j ij i i i ijk i ij ij e n n n n y i y 1 1 1 1 1 1 ) ( faktor -ke taraf dalam pengamatan nilai Jumlah











. . ..









             r i n k ijk r i n k r i ij ij j j r i i ij j ijk j ij ij e n n n n y j y 1 1 1 1 1 1 ) ( faktor -ke taraf dalam pengamatan nilai Jumlah











. . . .





         ij ij n k n k ijk ij ij j ij i ij ij ijk ij e n n n n y j i y 1 1 ) ( faktor -ke dan taraf faktor -ke taraf dalam pengamatan nilai Jumlah













.













                 r i s j n k ijk r i s j s j r i s j ij ij j j r i i i n k ijk ij ij e n n n n y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( pengamatan semua nilai Jumlah









_{. .} .. ...

Untuk menyederhanakan penulisan, didefinisikan



  r i i n p 1 2 1 .;



  s j j n p 1 2 2 . ;



   r i s j ij n p 1 1 2 5 ; Nn.. ; qrs ; N(r1)(s1)





   r i i s j ij n n p 1 1 2 3 . ;





   s j j r i ij n n p 1 1 2 4 . ; N p p_k  k

sehingga keempat persamaan di atas, yaitu Persamaan (2), (3), (4), dan (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks                                                                e e SS SS SS SS q N N p p p N p p p p s p p p N p p r p p p p p N      









2 2 2 2 5 4 3 3 2 4 1 5 4 2 1 4 5 3 2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 1 1 (6)

dengan



ˆ_2,



ˆ_2,



ˆ_2 , dan



ˆ_e2 secara berturut-turut merupakan penduga dari



_2,

2





,



_2 , dan _e2.

Dari Persamaan (6) diperoleh estimator variansi kesalahan

e e e MS q N SS _   2 ˆ



dan                             e e e MS N SS MS s SS MS r SS ) ( ) 1 ( ) 1 ( ˆ ˆ ˆ 1 2 2 2      







Q dengan                                5 4 3 3 2 4 1 5 4 2 1 4 5 3 2 3 p p p N p p p p p p p N p p p p p p p N Q

Uji Eksak Komponen Variansi

Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk matriks

e αβ X β X α X 1 y ..    



_{n 1 2 3}( ) (7)

dengan: y vektor observasi berordo N 1;

..

1_n vektor satuan berordo n_.. N

X₁ 

 

_d1_{i i}i_1r berordo Nr;



 



j s j r i i ij d c      1 1 2 1 X berordo Ns

 

i r j s j i ij d      , 1 , 1 3 1 X berordo Nrs

dengan matriks dispersinya

2 2 3 3 2 2 2 2 1 1X



 X X



 X X



 IN



e X Σ       Definisikan



  ij n k ij ijk ij n y y 1

sebagai rata-rata sampel sel ke (i, j), maka Persamaan (1) menjadi

ij ij i i ij e y 











(



)  ; i1,2,,r; j1,2,,s dengan



  ij n k ij ijk ij n e e 1 (8)

atau dalam bentuk matriks e αβ I β B α B 1 y



_rs ₁  ₂  _rs( ) (9) dengan: 1_rs (1₁₁,1₁₂,,1_rs); e(e₁₁,e₁₂,,e_rs) B₁I_r 1_s; B₂ 1_r I_s; α(



₁,



₂,,



_r); β(



₁,



₂,,



_r) (αβ)[(



)₁₁,(



)₁₂,,(



)_1s,,(



)_r1,(



)_r2,(



)_rs] dan variansinya 2 2 2 2 2 1 ) ( _{rs e} Var y A



_ A



_ I



_ K



dengan: A₁(I_rJ_s); A₂(J_r I_s); Kdiag(n₁₁1,n₁₂1,,n_rs1)

Karena A1 dan A2 matriks simetris, maka terdapat matriks ortogonal P berordo rsrs

sedemikian sehingga PA₁Pdan PA₂Pmatriks diagonal dengan masing-masing elemen diagonalnya

secara berturut-turut merupakan nilai eigen dari A₁ dan A₂.

