Elektron Dalam Zat Padat
Elektron Dalam Zat Padat
(Teori Pita Energi)
(Teori Pita Energi)
Bab
Bab
Model Untuk Teori Pita Energi
Berdasarkan daya hantar listrik, zat padat dibedakan menjadi tiga jenis : •Logam dan semi-logam, dengan
σ
≥ 105 ohm-1m-1.•Semikonduktor, dengan 10-5 ohm-1m-1 ≤
σ
≥ 105 ohm-1m-1.•Isolator, dengan
σ
≥ 10-5 ohm-1m-1.Tahanan Listrik (‘resisivity’ : ohm-m) dipengaruhi oleh SUHU. Pada bahan LOGAM DAN SEMI-LOGAM resistivity akan MENINGKAT, tetapi pada bahan SEMIKONDUKTOR resitivity ini akan MENURUN seiring dengan kenaikan suhu. Untuk dapat menerangkan sifat daya hantar listrik zat padat diperlukan
sebuah model. Model yang dikembangkan adalah MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI dan MODEL PITA ENERGI.
MODEL ELEKTRON BEBAS TERKUANTISASI tidak bisa menjelaskan rentang nilai konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada model ini potensial dari gugus ion diabaikan (V=0).
MODEL PITA ENERGI dapat menjelaskan rentang nilai konduktivitas listrik zat padat yang lebar. Pada model ini potensial dari gugus ion tidak diabaikan atau adanya potensial berkala pada zat padat.
Beberapa hal yang diperhatikan pada model PITA ENERGI:
•Adanya energi potensial periodik dalam keristal dengan keberkalaan kisi kristal.
•Fungsi gelombangnya untuk kisi sempurna (tanpa vibrasi termal, cacar geometri ataupun kimiawi).
•Merupakan teori elektron tunggal; hanya menelaah perilaku satu elektron saja yang manan elektron ini dipengaruhi oleh potensial periodik yang
mempresentasikan semua interaksinya.
• Dapat menggunakan persamaan Schroendinger untuk mengkaji informasi yang ada pada elektron tersebut dengan tetap mengikuti aturan sebaran Fermi-Dirac untuk pengisian keadaan elektron.
•Teorema yang dapat digunakan untuk menguraikan bentuk dan sifat fungsi Schroedinger untuk satu elektron dalam potensial berkala adalah Teorema Bloch. Fungsi-fungsinya dikenal dengan Funsi Bloch.
Dalam Telaah Bloch potensial periodiknya merupakan superposisi dua potensial: 1. Potensial berkala dari kisi-kisi gugus-gugus atom atau ion.
2. Potensial yang berasal dari semua elektron terluar atom-atom kristal.
Fungsi gelombang Schroedinger ketika ada potensial periodik untuk keberkalaan kisi adalah:
Merupakan fungsi yang memiliki keberkalaan kisi kristal
Gambaran potensial periodik untuk kisi linier monoatomik
Persamaan Schroedinger untuk elektron dalam kristal linier monoatomik dengan
Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah;
1. Jika punya solusi untuk harga energi E, maka juga punya solusi E . Jika tedapat degenerasi maka
2. Dari syarat batas siklis Born-von Karmann didapat untuk elektron
Teorema Bloch, Bentuk dan Sifat Fungsi
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat
Kesimpulan dari persamaan Schroendinger di atas adalah;
2. Untuk setiap X akan didapat yang berulang setelah N buah sel satuan. Panjang kristal l=Na . Sehingga didapat;
3. Fungsi gelombang elektron bebas dalam satu dimensi adalah ; untuk potensial nol. Untuk potensial yang tidak nol fungsinya :
Dari fungsi didapat yang merupakan fungsi periodik dengan keberkalaan a .
Potesial bernilai riil, artinya sehingga didapat . Keduanya memiliki nilai eigen E, sehingga
Vektor k dan vektor kisi G memiliki dimensi yang sama. Semua harga k yang tepat dapat dikembalikan ke selang harga k dalam daerah . Selang ini
dinamakan Brillouin zone I.
Teorema Bloch memberikan bentuk dan sifat umum solusi persamaan Schroedinger elektron dalam kisi periodik satu dimensi dan tidak memberikan solusi spesifik.
Teorema Bloch, Bentuk dan Sifat Fungsi
Teori Pita Energi Untuk Zat Padat
Model ini mengkaji perilaku elektron dalam kristal linier monoatomik dan
memberikan indikasi adanya selang energi elektron yang diperkenankan dan yang tidak diperkenankan.
