BAB IV VIBRASI KRISTAL

BAB IV

MATERI :

Getaran (Vibrasi) Kristal

• 4.1.persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom.

• 4.2.kecepatan kelompok (group velocity)

• 4.3 persamaan dispersi untuk kristal berbasis dua atom.

• 4.4.cabang optik

INDIKATOR

• menentukan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu atom.

• menghitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang.

sebuah gelombang.

• menentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.

• menentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.

TIK :

Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk (sebagai fungsi ) Vektor gelombang (k) ,

Gelombang Elastik dan PHONON VIBRASI KRISTAL MONOATOMI K DIATOMIK

Getaran atom dapat disebabkan oleh :

Zat padat yang menyerap energi panas. Gelombang yang merambat pada kristal.

Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di titik kisi.

Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.

Ditinjau dari panjang gelombang yang Ditinjau dari panjang gelombang yang

digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi :

- pendekatan gelombang pendek - pendekatan gelombang panjang

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila :

• Apabila panjang gelombang yang

digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom.

• Dalam keadaan ini gelombang akan • Dalam keadaan ini gelombang akan

“melihat” bahwa kristal merupakan

susunan atom atom diskret, sehingga

pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.

• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari

jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar (kontinue) sebagai suatu media

(kontinue) sebagai suatu media

perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai

GELOMBANG ELASTIK

regangan pada batang :  du ...(1)

Gelombang mekanik

regangan pada batang : ...(1)

dx du



tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut: ...(2) 

E



menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

...(3) (x)} -dx) (x { A F    

)} ( ) ( { 2 2 x dx x A t u Adx         dx u d E dx dx du x E dx dx E dx x                    2   ………. (4) ………. (5) dx dx u d E _       ₂ A dx x u E t u . Adx ₂ 2 2 2       2 2 2 2 t u E x u             _{………. (6)} ………. (5)

Fonon

Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem Fisika.

Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fonon

adalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik.

Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground

state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.

Persamaan Gerak

Grafik

MONOATOMIK Grafik

Kecepatan Group

GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK)

Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah      100;110;111

[1 1 1]

Untuk setiap vektor gelombang terdapat 3 model getaran, yaitu :1 buah longitudinal

2 buah transversal.

 k

[1 0 0]

Y

ARAH RAMBAT (SB.X) US(ARAH SIMPANGAN)

1 Buah Gelombang Longitudinal Z X Y Y X Simpangan Simpangan Z 2 Buah Gelombang Transversal Arah Rambat

Jadi : F_s  c U_s1  U_s   c U_s1  U_s 



U U - 2Us



c

F_s  _s1  _s-1 ... (1)

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :

s

Persamaan gerak bidang kristal ke s adalah :

...(2) a F m : Newton Hukum



 x c. F : Hooke Hukum   x c. m : diperoleh atas di persamaan kedua Dari   a 2Us) -U c(U U d m ₂s _{s 1 s-1} 2   _ dt

Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t), dinyatakan oleh :

Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka : t i -e 2 ω t i e 2 dt 2 d 2 dt s U 2 d _{ }         t i   e s U Jadi : s 2 2 s 2 U ω dt U d   2 dt 2 dt   U_S

Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :



U_{s 1} U_{s 1} 2U_s



c s mU 2 ω  _  _   : berikut sebagai ditulis dapat t i e s U : Solusi    t    _λ 2π i -e t i2π -e t i -e U  e- it  e-i2πt  e λ s U    iksa e ikx e s U    

Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut : iksa Ue Us   ika .e iksa U.e 1)a ik(s U.e 1 s U : itu Karena        ) 5 ( ... ... ... ... ... ika e s U 1 s U _   : ditulis dapat (3) dan (5)

Persamaan (5) dan (3) dapat ditulis : Persamaan ) s 2U ika s U ika e s (U c s mU 2 ω      e (6) ... ... 2) ika e ika (e c m 2 ω      ka 2cos ika e ika e : maka θ sin i θ cos iθ e       Karena :

