CERMAT
Cerdas Matematika
MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
MATEMATIKA
KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI
TINGKAT XI SEMESTER GASAL
Disusun oleh :
Dirwanto
Nama Siswa : ………
N I S
: …...……….
KATA PENGANTAR
Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XI semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri.
Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar bagi siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Modul dan LKS ini juga dapat dijadikan sebagai alat unt uk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar.
Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun 2006 yang isinya mencakup :
* Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal
* Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian
* Ulangan Umum Semester
Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini.
Jakarta, Mei 2009 Penyusun
STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI
TINGKAT XI (SEBELAS) KURIKULUM 2006
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar
8. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat
8. 1 Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
8. 2 Menerapkan konsep fungsi linier 8. 3 Menggambarkan fungsi kuadrat 8. 4 Menerapkan konsep fungsi kuadrat 8. 5 Menerapkan konsep fungsi eksponen 8. 6 Menerapkan konsep fungsi logaritma 8. 7 Menerapkan konsep fungsi trigonometri
9. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
9. 1 Mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan
9. 2 Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 9. 3 Menerapkan konsep barisan dan deret geometri
10. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua
10. 1 Mengidentifikasi sudut
10. 2 Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar
10. 3 Menerapkan transformasi bangun datar 11. Menentukan kedudukan,
jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga
11. 1 Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya
11. 2 Menghitung luas permukaan
11. 3 Menerapkan konsep volume bangun ruang 11. 4 Menentukan hubungan antarunsur-unsur dalam
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar
12. Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah
12. 1 Menerapkan konsep vektor pada bidang datar 12. 2 Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
13. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang
13. 1 Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi
13. 2 Menghitung peluang suatu kejadian
14. Menerapkan aturan konsep statistik dalam pemecahan masalah
14. 1 Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi, dan sampel
14. 2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram
14. 3 Menentukan ukuran pemusatan data 14. 4 Menentukan ukuran penyebaran data
15. Menerapkan konsep irisan kerucut dalam
memecahkan masalah
15. 1 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran
15. 2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola
15. 3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips
15. 4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ……….. 1
STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR ………. 2
DAFTAR ISI ………... 4
KOMPETENSI 8 MENERAPKAN KONSEP FUNGSI ……….…………. 6
8.1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi ..………. 6
8.2. Menerapkan konsep fungsi linear ……….………. 9
8.3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat ………. ..……… 16
8.4. Menerapkan konsep fungsi eksponen .……… 21
8.5. Menerapkan konsep fungsi logaritma ………. 24
8.6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri ……… 27
KOMPETENSI 9 BARISAN DAN DERET ………... 32
9.1. Mengaplikasikan pola, barisan dan deret bilangan ……….. 32
9.2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika ……… 36
9.3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri ………. 42
KOMPETENSI 10 GEOMETRI DIMENSI DUA ……… 50
10.1 Mengidentifikasi sudut ………. 50
10.2. Menentukan keliling dan luas daerah bangun datar ……….. 55
10.3. Menerapkan transformasi bangun datar ……… 62
KOMPETENSI 11 GEOMETRI DIMENSI TIGA ……….. 74
11.1. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya ……… 74
11.2. Menghitung luas permukaan bangun ruang ………. 77
11.3. Menerapkan konsep volume bangun ruang ………. 88
11.4 Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang . 95 LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER GASAL ……… 101
DAFTAR PUSTAKA ………. 106
KOMPETENSI 8
MENERAPKAN KONSEP FUNGSI
APPLY FUNCTION CONCEPT
Standar Kompetensi : 8. Menerapkan Konsep Fungsi
Kompetensi Dasar : 8.1. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi 8.2. Menerapkan konsep fungsi linier
8.3. Menerapkan konsep fungsi kuadrat 8.4. Menerapkan konsep fungsi eksponen 8.5. Menerapkan konsep fungsi logaritma 8.6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri Alokasi waktu : 30 jam pelajaran
Dilaksanakan pada : Minggu ke 1 s.d. 5 Tujuan Pembelajaran Umum :
Siswa dapat menerapkan konsep dasar fungsi dan grafik dalam memecahkan permasalahan pada pelajaran matematika, maupun dalam pelajaran lainnya.
8.1. Perbedaan Konsep Relasi dan Fungsi
8.1. D ifference of Relationship Concept and Function
Indikator : 1. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas 2. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan contohnya Tujuan : Siswa dapat
1. Membedakan pengertian relasi dan fungsi 2. Menentukan daerah asal (domain) 3. Menentukan daerah kawan (kodomain) 4. Menentukan daerah hasil (range)
5. Membedakan jenis -jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif) Uraian Materi :
1. Pengertian fungsi, daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil
1. Understanding of function, area, closed friend area and area result of
Fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B
A B A = {a , b , c , d} disebut daerah asal atau domain
a 1 B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} disebut daerah kawan atau kodomain b 2 Semua anggota B yang mendapat kawan di A disebut c 3 daerah hasil atau range R = {1 , 2 , 3 , 4}
d 4 5
Contoh :
Tentukan pemetaan atau bukan :
1 a 1 a 1 a 2 b 2 b 2 b 3 c 3 c 3 c d 4 d 1 2 3 Jawab : Gambar 1 : pemetaan Gambar 2 : bukan pemetaan Gambar 3 : bukan pemetaan
2. Menyatakan sebuah fungsi
2. Expressing a Function
Fungsi dapat dinyatakan dengan notasi, diagram panah, grafik Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh :
Diketahui f = x ? 2x + 1. Jika domainnya {x | -2 = x = 2, x ∈ B} dan kodomainnya x ∈ B. Tentukan :
a. Daerah hasil c. Grafik Cartesius
b. Diagram panah d. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab :
a. Daerah hasil (range) c. Diagram Cartesius
D = {-2, -1, 0, 1, 2} 5 y K = {-2, -1, 0, 1, 2, ….} f = x ? 2x + 1 f (x) = 2x + 1 3 f (-2) = 2 (-2) + 1 = -3 f (-1) = 2 (-1) + 1 = -1 f (0) = 2 (0) + 1 = 1 1 f (1) = 2 (1) + 1 = 3 f (2) = 2 (2) + 1 = 5 -2 -1 0 1 2 x Daerah hasil R = {-3, -1, 1, 3, 5} -1 b. Diagram panah f = x ? 2x + 1 A B -3 -2 -3
-1 -1 d. Himpunan pasangan berurutan :
0 1 {(-2, -3), (-1, -1), (0, 1), (1, 3), (2, 5)}
1 3
Soal laihan :
1. Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram panah a. f : x → 3x – 2 dengan daerah asal (1, 2, 3, 4, 5)
b. f : x → x2 – 1 x adalah empat bilangan asli genap pertama c. f : x → x3 – 4 dengan daerah asal (–2, 2, 3)
Jawab :
... 2. Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram kartesius
a. f : x → 3x – 2 x ∈ R, – 3 ≤ x ≤ 3 b. f : x → 5 – 2x x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 5 c. f : x → 5x – 4 x ∈ R, – 1 ≤ x ≤ 2 Jawab :
... 3. Buatlah notasi fungsi dari diagram panah berikut ini.
a. –3 9 16 4 25 6 36 b. – 2 –6 1 –3 3 –1 0 c. – 1 –8 – 2 –1 0 3 27 Jawab : ...
8.2. Menerapkan Konsep Fungsi Linear
8.2. Apply the Concept of Linear Function
Indikator : 1. Fungsi linier digambar grafiknya
2. Fungsi linier ditentukan persamaannya jika diketahui koordinat titik atau gradien atau grafiknya.
3. Fungsi invers ditentukan dari suatu fungsi linier Tujuan : Siswa dapat :
1. Membahas contoh fungsi linier 2. Membuat grafik fungsi linier.
3. Menentukan persamaan grafik fungsi leinear yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya. 4. Menemukan syarat hubungan dua grafik fungsi linier saling sejaja r dan
saling tegak lurus
5. Menentukan invers fungsi linier dan grafiknya Uraian Materi :
1. Grafik fungsi linear
1. Linear function graph
Bentuk umum grafik fungsi linear adalah :
f (x) = ax + b atau y = ax + b, dimana a, b ∈ R. Contoh :
Gambar gafik fungsi y = 2x – 4 Penyelesaian :
a Dengan tabel :
x 0 1 2 3 4
y -4 -2 0 2 4
b. Dengan titik potong
Titik potong dengan sumbu x ? y = 0 Titik potong dengan sumbu y ? x = 0
y = 2x – 4 y = 2x – 4
0 = 2x – 4 y = 2 . 0 - 4
2x = 4 y = -4
x = 2 titik potong dengan sumbu y dititik (0, -4)
titik potong dengan sumbu x di titik (2, 0) 1 2 3 4 4 2 0 -2 -4 x y
Gradien
Gradien adalah angka kemiringan dari grafik terhadap sumbu x positif. Notasi gradien adalah "m".
