Pe Luang

I.PELUANG

I.PELUANG

1.0

1.0 PendahuluanPendahuluan

alam kehidupan sehari - hari banyak kejadian yang terjadinya didasarkan pada peluang alam kehidupan sehari - hari banyak kejadian yang terjadinya didasarkan pada peluang atau pr

atau probabobabilitailitas, s, misalmisalnya pelunya peluang sesang seseoraneorang g terketerkena jantna jantung adaung adalah 0,0lah 0,00001 ,0001 ,  peluang hasil pertandi

 peluang hasil pertandingan final sepak bola antara Perancis dan Brasilingan final sepak bola antara Perancis dan Brasilia a adalah 3 - 2, dan lainadalah 3 - 2, dan lain sebagainya. ejadian - kejadian seperti di atas sebenarnya tidak hanya terjadi sekarang saja, sebagainya. ejadian - kejadian seperti di atas sebenarnya tidak hanya terjadi sekarang saja, tetapi hal tersebut sudah terjadi sejak ratusan tahun yang lalu, atau

tetapi hal tersebut sudah terjadi sejak ratusan tahun yang lalu, atau mungkin juga ribuan tahunmungkin juga ribuan tahun yang lalu. !amun secara ilmu baru dirumuskan sekitar abad ke tujuh belas, yaitu ketika ada yang lalu. !amun secara ilmu baru dirumuskan sekitar abad ke tujuh belas, yaitu ketika ada seora

seorang penjudi kelas kakap bernng penjudi kelas kakap bernamaama ChevaChevalier de Merlier de Meree mengajukan pertanyaan kepadamengajukan pertanyaan kepada Pascal

Pascaldan mendiskusikan kepadadan mendiskusikan kepada FermatFermat" 1#01 - 1##$%." 1#01 - 1##$%.

&

&

&engan perumusan kedua orang tersebut maka lahirlah ilmu peluang yang tidak saja &engan perumusan kedua orang tersebut maka lahirlah ilmu peluang yang tidak saja menja'ab tentang perjudian , tetapi juga berkembang menjadi ilmu yang bermanfaat bagi menja'ab tentang perjudian , tetapi juga berkembang menjadi ilmu yang bermanfaat bagi ilmu pengetahuan, khususnya statistika.

ilmu pengetahuan, khususnya statistika.

1.1

1.1 Ruang samel dan !e"adianRuang samel dan !e"adian

Pekerjaan statistika'an pada dasarnya adalah menafsirkan hasil yang mungkin dari suatu Pekerjaan statistika'an pada dasarnya adalah menafsirkan hasil yang mungkin dari suatu eksperimen atau percobaan yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian eksperimen atau percobaan yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah. (isalnya dalam pelemparan satu mata uang logam sekali maka yang muncul adalah ilmiah. (isalnya dalam pelemparan satu mata uang logam sekali maka yang muncul adalah ( " muka % atau ) " gambar%, dalam pelemparan satu mata dadu yang setimbang maka yang ( " muka % atau ) " gambar%, dalam pelemparan satu mata dadu yang setimbang maka yang muncul adalah angka 1, 2, 3, *, $, atau #.

muncul adalah angka 1, 2, 3, *, $, atau #.

#e$inisi 1.1 #e$inisi 1.1

+impunan

+impunan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu pesemua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel ,rcobaan disebut ruang sampel , yang dilambangkan dengan

yang dilambangkan dengan S.S.

#e$inisi 1.% #e$inisi 1.%

+im

+impunpunan an bagbagian dari ian dari ruaruang ng samsampel pel didisebsebutut &e"adian&e"adian, , yang yang biasbiasanyanya a dilamdilambangbangkankan dengan huruf besar.

dengan huruf besar.

#e$inisi 1.' #e$inisi 1.'

1 1

uatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur dari ruang sampel disebut kejadian uatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur dari ruang sampel disebut kejadian sederhana. uatu kejadian majemuk

sederhana. uatu kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungandinyatakan sebagai gabungan  beberapa kejadian.

 beberapa kejadian.

1.'

