APLIKASI RELASI PELUANG BERSYARAT FUZZY PADA SISTEM INFORMASI FUZZY NIKEN WIDIASTUTI

(1)

APLIKASI RELASI PELUANG BERSYARAT FUZZY PADA

SISTEM INFORMASI FUZZY

NIKEN WIDIASTUTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

(3)

ABSTRAK

NIKEN WIDIASTUTI. Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy pada Sistem Informasi Fuzzy. Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan N. K. KUTHA ARDANA.

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali ditemui suatu fenomena yaitu data mengandung sesuatu yang tidak akurat. Data yang tidak akurat tersebut dapat berupa kata-kata manusia yang bersifat relatif. Pada kasus ini, himpunan fuzzy dapat digunakan untuk merepresentasikan data yang tidak akurat tersebut dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Pada tulisan ini diperkenalkan relasi peluang bersyarat fuzzy atau fuzzyconditional probability relations (FCPR) yang digunakan untuk merepresentasikan relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep FCPR yang dibahas difokuskan pada relasi kemiripan yang lemahyang merupakan tipe khusus pada relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan. Sistem informasi fuzzy yang digunakan adalah tabel data fuzzy sederhana yang merupakan aplikasi dari knowledge discovery and data mining (KDD). Dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan (FCPR), aplikasi FCPR yaitu konsep α-objek redundan, ketergantungan atribut, pendekatan data reduksi dan proyeksi, dan pendekatan data query. Perhitungan berdasarkan FCPR berguna untuk menentukan derajat kemiripan dari dua kata yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep α-objek redundan sangat penting untuk mereduksi angka dari aturan keputusan dengan adanya tabel keputusan. Konsep ketergantungan atribut berdasarkan FCPR sangat penting untuk manganalisa ketergantungan dari atribut. Aplikasi pendekatan data reduksi dan proyeksi digunakan untuk menemukan relasi di antara anak himpunan fuzzy dari partisi fuzzy dan menghasilkan fuzzy integrity constraints. Aplikasi pendekatan data query digunakan untuk menghasilkan relasi fuzzyquery dengan adanya tabel keputusan.

Kata kunci : Relasi peluang bersyarat fuzzy, fungsi ketergantungan fuzzy (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), data query.

(4)

ABSTRACT

NIKEN WIDIASTUTI. The Applications of Fuzzy Conditional Probability Relations in Fuzzy Information Systems. Supervised by SRI NURDIATI and N. K. KUTHA ARDANA.

In our daily life we often find a phenomenon related to an imprecise data. The imprecise data can be in the form of relative human words. In this case, fuzzy sets can be used to represent the imprecise data in which preciseness degrees of data are intuitively different. This paper introduced a fuzzy conditional probability relations (FCPR) which is used to represent a similarity relation between two fuzzy sets, The two fuzzy sets may not necessarily be symmetric or transitive. The concept of FCPR which is explained in this paper was focused on a weak relation similarity which turned out to be a special type of fuzzy binary relation generalizing similarity relation. Fuzzy information system which is used in this paper was a simple fuzzy data table that was an application of knowledge discovery and data mining (KDD). By using degrees of similarity (FCPR), the application of FCPR consists of α-redundant object concept, a concept of dependency of attribute, approximate data reduction and projection, and approximate data query. Calculation based on FCPR is used to determine degrees of similarity which may not necessarily be symmetric or transitive. The concept of α-redundant object is very important for the purpose of reducing the number of decision rules concerning a decision table. The concept of dependency attribute based on the FCPR is very important for purpose of analyzing dependency of attribute. Application of approximate data reduction and projection is used to find relations among fuzzy subsets as results of fuzzy partition and provide fuzzy integrity constraints. Application of approximate data query is used to design a fuzzy query relation in which the present the decision table.

Keywords : Fuzzy conditional probability relations, fuzzy functional dependency (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), data query.

(5)

APLIKASI RELASI PELUANG BERSYARAT FUZZY PADA

SISTEM INFORMASI FUZZY

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

NIKEN WIDIASTUTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(6)

Judul : Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat

Fuzzy

pada Sistem Informasi

Fuzzy

Nama : Niken Widiastuti

NRP : G54104040

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc.

Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.

NIP. 131 578 805

NIP. 131 842 412

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 22 November 1985 dari pasangan Mochamad Mochtar dan Sri Hastuti sebagai anak keempat dari empat bersaudara.

Penulis memulai pendidikan di Taman Kanak-kanak Purnamasari Bogor pada tahun 1991. Penulis menamatkan sekolah dasar di SD Negeri Empang I Bogor. Tahun 2001 penulis lulus dari SLTP Negeri 4 Bogor. Tahun 2004 penulis lulus dari SMU Negeri 3 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama menjalani masa perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan. Beberapa organisasi di antaranya adalah pengurus UKM MERPATI PUTIH dan pengurus himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Pada kepengurusan UKM MERPATI PUTIH periode 2005/2006 dan periode 2006/2007 penulis aktif sebagai staf Departemen Pendidikan dan Latihan UKM Merpati Putih dan pada kepengurusan GUMATIKA periode 2006/2007 penulis aktif sebagai staf Biro Kesekretariatan. Penulis aktif mengikuti kepanitiaan berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2006 (seksi Kesekretariatan), Musyawarah Wilayah IKAHIMATIKA III (seksi Logistik dan Transportasi), Matematika Ria 2007 (koordinator seksi Konsumsi), Galaksi FMIPA 2007 (seksi Bakti Sosial), Try Out SPMB Nasional IKAHIMATIKA 2007 (koordinator seksi Konsumsi). Dalam upaya mengamalkan ilmu yang didapat, penulis aktif sebagai pengajar Kalkulus yang diadakan oleh GUMATIKA pada tahun 2007 dan pengajar Kalkulus di bimbingan belajar Real Education Center (REC) pada tahun 2008. Sejak Mei tahun 2008, penulis bergabung dengan Lembaga Les Privat dan Kelompok Belajar Bintang Pelajar (BP) regional Bogor sebagai guru freelance matematika tingkat SMU dan masih aktif sampai sekarang.

(8)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat, berkah, nikmat, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.

Skripsi ini berjudul Aplikasi Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy pada Sistem Informasi Fuzzy. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah memberikan dorongan terhadap penulis dalam menyelesaikan skripsi ini, yaitu :

1. Dr. Ir. Sri Nurdiati, M.Sc. dan Ir. N. K. Kutha Ardana, M. Sc. selaku dosen pembimbing, yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahannya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini.

2. Mochamad Tito Julianto, M. Kom. selaku dosen penguji atas saran dan masukannya. 3. Bapak dan ibuku tercinta, Moch. Mochtar dan Sri Hastuti, atas segala do’a, dukungan,

motivasi, dan kasih sayang yang diberikan kepada penulis; juga kakak-kakakku (Mba Dien, Mas Yon, Dimas, Piet, Ayu, Mas Agus); keponakan-keponakanku (Rania, Bagas, Divio) yang telah memberikan keceriaan; Keluarga besar di Semarang khususnya Bulik Ning dan Om Eko dan juga sepupu-sepupuku tersayang Vita, Anggoro, Nia, Devi.

4. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan; serta staf Departemen Matematika : Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Bono, Mas Deni, Mas Yono, terimakasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

5. Teman-temanku tersayang : Jo, Uwie, Abank, Soe (Terimakasih atas tawa, canda, suka, duka selama 4 tahun ini). Teman seperjuanganku (Enny dan Iboy), terimakasih atas dukungannya selama ini.