Gradien garis OP m = 1 1 x y atau m = tan α Contoh : 1. Gradien garis OA : m = 1 1 x y = 3 2 2. Gradien garis AB : m = 1 2 1 2 x x y y − − = 1 5 2 4 − − = 2 1
Jika m = 0, grafik sejajar sumbu x
Jika m > 0, grafik miring ke kanan (0 < α < 90o) Jika m < 0, grafik miring ke kiri (90< α < 180o)
2. Menentukan persamaan garis melalui satu titik P(x1, y1) dengan gradien m
2. Determining equation of line through one dot of P( x1, y1) with gradien m
Rumus : y – y1
= m (x – x
1) atau y = mx – mx
1+ y
1 Contoh :1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (4, -2) dengan m = 2 Jawab :
y – y1 = m (x – x1)
y – (-2) = 2 (x – 4) y = 2x – 8 – 2 y = 2x – 10
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik Q(3, 5) dengan m = – 3 Jawab : y = mx – m x1 + y1 = –3x – (–3).(3) + 5 = –3x + 9 + 5 y = –3x + 14 α x y P(x1, y1) O x y 2 3 A(3, 2) x y 5 1 4 2 A(1, 2) B(5, 4)
3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2)
3. Determining equation of line through two dot of P(x1, y1) and Q(x2, y2)
Rumus : 1 2 1 1 2 1
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
atau y – y1= m (x – x
1) dengan m =
1 2 1 2 x x y y − − Contoh :1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, -1) dan B (3, 5) Jawab : m = 1 2 1 2 x x y y − − = 2 3 ) 1 ( 5 − − − = 1 6 = 6 y – y1 = m (x – x1) y – (-1) = 6 (x – 2) y = 6x – 12 – 1 y = 6x – 13
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik C(1, 2) dan D(2, – 3) Jawab : 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y − − = − − 1 2 1 2 3 2 − − = − − − x y → 1 1 5 2 − = − − x y y – 2 = – 5(x – 1) y = –5x + 5 + 2 y = –5x + 7
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(– 4, 3) dan Q(2, 1) Jawab : 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y − − = − − ) 4 ( 2 ) 4 ( 3 1 3 − − − − = − − x y → 6 4 2 3 + = − − x y 6y – 18 = – 2x – 8 2x + 6y = 18 – 8 2x + 6y = 10 → x + 3y = 5
4. Sudut antara dua garis
4. Angle between two line
Jika diketahui persamaan garis y = m1x + n1 dengan gradien m1 dan persamaan y = m2x + n2 ,
dengan gradien m2 seperti terliohat pada gambar
0 x
Maka besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut adalah :
tg α = 2 1 2 1 m . m 1 m m + −
(sudut yang dimaksud adalah sudut yang kecil) Contoh :
Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis y = 2x – 4 dan y = x + 3. Penyelesaian : m1 = 2 dan m2 = 1 tg α = 2 1 2 1 m . m 1 m m + − = 1 . 2 1 1 2 + − = 3 1 α = 18,4o
5. Persamaan garis yang melalui titik P (x1, y1) dan sejajar garis y = ax + b
5. Equation of line which passing dot of P(x1, y1) and parallel line of y = ax b
Sebuah garis dengan gradien m1 dikatakan sejajar dengan garis lain yang bergradien m2
jika m1 = m2
Rumus : y – y1 = m (x – x1) dengan m = a
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar garis y = 3x + 1 Jawab : x1 = 2 ; y1 = 3 dan m = 3 y – y1 = m (x – x1) y – 3 = 3 (x – 2) y = 3x – 6 + 3 y = 3x – 3
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1, -2) dan sejajar garis 2x – y = 4 Jawab : 2x – y = 4 → y = 2x – 4 x = 1 ; y = -2 ; m = 2 0 x α y y = m1x + n1 y = m2x + n2
y – (-2) = 2 (x – 1) y + 2 = 2x – 2 2x – y – 2 – 2 = 0 2x – y – 4 = 0 Atau dengan cara lain :
Persamaan garis : ax + by = c → garis sejajar : ax + by = a(x1) + b(y1)
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan sejajar garis 2x + 5y = 10 Jawab :
2x + 5y = 2.(3) + 5.(2) 2x + 5y = 6 + 10 2x + 5y = 16
2. Tentukan persamaan garis yang melalaui titik (–2, 1) dan sejajar garis 3x – 4y = 24 Jawab :
3x – 4y = 3.(– 2) – 4.(1) 3x – 4y = – 6 – 4 3x – 4y = – 10
6. Persamaan garis yang melalui titik Q(x1, y1) dan tegak lurus garis y = ax + b
6. Equation of line which passing dot of Q(x1, y1) and vertical line of y = ax + b
Sebuah garis dengan gradien m2 akan tegak lurus dengan garis dengan gradien m1, jika
m2 = – 1 m 1 . Rumus : y – y1 = m 1 − (x – x1) dengan m = a Contoh :
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -1) dan tegak lurus garis y = 2x + 3 Jawab : x1 = 2 ; y1 = -1 ; m = 2 y – y1 = m 1 − (x – x1) y – (-1) = 2 1 − (x – 2) y = 2 1 − x + 1 – 1 y = 2 1 −
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan tegak lurus garis 3x – y = 1 Jawab : 3x – y = 1 → y = 3x – 1 ; x1 = 3 ; y1 = 4 ; m = 3 y – y1 = m 1 − (x – x1) y – 4 = 3 1 − (x – 3)
3 (y – 4) = - (x – 3) 3y – 12 = -x + 3 x + 3y – 12 – 3 = 0 x + 3y – 15 = 0 Cara lain :
Persamaan garis : ax + by = c → garis tegak lurus : bx – ay = b(x1) – a(y1)
ax – by = c → garis tegak lurus : bx + ay = b(x1) + a(y1)
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x + 2y = 12 Jawab :
3x + 2y = 12 ; x1 = 2 ; y1 = – 1
2x – 3y = 2.(2) – 3.(– 1) 2x – 3y = 4 + 3
2x – 3y = 7
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan tegak lurus garis 5x – 2y = 10 Jawab : 5x – 2y = 10 ; x1 = 4 ; y1 = 3 2x + 5y = 2.(4) + 5.(3) 2x + 5y = 8 + 15 2x + 5y = 23 Soal Latihan
1. Diketahui f (x) = 3x + 1. Jika domainnya {x | -2 < x < 2, x ∈ B}dan kodomainnya x ∈ B. Tentukan :
a. Daerah hasil c. Grafik Cartesius
b. Diagram panah d. Himpunan pasangan berurutan Jawab :
………. 2. Tentukan gradien garis :
a. y = 3x – 4 c. 2y – x = 5
b. y = 3 – 2x d. 3x + 2y = 2
Jawab :
………. 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik :
a. A (3, -2) dan m = 2 b. B (1, 3) dan m = -3 Jawab :
………. 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik :
a. P (1, 3) dan Q (4, 5) b. A (2, 1) dan B (3, 4) Jawab :
………. 5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik :
a. (-2, -1) dan sejajar garis y = 2x + 3 b. (1, -3) dan tegak lurus garis y = 3x – 2 Jawab :
EVALUASI 1
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = 3x + 5. Jika daerah asalnya himpunan bilangan asli dan x < 4 maka rangenya adalah ….
a. { 8, 11, 14, 17, 20} c. { 8, 13, 18 } e. { 3, 5, 8 } b. { 8, 11, 14, 17 } d. { 8, 11, 14 }
2. Diketahui diagram panah di samping, maka A B relasi himpunan A ke B dapat ditulis sebagai :
a. B = A + 3 2 11 b. B = 2A 3 14 c. B = 3A 4 8 d. B = 2A + 1 5 5
e. B = 3A - 1 17
3. Gradien dari persamaan garis : 2y – 6x = 4 adalah ….
a. 3 b. 2 c. 3 1 d. - 3 1 e. -3 4. Persamaan garis yang melalui titik (-1, 3) dan m = 2 adalah ….
a. y = 2x + 7 b. y = 2x + 5 c. y = 2x + 1 d. y = 2x – 5 e. y = 2x – 7 5. Persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan m =
3 1
adalah ….
a. 3x – y – 1 = 0 c. 3y – x + 1 = 0 e. 3y + x – 1 = 0 b. 3x + y – 1 = 0 d. 3y – x – 1 = 0
6. Persamaan garis yang melalui titik (1, -2) dan (3, 2) adalah ….
a. y = 3x – 4 b. y = 3x + 4 c. y = 2x – 4 d. y = 2x + 4 e. y = x – 4 7. Persamaan garis yang melalui titik (-1, -2) dan sejajar garis 2x – 3y = 1 adalah ….
a. 2x – 3y + 8 = 0 c. 3x = 2y – 8 e. y = 3x + 2 b. 3x – 2y + 8 = 0 d. 2y = 3x + 8
8. Persamaan garis yang melalui titik (2, 3) dan sejajar garis y = 3x + 4 adalah …. a. y = 3x – 9 b. y = 3x – 3 c. y = 3x + 3 d. y = 3x + 6 e. y = 3x + 9 9. Persamaan garis yang melalui titik (4, -2) dan tegak lurus garis y = 2x + 1 adalah ….
a. 2x + y + 8 = 0 c. x – 2y + 8 = 0 e. x + 2y = 0 b. 2x – y – 8 = 0 d. x + 2y – 8 = 0
10. Persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dan tegak lurus garis 2x – y = 3 adalah …. a. 3x + y – 10 = 0 c. 3x + 2y – 10 = 0 e. x + 2y – 6 = 0 b. x + 2y – 10 = 0 d. 2x + y – 6 = 0
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik :
a. (1, -3) dan gradien m = 2 b. (2, 2) dan gradien m = -1 Jawab :
………. 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik
a. (2, 1) dan titik (3, -2). b. (-1, 3) dan (4, 1) Jawab :
………. 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan sejajar dengan garis :
a. 3x – 2y = 6 b. 2x – y = 5 Jawab :
8.3. Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat
8.3.