1.' Menghitung titi& samelMenghitung titi& samel alah satu

alah satu problproblem em yang dihadapyang dihadapi i para peneliti adalah menentukpara peneliti adalah menentukan an banybanyaknyaknya a anggoanggotata ruang sampel dari

ruang sampel dari suatsuatu u percopercobaan. &alam banyak hal baan. &alam banyak hal penenpenentuan anggota ruang sampeltuan anggota ruang sampel tid

tidaklaklah ah mudmudah, ah, tettetapi api kadkadangang-ka-kadandang g jugjuga a sulsulit, it, mismisalnalnyya a berberapa apa banbanyayaknyknya a nomnomor or  kendaraan yang dap

kendaraan yang dapat dibuat jika kat dibuat jika ketentuannya etentuannya sebagai berikut. !sebagai berikut. !omor kendaraan tersebuomor kendaraan tersebutt dia'ali dengan satu huruf, diikuti oleh empat angka dan diakhiri oleh dua huruf dengan dia'ali dengan satu huruf, diikuti oleh empat angka dan diakhiri oleh dua huruf dengan masing-masing angka dan huruf hanya digunakan sekali dan angka nol tidak boleh didepan. masing-masing angka dan huruf hanya digunakan sekali dan angka nol tidak boleh didepan. nt

ntuk uk memmemudaudahkahkan n penpenghighituntungan gan banbanyayaknyknya a anganggogota ta ruaruang ng samsampel pel dapdapat at digdigunaunakankan teorema-teorema sebagai berikut.

teorema-teorema sebagai berikut.

(e)re

(e)rema ma 1.11.1

ika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan jika pada

ika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan jika pada setiap cara tersebut operasisetiap cara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dengan m cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama kedua dapat dilakukan dengan m cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan nm cara.

dengan nm cara.

*u&ti + *u&ti +

aren

arena a setiasetiap p n n dapat berpasdapat berpasangan dengan setiap m, angan dengan setiap m, maka banyaknymaka banyaknya a pasanpasangan yanggan yang dapat terjadi adalah nm cara.

dapat terjadi adalah nm cara.

C)nt)h + C)nt)h +

(isalkan seseorang mempunyai 3 celana dengan 'arna berbeda dan * baju dengan 'arna (isalkan seseorang mempunyai 3 celana dengan 'arna berbeda dan * baju dengan 'arna ya

yang ng berberbedbeda a pulpula. a. /d/da a berberapa apa carcara a oraorang ng tertersebsebut ut memmemakaakai i paspasangangan an bajbaju u dan dan celcelanaana dengan setiap pasangan tersebut berbeda . " a'ab 

dengan setiap pasangan tersebut berbeda . " a'ab  3.*  12 %3.*  12 %

#e$inisi 1., #e$inisi 1.,

Permutasi adalah suatu susunan yang

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang diambildiambil sebagian atau seluruhnya.

sebagian atau seluruhnya.

(isalnya ada tiga huruf /, B, dan  maka susunan yang dapat dibuat adalah /B, /B, (isalnya ada tiga huruf /, B, dan  maka susunan yang dapat dibuat adalah /B, /B, B/

B/, , B/B/, , /B/B, , dan B/. dan B/. ususunaunan n semsemacaacam m di di ataatas s disdisebuebut t perpermumutastasi i penpenuh uh ataatauu

2 2

 permutasi saja. ecara umum untuk n obyek yang berbeda terdapat n"n-1%444444.3.2.1 susunan yang berbeda. Pergandaan semacam di atas biasanya dinotasikan dengan n 5 " dibaca n faktorial atau n fakultet %.

(e)rema 1.% 0 5  1

*u&ti +

&ari definisi n5  n."n 6 1 %."n 6 2% 4443.2.1  n . " n 6 1 % 5 didapat

n 5 n

 " n 6   1 % 5. ika n  1 maka didapat 05  1.

(e)rema 1.'

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda adalah n 5

*u&ti +

/nggap ada n tempat yang masing 6 masing tempat akan diisi satu obyek, sehingga tempat satu dengan yang lain berisi obyek yang berbeda. &engan cara seperti di atas maka tempat  pertama dapat diisi dari pilihan n obyek sedangkan tempat ke dua dapat diisi dari n 61 pilihan,

dan seterusnya sebagaimana gambaran di ba'ah.

n n-1 n-2 . . . 3 2 1

&engan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n."n-1%44.3.2.1 atau n5.

C)nt)h +

(isalnya dalam antrian loket untuk mendapatkan karcis pertunjukkan sepak bola terdapat $ orang. /da berapa cara orang tersebut membentuk antrian yang berbeda  " a'ab  $ 5  $.*.3.2.1  120 cara %

(e)rema 1.,

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r

≤

n adalah n P r  n 5

" n - r % 5.