6. Maryam, Neng Ria, dan Budi yang telah bersedia menjadi pembahas pada saat seminar. 7. Teman-teman Math’41: Maryam, Mahar, Iyank, Zali, Yaya, Rite, Ndit, Situl, Chie, Mora,

Ria, Fitri, Dian, Kurenz, Tia, Dee, Armi, Ani, Ayu, Roma, Rina, Ika, Eli, Tities, NJ, Mukti, Liam, Liay, Febrina, Sifa, Darwisah, Nidia, Udin, Idris, Chaerun, Aji, Fred, Herry, Yeni, Deny, Triyadi, Amin (Terimakasih atas warna-warni kehidupan selama 4 tahun ini).

8. Mbak Ana (Math S2), Adik-adik Math’42 : Ayeep, Niknik, Jane, Jawa, Moko, Fachri, Vera, Ily, dan lainnya (Tetap semangat ya!).

9. Teman-temanku tercinta : Alm. Triyani, Irien, Shuri, Tyas, Ode, Isa, Mas Andi, Ratian, Jurek, Mas Ewin, Heru, Ricky, Sandi, Dewi, Kiwil, dan lainnya.

10. Keluarga besar Merpati Putih Bogor terutama kolat IPB : Mas Agan, Mba Eno, Utie, Ismi, Putra, Elghar, A Teta, Mas Yogi, Ade Murni, Ade Mulat, Paul, Widi, Anjel, Endah, Viona, Tea, Aci, Praba, Ira, Iman, dan lainnya (Terimakasih atas semangat yang diberikan dan telah menjadi keluarga kedua bagiku).

11. Seluruh staf dan pengajar Lembaga Les Privat dan Kelompok Belajar Bintang Pelajar, terutama mas Ifni, Leni, mbak Reni, mbak Nita, Angga, mbak Novianti, mbak Novalia, mbak Farida, dan lainnya (Terimakasih atas nasehat dan dorongan yang bermanfaat).

12. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Penulisan skripsi ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan bagi para pembacanya atau pihak lain yang membutuhkan.

Bogor, September 2008

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 1.3 Ruang Lingkup ... 1 II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy ... 1

2.2 α - Objek Redundan ... 3

2.3 Ketergantungan Atribut ... 3

2.4 Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi ... 3

2.5 Pendekatan Data Query ... 4

2.6 Fungsi Keanggotaan pada Toolbox MATLAB ... 5

III METODOLOGI PENELITIAN ... 6

IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pengumpulan Data ... 7

4.2 Rekonstruksi FCPR dari Dua Himpunan Fuzzy ... 7

4.3 Rekonstruksi Konsep α - Objek Redundan berdasarkan FCPR ... 8

4.4 Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR ... 10

4.5 Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi ... 12

4.6 Rekonstruksi Pendekatan Data Query ... 18

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 22

5.1 Kesimpulan ... 22

5.2 Saran ... 22

DAFTAR PUSTAKA ... 22

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1 Kurva Segitiga... 5

Gambar 2 Kurva Trapesium ... 6

Gambar 3 Fungsi Keanggotaan HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) ... 8

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 1 Derajat Keanggotaan dari Linguistik H dan AP ... 7

Tabel 2a Reproduksi Hewan ... 9

Tabel 2b Reproduksi Hewan... 10

Tabel 3 I (U, A = {c1, c2, c3, b1}) ... 11

Tabel 4 Sistem Informasi dari Karir... 13

Tabel 5 Derajat Kemiripan dari Karir I(U, A = {E, S}) ... 14

Tabel 6 ℘ =₁ (U S E, , , 0 .2₍S E_, ₎)... 15 Tabel 7 ℘ =₂ (U E S, , , 0 .2₍E S_, ₎) ... 15 Tabel 8 Relasi R(N, C, G) ... 16 Tabel 9 0 .1 1( ) R N → G ... 17 Tabel 10 R C2( → G)0 .1_{... 17} Tabel 11 R E S( , → U )0 .5 / 9 .4 ... 18

Tabel 12 IF {E dan S} THENUIS nilai ... 19

Tabel 13 IF UTHEN{E dan S} IS nilai ... 19

Tabel 14 0 .5 / 1 3 .2 ( , ) R E S → U ... 20

Tabel 15 IF {E atau S} THENUIS nilai ... 21

Tabel 16 IF UTHEN {E atau S} IS nilai ... 21

Tabel 17 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) ... 25 Tabel 18 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ... 25 Tabel 19 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z2’}) ... 25 Tabel 20 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’}) ... 26 Tabel 21 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z2’}) ... 26 Tabel 22 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x1’, c3 = ‘y1’, b1 = ‘z1’}) ... 26 Tabel 23 I (U, A = {c1 = ‘w2’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ... 27 Tabel 24 I (U, A = {c1 = ‘w1’, c2 = ‘x2’, c3 = ‘y3’, b1 = ‘z1’}) ... 27

Tabel 25 Transformasi Tabel 5 ... 30

Tabel 26 Relasi R(N='j',C='m',G='A') ... 33

Tabel 27 Relasi R(N, G)... 34

Tabel 28 Relasi R(C, G)... 34

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Hasil Transformasi Tabel 3 ... 25

Lampiran 2 Perhitungan Tabel 5 untuk Contoh 4 ... 27

Lampiran 3 Perhitungan Tabel 5 ... 30

Lampiran 4 Hasil Transformasi Tabel 8 untuk Contoh 5 ... 33

Lampiran 7 Hasil Transformasi Tabel 4 untuk Contoh 7 dan Contoh 8 ... 36

Lampiran 8 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (26) Yaitu Peluang Query untuk Objek ui dengan Diberikannya “he AND hs” ... 36

Lampiran 9 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (26) Yaitu Peluang Query untuk ‘he AND hs” dengan Diberikannya Objek ui ... 37

Lampiran 10 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (29) Yaitu Peluang Query untuk Objek ui dengan Diberikannya “he OR hs”... 39

Lampiran 11 Perhitungan dengan Menggunakan Persamaan (29) Yaitu Peluang Query untuk ‘he OR hs” dengan Diberikannya Objek ui ... 40

(12)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kata-kata manusia pada data mempunyai perbedaan batas pengertian. Beberapa kata mungkin mempunyai arti yang lebih umum dibandingkan dengan yang lainnya. Derajat kemiripan dari dua kata tidak perlu simetris atau transitif. Sebagai contoh, warna “merah” mempunyai pengertian yang lebih umum dan lebih luas dibandingkan dengan warna “merah tua” yang mempunyai arti lebih spesifik. Kata “merah” mempunyai interval yang lebih luas daripada kata “merah tua” sehingga interval dari pengertian warna adalah berbeda untuk dua kata. Biasanya kalimat “merah tua seperti merah” lebih benar dan biasa digunakan daripada kalimat “merah seperti merah tua”. Selain itu, dapat dikatakan bahwa derajat kemiripan dari “merah dengan diberikan merah tua” adalah berbeda dengan “merah tua dengan diberikan merah”.

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali ditemui suatu fenomena yaitu data mengandung sesuatu yang tidak akurat dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Data yang tidak akurat tersebut dapat berupa kata-kata manusia yang bersifat relatif. Himpunan fuzzy dapat merepresentasikan data yang tidak akurat tersebut.