Apply the Concept of Quadratic Function
1. Indikator : 1. Fungsi kuadrat digambar grafiknya. 2. Fungsi kuadrat ditentukan persamaannya 2. Tujua n : Siswa dapat :
1. Membahas contoh fungsi kuadrat dan grafiknya.
2. Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat, sumbu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi
3. Menggambar grafik fungsi kuadrat
4. Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya
5. Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi kuadrat
6. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi kuadrat
3. Uraian Materi :
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat
1. Equation of quadratic function graph
Bentuk Umum : y = ax2 + bx + c
Untuk a > 0 (positif) kurva menghadap keatas dan mempunyai titik balik minimum.
x1 x2 x1 = x2
D > 0 D = 0 D < 0
(definet positif)
D = diskriminan →D = b2 – 4.a.c
Untuk a < 0 (negatif), kurva menghadap kebawah dan mempunyai titik balik maksimum. x1 x2 x1 = x2 (definet negatif)
D > 0 D = 0 D < 0 Untuk menggambar garfik fungsi kuadrat langkah-langkahnya sebagai berikut : 1. Tentukan sumbu simetrinya, yaitu dengan rumus : x =
2.a b −
2. Tentukan titik puncak (titik balik), yaitu P (x, y) dengan :
x = 2.a b − dan y = 4a -D atau y = 4.a 4.a.c b2 − −
3. Tentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0
4. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan y = 0 ? a x2 + bx + c = 0 Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik (x1 dan x2)
Jika D = 0, grafik menyentuh sumbu x di titik x1 = x2
Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x ( diatas atau dibawah sumbu x) Contoh :
1. Grafik fungsi y = x2 – 6x + 5 memotong sumbu x di titik ? Penyelesaian :
Kurva memotong sumbu x jika y = 0 x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1) . (x – 5) = 0 x – 1 = 0 ? x = 1 x – 5 = 0 ? x = 5
Kurva memotong sumbu x dititik (1, 0) dan (5, 0)
2. Tentukan titik potong grafik y = 2x2 – 5x + 2 dengan sb.x Jawab :
Kurva memotong sb.x jika y = 0 2x2 – 5x + 2 = 0 (2x – 1) (x – 2) = 0 2x – 1 = 0 → x = 2 1 X – 2 = 0 → x = 2
Titik potong kurva dengan sb.x ( 2 1
, 0) dan (2, 0) 3. Titik balik dari grafik fungsi : y = -x2 + 4x + 5 adalah :
Penyelesaian : a = -1, b = 4 dan c = 5 Sumbu simetri : x = 2a b − = ) 1 .( 2 4 − − = 2 Nilai maksimum : y = a c a b . 4 . . 4 2 − − = ) 1 .( 4 5 ). 1 .( 4 42 − − − − = 4 20 16+ y = 4 36 = 4
Atau dengan cara : y = - (2)2 + 4 . 2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 Titik balik kurva (2, 9)
4. Peluru ditembakan tegak lurus keatas dengan persamaan h (t) = 300t – 5t2 (satuan meter). Tentukan ketinggian maksimum dari peluru !
Penyelesaian : a = -5, b = 300 dan c = 0 Waktu tempuh : t = 2a b − = ) 5 .( 2 300 − − = 30 detik Tinggi maksimum : h = 300 . 30 – 5 . 302 = 9.000 – 4.500 h = 4.500 meter.
5. Periksa apakah kurva y = x2 – 2x + 2 memotong sumbu x, menyentuh sumbu x atau tidak memotong sumbu x (definet) ?
Penyelesaian :
Untuk mengetahuinya dicari dulu Diskriminannya. a = 1, b = -2 dan c = 2
Diskriminan : D = b2 – 4ac = (-2)2 – 4 . 1 . 2 = 4 – 8 = -4
Karena D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu x atau definet positif.
2. Menentukan persamaan fung si kuadrat
2. Determining equation of quadratic function
Beberapa hal yang perlu diingat dalam menentukan persamaan fungsi kua drat adalah : 1. Jika diketahui titik balik ( p, q), persamaan kuadrat :
y = a (x – p)2 + q atau : a = q y p x − − 2 ) ( ; b = – 2.a.p ; c = a. p2 + q
2. Jika diketahui akar-akar kuadratnya (x1 dan x2), persamaan kuadrat :
y = a (x – x1) . (x – x2) y = x2 – (x1 + x2) + x1 . x2 atau : a = 2 1.x x c ; b = –a(x1 + x2) ; c = y Contoh :
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan -5. Jawab :
y = (x – 2) . (x – (-5)) = (x – 2) . (x + 5) = x2 + 5x – 2x – 10 y = x2 + 3x – 10
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 2 dan 3 Jawab : y = x2 – ( 3 2 + 3)x + 3 2 . 3 y = x2 – 3 11 x + 2 atau 3y = 3x2 – 11x + 6
3. Tentukan persamaan kuadrat dari grafik di bawah ini Jawab : x1 = 2, x2 = 4, c = 8 a = 1 4 . 2 8 . 2 1 = = x x c b = –a(x1 + x2) = –1(2 + 4) = –6 c = 8 Persamaan : y = x2 – 6x + 8 2 8 4 x y
4. Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (2, 0) dan titik (4, 0) dengan titik baliknya (3, 2 1 − ) ! Jawab : y = a (x – x1) . (x – x2) ? y = 2 1 − , x = 3, x1 = 2 dan x2 = 4 2 1 − = a (3 – 2) . (3 – 4) ? 2 1 − = -a ? a = 2 1 y = 2 1 (x – 2) . (x – 4) = 2 1 (x2 – 4x – 2x + 8) = 2 1 (x2 – 6x + 8) y = 2 1 x2 – 3x + 4
5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (2, 1) dan melalui titik (4, 5). Jawab : x = 4, y = 5, p = 2, dan q = 1 y = a(x – p)2 + q 5 = a(4 – 2)2 + 1 5 = a(4) + 1 4a = 5 – 1 a = 4 4 = 1 y = 1(x – 2)2 + 1 y = x2 – 4x + 4 + 1 y = x2 – 4x + 5 Soal latihan :
1. Tentukan titik potong grafik fungsi dibawah ini dengan sumbu x a. y = x2 – 2x – 8 b. y = -x2 + 5x + 6
Jawab :
………. 2. Tentukan titik balik dari kurva dibawah ini :
a. y = -x2 – 6x – 8 b. y = 3x2 – 4x – 4 Jawab :
………. 3. Periksa kurva dibawah ini apakah memotong, menyentuh atau tidak memotong sumbu x
a. y = x2 + 4x + 4 b. y = 9 – x2 Jawab :
………. 4. Tentukan nilai maksimum/minimum dan gambarkan grafiknya dari persamaan :
a. y = -x2 + 2x + 3 b. y = x2 – 5x + 4 Jawab :
………. 5. Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (0, 6) dan titik baliknya (3, -3) !
Jawab :
………. Atau dengan cara :
a = 1 4 4 1 5 ) 2 4 ( ) ( 2 2 = = − − = − − q y p x b = –2.a.p = – 2.(1).(2) = – 4 c = a.p2 + q = 1.(2)2 + 1 = 5 Persamaan : y = x2 – 4x + 5
EVALUASI 2
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Persamaan kuadrat y = x2 – 3x + 3 memotong sumbu y dititik
a. (0, -3) b. (-3, 0) c. (0, 3) d. (3, 0) e. (0, 0) 2. Diskriminan dari persamaan y = x2 – 5x + 6 adalah ….
a. -6 b. -5 c. -2 d. -1 e. 1
3. Persamaan parabola y = 6x – x2 grafiknya ….
a. menyentuh sumbu x c. memotong sumbu x e. sejajar sumbu x b. difinet negatif d. definet positif
4. Persamaan parabola y = x2 – 9 grafiknya ….
a. menyentuh sumbu x c. definet positif e. sejajar sumbu x b. memotong sumbu x d. definet negatif
5. Nilai maksimum dari persamaan parabola y = 4x – x2 adalah ….
a. 10 b. 8 c. 6 d. 4 e. 2
6. Persamaan kuadrat yang kurvanya memotong sumbu x di titik (-2, 0) dan (3, 0) adalah ….
a. y = x2 – x – 6 c. y = x2 – 5x – 6 e. y = x2 – x + 6 b. y = x2 + x – 6 d. y = x2 + 5x – 6
7. Grafik fungsi y = x2 – x – 6 adalah ....
a. d.
b. e.
c.