*u&ti +

/nggap ada r tempat dengan masing-masing tempat hanya dapat diisi dengan obyek yang  berbeda, maka didapat hasil seperti gambar di ba'ah.

n n-1 n-2 . . . n-r71

&engan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n."n-1%4.."n-r71% atau

5 r% -"n n5 .1 ...3.2 1%... -r  -r%"n -"n 2.1 ...3. r%... -1%"n r  -"n ... 1%... -n " n

+

₌

C)nt)h +

(isalnya ada 8 orang sebagai formatur yang dapat dipilih menjadi pengurus organisasi dengan susunan pengurus sebagai berikut satu orang sebagai ketua, satu orang sebagai sekretaris, dan satu orang sebagai bendahara. /da berapa susunan pengurus yang berbeda

dapat dibuat . " a'ab 

5 * 5 8.#.$.* 5 % 3 -8 " 5 8

₌

  8.#.$  210 % (e)rema

1.-Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan yang disusun melingkar adalah " n - 1 % 5.

*u&ti +

ika ada n obyek yang berbeda akan disusun melingkar pada n tempat maka tinggal n-1 tempat yang bebas dapat ditempati n-1 obyek. ehingga susunan berbeda yang dapat terjadi adalah " n-1% 5.

C)nt)h +

(isalnya ada # orang membentuk konferensi meja bundar. /da berapa cara susunan cara duduk ke 6 enam orang tersebut . " a'ab  " # 6 1 % 5  $ 5  120 %.

(e)rema 1.

Banyaknya permutasi dari n obyek yang terdiri atas

n

1

, 44444., n

k  adalah

n

n n ... n



n 5

n 5 n 5 n 5

1 2 k 1 2 k

 

 



 

 

 

, dengan n 

∑

= k  1 i i

n

*u&ti +

/nggap jika n obyek tersebut berbeda, maka susunan yang terjadi adalah n5. arena setiap ni juga membentuk susunan sebanyak ni5 9ang mestinya hanya dihitung satu. (aka

 banyaknya susunan berbeda yang terjadi adalah

5 .n 5... n . 5 n n5 k  2 1

 atau sama dengan

  

 

 



 

 

k

2

1

n

...

....n

n

n

. C)nt)h +

(isanya dalam perayaan peringatan hari kemerdekaan yang akan dilaksanakan pada bulan yang akan datang, didepan gang masuk kampung akan dipasang lampu hias yang terdiri 3 lampu 'arna merah, 2 lampu 'arna hijau, * lampu 'arna kuning, dan 1 lampu 'arna biru. ika lampu 6 lampu tersebut disusun secara berjajar, ada berapa susunan lampu hias yang dapat dibuat . " a'ab  10.:.*.8.$ 12#00 1 . 5 * . 2 . # 5 .$.* 10.:.;.8.# 5 1 5. * . 5 2 . 5 3 5 10

₌

₌

₌

 %. $

(e)rema 1./

Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r

≤

n adalah

n

r

2

n 5

"n- r % 5 r5













*u&ti +

ntuk kombinasi urutan /B  B/. ika dianggap urutan /B tidak sama dengan urutan B/ maka banyaknya urutan yang terjadi sama dengan kejadian pada teorema 1.* yaitu

n 5

" n - r % 5. arena setiap r obyek dapat menyusun r5 susunan yang berbeda maka banyak 

susunan yang terjadi dari kasus kombinasi adalah

n

r

2

n 5

"n- r % 5 r5













. C)nt)h +

(isalnya ada 8 orang sebagai formatur yang semuanya dapat dipilih untuk menjadi  pengurus suatu organisasi yang terdiri 3 orang. /da berapa susunan pengurus yang dapat

dibuat . " a'ab  3.2.1 . 5 * 5 * 8.#.$. 5 3 . 5 % 3 -8 " 5 8 =   8 . $  3$ %. 1., Peluang !e"adian

Pada dasarnya tugas statistika'an adalah menyimpulkan atau menginferensi hasil suatu  percobaan yang mengandung ketidakpastian. /gar kesimpulan tersebut dapat dipertanggung

 ja'abkan secara ilmiah maka diperlukan pemahaman ilmu peluang. ntuk dapat menja'ab dengan tepat hasil pertandingan final sepak bola yang akan dilaksanakan diperlukan ilmu  peluang tentang sepak bola beserta analisisnya yang dapat dinyatakan sebagai peluang.

&idalam merumuskan peluang suatu kejadian ada tiga cara yang dapat digunakan yaitu  1. Cara &lasi& 

(isalnya banyaknya anggota ruang sampel adalah n dan banyaknya anggota kejadian / adalah m maka peluang terjadinya kejadian / yang dinotasikan dengan P"/% adalah m<n. (isalnya peluang munculnya angka gasal pada pelemparan satu mata dadu yang setimbang adalah =. edangkan peluang munculnya dua gambar pada pelemparan dua mata uang logam sekali adalah >.