Pada tulisan ini, relasi peluang bersyarat fuzzy atau fuzzy conditional probability relations (FCPR) digunakan untuk merepresentasikan relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy yang tidak perlu simetris atau transitif. Konsep dari FCPR akan difokuskan pada relasi kemiripan yang lemah yaitu relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan (Zadeh 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004).

Sistem informasi fuzzy yang digunakan pada tulisan ini adalah tabel data fuzzy

sederhana yang merupakan aplikasi dari knowledge discovery and data mining (KDD). Pertama, akan diperkenalkan FCPR dari dua himpunan fuzzy pada sistem informasi fuzzy yang diberikan. Kemudian, dengan memanfaatkan derajat kemiripan dari FCPR, maka tulisan ini akan memperkenalkan aplikasi FCPR pada sistem informasi fuzzy yang diberikan. Aplikasi tersebut adalah konsep α-objek redundan, ketergantungan atribut, pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi, dan aplikasi yang terakhir adalah pendekatan data query yang berdasarkan pada input bergantung dan input bebas.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan ini adalah :

1. Merekonstruksi FCPR dari dua himpunan fuzzy pada sistem informasi fuzzy.

2. Merekonstruksi α-objek redundan berdasarkan pada FCPR pada sistem informasi fuzzy.

3. Merekonstruksi ketergantungan atribut berdasarkan pada FCPR pada sistem informasi fuzzy.

4. Merekonstruksi pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi, dan pendekatan data query pada sistem informasi fuzzy.

1.3 Ruang Lingkup

Ruang lingkup penulisan ini adalah :

1. Tulisan ini dibatasi pada rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and Their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004).

2. Sistem informasi fuzzy yang digunakan dibatasi pada tabel data fuzzy yang sederhana (ukuran tabel tidak besar).

3. Konsep FCPR hanya difokuskan pada relasi kemiripan yang lemah yaitu relasi fuzzy biner dengan perumuman relasi kemiripan.

II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Himpunan Crisp dan Himpunan Fuzzy Definisi 1 Himpunan Crisp

Himpunan crisp A didefinisikan oleh elemen-elemen yang ada pada himpunan itu. Jika a∈ A , maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 1. Namun jika

,

a∉ A maka nilai yang berhubungan dengan a adalah 0. Keanggotaan himpunan crisp selalu dapat dikategorikan secara penuh tanpa ada ambiguitas.

(13)

Definisi 2 Himpunan Fuzzy Misalkan _ˆ _{ˆ1_, ˆ2_{, ...,} ˆn_}

j j j j

D = d d d adalah

himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆi

j

d adalah nilai data crisp ke-i dari domain ˆD_j dan ˆ

j j

D ⊆D

.

Data tidak akurat, x

∈

Dj, menganggap himpunan fuzzyx pada

ˆ

j

D adalah definisi yang sederhana dari ˆD_j ke selang tertutup [0,1] dengan fungsi keanggotaan _: ˆ _[0,1]

x Dj

μ → .

Himpunan fuzzyx didefinisikan oleh :

{

₍ˆi₎ ˆ ˆi i ˆ

}

_, x j j j j x= μ d d d ∈D (1) dengan ₍ˆi₎ x dj

μ adalah nilai derajat

keanggotaan dari ˆi j

d pada x.

(Intan dan Mukaidono 2004) Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian sehingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval [0,1]. Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu elemen dalam semesta pembicaraannya tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak di antaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu elemen tidak hanya bernilai benar atau salah, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah. Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu: a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup

yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti : muda, probaya, tua.

b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti : 40, 25, 50, dan lainnya.

(Kusumadewi 2002) Definisi 3 Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan μ dari himpunan fuzzy x adalah pemetaan dari himpunan dengan domain crisp ˆD_j ke selang tertutup [0,1], dinotasikan dengan :

{

₍ˆi₎ ˆ ˆi i ˆ

}

_,

x j j j j

x= μ d d d ∈D

(2) (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 4 Sistem Informasi Fuzzy

Sistem informasi fuzzy didefinisikan sebagai pasangan I = (U, A), dengan U

adalah himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut sedemikian sehingga a U_j: →D_j, ∀ ∈a_j A . Dj adalah himpunan nilai dari atribut aj dengan data Djadalah data tidak akurat (bernilai fuzzy).

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 5 Total Ketidaktahuan

Misalkan ˆ _{ˆ1_, ˆ2_{, ...,} ˆn_}

j j j j

D = d d d adalah

himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆi

j

d

adalah nilai data crisp ke-i dari domain ˆD_j dan

ˆ_j _j

D ⊆D . Total ketidaktahuan atau total ignorance (TI) atas ˆD_j dengan ˆi ˆ

j j d ∈D merupakan representasi sederhana yang didefinisikan oleh :

{

ˆ1 ˆ2 ˆ

}

T I 1 ,1 , ...,1 n , j j j d d d = (3)

{

1 1 1

}

î ₀ ˆ_,...,0 î _,1 î_,0 î _,...,0 ˆn _, j j j j j j d ₌ d d− d d+ d (4) dengan 1 T I(dˆj) 1

μ = yang diwakili oleh ₁ ˆ1

j

d .

TI dianggap seperti himpunan fuzzy yang merepresentasikan himpunan semesta dengan diberikan domaincrisp.

(Intan dan Mukaidono 2000a) Definisi 6 Relasi Kemiripan

Relasi kemiripan adalah pemetaan

: x [0,1] j j j s D D → , dengan x y z, , ∈D_j, a) Refleksif ( , ) 1, j s x x = ₍₅₎ b) Simetris ( , ) ( , ), j j s x y =s y x (6) c) Max-min transitif

{

}

( , ) max min[ ( , ), ( , )] . j j j s x z ≥ s x y s y z

₍₇₎

(Zadeh 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 7 Relasi Kemiripan yang Lemah

Relasi kemiripan yang lemah adalah pemetaan Sj:DjxDj→[0,1]

,

dengan , , j x y z∈D

.

a.) Refleksif ( , ) 1, j S x x = ₍₈₎ b.)Simetris Jika S x y_j( , ) 0,> maka S y x_j( , ) 0,> (9)

(14)

c.) Transitif

Jika ( , )S x y S y xj ≥ j( , ) 0> dan ( , )S y z S z yj ≥ j( , ) 0>

maka ( , )S x z S z xj ≥ j( , ). ₍₁₀₎ (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 8 Kardinalitas Himpunan Fuzzy

Misalkan y adalah himpunan dengan domain tidak akuratik Dj dan dˆi_j adalah nilai data crisp ke-i dari domain crisp ˆ

j

D, maka kardinalitas himpunan fuzzy y didefinisikan sebagai berikut :

ˆ ( i).

y j i

y =

∑

μ d

(11) (Klir dan Yuan 1995) Definisi 9 Relasi Peluang Bersyarat Fuzzy

(FCPR)

Misalkan µx dan µy adalah dua fungsi keanggotaan dengan diberikannya domain

ˆ_j

D untuk dua himpunan fuzzy dan misalkan

, j

x y D∈ maka FCPR adalah pemetaan

: x [0,1]

j j j

R D D → yang didefinisikan oleh :

{

ˆ ˆ

}

min ( ), ( ) ( , ) _ˆ , ( ) i i x j y j i j _i y j i d d x y R x y y d μ μ μ ∩ = =

∑

(12) Rj(x, y) merupakan derajat y yang serupa dengan x.