8. Persamaan parabola : y = x2 + 3x – 10 memotong sumbu x dititik ….
a. (-5, 0) dan (2, 0) c. (-2, 0) dan (5, 0) e. (2, 0) dan (5, 0) b. (-5, 0) dan ( -2, 0) d. (-2, 0) dan (-5, 0)
9. Persamaan kuadrat : y = -x2 + 8x – 12 titik baliknya adalah ….
a. (8, 64) b. (8, 36) c. (4, 36) d. (4, 24) e. (2, 16) 10. Nilai minimum dari f(x) = x2 – x adalah ….
a. 2 1 − b. 4 1 − c. 0 d. 4 1 e. 1 y 0 6 2 –3 x –6 3 –2 x y 0 6 y 0 2 3 x y x 0 6 3 –2 –6 2 – 3 x y 0
B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar !
1. Persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan (1, 5) adalah : Jawab :
………. 2. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 4) dan m = 4 adalah ….
Jawab :
………. 3. Persamaan kuadrat : y = x2 – x – 6 memotong sumbu x dititik :
Jawab :
………. 4. Titik balik dari kurva : y = -x2 + 2x – 15 adalah :
Jawab :
……….
8.4. Menerapkan Konsep Fungsi Eksponen
8.4. Apply the Concept of Exponent Function
1. Indikator : 1. Fungsi eksponen digambar grafiknya.
2. Fungsi eksponen ditentukan persamaannya, jika diketahui grafiknya
2. Tujuan : Siswa dapat :
1. Menggambar grafik fungsi eksponen
2. Menentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya
3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi eksponen
3. Uraian Materi :
Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang variabelnya mepupakan pangkat dari suatu bilangan tetap.
Bentuk sederhana dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a adalah : y = f (x) = ax , a >0, a≠ 0 atau y = f (x) = a–x , a ≠ 0
1. Grafik fungsi eksponen
1. Exponent function graph
Bentuk umum grafik fungsi eksponen adalah :
y y = ax , a > 1 y y = a–x, a > 1
x x
(0, 1) (0, 1)
Contoh :
Gambarlah fungsi eksponen :
1. y = 2x 2. y = x 2 1 Jawab : Y y 4 4 2 2 1 1 -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2 x Soal latihan :
Gambarlah fungsi eksponen di bawah ini.
1. y = 3x 3. y = x 4 1 2. y = 4x 4. y = 2x + 1 2. Persamaan e ksponen 2. Exponent Equation Sifat-sifat : af (x) = ag (x)→ f (x) = g (x) af (x) = bf (x)→ f (x) = 0 f (x)g (x) = f (x)h (x)→ g (x) = h (x) jika f (x) ≠ 0 ; f (x) ≠ 1 apx + q = brx + s→ x = q s b a a b log r p a(px)2 + b(px) + c = 0 → x1 + x2 = a c log p Contoh :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 32x – 1 =
3 27 1 − x Jawab : 32x – 1 = 3 27 1 − x 32x – 1 = (3–3)x – 3 32x – 1 = 3–3x + 9 → 2x – 1 = –3x + 9 2x + 3x = 9 + 1 5x = 10 x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... ¼ ½ 1 2 4 ... x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... 4 2 1 ½ ¼ ...
2. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 23x + 1 = 3 x 1 64 + Jawab : 23x + 1 = 3 64x +1 23x + 1 = 3 6 x 1 ) 2 ( + 23x + 1 = (22)x + 1 23x + 1 = 22x + 2 → 3x + 1 = 2x + 2 3x – 2x = 2 – 1 x = 1
3. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 1 2 27 9 3 − − = x x Jawab : 1 2 27 9 3 − − = x x → 1 3 2 2) (3 ) 3 ( 3 − − = x x 2 3 3 4 3 3 3 − − = x x → 2 3 3 4 1 3 3 − − − x = x 2(1 – 4x) = –3x – 3 → 2 – 8x = –3x – 3 – 8x + 3x = –3 – 2 → – 5x = –5 X = 5 5 − − = 1
4. Tentukan nilai x1 + x2 dari : 2 (4x) + 23 – 2x = 17.
Jawab : 2 (4x) + 2x 3 2 2 = 17 2 (4x) – 17 + x 4 8 = 0 (kalikan dengan 4x) 2 (4x)2 – 17 (4x) + 8 = 0 → misal y = 4x 2y2 – 17y + 8 = 0 (2y – 1) (y – 8) = 0 2y – 1 = 0 → y = 2 1 y – 8 = 0 → y = 8 4x = 2 1 → 22x = 2–1 → 2x = –1 4x = 8 → 22x = 23 → 2x = 3 x = – 2 1 x = 2 3 x1 + x2 = – 2 1 + 2 3 = 1
atau dengan menggunakan rumus :
2 (4x)2 – 17 (4x) + 8 = 0 → p = 4 ; a = 2 ; c = 8 x1 + x2 = 2 8 log 4 = 4 log 4 = 1
Soal latihan :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi x -2 3 2x 5 125 1 = +
2. Nilai x dari persamaan (2)2x + 10 = 4 1
adalah …. 3. Nilai x dari 3x – 4 = 27x + 1 adalah ….
3. Tentukan nilai x dari persamaan 3 1 2x 81 3 27 = +
4. Nilai x yang memenuhi dari : x 1 64 4 1 2x 3 − = − adalah ….
5. Nilai x yang memenuhi 3 2 -x 9 1 3 3 = adalah ….
8.5. Menerapkan Konsep Fungsi Logaritma
8.5. Apply the Concept of Logarithm Function
Indikator : 1. Fungsi logaritma dideskripsikan sesuai dengan ketentuan 2. Fungsi logaritma diuraikan sifat-sifatnya
3. Fungsi logaritma digambar grafiknya Tujuan : Siswa dapat :
1. Menggambar grafik fungsi logaritma
2. Menentukan persamaan fungsi logaritma jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya
3. Menjabarkan sifat-sifat dari fungsi logaritma
4. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi loaritma
Uraian Materi :
Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah : y = alog x ; jika a > 1 dan y = alog x ; 0 < a < 1
1. Grafik fungsi logaritma
1. Logarithm fungsi graph
y y = alog x ; untuk a > 1 y y = alog x ; untuk 0 < a < 1
Contoh :
1. Buatlah gambar grafik fungsi logaritma : 2log2x 1 . Jawab : X ... 1/8 ¼ ½ 1 2 4 ... Y ... 2 1 0 -1 -2 -3 ... y 2 0 ½ 1 2 3 4 x 2. Persamaan Logaritma 2. Logarithm Equation Sifat-sifat : alog f (x) = b → f (x) = ab a log f (x) = alog b → f (x) = b a log f (x) = alog g (x) → f (x) = g (x) a log f (x) = blog f (x) ; a ≠ b → f (x) = 1
f (x)log g (x) = f (x)log h (x) → g (x) = h (x) ; f (x) > 0, g (x) > 0, h (x) > 0 dan f (x) ≠
1 Contoh :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 2log (3x – 1) = 3 Jawab : 2log (3x – 1) = 2log 23 2log (3x – 1) = 2log 8 3x – 1 = 8 → 3x = 8 + 1 3x = 9 x = 3
2. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 3log x + 3log (2x – 3) = 2 Jawab :
3log x + 3log (2x – 3) = 3log 32 3 log x (2x – 3) = 3log 9 2x2 – 3x = 9 2x2 – 3x – 9 = 0 (2x – 3) (x – 3) = 0 2x – 3 = 0 → x = 3/2 x – 3 = 0 → x = 3 HP : { 2 3 , 3}
3. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : 2log (3x + 4) = 3log (3x + 4). Jawab : 2log (3x + 4) = 3log (3x + 4) → f (x) = 1 3x + 4 = 1 → 3x = 1 – 4 3x = – 3 x = – 1
4. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log x + log (x – 3) = 1 Jawab : log x + log (x + 3) = 1 log x(x + 3) = log 10 log x2 + 3x = log 10 x2 + 3x = 10 x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5) (x – 2) = 0 x + 5 = 0 → x = – 5 x – 2 = 0 → x = 2 HP {– 5, 2} Soal latihan :
1. Himpunan penyelesaian dari : 2log (2x + 8) = 2log (x + 5) adalah : Jawab :
... 2. Himpunan penyelesaian dari : log (x2 + 3x + 7) = log (x + 7) adalah ....