Misalkan zPy dengan P matriks ortogonal berordo rsrs yang baris pertamanya ₍rs₎121_rs,

maka variansinya 2 2 2 2 2 1 ) ( _{rs e} Var z PA P



_ PA P



_ I



_ K



Lemma 1: (i). rank (B₁)r ; (iii). rank (B ₁ B₂)rs1

(ii). rank (B₂)s ; (iv). rank (A₁A₂) = rank (B ₁ B₂)

Jelas rank(A₁) = rank(B₁), A₁ mempunyai nilai eigen s sebanyak r dan nol sebanyak r(s –

1). PA₁P mempunyai r elemen diagonal sama dengan s dan lainnya nol. Dengan cara yang sama,

P

PA₂  mempunyai s elemen diagonal sama dengan r dan lainnya nol.

Dari (iii) dan (iv), matriks (PA₁PPA₂P) mempunyai (r + s – 1) elemen diagonal tidak

nol. Bila elemen diagonal PA₁P tidak sama dengan nol, elemen diagonal yang bersesuaian pada

P

PA₂  sama dengan nol, kecuali baris pertama dan begitu sebaliknya.

Misalkan vektor z dipartisi menjadi z(z₁,z_ ,z_,z_)dengan z1 elemen pertama dari z, 

z vektor kolom berordo (r – 1), z_ vektor kolom berordo (s – 1), dan z_vektor kolom berordo (r

– 1)(s – 1) dan vektor z_, z_, dan z_ masing-masing berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan

variansinya berturut-turut adalah

2 1 1 2 2 ₎ ( ) ( s _{r e} Var z_ 



_ 



_ I _ K



2 2 1 2 2 ₎ ( ) ( r _{s e} Var z_ 



_ 



_ I _ K



2 3 ) 1 )( 1 ( 2 ) ( _{r s e} Var z_ 



_I _{ } K



dengan K1, K2, dan K3 submatriks dari PKPyang bersesuaian dengan z, z , dan

z

.

Selanjutnya didefinisikan vektor u sebagai

) , , (      z_ z_ z_ u (10)

diperoleh E(u)0dan Var(u)diag (



₁I_r1,



₂I_s1,



₃I_{(r1)(s1)})L



_e2

dengan



₁ s



_2



_2 ,



₂ r



_2 



_2 ,



₃



_2

L submatriks PKPyang terkait dengan u dan dinyatakan dengan               33 23 13 23 22 12 13 12 11 K K K K K K K K K L (11)

L mempunyai rank rs – 1, berarti non-singular

) (

2

12



z z

K _e E  ; K₁₃



_e2 E(z_ z_ ); K₂₃



_e2 E(z_ z_ )

Selanjutnya vektor ypada Persamaan (9) ditulis dalam bentuk yDy dengan y vektor observasi

dalam persamaan (7) dan D penjumlahan langsung (direct sum) yang didefinisikan oleh

           ij n j i n ij 1 D ,

Dari Persamaan (1) dan (8) diperoleh jumlah kuadrat kesalahan 





k j i ij ijk y y Q , , 2 ) (

atau dalam dalam bentuk matriks

y R y 

Q (12)

dengan R matriks berordo NN yang didefinisikan oleh

           ij n j i n n ij J I R .. _, (13) dengan ij n

J matriks satuan berordo n_ijn_ij dan R matriks idempoten dengan rank Nrs sehingga

diperoleh 0 RX RX RX DR ₁ ₂  ₃  , DΣR0, dan RΣ R 2 e



Karena y dan u independen terhadap Q, maka

2 e Q



 2 rs N



Selanjutnya R ditulis dalam bentuk

C CΛ

R  (14)

dengan C matriks ortogonal berordo NN dan  matriks diagonal berordo NN yang

merupakan eigenvalue dari R. Diasumsikan N 2rs1, sebab R idempoten dengan rank

1

  rs rs

N . Selanjutnya  dan C dipartisi menjadi ( , , )

2 1 I 0 I Λdiag _{v v} dan ] C : C : [C

C _{1 2 3} , dengan v₁rs1; v₂ Nrs1, 0 matriks nol berordo rsrs, C1 berordo

1 v

N , C2 berordo Nv₂, C3 berordo Nrs, CiCi I, i1,2,3, CiCj 0,i j.

Persamaan (14) selanjutnya ditulis sebagai

RC₁C₁ C₂C₂ (15) Dari Persamaan (12) dan (15), jumlah kuadrat kesalahan Q dapat dipartisi menjadi

QQ₁Q₂ (16) dengan Q₁ yC₁C₁y dan Q₂ yC₂C₂y

Karena jumlah kuadrat Q1, Q2, dan vektor random u pada (10) independen, maka

2 1 e Q



 2 1 v



dan 2 2 e Q



 2 2 v



Selanjutnya perhatikan vektor random ω yang didefinisikan oleh

y C L I u ω 2 ₁ 1 1 ) (    



_{maks v} (17)

dengan



_maks nilai eigen terbesar dari matriks

L pada persamaan (11), dan

2 1

1 )

(



_maksI_v L matriks simetris dengan nilai

) (

1 L

I_v  maks



yang non-negatif. Di sini jelas

L matriks real simetris, berarti semua nilai

eigennya real. Jadi ( )

1 L

I_v  maks



matriks

semidefinit positif.