(Intan dan Mukaidono 2004) 2.2

α

-Objek Redundan

Definisi 10

α

- Objek Redundan

Objek u_i∈U dianggap sebagai α‐objek redundan pada sistem informasi fuzzy I(U, A) jika terdapat objek u_j∈U yang mencakup semua karakteristik dari ui sedikitnya dengan derajat dari

1 2 ( , , ..., _m) α = α α α yaitu apabila memenuhi :

(

( ), ( )

)

, , k k j k i k m R a u a u ≥α ∀ ∈k ` (13) dengan Rk adalah FCPR antara dua elemen

data pada domain Dk, dan α_k∈[0,1].

( ), ( )

k j k i k

a u a u ∈D melambangkan pemetaan dari atribut ak ke objek uj dan ui.

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 11 Relasi Identitas

Relasi identitas adalah pemetaan

: x {0,1} j j j I D D → , untuk x y, ∈D_j, 1, ( , ) 0, lainnya. j x y I x y = ⎨⎧ = ⎩ ₍₁₄₎

(Intan dan Mukaidono 2004) 2.3 Ketergantungan Atribut

Definisi 12 Derajat Ketergantungan Atribut Misalkan I = (U, A) adalah sistem informasi fuzzy, dengan U ={u₁, ...,un} adalah

himpunan semesta dari objek dan A adalah himpunan semesta dari atribut. ,C B ⊆ A.

( , )

i C B

δ didefinisikan sebagai derajat

ketergantungan C menentukan B pada objek ui

dengan : min ( ( ), ( )) ( , ) . min ( ( ), ( )) j j a C B j j i j u U i a C j j i j u U R a u a u C B R a u a u δ ∈ ∈ ∪ ∈ ∈ =

∑

₍₁₅₎

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 13 Ketergantungan Fungsi Fuzzy

(FFD)

Ketergantungan fungsi fuzzy atau fuzzy functional dependency (FFD) C menentukan B (C→B) pada sistem informasi I (U, A) yaitu jika memenuhi :

( , ) ( , )

i C B i B C

δ ≥δ

,

∀ ∈i `_n.

₍₁₆₎

(Intan dan Mukaidono 2004) 2.4 Pendekatan Data Reduksi dengan

Operator Proyeksi Definisi 14 Tabel Keputusan

Misalkan I(U, A) adalah sistem informasi dan misalkan Con Dec, ⊂ A dengan Con adalah atribut kondisi dan Dec adalah atribut keputusan. Sistem informasi yang membedakan antara Con dan Dec disebut dengan tabel keputusan dan dilambangkan dengan :

( , ) ( ,U Con Dec, ,αCon Dec),

℘= ₍₁₇₎

dengan

α

₍_{Con Dec}_, ₎∈[0,1] menentukan derajat ketergantungan keputusan (Dec) dengan diberikan kondisi (Con).

(Pawlak 1991) Definisi 15 Relasi ℜ

ℜadalah relasi R(D) yang ada pada I(U, A), dengan setiap tuple pada relasi ℜ berhubungan ke objek pada himpunan objek U dan himpunan domain D = {D1, D2,…, D3} berhubungan ke

himpunan atribut A={ , ,...,a a₁ ₂ am}.

(15)

Definisi 16 Proyeksi Relasi ℜ

Proyeksi relasi ℜ _padadom Con Dec( ∪ )

(domain atribut pada Con∪Dec) didapatkan dengan mengambil pembatasan dari tuple ℜ_kedom Con Dec( ∪ ).

Proyeksi dari ℜ di atas dom Con Dec( ∪ )

adalah relasi 'ℜ_{yang didefinisikan dengan :}

( ) '{ ( ( )) | }.

Con Dec t dom Con Dec t

π ∪ ℜ =ℜ ∪ ∈ℜ ₍₁₈₎

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 17 Fuzzy c-Partition

Misalkan _ˆ _{ˆ1_, ˆ2_{, ...,} ˆn_}

j j j j

D = d d d adalah

himpunan dengan domain crisp dan Dj adalah himpunan dengan domain tidak akurat. ˆ

j j

D ⊆D dan ˆi j

d adalah nilai data

crisp ke-i dari domain ˆD_j. Fuzzy c-partition dari ˆ

j

D adalah keluarga dari anak

himpunan fuzzy atau kelas fuzzy dari P, dengan P ={p p₁, ₂, ...,pc}, yang memenuhi : 1 ˆ ( ) 1 c k p i j i d μ = =

∑

, ∀ ∈k `n, (19) dan 1 ˆ 0 n ( k) pi j k d n μ = <

∑

< , ∀ ∈i `c, (20) dengan c adalah bilangan bulat positif dan

ˆ ( k)

pi dj

μ ∈[0, 1].

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 18 Derajat Ketergantungan pada

Relasi ℜ

Misalkan X = {x1, x2, …, xn} adalah himpunan fuzzy (hasil dari fuzzy partition) yang akan menjadi himpunan atribut Con = {a1, a2, …, ar} dan misalkan Y = {xr+1, .…,

xw} adalah himpunan fuzzy (hasil dari fuzzy

partition) yang akan menjadi himpunan atribut Dec={ar+1,…,aw}. Jika ada n tuple di

,

ℜ maka derajat ketergantungan Y diberikan X pada relasi ℜ diberikan oleh :

1 1 1 1 m in ( , ( )) ( , ) . m in ( , ( )) n _w j j j j i i n r j j j j i i R x a t Y X R x a t ϕ = = ℜ = = =

∑

₍₂₁₎

(Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 19 Ketergantungan Fungsi Fuzzy

pada Relasi ℜ

Misalkan himpunan fuzzy X dan Y merepresentasikan dom(Con) dan dom(Dec), maka ketergantungan fungsi fuzzy pada relasi

ℜdilambangkan dengan X →p Y yaitu jika memenuhi :

( , )Y X ( , ).X Y

ϕℜ ≥ϕℜ ₍₂₂₎

Persamaan tersebut adalah bagian dari FFD. (Intan dan Mukaidono 2004) Definisi 20 (α(X,Y))

( , )X Y

α

adalah definisi seperti

α

–cut yaitu derajat ketergantungan X dalam menentukan Y yang memenuhi persamaan berikut :

( , )X Y 0 ( , )Y X ,

α = ⇔ϕℜ <α (23) ( , )X Y ( , )Y X ( , )Y X ,

ϕ_ℜ =ϕ_ℜ ⇔ϕ_ℜ ≥α (24) dengan α∈ [0, 1].

(Intan dan Mukaidono 2004) 2.5 Pendekatan Data Query

Definisi 21 Peluang Query untuk Input Bergantung

Misalkan {A1, A2, …, An} adalah himpunan input domain, B adalah himpunan output domain dari data query, D adalah himpunan semesta dari domain (A1, A2, …, An, B ∈ D), dan ℜ adalah relasi pada R(D). Peluang query untuk b* diberikan input yang bergantung

* 1, ..., *n

a a dilambangkan dengan

* *1 *

ˆ ( | ,..., )_n [0,1]

Q b a_ℜ a α ∈ , dengan α∈[0,1]

dan b a_*, _*1,...,a_*n adalah himpunan fuzzy pada

1

, ,..., _n.