Model ini mempelajari perilaku elektron dalam potensial dengan periode (a+b). Persamaan Schroedingernya;
. Solusi persamaan ini dibatasi harga E < V o dan dibataskan pada dua besaran riil,
α dan β.
Dengan
mensubstitusikan solusi umum dari teorema Bloch ke
persamaan schroedinger akan didapatkan;
dengan solusi
dengan
A, B, C dan D ditetapkan berdasarkan syarat batas. Sehingga didapat empat
persamaan linier yang determinan solusinya tidak-sama dengan nol.
Penyemaan determinan sama dengan nol akan didapatkan;
Model Kroning-Penney
Sketsa lengkung adalah , garis-garis
terputusnya adalah , kedua nilai itu merupakan nilai maksimum dan minimum cos ka , yang selanjutnya menjadi selang dengan batasan , maka terbatasnya harga pada nilai tertentu juga membatasi energi yang dapat dimiliki oleh elektron. Dengan demikian model ini memberikan informasi pita-pita energi yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron.
Kesimpulan umum dari lengkung adalah;
1. Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi.
2. Meningkatnya nilai akan memperlebar pita energi yang diperkenankan. 3. Bartambahnya P (bV o ), mempersempit lebar pita energi yang diperkenankan. 4. Jika P mendekati tak-hingga, artinya elektron berada dalam kotak potensial
berdinding tak-hingga dengan leber a .
5. Jika P mendekati nol, artinya elektron berada pada keadaan elektron bebas. 6. Diskontinue E terjadi pada , yaitu pada
Model Kroning-Penney
Di bawah ini adalah Sketsa ramalan harga energi elektron pada potensial periodik kristal monoatomik linier dan kaitan model Kroning-Penney dengan harga energi untuk elektron bebas dan elektron dalam kotak potensial berdinding tak-hingga.
Model Kroning-Penney
Struktur level energi untuk derajat ikatan yang berbeda
Kesimpulan umum dari persamaan adalah;
1. Harga a tidak dapat ditentukan secara pasti, tetapi dapat diperkirakan selanng nilai a yang diperbolehkan.
2. Diskontinuitas nilai a , terjadi pada coska bernilai +1 dan -1. yaitu saat
3. Selang terlarang harga ( α a) terlarang tidak ada solusi pada .
Sehinggga selang ini merupakan energi terlarang bagi elektron.
Model Kroning-Penney
Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal sangat lemah sehingga elektron berprilaku hampir bebas.
Istilah kisi kosong di sini artinya meskipun potensila kristal dianggap sama dengan nol, tetapi fungsi gelombang yang merupakan solusi persamaan Schroedinger
menaati sifat kesetangkupan kisi kristal. Persamaan untuk elektron ini adalah:
Spektrum kontinu, seperti pada gambar
Gambar (a) menunjukkan extended zone Gambar (b) menunjukkan reduced zone Gambar (c) menunjukkan Brillouin zone I.
Di sini tidak ada pembatasan energi sehingga spektrum energinya kontinu.
Model kisi kosong ini membantu dalam memahami model elektron hampir bebas.
Model Kisi Kosong
Model elektron bebas mengasumsikan potensial kristal lemah tetapi tidak sama dengan nol. Berdasarkan teorema Bloch untuk kristal satu dimensi, diskontinuitas energi elektron pada batas-batas brillouin zone yaitu untuk . Daerah ini terdapat pada gambar;
Gambar (a) daerah reduced zone Gambar (b) daerah extended zone
Loncatan antara dua daerah energi disebut energi gap . Untuk mengevaluasi
besarnya energi gap ini digunakan teori PETURBASI. Yang persamaannya adalah;
Hasil dari penjabaran teori peturbasi ini, memberikan bahwa energi gap pertama dan kedua besarnya dengan s
Model Kisi Kosong
Pada batas-batas Brillouin zone, fungsi Bloch berupa gelombang tegak dan bukan gelombang berjalan, elektron dengan harga vektor propagasi ini memenuhi syarat difraksi Bragg;
Karena pada hamburan elestik , syarat Bragg menjadi untuk kristal monoatomik linier dengan jarak antar tetangga terdekatnya sebesar a syaratnya menjadi . Arti fisikanya adalah gelombang yang dipantulkan oleh atom
yang bersebelahan berbeda fasa
π, atau 180 derajat. Superposisi dua gelombang
yang dipantulkan oleh atom yang bertetangganya adalah
, ini adalah
fungsi gelombang tegak dan bersifat genap. Selain itu juga dapat menghasilkan
kombinasi linier fungsi gelombang ganjil;
. Dari fungsi genap dan
ganjil ini akan didapatkan rapat muatan;
Rapat muatan genap yang berharga maksimum
x=am.