%. Cara $re&ensi relati$ 

ika suatu percobaan dilakukan sebanyak n " n

→ ∞

 % dan kejadian / yang diamati pada

 percobaan tersebut terjadi sebanyak m maka P" / %  lim m n

n→∞ . (isalnya pada

 pelemparan mata uang dilakukan sebanyak 1000 kali, dari pelemparan tersebut  banyaknya muka muncul $0# kali, maka peluang munculnya muka adalah $0# < 1000

≅

0,$.

'. Cara su2e&ti$ 

Banyaknya peluang dalam kejadian sehari - hari yang tidak dapat ditentukan dengan kedua cara di atas, misalnya berapa peluang nanti sore akan hujan . ntuk menja'ab  pertanyaan tersebut diperlukan seorang ahli yang dapat memperkirakan dengan baik 

kapan terjadinya hujan. Peluang yang ditentukan seperti di atas disebut peluang secara subyektif.

#e$inisi 1.

ika / suatu kejadian dan  merupakan ruang sampel, maka 0

≤

  P"/%

≤

 1, P "

∅

 %  0, P "  %  1.

1.- *eeraa 3u&um Peluang

&alam banyak kasus yang terdiri atas beberapa kejadian, untuk menentukan nilai peluang yang satu dapat ditentukan dengan peluang yang lain. ntuk itu diperlukan teorema sebagai  berikut.

()rema 1.4

ika / dan B dua kejadian sebarang , maka P " /

∪

 B %  P " / % 7 P " B % - P " / ∩ B %

*u&ti +

&ari teori himpunan diperoleh n " /

∪

 B %  n " /% 7 n " B % 6 n " /

∩

B %. ika kedua ruas dibagi dengan n "  % maka didapat

%  " n % B / " n -%  " n % B " n %  " n /% " n %  " n % B / " n

∪

₌

₊

∩

 atau  P " /

∪

 B %  P " / % 7 P " B % - P " / ∩ _{B %}

A&iat + ika / dan B saling lepas, maka P " /

∪

 B %  P " / % 7 P " B %.

*u&ti +

arena / dan B saling lepas maka /

∩

 B 

∅

, sehingga P " /∩ B %  0 dan

P " /

∪

 B %  P " / % 7 P " B %.

(e)rema 1.5

ika / dan /? kejadian yang saling berkomplemen, maka P " /? %  1 - P " / %.

*u&ti +

&ari teori himpunan diketahui /

∪

 /?  , dan /

∩

 /? 

∅

sehingga didapat P "/

∪

 /? %  P " / % 7 P " /? %  P "  %  1, yang berarti didapat P" /? %  1 6 P " / %.

C)nt)h +

(isalkan sebuah dadu ditos sekali. Berapa probabilitas bah'a mata dadu yang keluar  lebih besar sama dengan 2 .

a'ab 

(isalkan /  kejadian mata dadu yang keluar lebih besar sama dengan 2, maka /?  kejadian mata dadu yang keluar satu. Berarti P " /? %  1<#, sehingga P " / %  1 6 1<#  $<#.

1. Peuah Aca& 

&ari percobaan pelemparan dua mata uang logam yang setimbang sebanyak sekali maka didapat   @ ((, (), )(, )) A. (isalnya  adalah fungsi dengan domain  yang didefinisikan  "((%  0 ,  ")(%   "()%  1, dan  "))%  2. Cni berarti  merupakan fungsi bernilai real dengan domain .

#e$inisi 1./

Dungsi bernilai real yang domainnya ruang sampel disebut peubah acak atau Eariabel random.

#e$inisi 1.4

ika banyaknya nilai dari peubah acak berhingga atau sama dengan banyaknya bilangan asli maka peubah acak tersebut disebut tipe diskret.

#e$inisi 1.5

ika banyaknya nilai peubah acak sama dengan banyaknya titik dari sepenggal garis atau sama dengan banyaknya titik bilangan real maka peubah acak tersebut disebut tipe kontinu.

