Defleksi Balok Metode Moment Area

DEFLEKSI BALOK METODE LUASAN

DEFLEKSI BALOK METODE LUASAN

BIDANG MOMEN

BIDANG MOMEN

MATERI #9 ANALISA STRUKTUR 1

MATERI #9 ANALISA STRUKTUR 1

TIM DOSEN

TIM DOSEN

DR. IR. WINDU PARTONO, M.Sc

DR. IR. WINDU PARTONO, M.Sc

DR. IR NUROJI, MT

DR. IR NUROJI, MT

HARDI WIBOWO, ST, M.Eng

HARDI WIBOWO, ST, M.Eng

DR.Eng SUKAMTA, ST, MT

Ad2 Metode Moment Area (Luasan

Ad2 Metode Moment Area (Luasan

Bidang Momen)

Bidang Momen)

  R R R R L L

Ad2 Metode Moment Area (Luasan

Ad2 Metode Moment Area (Luasan

Bidang Momen)

Bidang Momen)

  R R R R L L



Ini menyatakan bahwa simpangan singgung titik A pada kurva elastis dari garis singgung di titik lain (titik B) yang  juga terdapat pada kurva elastis adalah sama dengan

momen statis (pertama) irisan terbatas dari diagram M/(EI) terhadap garis vertikal melalui A. Dalam banyak hal,

penytmpangan singgung itu sendiri tidaklah diingini oleh defleksi sebuah balok.

Kurva Elastis

Bid M

Garis a’-b’ sejajar dengan garis a-b. Jarak titik m-n = dx.

Jarak titik a-a’ = jarak titik b-b’ = dx.

m n dq dx x   y  A B M

r

dq

m

n

dx

a

a’ 

b

_b’ 

a” 

b” 

Pada batang yang melentur, serat atas

batang berubah panjang menjadi a-a” dan serat bawah menjadi b-b”.

Ix

*

E

M

r 

1

dx

d

r 

1

m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

Gambar balok yang mengalami lenturan akibat momen yang terjadi pada balok.

Pada bagian balok yang melentur diambil dua titik “m” dan “n yang terletak pada sumbu balok dengan jarak dx.

“d ” adalah beda sudut kemiringan lenturan pada titik m dan titik n.

“ AB” adalah beda

kemiringan antara titik A dan B.

EIx

M

dx

d

r 

1

)

1

(

dx

EIx

M

d

Untuk d yang sangat kecil, maka nilai M+ M M.

M*dx = luas bidang momen sejarak dx m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

dx

EIx

M

AB

dx

EIx

M

d

L

0

Berdasarkan dua garis singgung yang ditarik dari titik “m” dan “n”, kedua garis tersebut memotong garis vertikal di B sejarak “d ”. Sedangkan dua garis singgung pada titik A dan B memotong

m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

dx

EIx

x

*

M

dx

*

EIx

M

*

x

d

d

*

x

d

dx

EIx

M

d

m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

M*dx

 adalah luas bidang momen

M*dx*x

 adalah statis momen dari luasan bidang momen terhadap titik B.

dx

EIx

x

*

M

dx

*

EIx

M

*

x

d

d

*

x

d

dx

EIx

M

d

m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

Jarak vertikal ( ) yang dibentuk oleh dua garis singgung pada dua titik pada balok nilainya sama

L

0

dx

*

EIx

x

*

M

Untuk menghitung statis momen maka perlu

diketahui posisi dari titik berat penampang bidang (M/EIx).

Bidang momen pada umumnya berbentuk segitiga (akibat beban terpusat), lengkung parabola pangkat 2 (beban merata pada balok konsol) atau lengkung parabola pangkat tiga (akibat beban segitiga. m n dx x      y  A B d d r C’  C”        d AB M Bidang momen M+ M L

Penampang persegi luas b*h dan  jarak titik berat b/2.

b

        h

 A = ½*b*h

Titik berat

b/3

Penampang segitiga luas ½*b*h dan jarak titik berat 1/3*b.

 A = b*h

        h

b

b/2

Penampang parabola pangkat “2”.

 bh

3

2

A

luas

 b

8

3

 berat

titik 

 jarak 

Penampang parabola pangkat “2”.

 bh

3

1

A

luas

 b

4

1

 berat

titik 

 jarak 

b         h Titik berat 3/8b

 A = 2/3*b*h

b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Penampang parabola pangkat “n”.

 bh

)

1

n

(

n

A

luas

 bh

)

2

n

(

2

1

n

 berat

titik 

 jarak 

b         h Titik berat (1/(n+2))*b

Penampang parabola pangkat “n”.

 bh

)

1

n

(

1

A

luas

 b

)

2

n

(

1

 berat

titik 

 jarak 

b         h Titik berat 3/8b

 A = 2/3*b*h

Contoh 1

Mencari lendutan maksimum pada balok

kantilever akibat beban terpusat.