B A A t melambangkan tuple pada relasi

ℜ, dan R( , )− − adalah FCPR. Jika ada mtuple, maka untuk tr

₍

ar₁, ...,arn,br

₎

∈ ℜ:

min ( _*1, ₁),..., ( _* , ), ( _*, ) 1 ₁ , min ( _*1, ₁),..., ( _* , ) 1 ₁ m _R _a _a _R _a _a _R _{b b} A r A n rn B r r _n m _R _a _a _R _a _a A r A n rn r _n σ ⎛ ⎞ ∑ ₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = _⎛ _⎞ ∑ ₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ₍₂₅₎ Untuk

σ α

< , maka Qˆ ( |b_* a_{* 1}, ...,a_*n) 0 , α ℜ = (26) Untuk

σ α

≥

, maka Qˆ ( |b_* a_{* 1}, ...,a_*n) . α _σ ℜ = (27)

(16)

Definisi 22 Relasi Fuzzy Query

Misalkan D adalah himpunan semesta dari domain. R A A( ,₁ ₂,...,A_n_→B)α_adalah

definisi relasi fuzzy query untuk membuat

query untuk B diberikan input

1, 2, ..., n

A A A dengan α ∈[0,1], dengan

1, ,..., ,2 n

A A A B D∈ .

(Intan dan Mukaidono 2004)

Definisi 23 Peluang Query untuk Input Bebas Misalkan { ,A A₁ ₂,...,A_n} adalah himpunan input domain, B adalah himpunan output domain dari data query, D adalah himpunan semesta dari domain (A₁, ...,A_n, B∈D ), dan

ℜ adalah relasi pada R(D). Peluang query untuk b* diberikan input yang bebas

*1,..., *n a a dilambangkan dengan * *1 * ˆ ( | ,..., )_n [0,1] Q b a a α ℜ ∈ , dengan α∈[0,1]

dan b a_*, _*1,...,a_*n adalah himpunan fuzzy pada

1

, ,..., n.

B A A t melambangkan tuple pada relasi

ℜ, dan R( , )− − adalah FCPR. Jika ada mtuple, maka untuk t ar

₍

r₁, ...,arn,br

₎

∈ ℜ,

max min ( _*1, ₁), ( ,_* ) ,...,min (_* , ), ( ,_* )

1 ₁ , max ( _*1, ₁),..., (_* , ) 1 ₁ m _R _a _a _R _{b b} _R _a _a _R _{b b} A r B r A n rn B r r _n m _R _a _a _R _a _a A r A n rn r _n λ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ∑ ₌ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⎛⎛ ⎞⎞ ∑ ₌ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ₍₂₈₎ Untuk λ α< , maka Qˆ ( |ℜ b_* a_{* 1}, ...,a_*n)α = 0 , (29) Untuk

λ α

≥

, makaQˆ ( |b_* a_{* 1}, ...,a_*n) . α _λ ℜ = (30)

(Intan dan Mukaidono 2004)

2.6 Fungsi Keanggotaan Pada Toolbox MATLAB

Fungsi keanggotaan fuzzy biasanya digambarkan dalam bentuk kurva yang menunjukkan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya yang memiliki interval antara 0 sampai 1.

Software MATLAB 7.0.1 menyediakan beberapa tipe fungsi keanggotaan yang dapat digunakan. Tipe-tipe tersebut antara lain : a. Trimf

Fungsi ini berguna untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva segitiga Fungsi keangotaannya : 0, , f ( ; , , ) , 0, x a x a a x b b a x a b c c x b x c c b c x < ⎧ ⎪ − ⎪ ≤ ≤ ⎪ − = ⎨ ₋ ⎪ _{≤ ≤} ⎪ − ⎪ _≤ ⎩

Gambar 1 Kurva Segitiga b. Trapmf

Fungsi ini berguna untuk membuat fungsi keanggotaan dengan kurva trapesium. Fungsi keanggotaannya : 0 , , ( ; , , , ) 1, , 0 , x a x a _a _x _b b a f x a b c d b x c d x _c _x _d d c d x ≤ ⎧ ⎪ − ⎪ ≤ ≤ − ⎪ ⎪ =⎨ ≤ ≤ ⎪ ₋ ⎪ ≤ ≤ − ⎪ ⎪ ≤ ⎩ 0 1 a b µ[x] c x

(17)

Gambar 2 Kurva Trapesium (Kusumadewi 2002)

III METODOLOGI PENELITIAN

Dalam melakukan penelitian ini, langkah-langkah yang ditempuh adalah sebagai berikut :

Penggalian Informasi atau Studi Pustaka Pengumpulan bahan pustaka yang berkaitan dengan himpunan crisp, himpunan fuzzy, relasi peluang bersyarat fuzzy, fungsi ketergantungan fuzzy (FFD), fuzzy integrity constraints (FIC), knowledge discovery and data mining (KDD), dan data query.

Pengumpulan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004).

Rekonstruksi FCPR dari Dua Himpunan

Fuzzy

Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan ditentukan himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaan kemudian akan ditentukan derajat dari relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy tersebut. Selain itu, akan dibuat grafik fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy dengan menggunakan software MATLAB 7.0.1.

Rekonstruksi Konsep α‐Objek Redundan berdasarkan FCPR

Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan dibuktikan bahwa salah satu

objek mengandung α-objek redundan. Konsep α-objek redundan ditentukan dalam kaitannya dengan sistem informasi fuzzy dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan FCPR.

Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR

Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan, akan ditentukan ketergantungan dari dua atribut menggunakan definisi ketergantungan fungsi fuzzy (FFD).

Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi.

Untuk menghasilkan relasi di antara himpunan fuzzy, akan dibentuk tabel keputusan dengan pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi dari sistem informasi fuzzy yang diberikan. Pertama, akan dibuat fuzzy partition yang menghasilkan anak himpunan

fuzzy. Kemudian, akan ditentukan

ketergantungan atribut dari dua anak himpunan fuzzy. Selanjutnya akan ditetapkan α(Con,Dec) ≥

0.2 untuk mendapatkan relasi dari dua anak himpunan fuzzy tersebut. Terakhir, akan didapatkan dua tabel keputusan.

Rekonstruksi Pendekatan Data Query Pendekatan data query berdasarkan pada dua kerangka, yaitu input yang bergantung dan input yang bebas. Relasi fuzzy query mengenalkan hasil dari proses pendekatan data query. 0 1 a b µ[x] c d x

(18)

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1Pengumpulan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari rujukan utama jurnal Fuzzy Conditional Probability Relations and their Applications in Fuzzy Information Systems (Intan dan Mukaidono 2004). Data tersebut terdapat pada Tabel 1, 2, 3, 4, dan 8.

4.2Rekonstruksi FCPR dari Dua

Himpunan Fuzzy

Salah satu fenomena pada data yang dijumpai di lapangan mengandung sesuatu yang tidak akurat dengan derajat keakuratan data yang berbeda. Sebagai contoh, tinggi dari Mt. Everest tidak diketahui secara akurat. Misalnya dikatakan bahwa tinggi Mt. Everest adalah “sekitar 8000 meter” atau “sangat tinggi”. Baik “sekitar 8000 meter” maupun “sangat tinggi” mempunyai derajat keanggotaan yang berbeda dari segi keakuratan. Mungkin saja “sekitar 8000 meter” lebih akurat daripada “sangat tinggi”, atau sebaliknya.

Derajat keakuratan didapatkan dengan cara menentukan total ketidaktahuan(TI) ke crisp. TImerepresentasikan data yang tidak akurat dan crisp merepresentasikan data yang akurat. Pada tulisan ini, himpunan fuzzy digunakan untuk merepresentasikan data yang tidak akurat.