1./ #istriusi Peluang Peuah Aca& #is&ret

adang - kadang dalam banyak kasus diinginkan bentuk distribusi dari suatu peubah acak, misalnya jika seseorang mempunyai tiga anak, bagaimana distribusi peluang dari peubah acak   banyaknya anak laki - laki dari ketiga anak tersebut. (isalnya   banyaknya anak laki-laki ,

maka distribusi peluangnya adalah sebagai berikut 

 0 1 2 3

P" F% 1<; 3<; 3<; 1<;

1.4 Fungsi !eadatan Peluang 6 $&7

#e$inisi 1.10

Peubah acak  tipe diskret dikatakan mempunyai fkp atau pdf " probability density function % f"F%  jika 1. f"F%

≥

 0,

∀

 F

2.

f " F %

F

∑

 _{ 1}

ika  peubah acak tipe diskret maka memenuhi sifat sebagai berikut  1.P "   F %  f "F %  2. P " / %  f " F % F /∈

∑

C)nt)h + (isalkan f " F %  12 kF

 , F  1, 2, 3 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari peubah acak . a% berapakah k   b% hitung P "   2 % c% hitung P "  G 2 % d% hitung P " 

≤

 2 % a'ab 

a% &ari syarat pdf ke-dua maka didapat 1

12 k.3 12 k.2 12 1 . k

₊

₊

₌

atau #k  12 , sehingga k   2.  b% &ari a% berarti f " F %  # F , sehingga P "   2 %  f " 2 %  3 1 # 2

₌

c% P "  G 2 %  P "   3 %  f " 3 %  2 1 # 3

₌

d% P " 

≤

 2 %  P "   1 % 7 P "   2 %  2 1 # 3 # 2 # 1

₊

₌

₌

#e$inisi 1.11

Peubah acak  tipe kontinu dikatakan mempunyai fkp f " F % jika

1.

f " F %

≥

 0 ,

∀

 F

2.

f " F % dF

F

∫ 

 _{ 1}

ika  peubah acak tipe kontinu maka mempunyai sifat sebagai berikut

1. P "   F %  0

2. P " / %  f " F % dF

/

∫ 

C)nt)h +

(isalkan f " F %  kF , 0 H F H 1 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari . a% hitung k    b% hitung P "   0,$ % c% hitung P "  H 0,$ % d% hitung P "  G 0,3 % a'ab  a% k 1 2 1 kF 2 1 dF kF 2 1₀ 1 0

=

=

=

∫ 

 atau k  2  b% P "   0,$ %  0 c% P "  H 0,$ %  0,$ 2 0,$₀ 0

2F

dF

=

 F

∫ 

 " 0,$ %2 _{6 0  0,2$} d% P "  G 0,3 %  0,31 2 1 0,32FdF

=

 F

∫ 

  1 6 " 0,3 %2 _{ 1 6 0,0:  0,:1}

1.5 Fungsi #istriusi 8 #istriusi !umulati$ 

(isalkan peubah acak  mempunyai fkp f " F %, dan F adalah bilangan real sehingga

P " / %  P " 

∈

/ %  P " 

≤

 F %, maka peluang seperti di atas disebut distribusi kumulatif  dari peubah acak  yang dinotasikan D " F %.

#e$inisi 1.1%

ika peubah acak  mempunyai fkp f "F % maka distribusi kumulatif dari  adalah

1.

D " F %  f " y %

y F

∑

_{, jika  diskret}

2.

D " F % 

∫ 

_yF f " y % dy , jika  kontinu

C)nt)h +

Ientukan distribusi komulatif dari peubah acak yang mempunyai pdf sebagai berikut  1. f " F %  1 untuk 0 H F H 1 dan nol untuk yang lain

2. f" F %  e-F _{untuk F G 0 dan nol untuk yang lain}

3. f" F %  3 1

 untuk F  1 , 2, 3 dan nol untuk yang lain

*. f " F %  # F

 untuk F  1 , 2 , 3 dan nol untuk yang lain 9aa + 1. D " F % 

∫ 

=

 x  x 0 0 y dy  F untuk 0 H F H 1 1.10 E&se&tasi Matemati& 

alah satu dari sekian banyak penggunaan konsep dalam problem distribusi peubah acak  adalah ekspektasi matematik. (isalnya  adalah peubah acak yang mempunyai fkp f " F % dan misalnya u " F % adalah fungsi dari F sehingga

∫ 

u " F % f " F % dF ada untuk  kontinu dan

∑

u " F % f " F %

 ada jika  diskret. Cntegral dan jumlahan di atas disebut ekspektasi matematik, yang dinotasikan J K u " F % L.

#e$inisi 1.1'

ika peubah acak  mempunyai fkp f " F % maka J "  % disebut mean dari peubah acak  dan J "  - J "  % %2 _{dinamakan Earians atau ragam, ditulis Ear "  %.}

(e)rema 1.10 J "  - J "  % %2 _{ J " }2 _{% - " J "  % %}2 (e)rema 1.11

1.

J " a  %  a J "  %

2.

J "  7 a %  J "  % 7 a

3.

Ear " a  %  a2 _{Ear "  %}

*.