Jawab :
... 3. Tentukan nilai x yang menenuhi dari : 3log (x2 + 2x – 2) = 3log (4x + 1)
Jawab :
... 4. Nilai x yang memenuhi persamaan : xlog (2x – 2) = 1 adalah ….
Jawab :
... 5. Tentukan nilai x yang memenuhi dari xlog 5x – 4 = 2
Jawab :
8.6. Menerapkan Konsep Fungsi Trigonometri
8.6. Apply the Concept of Trigonometric Function
Indikator : 1. Fungsi trigonometri dideskripsikan sesuai dengan ketentuan 2. Fungsi trigonometri digambar grafiknya
Tujuan : Siswa dapat :
1. Menggambar grafik fungsi trigonometri
2. Menentukan persamaan fungsi trigonometri jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya
3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi trigonometri
a. Grafik y = sin x (0o≤ x ≤ 360o) Dengan me nggunakan tabel :
x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o y 0 2 1 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0 x 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y 0 -2 1 -2 1 2 - 3 2 1 -1 - 3 2 1 -2 1 2 -2 1 0
Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o – 360o = keliling lingkaran = 2πr.
b. Grafik y = cos x (0o≤ x ≤ 360o) Dengan menggunakan tabel :
x 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o y 1 3 2 1 2 1 2 2 1 0 -2 1 -2 1 2 - 3 2 1 -1 x 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o y -1 -3 2 1 -2 1 2 -2 1 0 2 1 2 1 2 3 2 1 1 0o 210o 45o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o 30o 60o 90o 0o y x
Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0o – 360o = keliling lingkaran = 2πr.
c. Grafik y = tg x (0o≤ x ≤ 360o) Soal latihan :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi unuk 0o≤ x ≤ 360o a. y = sin 2 1 x b. y = 2 cos (3x + 30o) c. y = 3 sin (4x – 20o) d. y = 2 sin ( 4 5 x + 45o) e. y = 3 cos ( 3 2 x – 15o) Jawab : ……… 2. Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut ini
a. y = 3 sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = – 2 cos 3x d. y = 2 cos (3x + 60o) e. y = sin (2x – 30o) Jawab : ……… 3 3 1 180o 360o 270o 90o 300o 315o 330o 240o 225o 210o 150o 135o 120o 60o 45o 30o 0o 3 1 – 13 3 – 1 – 3 y x ∞ 30o 30o 45o 120o 300o 0o 45o 60o 90o 135o 150o 180o 210o 225o 240o 270o 315o 330o 360o 60o 90o 0o y x
EVALUASI 3
A. Pilihlah jawaban yang benar.
1. Himpunan penyelesaian persamaan :
8 (32) 2 1 3x −2 = x −1 untuk x ∈ R adalah …. a. 0 b. 11 4 c. 11 6 d. 11 12 e. 11 13 2. Bukan bilangan asli n yang memenuhi : 2n + 3 = n +464 adalah ….
a. 6 dan 1 b. 1 c. –6 dan –1 d. –1 e. 0 3. Nilai x yang memenuhi persamaan : xlog (2x – 2) = 1 adalah ….
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
4. Nilai x yang memenuhi 3x 1 3 2x 8 16 1 − + = adalah …. a. 17 9 − b. 17 8 − c. 17 8 d. 17 9 e. 1
5. Jika 2x + y = 8 dan log (x + y) = 3/2 log 2 . 8log 36, maka x2 + 3y adalah ….
a. 28 b. 22 c. 20 d. 16 e. 12
6. Himpunan Penyelesaian dari : 2x 1
2 3 3 1 + = 27 adalah …. a. 4 1 − b. 4 5 − c. 2 d. 3 e. 2 9
7. Akar-akar persamaan 3log (2x2 – 17x + 33) = 1 adalah x1 dan x2. Nilai 2x1 . x2 = ….
a. 16 b. 20 c. 30 d. 32 e. 36
8. Himpunan penyelesaian persamaan : x 2 27 3 13x 4 = + − untuk x ∈ R adalah …. a. 3 5 − b. 6 5 − c. 3 1 d. 3 2 e. 3 5 9. Nilai maksimum dari fungsi y = – 3 sin (x – 30o) adalah ….
a. –3 b. –1 c. 0 d. 1 e. 3
10. Periode dari fungsi y = cos 2x adalah ….
a. 720o b. 360o c. 180o d. 90o e. 45o
B. Jawablah peranyaan di bawah ini. 1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari :
a. 4 2 1 25 1 5 x− = x− b. 8x2= 26x Jawab : ………. 2. Tentukan nilai x yang memenuhi dari :
a. 5log (x2 + x – 5) = 3log (x2 + x – 5) b. 2log (x2 + 4x – 1) = 2 Jawab :
………. 3. Tentukan nilai maksimum dan periode dari fungsi y = 2 sin 3x
Jawab :
ULANGAN HARIAN 1
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Fungsi f (x) : 2x – 1 mempunyai domain {1, 2, 3, 4, 5}. Daerah hasil dari fungsi tersebut adalah ….
a. {1, 3, 5, 7, 9} c. {1, 2, 3, 5, 7} e. {3, 5, 7, 9, 11} b. {0, 1, 2, 4, 6} d. {0, 2, 4, 6, 8}
2. Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = 3x + 2. Jika D = {-1 ≤ x ≤ 2, x ∈ B} maka himpunan penyelesaian dari R nya adalah ….
a. {-2, -1, 1, 2} c. {-1, 2, 5, 8} e. {1, 3, 5, 9} b. {-2, 1, 3, 5} d. {1, 2, 5, 8}
3. Gradien garis lurus yang melalui titik (3, 4) dan (2, 7) adalah ….
a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3
4. Persamaan garis yang melalui titik (2, 1) dan gradien m = 5 adalah ….
a. y = 5x – 11 b. y = 5x – 9 c. y = 5x – 1 d. y = 5x + 9 e. y = 5x + 11 5. Persamaan garis yang melalui titik (2, -2) dan sejajar dengan garis 2x + y = 3 adalah ….
a. y = -2x + 2 b. y = -2x – 2 c. y = 2x + 2 d. y = 2x – 2 e. y = 2x – 6 6. Persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan titik (1, 3) adalah ….
a. y = 2 1 x – 2 3 c. y = 2 1 x + 2 1 e. x + 2y – 7 = 0 b. y = 2 1 x – 2 1 d. x + 2y + 7 = 0
7. Grafik di bawah ini merupakan grafik fungsi y = 2x + 1 adalah ….
a. y c. y e. y 1 2 1 2 x 1 x -½ x b. y d. y 2 1 2 x -2 x
8. Persamaan garis yang melalui titik (-1, 3) dan tegak lurus garis y = 3x + 4 adalah …. a. x – 3y + 10 = 0 c. x + 3y – 10 = 0 e. y = 3x + 10 b. x + 3y + 10 = 0 d. y = 3x – 10
9. Persamaan garis yang melalui titik (2, -1) dan (3, 2) mempunyai gradien ….
a. m = -1 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
10. Persamaan parabola y = x2 + x – 6 memotong sumbu x di titik ….
a. (2, 0) dan (3, 0) c. (-2, 0) dan (3, 0) e. (2, 0) dan (-3, 0) b. (-2, 0) dan ( -3, 0) d. (2, 3) dan (0, 0)
11. Persamaan parabola y = x2 – 5x + 4 mempunyai sumbu simetri di titik ….
a. 5 b. 4 c. 2
2 1
12. Titik balik dari kurva y = -x2 + 4x – 3 adalah ….
a. (2, 1) b. (-2, 1) c. (2, -1) d. (4, -3) e. (-4, 3) 13. Persamaan parabola y = 9 – x2 gambar grafiknya adalah ….
a. y c. y e. y -3 0 3 x 9 0 x 0 9 x b. y d. y 0 9 x -3 0 3 x
14. Persamaan kuadrat yang grafiknya seperti gambar di bawah adalah …. a. y = x2 – 3x + 4 y b. y = x2 – 3x – 4 c. y = x2 + 3x + 4 d. y = x2 + 3x – 4 -1 0 4 x e. y = -x2 + 3x + 4 -4
15. Persamaan kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (5, 0), adalah ….
a. y = x2 + 6x + 5 c. y = x2 – 6x + 5 e. y = x2 – 6x – 5 b. y = -x2 + 6x + 5 d. y = -x2 – 6x – 5
B. Jawablah pertanyaan soal di bawah ini dengan benar !
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan (2, -1) Jawab :
………. 2. Tentukan persamaan garis yang emlalui titik (2, 5) dan sejajar garis y = 3x + 7
Jawab :
………. 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -3, 4) dan tegak lurus garis 6x – 2y = 8
Jawab :
KOMPETENSI 9
BARISAN DAN DERET
ROWS AND SERIES
Standar Kompetensi : 9. Mengaplikasikan konsep barisan dan deret Kompetensi Dasar : 9.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan
9.2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 9.3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Alokasi Waktu : 24 jam pelajaran
Dilaksanakan pada : Minggu ke 6 s.d. 9 Tujuan Pembelajaran Umum :
Siswa dapat menerapkan konsep dasar notasi sigma, induksi matema tika serta barisan dan deret pada penyelesaian permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari.