Contoh 1

Tabel 1 Derajat Keanggotaan dari Linguistik H dan AP HANGAT (H) (o_{C) Derajat}_Keanggotaan 24 0.2 26 0.5 28 1 30 1 32 0.5 34 0.2 AGAK PANAS (AP) (o_{C) Derajat}_Keanggotaan 30 0.5 32 1 34 1 36 0.5

Misalkan diberikan data temperatur (data tidak akurat) yaitu HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) pada Tabel 1 yang merupakan variabel linguistik. H dan AP mempunyai domain crisp yaitu Temperatur (T) yang menyatakan derajat Celsius (o_C).

a. Pembentukan Himpunan Fuzzy dan Fungsi Keanggotaan

Dengan menggunakan definisi himpunan fuzzy pada persamaan (1), maka Tabel 1 dapat dinyatakan sebagai dua himpunan fuzzy, yaitu: H = {0.2/240_{C, 0.5/26}0_{C, 1/28}0_{C, 1/30}0_C,

0.5/320_{C, 0.2/34}0_C},

AP = {0.5/300_{C, 1/32}0_{C, 1/34}0_{C, 0.5/36}0_C}.

Variabel H dan AP merupakan himpunan fuzzy dari variabel suhu sehingga ada 2 variabel fuzzy yang dimodelkan, yaitu:

1) Variabel HANGAT (H),

2) Variabel AGAK PANAS (AP). Variabel HANGAT (H)

Variabel H merupakan himpunan fuzzy karena anggota yang terdapat dalam variabel H memiliki nilai keanggotaan yang berbeda (kontribusi pada himpunan itu). Variabel H dapat direpresentasikan dengan kurva trapesium (Trapmf). Fungsi keanggotaan H : H AN GAT 0; 23 atau 35 ( 23) /(35 23); 23 28 μ [ ] 1; 28 30 (35 ) /(35 30); 30 35 x x x x x x x x ≤ ≥ ⎧ ⎪ ₋ ₋ _{≤ ≤} ⎪ = ⎨ _{≤ ≤} ⎪ ⎪ − − ≤ ≤ ⎩

Variabel AGAK PANAS (AP)

Variabel AP merupakan himpunan fuzzy karena anggota yang terdapat dalam variabel AP memiliki nilai keanggotaan yang berbeda (kontribusi pada himpunan itu). AP dapat direpresentasikan dengan kurva trapesium (Trapmf). Fungsi keanggotaan AP : AGAKPANAS 0; 28 atau 38 ( 28) /(32 28); 28 32 μ [ ] 1; 32 34 (38 ) /(38 34); 4 38 x x x x x x x x ≤ ≥ ⎧ ⎪ − − ≤ ≤ ⎪ = ⎨ _{≤ ≤} ⎪ ⎪ ₋ ₋ _{≤ ≤} ⎩

(19)

b. Pembentukan Grafik Fungsi Keanggotaan

Dengan menggunakan software MATLAB 7.0.1, maka grafik fungsi keanggotaan dari variabel H dan AP adalah sebagai berikut :

H AP

Gambar 3 Fungsi Keanggotaan HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) Menurut fungsi keanggotaan, HANGAT (H)lebih pasti daripada AGAK PANAS (AP) karena interval T pada H lebih lebar daripada interval T pada AP sehingga dapat dikatakan bahwa ukuran dari keakuratan menganggap seperti ukuran yang spesifik (Yager 1970 dalam Intan dan Mukaidono 2004). Oleh sebab itu, derajat kemiripan antara dua data tidak akurat tidak harus simetris maupun transitif. Karakteristik ini termasuk ke dalam FCPR. Konsep dari FCPR akan dikonsentrasikan pada relasi kemiripan yang lemah dengan tipe yang spesifik yaitu relasi fuzzy biner (Intan dan Mukaidono 2004).

c. Mencari Derajat Kemiripan antara Dua Himpunan Fuzzy dengan Menggunakan FCPR

Untuk merekonstruksi derajat dari relasi kemiripan antara H dan AP, akan digunakan definisi FCPR pada persamaan (12) sehingga derajat dari relasi kemiripan antara HANGAT (H) dan AGAK PANAS (AP) yang ada pada Tabel 1 dapat ditentukan sebagai berikut :

{

ˆ ˆ

}

min ( ), ( ) ( , ) _ˆ , ( ) i i H j AP j i j i AP j i d d H AP R H AP AP d μ μ μ ∩ = =

∑

T

min(1,0.5) min(0.5,1) min(0.2,1) 1.2

( , ) , 0.5+1+1+0.5 3 R H AP = + + = dan

{

ˆ ˆ

}

min ( ), ( ) ( , ) _ˆ , ( ) i i AP j H j i j _i H j i d d AP H R AP H H d μ μ μ ∩ = =

∑

T

min(1, 0.5) min(0.5,1) min(0.2,1) 1.2

( , ) .

0.2+0.5+1+1+0.5+0.2 3.4

R AP H = + + =

RT(H, AP) dan RT(AP, H) mempunyai nilai

yang berbeda. RT(H, AP) adalah derajat

kemiripan AP yang serupa dengan H sedangkan RT(AP, H) adalah derajat kemiripan H yang

serupa dengan AP.

Pendekatan perhitungan menggunakan FCPR berguna untuk menentukan derajat dari relasi kemiripan antara dua himpunan fuzzy. Pada sistem informasi fuzzy yang diberikan RT(H, AP) ≥RT(AP, H) (derajat kemiripan AP

yang serupa dengan H adalah lebih besar dari derajat kemiripan H yang serupa dengan AP) sehingga dapat disimpulkan bahwa derajat kemiripan antara dua himpunan fuzzy adalah berbeda. Sifat tambahan dari relasi peluang bersyarat adalah sebagai berikut :

Untuk x y z, , ∈ Dj, maka : ( , ) ( , ) 1 j j R x y =R y x = ⇒ =x y, (31) ( , ) 1, ( , ) 1 j j R y x R x y x y ⎡ = < ⎤⇒ ⊂ ⎣ ⎦ , (32) ( , ) ( , ) 0 j j R x y =R y x > ⇒ x= y (33) ( , ) ( , ) j j R x y <R y x ⇒ x< y, (34) ( , ) 0 ( , ) 0 j j R x y > ⇒R y x > , (35) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0 j j j j R x y R y x R y z R z y ⎡ ≥ > ≥ > ⎤ ⎣ ⎦ ( , ) ( , ). j j R x z R z x ⇒ ≥ (36)

(Intan dan Mukaidono 2000a) 4.3 Rekonstruksi Konsep α-Objek Redundan

berdasarkan FCPR

Tabel data fuzzy dinamakan sistem informasi fuzzy yang berisi data mengenai objek dan atribut.

Beberapa objek mempunyai karakteristik yang hampir sama. Oleh karena itu, beberapa objek tersebut dapat dianggap seperti objek redundan. Konsep α-objek redundanditentukan dalam kaitannya dengan sistem informasi fuzzy dengan memanfaatkan derajat dari dasar kemiripan FCPR.