Ear "  7 a %  Ear "  % 12

#e$inisi 1.1, + M)ment Generating Functi)n 6 MGF7

Dungsi pembangkit momen dari peubah  yang mempunyai fkp f " F % adalah J

 " e

tF

 _%

 _,

 - h H t H h untuk h bilangan real positif, yang dinotasikan ( " t %.

(e)rema 1.1%

ika peubah acak  mempunyai fungsi pembangkit momen ( " t % maka ("n% _{" 0 %  J " }n _%.

#e$inisi

1.1-ika peubah acak  mempunyai mean

µ

 dan Earians

σ

2  _{sehingga J "  -}

µ

 _% 3 _{ada maka}

J "  - %3

3  µ 

σ  

 disebut kemencengan atau ske'ness.

#e$inisi 1.1

ika peubah acak  mempunyai mean

µ

 dan Earians

σ

2  _{sehingga J "  -}

µ

 _% * _{ada maka}

J "  - %*

*  µ 

σ  

 disebut keruncingan atau kurtosis.

1.11 Pertida&samaan Che2shev

&alam bagian ini akan dibahas tentang teorema yang dapat digunakan untuk menghitung  peluang suatu peubah acak jika tidak diketahui fkp nya, tetapi diketahui mean dan

Eariansnya saja.

(e)rema 1.1'

(isalkan u "  % fungsi non negatif dari peubah acak . ika J " u "  % % ada maka untuk 

setiap konstanta c berlaku P " u "  %

≥

 c %

≤

J " u "  % %

c .

(e)rema 1.1, 6 (e)rema Che2shev 7

(isalkan peubah acak  mempunyai distribusi peluang dengan mean

µ

 dan Earians

σ

2 _.

(aka untuk setiap k G 0 berlaku P "



  -

µ  ≥

k

σ

%

≤

 1< k 2 _atau

P "



  -

µ 

M k

σ

%

≥

1 - 1< k 2 _.

:)al ; s)al latihan

1.

Buktikan a .

n

i

i 2 0

n

 

 



 

 

 

∑

  2 n b.

i

n

i

 n 2

i  1

n

n - 1













∑

2.

Buktikan 1 n F n n  1 ∞

∑

  - log " 1 - F % , - 1 H F H 1

3.

Buktikan a. i k  i=

∑

1  = k " k 7 1 % b . i2 k  i=

∑

1   1<# k " k 7 1 % " 2k 7 1 %

*.

ika / dan B suatu kejadian maka buktikan

a.

P " /

∩

 B N %  P " / % - P " /

∩

 B %

 b.

P " /

∪

 B %  1 - P " /?

∩

 B? %

$.

(isalkan P " / %  P " B %  1<3 dan P " /

∩

 B %  1<10. +itung

a.

P " B? %

 b.

P /

∪

 B? %

c.

P " B

∩

 /? %

d.

P " /?

∪

 B? %

#.

(isalkan P " / %  = , P " B %  1<; , dan P "  %  > , dengan / , B , dan  saling lepas. +itung

a.

P " /

∪

 B

∪

  %

 b.

P " /?

∩

 B?

∩

 ? %

8.

ntuk bilangan bulat positif n G r , buktikan

a.

n

r

2

n

n - r

























 b.

n

r

2

n - 1

r- 1

7

n- 1

r





































;.

Peubah acak tipe diskret mempunyai

a.

f " F %  k " = %F _{, F  1, 2, 3 dan nol untuk yang lain . Ientukan nilai k agar f " F %}

merupakan fkp.

 b.

/pakah fungsi yang berbentuk f " F %  k K " = % F _{- = L , untuk F  0, 1, 2 merupakan fkp }

:.

Peubah acak tipe diskret  mempunyai fkp f " F %  c " ; - F % , untuk F  0, 1, 2, 3, *, $ dan nol

untuk yang lain.

a.

Ientukan konstanta c

 b.

Ientukan distribusi komulatifnya

c.

+itung P "  G 2 %

d.

+itung J "  %

10.

Peubah acak  mempunyai distribusi komulatif D " F %  1 - " = % F 7 1 _{, F  0, 1, 2, 4 dan}

nol untuk yang lain.

a.

Ientukan fkp dari 

 b.

+itung P " 10 H 

≤

 20 %

c.

+itung P "  genap %

11.

(isalkan peubah acak diskret  memenuhi sifat P "   F % G 0, jika F  1, 2, 3 atau * dan P "   F %  0, untuk yang lain. (isalkan distribusi komulatif

D " F %  0.0$ F " 1 7 F % untuk nilai F  1, 2, 3, atau *.

a.