Kemudian partisi ω seperti u dalam (10)

menjadi ω(ω_,ω_,ω_) dengan 1 berordo   r  ω , ω_ b er o r d os1, dan ) 1 )( 1 ( berordo    r s  ω .

Berikut diberikan lemma tentang sifat-sifat distribusional dari vektor random di atas.

Lemma 2: Diberikan ωseperti dalam persamaan (16), dipartisi menjadi ) , , (      ω_ ω_ ω_ ω Maka: (i). E(ω_)E(ω_)E(ω_)0

(ii).ω_,ω_,dan ω_ adalah vektor random berdistribusi normal independen dengan matriks

dispersi 1 2 2 2 ₎ ( ) (  s   _{maks e r} Var ω_



_



_





I Var(ω_)(r



_2 



_2 



_maks



_e2)I_s1 ) 1 )( 1 ( 2 2 ₎ ( ) (   _{maks e r s} Var ω_



_





I

(iii). ω_,ω_,dan ω_ independen terhadap Q2

Bukti :

(i). Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan (13) dengan

.. 1_n diperoleh 0 1 J I R1 _{.. .. ..}                     n ij n j i n n n ij ,

Persamaan (14) dapat ditulis

0 1 C C C C  ) n_..  ( 1 1 2 2

Dengan demikian diperoleh

0 1 C_{1 n..}  , E(C₁y)C₁1_n..



0, dan [ω] [u] [( I L)2C₁y]0 1 1 v maks E E E



Jadi                       0 0 0 ω ω ω ω    ] [ E

(ii). Jelas bahwa ω berdistribusi normal. Klaim u independen terhadap C₁y. Untuk menunjukkan ini,

perhatikan kembali persamaan yDy, yindependen terhadap jumlah kuadrat kesalahan Q dan

0 R

DΣ  . Dengan argumen yang yang sama pada (i) diperoleh

0 C DΣ C y , y  ₁] ₁  [ Cov

Karena u subvektor dari zPy, maka u independen terhadap C₁y seperti yang diklaim.

Matriks dispersi dari ω adalah

2 1 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( )

(ω Var u  _maksI_v L C₁ΣC_{1 maks}I_v L

Var





dengan C1Xi 0, i1,2,3 dan 2 2 1 1 1 1ΣC C C



e Iv₁



e C    , sehingga diperoleh 2 2 ) 1 )( 1 ( 3 1 2 1 1 ) [( 1 e v maks e s r s r , , ( diag ) Var(ω 



I _



I _



I _{ } L







I L



atau , , diag )

Var(ω  [(



₁



_maks



_e2)I_r1 (



₂



_maks



_e2)I_s1

Dari sini dapat disimpulkan bahwa ω_,ω_ ,dan ω_ independen dengan matriks dispersinya berturut-turut adalah 1 2 2 2 ₎ ( ) (  s   _{maks e r} Var ω_



_



_





I 1 2 2 2 ₎ ( ) (  r   _{maks e s} Var ω_



_



_





I ) 1 )( 1 ( 2 2 ₎ ( ) (   _{maks e r s} Var ω_



_





I

(iii). Karena Q2 partisi dari Q, maka Q2 juga

independen terhadap u. Karenanya

0 ΣC

C_{1 2}  , maka Q2 juga independen

terhadap C₁y. Karena Q2 independen terhadap

u dan C₁y, maka Q2 independen terhadap ω

atau Q2 independen terhadap

 

 ω ω

ω , ,dan . Dari Lemma 2 disimpulkan bahwa

jumlah kuadrat faktor



, jumlah kuadrat faktor



, jumlah kuadrat interaksi antara faktor



dan



, berturut-turut dinyatakan dengan

   







SS , SS_ 



_



_,    







SS , dan Q2 berdistribusi

secara independen dan

) (s



_2



_2



_maks



_e2    SS 



_r2_1 SS_ (r



_2 



_2 



_maks



_e2)



_s2_1 S S_ (



_2 



_maks



_e2)