9.1. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan
9.1.
Identify patterns, lines and series numbers
Indikator : 1. Pola bilangan, barisan, dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya 2. Notasi Sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret
Tujuan : Siswa dapat :
1. Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan dan deret 2. Membedakan pola bilangan, barisan, dan deret
3. Menuliskan suatu deret dengan Notasi Sigma Uraian Materi :
1. Menyatakan bentuk penjumlahan dengan notasi sigma 1. Expressing quantifying form with notations of sigma
Dalam penulisan barisan bilangan sering dijumpai bentuk penjumlahan sebagai berikut ; 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + … + 50
Penulisan tersebut kurang praktis dan tidak efisien.
Bentuk penjumlahan dapat dinyatakan dengan tanda "? " (sigma) Misal : a1 + a2 + a3 + a4 + … + an, ditulis
∑
=
n
1
i i
a dibaca sigma ai, i dari 1 sampai n. Jika ditulis :
∑
= n m k k aContoh :
1. Nyata kan dalam bentuk penjumlahan !
a.
∑
= 6 1 k 2k Jawab :∑
= 6 1 k 2k = (2 . 1) + (2 . 2) + (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) + (2 . 6) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 b.∑
= + 5 2 m 1) (m Jawab :∑
= + 5 2 m 1) (m = (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18 c.∑
= + 4 1 i 2 i) (2 Jawab :∑
= + 4 1 i 2 i) (2 = (2 + 1)2 + (2 + 2)2 + (2 + 3)2 + (2 + 4)2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 862. Nyatakan dengan notas i sigma a. 1 + 4 + 7 + 10 + 13.
Jawab :
Beda = 4 – 1 = 3 ;
1 + 4 + 7 + 10 + 13 = (3.0 + 1) + (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1) maka notasi sigmanya :
∑
= + 4 0 i 1) (3i b. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36. Jawab :
Dari barisan bilangan dapat dilihat bentuknya adalah pangkat 2, angka pertama 1 dan angka terakhir 6. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 =
∑
= 6 1 m 2 mc. 2 1 + 4 1 + 6 1 + 8 1 + 10 1 Jawab :
Bentuknya pecahan dengan penyebut bedanya 2 2 1 + 4 1 + 6 1 + 8 1 + 10 1 = 1 . 2 1 + 2 . 2 1 + 3 . 2 1 + 4 . 2 1 + 5 . 2 1 =
∑
= 5 1 n 2n 12. Sifat-sifat notasi sigma
2. Nature sigma notation 1.
∑
= n 1 k k a = a1 + a2 + a3 + … + an 2.∑
∑
= = = n m k k n m k k c a a c 3.∑
= + n m k k k b ) (a =∑
= n m k k a +∑
= n m k k b 4.∑
= n m k k a =∑
+ + = − p n p m k k p) (a 5.∑
= n m k c = (n – m + 1) c Contoh : 1. Buktikan :∑
∑
∑
= = = + = + 4 1 k 4 1 k 4 1 k 2k 3k 2k) (3k Jawab :∑
= + 4 1 k 2k) (3k = (3 . 1 + 2 . 1) + (3 . 2 + 2 . 2) + (3 . 3 + 2 . 3) + (3 . 4 + 2 . 4) = 5 + 10 + 15 + 20 = 50∑
= 4 1 k 3k = 3 . 1 + 3 . 2 + 3 . 3 + 3 . 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30∑
= 4 1 k 2k = 2 . 1 + 2 . 2 + 2 . 3 + 2 . 4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20∑
= 4 1 k 3k +∑
= 4 1 k 2k = 30 + 20 = 50 (terbukti)2. Buktikan :
∑
∑
∑
= = = = + + 4 1 k 4 1 k 2 7 4 k 2 36 k 6 k k Bukti : Ruas kiri :∑
∑
= = + = 7-3 3 -4 k 2 7 4 k 2 3) (k k =∑
= + + 4 1 k 2 6k 9) (k =∑
∑
∑
= = = + + 4 1 k 4 1 k 4 1 k 2 6 k 9 k = k 6 k 4 .9 4 1 k 4 1 k 2+∑
+∑
= =∑
∑
∑
= = = + + = 4 1 k 4 1 k 2 7 4 k 2 36 k 6 k k (terbukti) Soal latihan :1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan a.
∑
= 5 2 k 5k b.∑
= + 4 1 n 2) (3n c.∑
= − 6 1 m 2 ) 1 (m Jawab : ……… 2. Nyataka n dalam bentuk notasi sigmaa. 3 + 8 + 13 + 18 + 23 + 28 b. 1/3 + 2/5 + 3/7 + 4/9 + 5/11 + 6/12 Jawab : ……… 3. Buktikan : k k 8 k 96 6 1 k 6 1 k 2 10 5 k 2=
∑
+∑
+∑
= = = Jawab : ………9.2. Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika
9.2. Apply the Concept of Rows and Series Arithmetic
Indikator : 1. Nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan rumus
2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus
Tujuan : Siswa dapat :
1. Menjelaskan barisan dan deret aritmatika 2. Menentukan suku ke n suatu barisan aritmatika 3. Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika
4. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika
Uraian Materi :
1. Barisan Aritmetika
1. Arithmetic Rows
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan beda antara dua suku yang berurutan tetap.
Bentuk umum barisan aritmetika :
U1, U2, U3, U4, … Un atau : a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, {a + (n – 1) b}
Rumus Suku ke n :
Un = a + (n – 1) . b
dimana: a = U1 = suku pertama
b = beda = U2 – U1 atau U3 – U2 atau U4 – U3 atau … Un – Un - 1
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku Contoh :
1. Dari barisan aritmetika : 3, 7, 11, 15, 19, 23, … 55. Tentukan : a. beda (b) b. U25 c. n Penyelesaian : a. b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4 b. Un = a + (n – 1) b U25 = 3 + (25 – 1) . 4 = 3 + 96 = 99 c. Un = a + (n – 1) b 55 = 3 + (n – 1) . 4 55 = 3 + 4n – 4 4n = 55 + 4 – 3 n = 4 56 = 14
2. Dari barisan aritmetika suku ke -6 adalah 35, suku ke 11 adalah 50 Tentukan : a. beda b. a c. U19 Penyelesaian : a. b = 6 11 6 11 − −U U = 5 35 50− = 3
b. U6 = a + 5 b ? a = U6 – 5 b = 35 – 5 . 3
a = 35 – 15 = 20 c. U19 = a + (19 – 1) b = 20 + 18 . 3
= 20 + 54 = 74
atau bisa juga tidak dihitung dari a tetapi dari suku yang terdekat dengan suku ke -19. c. U19 = U11 + (19 – 11) . b = 50 + 8 . 3
= 50 + 24 = 74
3. Dari barisan aritmetika, suku ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke -3 dan suku ke-10 adalah 50. Tentukan : a. b b. a c. U36 Penyelesaian : a. U9 = 35 ? a + 8b = 35 U3 + U10 = 5 ? a + 2b + a + 9b = 50 ? 2a + 11b = 50 a + 8b = 35 . 2 ? 2a + 16b = 70 2a + 11b = 50 . 1 ? 2a + 11b = 50 - 5b = 20 b = 4 a = 35 – 8 . 4 = 35 – 32 a = 3 b. U36 = a + (36 – 1) . b = 3 + 35 . 4 = 3 + 140 = 143
3. Dari barisan aritmetika : 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, … Tentukan : a. rumus suku ke-n b. U45
Penyelesaian : a. b = 7 – 4 = 3 Un = a + (n – 1) b = 4 + (n – 1) . 3 Un = 4 + 3n – 3 Un = 3n + 1 b. U45 = a + (45 – 1) . b = 4 + 44 . 3 = 4 + 132 = 136 Soal latihan :
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut :
a. 5, 7, 9, 11, 13, 15, … b. 26, 23, 20, 17, 14, … c. -5, -1, 3, 7, 11, … Jawab :
……… 2. Dari barisan aritmetika : 1, 6, 11, 16, 21, … , 76
Tentukan : a. b b. n c. U60
Jawab :
……… 3. Dari barisan aritmetika, suku ke-7 adalah 15 dan suku ke-16 adalah 51.
Tentukan : a. b b. U1 c. U40
Jawab :
2. Deret Aritmetika
2. Arithmetic Series
Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum Deret Aritmetika : U1 + U2 + U3 + U4 + … +Un = Sn
Jumlah n suku pertama :
Sn =
(
a
Un
)
2
n
+
atau
Sn =
.