P

L

EIx

VA = P

MA = PL

B

Bidang momen dan bidang momen/EI.

P

L

EIx

VA = P

MA = PL

   M    A  =    P    L

-B

   P    L    /    E    I

-Bidang momen Bidang momen/EI Contoh 1

L

*

PL

*

2

1

B

B

Luas

 bidang

_EIx

momen

P

L

EIx

VA = P

MA = PL

   M    A  =    P    L

-B

   P    L    /    E    I

-Bidang momen Bidang momen/EI Contoh 1

EIx

PL

*

3

1

EIx

L

*

3

/

2

*

L

*

PL

*

2

1

B

B

3

EIx

B

titik 

terhadap

momen

statis

P

L

EIx

VA = P

MA = PL

   M    A  =    P    L

-B

   P    L    /    E    I

-Bidang momen Bidang momen/EI Contoh 1

Contoh 2 :

Mencari lendutan maksimum pada balok

kantilever akibat beban merata.

EIx

VA = qL

   M

   A

  =

   1

   /

   2

  q

   L

   2

_q

B

Contoh 2 :

Menggambar bidang momen dan bidang

momen/EI.

L

EIx

VA = qL

   M    A  =    1    /    2  q    L    2 Bidang momen

q

-   M    A  =    1    /    2  q    L    2

B

-   (    1    /    2  q    L    2   )    /    E    I Bidang momen/EI

Letak titik berat dari ujung balok (B) = 2/3*L

EIx

qL

*

6

1

EIx

L

*

3

/

1

*

qL

*

2

1

B

EIx

momen

 bidang

luas

B

3

2

L EIx VA = qL    M    A  =    1    /    2  q    L    2 Bidang momen q -   M    A  =    1    /    2  q    L    2 B -   (    1    /    2  q    L    2   )    /    E    I Bidang momen/EI Contoh 2 : b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Letak titik berat dari ujung balok (B) = 2/3*L

EIx

8

qL

L

4

3

*

EIx

qL

*

6

1

EIx

L

*

3

/

1

*

qL

*

2

1

B

B

4

3

2

EIx

B

titik 

terhadap

momen

statis

L EIx VA = qL    M    A  =    1    /    2  q    L    2 Bidang momen q -   M    A  =    1    /    2  q    L    2 B -   (    1    /    2  q    L    2   )    /    E    I Bidang momen/EI Contoh 2 : b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Contoh 3

Mencari lendutan maksimum pada balok dua

tumpuan akibat beban terpusat.

P

L/2

L/2

EIx

VA = P/2

VB = P/2

Gambar bidang momen dan bidang momen/EI.

P

L/2

L/2

EIx

PL/4

Bidang momen

VA = P/2

VB = P/2

C

PL/4EI

Bidang momen/EI Contoh 3

EIx

PL

*

16

1

EIx

2

L

*

4

PL

*

2

1

A

A

2

EIx

momen

 bidang

Luas

P

L/2

L/2

EIx

PL/4

Bidang momen

VA = P/2

VB = P/2

C

PL/4EI

Bidang momen/EI Contoh 3

EIx

PL

*

48

1

EIx

2

L

*

3

2

*

2

L

*

4

PL

*

2

1

C

c

3

EIx

c

titik 

terhadap

momen

statis

P

L/2

L/2

EIx

PL/4

Bidang momen

VA = P/2

VB = P/2

C

PL/4EI

Bidang momen/EI Contoh 3

Contoh 4

Mencari lendutan maksimum pada

balok akibat beban merata.

L/2

L/2

EIx

VA = ql/2

_{VB = ql/2}

q

C

A

B

Menggambar bidang momen dan

bidang momen/EI.