₍2_{r1)(s1)} Q₂



_e2 2 2 v



Dengan demikian diperoleh suatu uji statistik yang merupakan uji eksak untuk masing-masing variansi, yaitu )] 1 )( 1 [( ) 1 (      s r r F     S S S S MS MS

untuk uji hipotesis H₀:



_2 0 vs H_a :



_2 0

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan



jika F_hitungF_,[(r_1),(r_1)(s_1)]

)] 1 )( 1 [( ) 1 (      s r s F     S S S S MS MS

untuk uji hipotesis H₀:



_2 0 vs H_a :



_2 0

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan



jika F_hitungF_,[(s_1),(r_1)(s_1)]

dan untuk menguji hipotesis

2 2 2 2 [( 1)( 1)] v Q s r Q v F maks maks





  _  

 MS S S untuk uji hipotesis H₀:



_2 0 vs H_a :



_2 0

dengan kriteria uji, tolak H0 pada level signifikan



jika F_hitungF_,[(r_1)(s_1),v2]

Berikut diberikan lemma yang memberikan batasan nilai



_maks dalam bentuk umum.

Lemma 3: Nilai eigen terbesar dari matriks L,



_maks memenuhi interval ketidaksamaan



  j i maks ij n n rs _, (1) 1 1 1

_

Bukti :

Perhatikan matriks ortogonal P dengan baris pertamanya ₍rs₎1₂1_{rs yang mendiagonalisasi}

2 2 2 1 1 1 B B dan A B B

A     secara simultan. Diberikan P1 submatriks dari P yang diperoleh dengan

menghilangkan baris pertama P, diperoleh persamaan

1 1

1PIrs P

rs rs rsJ I P P_{1 1} 1  maks



nilai eigen terbesar dari LP₁KP₁, yaitu



_maks e_maks(P₁KP₁). Jika n(1) menyatakan

frekuensi sel terkecil, maka

 

n(1) P₁PP₁KP₁adalah semidefinit positif, maka

) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 ) ( n e n e_maks PKP  _maks PP 

Ini juga benar bahwa



_maks besar dari atau sama dengan jumlah nilai eigen P₁KP₁ dibagi dengan rs –

1 (rata-rata nilai eigen P₁KP₁). Maka ) ( ) 1 ( 1 ) (P₁KP₁ P₁KP₁    tr rs e_maks tetapi,





                    _     j i ij j i ij rs rs rs rs rs rs n rs n rs rs rs , , 1 1 1 1 1 1 1 1 ) tr( ) tr( 1 ) tr( 1 tr ) ( tr ) ( tr 1 K 1 K K 1 1 K K J I K P P P K P

Sehingga dapat disimpulkan bahwa



  j i ij maks n rs e , 1 1 1 1 ) (PKP dan



  j i maks ij n n rs _, (1) 1 1 1

_

Kesimpulan

Dengan memanfaatkan ilmu tentang aljabar matriks dan statistika matematika dapat diturunkan estimasi dan uji eksak dari komponen variansi pada model random klasifikasi dua arah dengan data tidak seimbang.

Contoh Perhitungan

Dari beberapa jenis obat dan terapi alternatif kanker rahim, diambil dua jenis obat

dan dua jenis terapi alternatif kanker rahim secara random, kemudian dikombinasikan. Datanya, setelah disandi, diberikan pada tabel berikut.

Jenis Obat Jenis Terapi Alternatif

1 2 1 13, 7, 10 2 2 6 6, 9, 3 ( Data fiktif ) a. Perhitungan Estimasi ijk y y_i.. j n_. ij n n_i. . . j y ij y y _i.. . . j y 13, 7, 10 2 32 3 1 4 10 2 8 6 6, 9, 3 24 1 3 4 6 6 8 36 20 ... y  56 4 4 .. n  8 9 5 ... y  7 8 ) 7 6 ( 4 ) 7 8 ( 4  2  2    SS , SS_ 4(97)2 4(57)2 32 ] ) 6 ( 4 ) 8 ( 4 [ ) 6 ( 3 ) 6 ( 1 ) 2 ( 1 ) 10 ( 3 2  2  2  2 2  2   SS [4(9)24(5)2]8(7)2 16 2 2 2 2 2 ) 6 6 ( ) 2 2 ( ) 10 10 ( ) 10 7 ( ) 10 13 (           e SS (66)2(96)2(36)2 36 32 4 42 2 1   p , p₂ 4242 32, 5 4 3 1 4 1 32 2 2 2 3      p , 4 8 32 1  p 5 4 3 1 4 1 32 2 2 2 4      p , p₅ 32 12 12 32 20, 4 8 32 2    p , 2 1 5 2 8 20 _   p

sehingga diperoleh bentuk matriksnya                                            36 16 32 8 4 0 0 0 1 1 1 1 2 4 1 1 2 1 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 e