{
2a
(
n
-
1
)
.
b
}
2
n
+
Contoh :1. Tentukan jumlah dari deret aritmetika : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 72. Jawab : a = 3 ; b = 6 – 3 = 3 ; Un = 72 ? n dicari dulu Un = a + (n – 1) . b 72 = 3 + (n – 1) . 3 72 = 3 + 3n – 3 3n = 72 ? n = 24 Sn = 2 n ( a + Un) atau : Sn = 2 n {2a + (n – 1) . b} S24 = 2 24 (3 + 72) S24 = 2 24 {2 . 3 + (24 – 1) . 3} = 12 . 75 = 12 (6 + 69) = 12 . 75 S25 = 900 S25 = 900
2. Deret aritmetika suku ke-6 = 18 dan suku ke-15 = 54. Tentukan jumlah 25 suku pertama Jawab :
U6 = 18 ; U15 = 54 ; n = 25 ? b dan a dicari dulu.
b = 6 15 U U15 6 − − = 9 36 9 18 54− = = 4 a = U6 – 5 . b = 18 – 5 . 4 = 18 – 20 = -2 Sn = 2 n {2a + (n – 1) . b} S25 = 2 25 { 2 . (-2) + (25 – 1) . 4} = 2 25 (-4 + 96) = 2 25 . 92 S25 = 1150
3. Tentukan jumlah seluruh angka yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi dengan 3 Jawab :
DA : 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 + 51 + 54 + 57 + 60 + 63 + 66 + 69 + 72 + 75 + 78 + 81 + 84 + 87 + 90 + 93 + 96 + 99
banyaknya angka yang habis dibagi 3 ada 30 angka a = 12 ; b = 3 ; n = 30 ; Un = 99
Sn = 2 n ( a + Un) S30 = 2 30 (12 + 99) = 15 . 121 = 1815
4. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian. Potongan terpendek 28 cm dan potongan terpanjang 148 cm seperti halnya deret aritmetika. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. Jawab : a = 28 ; U6 = 148 ; n = 6 Sn = 2 n ( a + Un) S6 = 2 6 (28 + 148) = 3 . 176 = 528 cm
5. Diketahui deret aritmetika, rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + 2n. Tentukan
nilai dari suku ke 10. Penyelesaian : S10 = S9 + U10 S10 = 102 + 2 . 10 = 100 + 20 = 120 S9 = 92 + 2 . 9 = 81 + 18 = 99 U10 = S10 – S9 = 120 – 99 = 21
6. Diketahui deret aritmetika, jumlah 8 suku pertama adalah 116 dan jumlah 4 suku pertama adalah 34.
Tentukan : a. beda b. suku pertama c. suku ke-12 Penyelesaian : Sn = 2 n {2a + (n – 1) b} S4 = 2 4 {2a + (4 – 1) b} 34 = 2 (2a + 3b) → 4a + 6b = 34 … (1) S8 = 2 8 {2a + (8 – 1) b} 116 = 4 (2a + 7b) → 8a + 28b = 116 … (2) Eliminasikan persamaan 2 dan 1
8a + 28b = 116 . 1 → 8a + 28b = 116 4a + 6 . 3 = 34 4a + 6b = 34 . 2 → 8a + 12b = 68 – 4a = 34 – 18 16b = 48 4a = 16 b = 3 a = 4 Un = a + (n – 1) b U12 = 4 + (12 – 1) . 3 = 4 + 33 = 37
Soal Latihan :
1. Diketahui barisan aritmetika suku ke-3 = 14 dan suku ke -8 = 29. Tentukan : a. suku ke -15 b. jumlah 15 suku pertama
Jawab :
……… 2. Diketahui barisan aritmetika, a = 4, U12 = 48. Tentukan :
a. beda b. jumlah 12 suku pertama
Jawab :
……… 3. Amir pada bulan pertama menabung sebesar Rp150.000,-. Pada bulan berikutnya Amir
selalu menambah tabungannya sebesar Rp25.000,- dari bulan sebelumnya. Setelah tiga tahun menabung, berapa banyaknya uang Amir ditabungan.
Jawab :
……….
EVALUASI 4
A. Pilihlah jawaban yang paling benar ! 1. Nilai dari
∑
= − 8 4 k 1) (k k 2 = …. a. 930 b. 980 c. 1020 d. 1230 e. 13202. Nyatakan dengan notasi sigma : 4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + 34 + 39 + 44 = …. a.
∑
= + 7 0 n 1) 4n ( c.∑
= − 7 1 n 1) 5n ( e.∑
= + 6 1 n 1) 4n ( b.∑
= − 7 0 n 1) 5n ( d.∑
= − 9 1 n 1) n 5 (3. Empat buah suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus : Un = n2 + n adalah …. a. 2, 4, 8, 12 b. 2, 5, 7, 13 c. 2, 6, 10, 14 d. 2, 6, 12, 20 e. 2, 8, 16, 32 4. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika : 5, 8, 11, 14, 17, ... adalah ….
a. Un = 8n – 3 c. Un = 3n + 5 e. Un = 2n + 3 b. Un = 5n + 3 d. Un = 3n + 2
5. Diketahui barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … . Suku ke-20 adalah ….
a. 38 b. 41 c. 44 d. 47 e. 50
6. Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = 3 dan suku ke-9 = 19. Suku pertamanya adalah ….
a. 1 b. -3 c. -9 d. -13 e. -19
7. Jumlah semua bilangan asli antara 10 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah ….
a. 100 b. 1000 c. 1188 d. 1278 e. 1288
8. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika dengan rumus Un = 2n + 5 adalah ….
a. 180 b. 170 c. 160 d. 150 e. 15
9. Diketahui deret aritmetika, suku ke-3 = 8 dan suku ke-9 = 26. Jumlah 12 suku pertama adalah ….
a. 225 b. 222 c. 201 d. 62 e. 35
10. Jumlah dari deret : 5 + 10 + 15 + 20 + … + 95 = ….
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan nilai dari :
∑
= + 8 1 n 2 3n) (2n Jawab : ……… 2. Tentukan rumus barisan bilangan dari : 3, 12, 27, 48, ….
Jawab :
……… 3. Diketahui barisan aritmetika, suku ke -4 = 6 dan suku ke-10 = 36. Tentukan nilai dari
suku ke-15. Jawab :
……… 4. Tentukan jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi
dengan 6. Jawab :
……… 5. Diketahui deret aritmetika. Jika rumus jumlah n suku perama Sn = n2 +
2 5
n, hitung nilai dari suku ke-12.
Jawab :
………
9.3. Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri
9.3. Apply Concept Rows and Series Geometric
Indikator : 1. Nilai suku ke-n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan rumus 2. Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan
rumus
3. Jumlah suku tak hingga suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus
Tujuan : Siswa dapat :
1. Menjelaskan barisan dan deret geometri 2. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri 3. Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri 4. Menjelaskan deret geometri tak hingga
5. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri
Uraian Materi :
1. Barisan Geometri
1. Geometric Rows
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U1, U2, U3, U4, … Un Suku ke n :
Un = a . r
n – 1 Dimana : U1 = a = suku pertama Un = suku yang ke -n r = rasio = 1 -n n 3 4 2 3 1 2 U U ... U U U U U U = = = = 1 n n U U r − = Contoh :1. Diketahui barisan geometri : 4, 8, 16, … . Tentukan :
a. rasio (r) b. U6 Jawab : a. U1 = 4 dan U2 = 8 r = 1 2 U U = 4 8 = 2 b. U6 = a . r6 – 1 = 4 . 25 = 4 . 32 = 128
2. Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 6 dan suku ke-5 = 54. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. suku ke-8
Jawab : a. r5 – 3 = 3 5 U U r2 = 6 54 = 9 → r = 3 b. U3 = a . r3 – 1 a = 2 3 r U = 2 3 6 = 9 6 a = 3 2 c. U8 = U5 . r8 – 5 U8 = 54 . 33 = 54 . 27 = 1458
3. Diketahui rumus barisan geometri : Un = 2 . (3)n. Tentukan barisan bilangannya. Jawab : Un = 2 . (3)n U1 = 2 . (3) = 6 U2 = 2 . (3)2 = 2 . 9 = 18 U3 = 2 . (3)3 = 2 . 27 = 54 U4 = 2 . (3)4 = 2 . 81 = 162 ….
Maka barisan bilangannya adalah : 6, 18, 54, 162, …
Soal latihan :
1. Tentukan rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri : 4, 8, 16, 32, … Jawab :
……… 2. Diketahui barisan geometri : 1, 4, 16, 64, 256, … . Tentukan rumus ke-n dan suku ke-8.