L/2 L/2

EIx

qL

2

 /8

Bidang momen

VA = ql/2

_{VB = ql/2}

q

C

A

B

qL

2

 /8EI

Bidang momen/EI

Letak titik berat dari tumpuan A = 5/8*L/2 = 5/16L

EIx

qL

*

24

1

EIx

2

L

*

qL

*

8

1

*

3

2

A

EIx

momen

 bidang

luas

A

3

2

L/2 L/2 EIx qL2 /8 Bidang momen VA = ql/2 _{VB = ql/2} q C A B

qL2 /8EI Bidang momen/EI Contoh 4 b         h Titik berat 3/8b

 A = 2/3*b*h

EIx

qL

384

5

L

16

5

*

EIx

qL

*

24

1

c

EIx

C

titik 

terhadap

momen

statis

4

3

L/2 L/2 EIx qL2 /8 Bidang momen VA = ql/2 _{VB = ql/2} q C A B

qL2 /8EI Bidang momen/EI Contoh 4 b         h Titik berat 3/8b

 A = 2/3*b*h

Contoh 5

Hitung perputaran sudut dan lendutan di titik B dan C

pada balok dengan ukuran penampang B = 100 cm dan H = 250 cm pada posisi tumpuan

20 ton

B

C

15

m

C

10

m

EIx

2EIx

E = 105 _kg/cm2 _{= 10}6 _ton/m2 I = 1/12*100*2503 _{= 130208333.3 cm}4 _{= 1.302083333 m}4

B

Gambar Bidang Momen dan Bidang

Gambar Bidang Momen dan Bidang Momen/EIMomen/EI

20 ton

20 ton

A

A

B

B

_C

_C

1

15

5

m

m

C

C

1

10

0

m

m

B

B

--

200 tonm

200 tonm

500 tonm

500 tonm

EIx

EIx

2EIx

2EIx

200/EIx

200/EIx

250/EIx

250/EIx

Bidang Bidang momen momen Bidang Bidang momen/EI momen/EI

100/EIx

100/EIx

Contoh 5 Contoh 5

Perhitungan perputara

Perhitungan perputaran sudut pada n sudut pada titik B:titik B:

rad rad 002016 002016 .. 0 0 2625 2625 1 155 1 15500 2 2 1 1 1 155 1 10000 EI EI 1 1 B B B B 20 ton 20 ton A A BB _CC 1 155 mm

C

C

1100 mm

B

B

-- 200 tonm200 tonm 500 tonm 500 tonm EIx EIx 2EIx 2EIx 200/EIx 200/EIx 250/EIx 250/EIx Bidang Bidang momen momen Bidang Bidang momen/EI momen/EI 100/EIx 100/EIx Contoh 5 Contoh 5

Perhitungan lendut

Perhitungan lendutan pada titik an pada titik BB

m

m

01296

01296

..

0

0

16875

16875

5

5

*

*

1

15

5

*

*

1

15

50

0

*

*

2

2

1

1

5

5

..

7

7

*

*

1

15

5

*

*

1

10

00

0

EI

EI

1

1

B B B B 20 ton 20 ton A A BB _CC 1 155 mm

C

C

1100 mm

B

B

-- 200 tonm200 tonm 500 tonm 500 tonm EIx EIx 2EIx 2EIx 200/EIx 200/EIx 250/EIx 250/EIx Bidang Bidang momen momen Bidang Bidang momen/EI momen/EI 100/EIx 100/EIx Contoh 5 Contoh 5

rad

002784

.

0

3625

10

*

200

*

2

1

15

*

150

*

2

1

15

*

100

EI

1

C C 20 ton A B _C 15 m

C

10 m

B

- 200 tonm 500 tonm EIx 2EIx 200/EIx 250/EIx Bidang momen Bidang momen/EI 100/EIx

Perhitungan perputaran sudut pada titik C: Contoh 5

m

04256

.

0

EI

667

.

55416

3

/

20

*

10

*

200

*

2

1

10

10

*

15

*

150

*

2

1

10

5

.

7

*

15

*

100

EI

1

C C 20 ton A B _C 15 m

C

10 m

B

- 200 tonm 500 tonm EIx 2EIx 200/EIx 250/EIx Bidang momen Bidang momen/EI 100/EIx

Perhitungan lendutan pada titik C Contoh 5

Contoh 6

Hitung perputaran sudut di titik B dan C dan lendutan pada titik C dengan nilai EI konstan

P=8ton

6 m

EIx

C

q=1ton/m

6 m

B

Contoh 6

Gambar bidang momen/EI akibat beban P dan beban q

P=8ton

6 m

EIx

      4       8       /       E       I

-C

-      7       2       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

Bidang momen/EI akibat beban P

q=1ton/m

6 m

B

Contoh 6 _P=8ton 6 m EIx       4       8       /       E       I -C -      7       2       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