Pada sistem informasi klasik (crisp), semua data dianggap seperti data crisp sehingga derajat kemiripannya adalah 0 atau 1 (berderajat 0 jika data berbeda, dan berderajat 1 jika data sama). Dengan kata yang lain, setiap data

HANGAT AGAK PANAS

22 24 26 28 30 32 34 36 38 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Celsius D er aj at K ean ggot aan

(20)

memiliki kemiripan masing-masing. Definisi relasi identitas digunakan untuk merepresentasikan relasi antar data.

Contoh 2

Tabel 2a memperlihatkan sistem informasi dari reproduksi hewan I(U, A), dengan U = {u1, u2, u3}, dan A = {nama

hewan (d), reproduksi (r)}, Tabel 2a Reproduksi Hewan

U Nama Hewan (d) Reproduksi (r)

u1 Kuda Melahirkan

u2 Mamalia Melahirkan

u3 Burung Bertelur

Definisi α-objek redundan pada persamaan (13) dapat digunakan untuk membuktikan bahwa salah satu objek sudah tercakup dalam objek yang lainnya, objek yang sudah tercakup itu dinamakan dengan objek redundan.

Pada Tabel 2a akan dibuktikan bahwa u1

adalah objek redundan karena u1 sudah

tercakup pada u2 (kuda termasuk ke dalam

grup mamalia).

Andaikan derajat α ={1, 1}, dengan αd =

1 dan αr = 1 maka akan ditentukan

kemiripan dari data dengan FCPR. Atribut “nama hewan”

Pada atribut “nama hewan”, terdapat tiga buah objek yang berbeda. Menurut teorema permutasi apabila ada tiga buah objek yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari tiga buah objek yang berbeda tersebut jika diambil r buah objek tersebut adalah : 3 ! P ( 3 , 2 ) 6 r e la s i, ( 3 2 ) ! = = −

Relasi tersebut adalah :

1. Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(kuda, mamalia), 2. Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(mamalia, kuda), 3. Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(kuda, burung), 4. Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(burung, kuda), 5. Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(mamalia, burung), 6. Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(burung, mamalia). • Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(kuda, mamalia) P (m am alia kuda) 1, = →

dengan menggunakan fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995) relasi tersebut dinyatakan sebagai berikut :

p : IF mamalia (adalah benar) THENkuda (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena mamalia bukan bagian dari kuda,

(

∀

mamalia (hewan) = kuda) adalah salah.

• Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(mamalia, kuda)

P (kuda m am alia) 1,

= → =

Atau dengan menggunakan kondisi fuzzy proposition (Klir dan Yuan 1995), relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai:

p : IF kuda (adalah benar) THENmamalia (adalah benar),

Ini tentunya benar karena kuda merupakan bagian dari mamalia,

(

∀

kuda (hewan) = mamalia) adalah benar.

• Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(kuda, burung)

P (burung kuda) 1,

= →

p : IF burung (adalah benar) THEN kuda (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari kuda,

(

∀

burung (hewan) = kuda) adalah salah.

• Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(burung, kuda)

P (kuda burung) 1,

= →

p : IF kuda (adalah benar) THEN burung (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena kuda bukan bagian dari burung,

(

∀

kuda (hewan) = burung) adalah salah.

• Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(mamalia, burung)

P (burung m am alia) 1,

= →

p : IF burung (adalah benar) THEN

mamalia (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari mamalia,

(

∀

burung (hewan) = mamalia) adalah salah.

(21)

• Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(burung, mamalia)

P (m am alia burung) 1,

= →

p : IF mamalia (adalah benar) THEN

burung (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena burung bukan bagian dari mamalia, (

∀

mamalia (hewan) = burung) adalah salah.

Atribut “reproduksi”

Pada atribut “reproduksi”, terdapat dua buah objek yang berbeda. Menurut teorema permutasi apabila ada dua buah objek yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan berbeda) dari dua buah objek yang berbeda tersebut jika diambil dua buah objek tersebut adalah : 2 ! P ( 2, 2 ) 2 relasi, ( 2 2 )! = = −

Relasi tersebut adalah :

1. Rr(r(u1),r(u3)) =Rd(melahirkan, bertelur),

2. Rr(r(u3),r(u1)) =Rd(bertelur, melahirkan).

• Rr(r(u1),r(u3)) = Rd(melahirkan, bertelur)

P (bertelur m elahirkan) 1,

= →

p : IF bertelur (adalah benar) THEN

melahirkan (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena bertelur bukan bagian dari melahirkan. (

∀

bertelur (hewan) = melahirkan) adalah salah.

• Rr(r(u3),r(u1)) = Rd(bertelur, melahirkan)

P (m elahirkan bertelur) 1,

= →

p : IF melahirkan (adalah benar) THEN

bertelur (adalah benar),

Tetapi ini belum tentu benar karena melahirkan bukan bagian dari bertelur. (

∀

melahirkan (hewan) = bertelur) adalah salah.

Relasi-relasi pada atribut “nama hewan” dan “reproduksi” dapat dilihat sebagai berikut : Rd(d(u1),d(u2)) = Rd(Kuda, Mamalia) = 0, Rd(d(u2),d(u1)) = Rd(Mamalia, Kuda) =1, Rd(d(u2),d(u3)) = Rd(Mamalia, Burung) = 0, Rd(d(u3),d(u2)) = Rd(Burung, Mamalia) = 0, Rd(d(u1),d(u3)) = Rd(Kuda, Burung) = 0, Rd(d(u3),d(u1)) = Rd(Burung, Kuda) = 0, Rr(r(u1),r(u2)) = Rr(Melahirkan, Bertelur) = 0, Rr(r(u2),r(u1)) = Rr(Bertelur, Melahirkan) = 0.

Relasi yang bernilai benar (bernilai 1) adalah relasi pada objek yang sama, yaitu : Rd(d(u1),d(u1)) = Rd(kuda, kuda)= 1, Rd(d(u2),d(u2)) = Rd(mamalia, mamalia)=1, Rd(d(u3),d(u3)) = Rd(burung,burung)= 1, Rr(r(u1),r(u1)) = Rr(melahirkan melahirkan) = 1, Rr(r(u2),r(u2)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u1),r(u2)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u2),r(u1)) = Rr(melahirkan,melahirkan) = 1, Rr(r(u3),r(u3)) = Rr(bertelur, bertelur)=1.

Oleh karena Rd(d(u2),d(u1)) = 1, dapat

dikatakan bahwa u1 merupakan objek yang

berlebih-lebihan (objek redundan). Hal ini sesuai dengan persamaan (13) bahwa u1 adalah

objek redundan karena mencakup u2 (kuda

termasuk dalam grup mamalia), dengan Rd(d(u2),d(u1))= Rd(mamalia, kuda)=1 sehingga

u1 dapat dihilangkan karena merupakan objek

redundan (objek yang berlebih-lebihan). Tabel 2a akan berubah menjadi Tabel 2b, yaitu sebagai berikut :

Tabel 2b Reproduksi Hewan

U Nama Hewan (d) Reproduksi (r)

u2 Mamalia Melahirkan

u3 Burung Bertelur

4.4 Rekonstruksi Ketergantungan Atribut berdasarkan FCPR

Konsep ketergantungan atribut adalah perluasan dari konsep ketergantungan fungsi fuzzy (FFD). Dapat dikatakan bahwa atribut dari himpunan B ⊆ A bergantung seluruhnya

(22)

kepada C ⊆ A_{jika semua data gabungan}

pada domain himpunan atribut B merupakan penentuan yang khas dengan semua data gabungan pada domain himpunan atribut C, dengan A adalah himpunan semesta dari atribut.