Buat grafik dari distribusi komulatifnya

 b.

Buat grafik dari fkp-nya

c.

+itung J "  %

12.

Peubah acak  tipe kontinu mempunyai fkp f " F %  c " 1 - F % F 2 _{, jika 0 H F H 1 dan nol}

untuk yang lain.

a.

Ientukan konstanta c

 b.

+itung J "  %

13.

uatu fungsi f " F % mempunyai bentuk sebagai berikut f " F %  k F - " k 7 1 % _{, jika F G}

1, dan nol untuk yang lain.

a.

ntuk nilai k yang mana agar f " F % merupakan fkp .

 b.

Ientukan distribusi komulatif berdasar hasil a.

c.

ntuk nilai k yang mana agar J "  % ada .

1*.

Ientukan fkp dari suatu peubah acak jika diketahui distribusi komulatifnya adalah

a.

D " F %  " F 2 _{7 2 F 7 1 % < 1# O -1}

≤

 _F

≤

 _3.

 b.

D " F %  1 - e -λ F _-

λ

 _{F e} -λF _{O F}

≥

 _{0 O}

λ

 _{G 0.}

1$.

Peubah acak  mempunyai distribusi komulatif D " F % 

F< 2 , 0 H F 1

F - 1< 2 , 1 H F 3< 2

≤

≤







a.

Buat grafik dari D " F %

 b.

Buat grafik dari f " F %

c.

+itung P " 

≤

 = %

d.

+itung P " 

≥

 = %

e.

+itung P "  H 1,2$ %

1#.

Peubah acak  tipe kontinu mempunyai fkp f " F %  2F < :, 0 H F H 3 , dan nol untuk yang lain.

a.

Ientukan distribusi komulatif dari 

 b.

+itung P "  H 2 %

c.

+itung P " - 1 H  H 1,$ %

d.

Ientukan m sehingga P " 

≤

 m %  P " 

≥

 m %

e.

+itung J "  %

18.

Peubah acak  mempunyai fkp f " F % 

F , jika 0 H F 1

, jika 1 H F

2

, untuk yang lain

2

_≤

≤











2 3

0

<

a.

Ientukan median dari 

 b.

Buat grafik dari distribusi komulatif dari 

1;.

(isalkan peubah acak  untuk F G 0 tipe kontinu dengan fungsi distribusi D " F % dan J

"  % ada. Buktikan J "  %  (1− )

∞

∫ 

 D " F % dF

0

1:.

)unakan pertidaksamaan hebycheE untuk menentukan batas ba'ah P

" $<; H  H 8<; % jika  mempunyai fkp f " F %  3 F 2 _{, 0 , F H F H 1}

20.

ika /1, /2, 444.. merupakan himpunan-himpunan sehingga /k 

⊂

 /k 7 1 untuk k 

1, 2, 44 dan

k

lim /

_k 

→ ∞

 didefinisikan sebagai union dari /1

∪

 /2

∪

 /3

∪

 44.. , maka

tentukan

k

lim /

_k 

→ ∞

 jika

a.

/k   @ F < 1<k

≤

 F

≤

 3 - 1<k A , k  1, 2, 3, 444

 b.

/k   @ " F , y % < 1<k

≤

 F2 7 y2

≤

 * - 1<k A , k  1, 2, 3, 44.

21. ika /1, /2, 444.. merupakan himpunan-himpunan sehingga /k 

⊃

 /k 7 1 untuk k  1, 2,

44 dan

k

lim /

_k 

→ ∞

didefinisikan sebagai interseksi dari /1

∩

 /2

∩

 /3

∩

44.. , maka tentukan

k

lim /

_k 

→ ∞

 jika

a.

/k   @ F < 2 - 1<k

≤

 F

≤

 2 A , k  1, 2, 3, 444

 b.

/k   @ F < 2 H F

≤

2 7 1<k A , k  1, 2, 3, 44.

c.

/k   @ " F , y % < 0

≤

 F2 7 y2

≤

1<k A , k  1, 2, 3, 44.

22.

(isalkan f " F %  F<1$ , F  1, 2, 3, *, $ dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari  peubah acak . Ientukan a% P "   1 atau   2 % b % P " = H  H $<2 %

23.

ntuk setiap fkp di ba'ah ini hitung P "



 



H 1 % dan P "  2 _{H : %}

a.

f " F %  F 2_{<1; , -3 H F H 3 , dan nol untuk yang lain}

 b.

f " F %  " F 7 2 % < 1; , - 2 H F H * , dan nol untuk yang lain

2*.