Rapat muatan fungsi ganjil yang bernilai NOL di setiap kisi.
Pemantulan Bragg
Sketsa hubungan E dan k model Kroning-Penney dalam pola zone tereduksi. Lengkung E = E(k) memperlihatkan daerah energi
yang diperkenankan dan terlarang bagi elektron. Tetapi energi ini masih bergantung pada jumlah elektron dalam kristal dan
statistika energi elektron.
Dua keadaan di mana medan listrik tidak menghasilkan arus netto dalam kristal: 1. Tidak ada elektron yang berada pada pita energi yang diperbolehkan.
2. Pita energi yang diperkenankan terisi penuh elektron. Rapat arus elektron ini adalah;
Hanya pita energi yang terisi (atau kosong) sebagian yang dapat memberikan sumbangan pada arus listrik.
Pita energi dengan “Elektron states” yang
penuh dan kosong
Logam, Isolator dan Semikonduktor
Akibat medan listrik elektron di A akan bergerak ke arah –X dan sampai pada kedudukan A’ . Pada saat itu terjadi pantulan Bragg, dan elektron muncul kembali di A’’ . Kemudian elektron
menempuh siklus yang sama. Proses berulang ini disebut sebagai osilasi Zener.
Presentasi pembawa muatan
Rapat arus yang disumbangkan oleh pita energi yang tidak seluruhnya penuh, diberikan oleh persamaan;
Untuk pembawa muatan elektron Untuk pembawa muatan hole.
Model pita energi ini yang membedakan isolator, konduktor dan semikonduktor
Presentasi pembawa muatan
Model pita energi ini yang membedakan isolator, konduktor dan semikonduktor berdasarkan diagram pita energi yang dimilikinya.
Diagram pita energi untuk bahan
isolator, konduktor dan semikonduktir.
1. Apa yang dimaksud dengan energi Fermi?
Energi Fermi EF merupakan energi maksimum yang dapat dimiliki elektron dalam kristal pada suhu T=0.
2. Bagaimana keadaan energi Fermi pada bahan isolator, konduktor dan semikonduktor berdasarkan teori pita energi?
Pada bahan Isolator tingkat energi Ferminya melintas daerah energi terlarang. Pada bahan Konduktor tingkat energi Ferminya melalui pita konduksi,
sehingga pada suhu T=0 kelvin, semua ‘electron states’ dalam pita konduksi dengan E< EF terisi.
Pada bahan Semikonduktor tingkat energinya melalui pita velensi, daerah energi terlarang. Pada suhu T=0 kelvin, pita konduksi di bawah terisi semua
‘electron states’-nya, sedangkan dalam pita konduksi di atasnya semua ‘electron states’ lowong.
3. Kondisi seperti apakah, dalam kristal tidak menghasilkan arus netto meskipun ada medan listrik yang bekerja padanya?
Pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang diperkenankan sama sekali tidak dihuni elektron atau pada saat semua ‘electron states’ dalam pita energi yang diperkenankan terisi elektron, artinya tidak satupun ‘electron
states’ yang kosong.
4. Kenapa model elektron bebas tidak dapat menjelaskan rentang harga konduktivitas listrik zat padat yang lebar?
Karena pada model elektron bebas mengabaikan potensial dari gugus-gugus ion dalam kristal (V=0).
5. Kenapa model Teori pita dapat menjelaskan rentang harga konduktivitas listrik zat padat yang lebar?
Pada model ini potensial dari gugus-gugus ion dalam kristal tidak sama dengan nol, tetapi potensial ini merupakan potensial periodik yang berkaitan dengan kisi kristalnya.
6. Jelaskan kenapa pada teori pita energi berlaku potensialnyaV(x+a) = V(x) ? Karena pada teori pita potensial dari gugus-gugus ion dalam kristalnya dianggap merupakan potensial periodik. Potensial periodik ini dikenalkan karena pada kisi kristalnya dianggap berulang secara periodik juga. Dengan demikian ion-ion identiknya terpisah sejauh jarak a dari tetangga terdekatnya sesuai dengan kisi kritalnya. Sebagimana digambarkan pada gambar di bawah ini.