                                                            0000 , 9 6000 , 7 4000 , 2 6000 , 5 36 16 32 8 2500 , 0 0 0 0 2333 , 0 6667 , 0 1333 , 0 1333 , 0 0667 , 0 3333 , 0 2000 , 0 1333 , 0 0667 , 0 3333 , 0 1333 , 0 2000 , 0 2 2 2 2 e









  

b. Perhitungan Uji Eksak

Dari data diperoleh komponen-komponen yang diperlukan dalam perhitungan, yaitu :

             1 0 1 0 0 1 0 1 1 B ;              1 0 0 1 1 0 0 1 2 B ;              1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 I ;                3 1 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 K                      2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 P ;              6667 , 0 0 0 6667 , 0 3333 , 0 0 3333 , 0 6667 , 0 L y



13 7 10 2 6 6 9 3



; Q₁19,8235 ; Q₂ 16,1773;



_maks1 0232 , 3    _{ }  ω ω SS ; SS_ ω_ω_ 3,0232; SS_ ω_ ω_ 1,6079

dengan masing-masing uji hipotesisnya adalah sebagai berikut: (i). Hipotesis Faktor



0 :

0

: 2 2

0



  vs Ha



 

H dengan tingkat signifikan



0,05 diperoleh

hitung

tabel F

F 161,41,88

Berarti, tolak H₀ pada tingkat signifikan



0,05 dan disimpulkan terdapat perbedaan kemanjuran

obat terhadap tingkat kesembuhan penyakit yang diobati. (ii). Hipotesis Faktor



0 : vs 0 : 2 _a 2 0



  H



 

H dengan tingkat signifikan



0,05 diperoleh

hitung

tabel F

F 161,41,88

Berarti, tolak H₀ pada tingkat signifikan



0,05 dan disimpulkan terdapat perbedaan kemanjuran

terapi alternatif terhadap tingkat kesembuhan penyakit yang diterapi. (iii). Hipotesis Interaksi Faktor



dan



0 : vs 0 : 2 _a 2 0



  H



 

H dengan tingkat signifikan



0,05 diperoleh

hitung

tabel F

F 10,130,298

Berarti, tolak H₀ pada tingkat signifikan



0,05 dan disimpulkan terjadi interaksi antara obat dan

terapi alternatif dalam penyembuhan penyakit yang diobati dan diterapi. Ucapan Terima Kasih

Terima kasih kepada Prof. Dr. Suryo Guritno, M.Stat., Guru Besar bidang statistika di

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada Yogyakarta, yang telah banyak memberikan sumbang saran

dengan penuh kesabaran atas penyelesaian tulisan ini.

Daftar Pustaka

Anton, H., 1987, Aljabar Linear Elementer, Ed.

Kelima, Alih Bahasa : P. Silaban, Erlangga, Jakarta.

Bain, L. J., and Engelhardt, M., 1992,

Introduction to Probability and

Mathematical Statistics, 2nd ed.,

Duxbury Press, Belmont, California.

Gallo, J. and Khuri, A. I., 1990, Exact Test for the Random and Fixed Effects in an Unbalanced Mixed Two-Way Cross- Clasification Model, Biometrics 46,

1087 – 1095.

Khuri, A. J., and Littell, R. C., 1987, Exact Test for the Main Effects Variance

Components in an Unbalanced

Random Two – Way Model,

Biometrics 43, 545 – 560.

Magnus, J. R. and Neudecker, H., 1999, Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Revised

Edition, John Wiley & Sons Ltd., Chichester.

Searle, S. R., 1982, Matrix Algebra Useful for Statistics, John Wiley & Sons Inc., New

York.

Searle, S. R., Casella, G., and McCulloch, C.

E., 1992, Variance Components,

John Wiley & Sons, Inc., New York.

Thomsen, I., 1975, Testing Hypothesis in

Unbalanced Variance Component

Models for Two-Way Layouts, Annals

of Statistics 3, 257 – 265.

Wald, A., 1940, A Note on the Analysis of

Variance with Unequal Class

Frequencies, Annals of Mathematical