Jawab :
……… 3. Diketahui barisan geometri, suku ke -4 = 4 dan suku ke-8 = 64. Tentukan rasio dan suku
pertamanya. Jawab :
2. Deret Geometri
2. Geometric Series
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U1 + U2 + U3 + U4 + … +Un = Sn
Jumla h n suku pertama :
Sn =
1
-r
)
1
-n
r
(
.
a
r ≠ 1 dan r > 1Sn =
r
-1
)
n
r
-1
(
.
a
r ≠ 1 dan r < 1 Contoh :1. Diketahui deret geometri : 2 + 10 + 50 + … . Tentukan : a. rasio b. suku ke -6 c. Jumlah 6 suku pertama Jawab : a. r = 1 2 U U = 2 10 = 5 b. U6 = a . r6 – 1 = 2 . 55 = 2 . 3125 = 6250 c. S6 = 1) r ( 1) (r . a 6 − − = ) 1 5 ( 1) (5 . 2 6 − − = 4 1) (15625 . 2 − = 4 31248 = 7812
2. Hitung jumlah deret geometri : 3 + 6 + 12 + … + 192. Jawab : rasio r = 3 6 = 2 ; a = 3 Un = 192 → Un = a . rn – 1 3 . 2n – 1 = 192 2n – 1 = 64 2n – 1 = 26 n – 1 = 6 → n = 7
atau dengan membuat barisan geometri secara utuh : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 n = 7 S7 = 1) r ( ) 1 (r a 7 − − = 1) (2 1) (2 3 7 − − = 1 1) (128 3 − = 3 . 127 = 381
3. Deret Geometri tak terhingga
3. Infinite Geometric Series
Deret geometri : a + a . r + a . r2 + a . r3 + … + a . rn – 1 disebut deret geometri tak terhingga jika r < 1 atau {-1 < r < 1}, r ≠ 0.
Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga :
S
∞=
r
1
a
−
Contoh :
1. Jumlah deret tak terhingga dari : 2 + 1 + 2 1 + 4 1 + 8 1 + … = …. Jawab : rasio r = 2 1 S∞ = r 1 a − = 2 1 1 2 − = 2 1 2 = 4
2. Tentukan jumlah deret tak terhingga dari : 6 + 2 + 3 2 + 9 2 + … Jawab : rasio r = 6 2 = 3 1 S∞ = r 1 a − = 3 1 1 6 − = 3 2 6 = 2 18 = 9
3. Bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter ke lantai. Setelah jatuh ke lantai bola emmantul kembali ke atas dengan ketinggian
3 2
dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti.
Jawab :
Setelah bola dijatuhkan ke lantai dan memantul kembali ke atas, maka masing-masing ketinggian mempunyai dua lintasan, sehingga panjang lintasan bola sampai berhenti rumusnya harus dikalikan dengan 2 dan dikurangi ketinggian pertama (karena ketinggian pertama hanya ada satu lintasan).
S∞ = 2 . r 1 a − – a = 2 . 3 2 1 4 − – 4
= 2 . 3 1 4 – 4 = 2 . 12 – 4 = 24 – 4 = 20 meter Soal Latihan :
1. Tentukan jumlah dari deret geometri : 5 + 10 + 20 + … + 320. Jawab :
……… 2. Diketahui deret geometri, suku ke-2 = 4 dan suku ke-4 = 64. tentukan jumlah 6 suku
pertama. Jawab :
……… 3. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan
bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong.
Jawab :
……… 4. Tentukan jumlah deret tak terhingga : 3 + 1 +
3 1 + 9 1 + … Jawab : ……… 5. Suku pertama dari deret geometri tak terhingga adalah 8. Jika jumlah tak terhingganya
32, tentukan rasionya. Jawab :
………
EVALUASI 5
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Rasio untuk deret geometri : 2 + 8 + 32 + 128 + … adalah …. a. 4 1 b. 2 1 c. 2 d. 4 e. 8
2. Suku ke-12 dari barisan : 25, 50, 100, … adalah ….
a. 52400 b. 51200 c. 50200 d. 48000 e. 20480 3. Rumus suku ke-n barisan geometri : 4, 12, 36, 108, … adalah ….
a. Un = 4.(3)n + 1 c. Un = 4.(3)n – 1 e. Un = 4.(2)n – 1 b. Un = 4.(3)n d. Un = 4.(2)n
4. Suku pertama dari barisan geometri 27 dan suku ke -5 = 3 1
, maka suku ke -8 adalah …. a. 9 1 b. 18 1 c. 27 1 d. 45 1 e. 81 1
5. Jumlah deret geometri : 64 + 32 + 16 + … + 4 1 adalah …. a. 127 4 3 b. 126 4 1 c. 120 4 3 d. 119 4 1 e. 112 4 1
6. Diketahui deret geometri : 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n = 510. Nilai n pada deret tersebut adalah ….
a. 10 b. 9 c. 8 d. 7 e. 6
7. Jumlah deret tak terhingga : 1 + 4 1 + 16 1 + … adalah …. a. 4 b. 3 8 c. 3 6 d. 3 4 e. 3 2 8. Jumlah deret tak terhingga yang suku pertamanya 9 dan rasionya
3 2 adalah …. a. 36 b. 27 c. 18 d. 13 2 1 e. 12
9. Diketahui barisan geometri, suku ke-3 = 24 dan suku ke-6 = 192. Rasio dari barisan tersebut adalah ….
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
10. Lampu hias taman berbentuk lingkaran yang terdiri dari 6 lingkaran. Pada lingkaran paling dalam jumlah lampunya 3 dan pada lingkaran paling luar jumlah lampunya 96 seperti halnya deret geometri. Jumlah seluruh lampu hias tersebut adalah ….
a. 150 b. 159 c. 163 d. 175 e. 183
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar
1. Diketahui barisan geometri, Un = 12 dan Un + 3 = 96. Tentukan nilai dari Un + 1
Jawab :
……… 2. Hitung jumlah deret geometri : 1 + 4 + 16 + … + 1024.
Jawab :
……… 3. Diketahui deret geometri, suku ke -5 = 15 dan suku ke -7 = 135. Tentukan rasionya.
Jawab :
……… 4. Hitung jumlah deret tak terhingga : 2 +
2 1 + 8 1 + … Jawab : ……… 5. Bola dijatuhkan dari ketinggian 6 meter. Setiap menyentuh tanah memantul kembali
dengan ketinggian 4 3
dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti.
Jawab :
ULANGAN HARIAN 2
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Suku ke-15 dari barisan aritmetika : 3, 5, 7, 9, … adalah ….
a. 27 b. 29 c. 31 d. 33 e. 35
2. Diketahui deret aritmetika, suku pertama sama dengan 4 dan bedanya 2. Jika jumlah n suku pertama 180, maka banyaknya suku n adalah ….
a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18
3. Diketahui barisan aritmetika, U2 = 5, U4 + U6 = 28. Nilai suku ke-9 adalah ….
a. 28 b. 27 c. 26 d. 25 e. 24
4. Amir pada bulan pertama menabung uangnya di bank sebesar Rp50.000,-. Jika tiap bulan uang yang ditabung Amir ditambah Rp10.000,- dari bulan sebelumnya, maka uang yang ditabung Amir pada bulan ke-12 adalah ….
a. Rp180.000,- c. Rp150.000,- e. Rp120.000,-
b. Rp160.000,- d. Rp130.000,-
5. Jumlah seluruh bilangan dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 4 adalah …. a. 1.264 b. 1.272 c. 1.280 d. 1.296 e. 1.300
6. Diketahui rumus suku ke -n dari deret aritmetika adalah Un = 2 + 3n. Jumlah 10 suku pertama adalah ….
a. 170 b. 175 c. 180 d. 185 e. 190
7. Seutas kabel dipotong menjadi 8 bagian. Bagian yang terpendek 10 cm dan bagian yang terpanjang 105 cm seperti halnya deret aritmetika. Panjang kabel sebelum dipotong-potong adalah ….
a. 3 m b. 3,6 m c. 4,6 m d. 5,2 m e. 5,6 m 8. Diketahui barisan geomatri : 3, 6, 12, …. Nilai suku ke-7 adalah ….
a. 96 b. 144 c. 168 d. 192 e. 216
9. Dari barisan geometri, suku ke -4 = 16 dan suku ke -7 = 128. Rasio dari barisan geometri tersebut adalah ….
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
10. Diketahui barisan geometri, suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162. Nilai dari suku ke -7 adalah ….
a. 648 b. 972 c. 1.296 d. 1.458 e. 1.620
11. Jika dari suatu barisan geometri diketahui Un = 12 dan Un + 3 = 96, maka nilai Un + 5 =
….
a. 192 b. 256 c. 292 d. 324 e. 384
12. Diketahui deret geometri : 4 + 8 + 16 + …. Jumlah 6 suku pertama adalah ….
a. 126 b. 128 c. 252 d. 256 e. 276
13. Diketahui deret geometri : 16 1 + 8 1 + 4 1 + … + 16 = x. Nilai x adalah …. a. 8 511 b. 16 511 c. 4 127 d. 8 251 e. 16 251 14. Jumlah tak terhingga deret geometri : 3 + 1 +
3 1 + … adalah …. a. 4 3 1 b. 4 2 1 c. 4 3 2 d. 5 e. 5 3 1 15. Jumlah tak terhingga deret geometri dengan suku pertama 12 dan rasio
4 1
adalah ….