Sehingga persamaan (6) menjadi : 2coska 2 c m 2 ω    1 cos ka  m 2c 2 ω     12 ka cos 1 m 2c ω   …………(7)

Solusi persamaan (7) menjadi: Solusi persamaan (7) menjadi:

       ka 2 1 2 2sin m 2c 2 ω …………..(8) ka 2 1 sin m c 2 ω  A

Persamaan (8) Persamaan dispersi

 k

Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut  ω

terhadap vektor gelombang

)

(

f

Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap vektor gelombang (k). ω = f(k)

Bila dinyatakan dengan grafik

Sin π/2 = sin 90o _{→ max = 1}

Sin 2 /2  = sin 45o _{= ½ √2} Sin 2 /3  _{= sin 30o = ½} Daerah Brillovin I

Bila dinyatakan dengan grafik, maka:

dk dω g

v  Gradien atau arah

KECEPATAN GROUP /KECEPATAN KELOMPOK (Vg) 2 ka cos 2 a m c 2 ka 2 1 sin m c 2 dk d         ………(9)

2a λ π a λ 2π    Pada saat ka =  0 2 π cos m c a g v  

Artinya tidak ada gradien /kemiringan

π 2π 2 π ka  λ 4a 2 π a λ 2π _{  } Pada saat m c a 0,74 4 π cos m c a g v  

Persamaan Gerak

Grafik

diATOMIK Grafik

Kecepatan Group

VIBRASI KRISTAL DIATOMIK

Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx

Persamaan gerak : F = m.a = c. Δx

Untuk m₁ → m₁ 2 ₂ dt U d _s = c {( V_s- U_s)+( V_s-1-U_s) m₁ 2 2 dt U d _{s = c { V} s + Vs-1 - 2 Us}...(1) Untuk m₂ → m₂ 2 ₂ dt U d _{s = c {( U} s+1- Vs)+( Us-Vs) m₂ 2 2 dt U d _{s = c { U} s+1 + Us - 2 Vs}...(2)

M₁ a M₂ M₁ M₂ PERSAMAAN GERAK



 





V_s U _s V_{s 1} U_s



c 2s U 2 d 1 m 1 m     _  Untuk c





V_s U _s

 

V_{s 1} U_s





2 dt 1 m 1 m     _  Untuk



 





V_s



s U s V 1 s U c 2 dt s V 2 d 2 m 2 m   _    Untuk



U _{s 1} U_s 2V_s



c 2 dt s V 2 d 2 m  _   ... (2)



V_s V_{s 1} 2U _s



c 2 dt s U 2 d 1 m   _  ... (1)

        U ei ksa ωt s U         V ei ksa ωt s V ika e ωt ksa i e U 1 s U _      ika ωt ksa i  _            U i(- ω( ei ksa ωt dt s dU          U ω 2 ei ksa ωt dt s U 2 d Solusinya : ... (3) ika e ωt ksa i e V 1 s V _                  

 _Uω2 _eiksa ωt _{c Ve}iksa ωt _Veiksa ωt _2Ueiksa ωt

1 m 2cU ika -e 1 cV U 2 ω 1 m _         

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh :

... (4) 2cV -ika e 1 cU V 2 ω 2 m _         ... (5)

Determinan dari persamaan (4) dan (5) ) ika e c)(1 ( ω m ω m 2c ) e c)(1 ( 2 2 2 1 ika      U V  0 ) ika e c)(1 ( ω m ω m 2c ) e c)(1 ( 2 2 2 1 ika      =0 ) ω m {(2c  ₁ 2 (2c  m₂ω2)}_{-{(  c)(1  e}ika _{)(c)(1 e} ika _{)}  0} ) m 2(m ka) cos )(1 )(2c m 4(m )} m {2c(m ) m 2c(m 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1      (m₁m₂)ω4_-{2c(m 1+m2)}ω2-c2(2+ eika+ e-ika)=0 (m₁m₂)ω4_-{2c(m 1+m2)}ω2+2c2(1- cos ka)=0 Rumus abc: (₁₂)2 ₌

Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik) 2 1 1 1 m m  sin ( 2 ) 4 ) 1 1 ( 2 2 1 2 2 1 ka m m m m   (ω₁)2 _{=c( )+c} 2 1 1 1 m m  sin ( 2 ) 4 ) 1 1 ( 2 2 1 2 2 1 ka m m m m   (ω₁)2 _{=c( )-c}

2 2 m c Bila m1‹ m2 → 1 2 m c › Cabang optik Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)

√(2c/m₁) √(2c/m₂) ω_op={2c()}1/2 0 π/2a π/a -π/2a -π/a Cabang akustik 2 2 m c Bila m1 › m2 → 1 2 m c ‹

Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang

Cabang optik

√(2c/m₁) ω_op={2c()}1/2

Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik

0 π/2a π/a -π/2a -π/a Cabang akustik Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui) √(2c/m₂) Bila m1 › m2 maka

Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran.

ω untuk vibrasi kristal diatomik 2 2 2 1,2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 4 ( ) sin 2 ka C C m m m m mm   _  _ _  _   _{ }      

Untuk cabang optik

1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2  _{ }    _  _  

Untuk cabang akustik

1   2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 cos C C ka m m m m mm mm  _{ }    _  _  _{      }       _{    }        1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 cos C C ka m m m m mm mm   _{ }    _  _    _{ }  _ _  _   _{ }   _  _    

KECEPATAN GROUP 1 1 Vg k     1 Vg k    1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 cos C C ka m m m m m m m m  _{ }    _  _  _{        }   

Untuk cabang optik

1 Vg k   C_ _m1  _{m2 }C_ _m1  _{m2 }  _{m m1 2}  _{m m1 2} coska_        ₁ 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 sin cos 2 a Vg C ka C C ka mm m m m m mm mm  _{  }      _{  }   _{ }  _ _  _   _  _{    } _{  }    1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 coska m m mm mm  _{ }  _  _    _{ }   

2 2 Vg k     1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 cos Vg C C ka k m m m m m m m m  _{ }       _   _  _{ }  _ _  _   _{ }  _{    }    

Untuk cabang akustik

1 1  2  1  12 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 cos sin 2 1 1 2 2 cos C C ka m m m m m m m m aC ka Vg m m ka m m m m m m  _{  }      _{       }      _{     }  _{  }    _{ } _{ }   _  _     _  _   

LATIHAN SOAL :

1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu dan dua atom.

2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang pada kristal monoatomik dan gelombang pada kristal monoatomik dan diatomik.

3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik.

Latihan soal

1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam krital monoatomik satu dimensi

dengan konstanta kisi sebesar 2 A0_.

Tentukan :

a. w (k) dan kecepatan group (v_g ) pada energi : 1 eV dan 0,8.10-18 _Joule

1 eV dan 0,8.10 Joule

b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )_max yang membatasi daerah Brillouin-I

Latihan soal :

2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal, b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari

kristal monoatomik

c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari kristal di atomik.

3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di atomik untuk cabang

a. optik

Test Unit I : Selasa : 7 April 2009

Materi : Bab I – III

Test Unit II : Selasa 02 Juni 2009

Selasa 02 Juni 2009 Materi : Bab IV- VI

Test Unit III : Di jadwal Tentamen

TUGAS TIAP KELOMPOK DIKUMPULKAN : PADA SAAT TU-I

A. Print-Out Tugas Kelompok 1-3: Soal di Kittel (bab I)

Buku b’wien ( Modul 1-2 )

Semua latihan soal ( selama kuliah )

B. Print-Out Tugas Kelompok 4-6: Soal di Kittel (bab 2)

Buku b’wien ( Modul 3-4 ) Buku b’wien ( Modul 3-4 )

Semua latihan soal ( selama kuliah )

C. Print-Out Tugas Kelompok 7-10: Soal di Kittel (bab 3)

Buku b’wien ( Modul 5-6 )