Dengan menggunakan keluarga nilai dari persamaan (15) yaitu { ( , ) |δi C B ∀ ∈i `n}, maka derajat ketergantungan C menentukan B dapat didefinisikan menjadi tiga definisi sebagai berikut : (minimum) m in( , ) m in ( , ), n i i C B C B δ δ ∈ = ` (37)

(maksimum) _max( , ) max ( , ), n i i C B C B δ δ ∈ = ` ₍₃₈₎ (rata-rata) avg( , ) avg ( , ). n i i C B C B δ δ ∈ = ` ₍₃₉₎

Dari definisi di atas, akan diperoleh beberapa properti seperti :

δ_min( , ) 1C B = ⇔δ_avg( , ) 1C B = , (40) sama halnya dengan,

m in( , ) 1C B avg( , ) 1C B

δ < ⇔ δ < . (41) (Intan dan Mukaidono 2004)

• Jika δ_{a v g}( ,C B) =1, dapat dikatakan

bahwa B bergantung total pada C,

• Jika

a v g(C B, ) 1

δ < , dapat dikatakan

bahwa B bergantung sebagian (pada derajat δ_{a vg}( , )C B ) pada C.

Sama halnya dengan,

• jika δi(C B, ) =1 dapat dikatakan

bahwa B bergantung total pada C di objek ui,

• Jika δi(C B, )<1 dapat dikatakan bahwa B bergantung sebagian (pada derajat δi( , )C B ) pada C di objek ui.

Konsep ketergantungan atribut ini berhubungan dengan konsep ketergantungan fungsi fuzzy dengan adanya fuzzy relational database (Intan dan Mukaidono 2000).

Definisi fungsi ketergantungan fuzzy (FFD) pada persamaan (16) ini memenuhi Aksioma Amstrong (Amstrong 1974 dalam Intan dan Mukaidono 2004) sebagai berikut:

Jika B C E, , ⊆ A dengan A adalah himpunan semesta dari atribut, maka :

1. Refleksivitas : B⊆C⇒C→ B,₍₄₂₎

2. Augmentasi : C→ ⇒ ∪ →B C E B,₍₄₃₎

3. Transivitas : (C→B dan B→ ⇒ →E) C E. (44)

(Intan dan Mukaidono 2000) Contoh 3

Tabel 3 adalah sistem informasi fuzzy I(U, A = { c1, c2, c3, b1}) dengan U = {u1,…,u8}

adalah himpunan objek dan A = {c1, c2, c3, b1}

adalah himpunan atribut, C B, ⊂ A. Tabel 3 I (U, A = {c1, c2, c3, b1}) U c1 c2 c3 b1 u1 w1 x1 y1 z1 u2 w1 x2 y3 z1 u3 w2 x2 y3 z2 u4 w1 x1 y1 z2 u5 w2 x2 y1 z2 u6 w1 x1 y1 z1 u7 w2 x2 y3 z1 u8 w1 x2 y3 z1

Dari Tabel 3 akan diketahui derajat ketergantungan C menentukan B (B bergantung pada C), dengan C={ , , }c c c₁ ₂ ₃ dan B = {b1}

dan C B, ⊂A.

• δ₁( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u1.

1( ,B C)

δ yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u1.

asumsi : c1=’w1’, c2=’x1’, c3=’y1’, dan

b1=’z1’.

• δ₂( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u2 .

2( ,B C)

δ yaitu derajat ketergantungan B menentukan C pada objek u2 .

b1=’z1’.

• δ₃( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u3 .

3( ,B C)

b1=’z2’.

• δ₄( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C

(23)

4( ,B C)

b1=’z2’.

• δ₅( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u5.

5( ,B C)

asumsi c1=’w2’, c2=’x2’, c3=’y1’, dan

b1=’z2’.

• δ₆( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u6 .

6( ,B C)

b1=’z1’.

• δ₇( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u7.

7( ,B C)

b1=’z1’.

• δ₈( ,C B)yaitu derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u8.

8( ,B C)

b1=’z1’.

Transformasi dari Tabel 3 ke masing-masing objek u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7,dan u8

terdapat pada Lampiran.

Dengan menggunakan definisi derajat ketergantungan atribut pada persamaan (15), maka akan didapatkan derajat ketergantungan C menentukan B pada objek u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, dan u8 sebagai berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 ( , ) 2 / 3, ( , ) 1, ( , ) 1 / 2, ( , ) 1 / 3, ( , ) 1, ( , ) 2 / 3, ( , ) 1 / 2, ( , ) 1. C B C B C B C B C B C B C B C B δ δ δ δ δ δ δ δ = = = = = = = =

Dengan menggunakan persamaan (37), (38), dan (39) maka :

m in( , )C B 1 / 2, m ax( , )C B 1

δ = δ = ,

dan δ_avg( , ) 17 / 24C B = .

Selain itu, hasil dari derajat ketergantungan B menentukan C adalah sebagai berikut : 1 2 3 4 5 6 7 8 ( , ) 2 / 5, ( , ) 2 / 5, ( , ) 1/ 3, ( , ) 1/ 3, ( , ) 1/ 3, ( , ) 2 / 5, ( , ) 1/ 5, ( , ) 2 / 5. B C B C B C B C B C B C B C B C δ δ δ δ δ δ δ δ = = = = = = = =

Selanjutnya, derajat ketergantungan B menentukan C kemudian disamakan dengan derajat ketergantungan C menentukan B, sehingga :

( , ) ( , ), .

i C B i B C i

δ ≥δ ∀

Persamaan di atas memenuhi persamaan (16) sehingga dapat disimpulkan bahwa C → B

(C menentukan B) yang terdapat pada Tabel 3.

4.5 Rekonstruksi Pendekatan Data Reduksi dengan Operator Proyeksi.

Pendekatan data reduksi dengan operator proyeksi digunakan untuk menghasilkan relasi di antara himpunan fuzzy dengan membangun tabel keputusan yang sederhana pada sistem informasi I yang diberikan. Pengertian reduksi artinya mereduksi sistem informasi fuzzy menjasi tabel keputusan yang lebih sederhana dan proyeksi artinya adalah proyeksi pada himpunan fuzzy untuk menghasilkan relasi di antara dua himpunan fuzzy.

Berdasarkan pada jenis domain, atribut dapat dibagi menjadi dua kategori :

1. Atribut dengan domain himpunan fuzzy Yaitu atribut dengan domain yang dapat diekspresikan dengan himpunan fuzzy seperti umur, penghasilan, harga, angka mutu, dan lainnya.

2. Atribut dengan domain himpunan crisp Yaitu atribut dengan domain yang hanya dapat diekspresikan dengan data crisp seperti nama, kota, dan lainnya.

a. Proyeksi pada Relasi ℜ

Sebelum proyeksi dilakukan, setiap domain himpunan fuzzy yang akan diproyeksi dari relasi

ℜharus dibuat fuzzy partition terlebih dahulu. Bagian dari fuzzy partition disebut dengan fuzzy c-partition (Klir dan Yuan 1995), dengan c melambangkan angka dari kelas fuzzy yang dipartition. Hasil partition dari himpunan fuzzy merepresentasikan pendekatan dan pengartian kata dari penggunaan dasar kosa kata secara universal (Bosc et al. 1998).

Selanjutnya, relasi antara dua himpunan fuzzy, X dan Y, berhubungan dengan himpunan atribut Con dan Dec, yaitu dengan