(isalkan f " F , y %  * Fy , 0 H F H 1 , 0 H y H 1 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp  bersama antara  dan 9. Ientukan P " 0 H  H = , > H 9 H 1 % dan P "   9 %.

2$.

(odus dari distribusi suatu peubah acak  adalah nilai F yang memaksimumkan fkp f  " F %. &ari fkp berikut tentukan modusnya

a.

f " F %  " = % F _{, F  1, 2, 3, 4444.. ,dan nol untuk yang lain}

 b.

f " F %  12 F 2 _{" 1 - F % , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain}

c.

f " F %  " = % F 2_e- F _{, F G 0 , dan nol untuk yang lain}

2#.

(edian dari distribusi suatu peubah acak  adalah nilai F sehingga P "  H F %

≤

= dan P " 

≤

F %

≥

  =. Ientukan median dari masing - masing distribusi yang mempunyai fkp  berikut 

a.

f " F %  *5

(

)

F 5 " * - F % 5 1< * " 3 < * %

* - F

 x

, F  0, 1, 2, 3, *, dan nol untuk yang lain.

 b.

f " F %  3 F 2 _{, 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.}

c.

f " F %  1 ∏ ∞ ∞  " 1 7 F % , - H F H 2 .

28.

(isalkan f " F % merupakan fkp dari peubah acak . Ientukan fungsi distribusi " distribusi komulatif % D " F % dan buat grafiknya dari fkp berikut.

a.

f " F %  1 , F  0 , dan nol untuk yang lain.

 b.

f " F %  1<3 , F  -1, 0, 1 , dan nol untuk yang lain.

c.

f " F %  F<1$ , F  1, 2, 3, *, $ dan nol untuk yang lain.

d.

f " F %  3 " 1 - F 2 _{% , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.}

e.

f " F %  1<F 2 _{, F G 1 , dan nol untuk yang lain.}

f.

f " F %  1<3 , 0 H F H 1 atau 2 H F H * , dan nol untuk yang lain.

2;.

(isalkan f " F %  1 , 0 H F H 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari . Ientukan fungsi distribusi dan fkp dari 9 

√

 .

2:.

(isalkan f " F %  F<# , F  1, 2, 3 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari . Ientukan fungsi distribusi dan fkp dari 9   2_.

30.

(isalkan  dan 9 mempunyai fkp f " F , y %  1 , 0 H F H 1 , 0 H y H 1, dan nol untuk yang lain. Ientukan fkp dari   9.

31.

(isalkan peubah acak  mempunyai fkp f " F %  " F 7 2 % <1; , -2 H F H * , dan nol untuk  yang lain. Ientukan J "  % , J K "  7 2 % 2 _{L, dan J K #  - 2 "  7 2 %} 3 _L.

32.

(isalkan fkp bersama antara  dan 9 adalah f " F, y %  e -F - y _{, F G 0 , y G 0 , dan nol untuk} 

yang lain. /mbil u "  , 9 %   , E "  , 9 %  9, dan ' "  , 9 %  9 . Buktikan J Ku "  , 9 % L. J KE "  , 9 % L  J K' "  , 9 % L.

33.

(isalkan peubah acak  tipe kontinu mempunyai fkp f " F %. ika m adalah median yang tunggal dari  dan b konstanta real , maka buktikan

J "



  - b



 %  J "



  - m



 % 7 2 " b - F % f " F % dF

m  b

∫ 

3*.

(isalkan peubah acak  memenuhi sifat J K "  - b % 2 _{L ada untuk semua b. Buktikan J K "}

 - b %2 _{L minimum jika b  J "  %.}

3$.

(isalkan peubah acak  mempunyai mean

µ

 dan Earians

σ

2 _{sehingga J K "  -}

µ

 _% 3 _{L ada}

maka J K "  -

µ

% 3 _L<

σ

3  _{dinamakan ukuran kemiringan " ke'ness %. Ientukan ukuran}

kemiringan dari distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut.

a.

f " F %  " F 7 1 % < 2 , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.

 b.

f " F %  = , -1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.

c.

f " F %  " 1 - F % < 2 , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.

3#.

(isalkan peubah acak  mempunyai mean

µ

 dan Earians

σ

2 _{sehingga J K "  -}

µ

 _% * _{L ada}

maka J K "  -

µ

% * _L<

σ

*  _{dinamakan ukuran keruncingan " urtosis %. Ientukan ukuran}

keruncingan dari distribusi yang mempunyai fkp sebagai berikut.

a.

f " F %  = , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.

 b.

f " F %  3 " 1 - F 2 _{% < * , - 1 H F H 1 , dan nol untuk yang lain.}