Bidang momen/EI akibat beban P

q=1ton/m 6 m B

EI

432

72

*

12

*

3

/

1

48

*

6

*

2

/

1

EI

1

C C b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Contoh 6 _P=8ton 6 m EIx       4       8       /       E       I -C -      7       2       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

Bidang momen/EI akibat beban P

q=1ton/m 6 m B

EI

4032

12

*

4

/

3

*

72

*

12

*

3

/

1

)

4

6

(

*

48

*

6

*

2

/

1

EI

1

C C b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Contoh 6

EI

396

18

*

6

*

3

/

1

72

*

12

*

3

/

1

48

*

6

*

2

/

1

EI

1

B B b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h P=8ton 6 m EIx       4       8       /       E       I -C -      7       2       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

Bidang momen/EI akibat beban P

q=1ton/m

6 m B

Contoh 6

EI

396

6

*

18

36

*

6

*

2

/

1

18

*

6

*

3

/

1

48

*

6

*

2

/

1

EI

1

B B b         h Titik berat 1/4b  A = 1/3*b*h

Untuk mencari perputaran sudut pada titik B juga dapat dilakukan dengan pendekatan sbb:

P=8ton 6 m EIx C q=1ton/m 6 m B Q=6ton M=18tonm       4       8       /       E       I

-Bidang momen/EI akibat beban P

-      1       8       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

      3       6       /       E       I

-Bidang momen/EI akibat beban Q

      E       I

Bidang momen/EI akibat beban M

M dan Q adalah Momen dan Gaya Lintang pada titik B

Contoh 6

EI

1494

3

*

6

*

18

4

*

36

*

6

*

2

/

1

5

.

4

*

18

*

6

*

3

/

1

4

*

48

*

6

*

2

/

1

EI

1

B B

Untuk mencari lendutan pada titik B juga dapat dilakukan dengan pendekatan sbb: P=8ton 6 m EIx C q=1ton/m 6 m B Q=6ton M=18tonm       4       8       /       E       I

-Bidang momen/EI akibat beban P

-      1       8       /       E

      I Bidang momen/EI akibat beban q

      3       6       /       E       I

-Bidang momen/EI akibat beban Q

      E       I

Bidang momen/EI akibat beban M

M dan Q adalah Momen dan Gaya Lintang pada titik B

b

        h

Titik berat

1/4b

Contoh :

Diketahui : struktur balok sederhana dengan overstek sebagai berikut :

EI = 20000 TM2 Hitung :  _A  _C  _D

Contoh :

A

B

2 m

4

m

4

m

P=16ton

q=4ton/m

D

C

Jawab

Jawab

A B 2 m 4 m 4 m P=16ton q=4ton/m VA = 7 ton VB = 17 ton 7 7 9 9 8 + ₊ -8 28 + -D C 28/9 8/9

Jawab

A B 2 m 4 m 4 m P=16ton q=4ton/m VA = 7 ton VB = 17 ton 7 7 9 9 8 + ₊ -8 28 + -D C 28/9 8/9       f       b       f     c

B. Cara 2: Penguraian Beban • M B = 0 A_V.8 + 6.2 –  3.8.4 = 0 A_V = 10,5 T • M A = 0 -BV.8 + 6.10 + 3.8.4 = 0 B_V = 19,5 T • V = 0 3.8 + 6 =10,5 + 19,5 30 = 30 Ok

Mmax dicapai pada D = 0, yaitu pada titik sejauh X dari A D = AV – q.X = 0

10,5 –  _{3.X = 0}

X = 3,5 m

Latihan

Diketahui : struktur balok sederhana dengan overstek sebagai berikut : q = 3 T/M , P = 6T EI = 20.000 TM2 Hitung : A B C max

TABEL DEFLEKSI DAN PUTARAN SUDUT BERBAGAIMACAM BALOK

Table 1. _{Deflections and slopes of cantilever beams}

v= deflection in the y direction (positive upward)

dv/d x = slope of the deflection curve

δ _B = -v( L) = deflection at end B of the beam (downward)

θ B =

angle of rotation at end B of the beam (clockwise)

 EI  = constant 1

2

5

8

9

Table 2. Deflections and slopes of simple beams

v= deflection in the y direction (positive upward)

dv/d x = slope of the deflection curve

δC  = -v( L/2) = deflection at midpoint C of

the beam (downward)

 x1 = distance from support A to

 point of maximum deflection

δmax = -vmax = maximum deflection (downward)

θ A =

angle of rotation at left-hand end of the beam (clockwise)

θ B =

angle of rotation at right-hand end of the beam (counterclockwise)

1

4

6

9

11