PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI

PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh: SUHARTINI NIM : 003114038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

MOTTO

™

_{Serahkanlah perbuatanmu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala}

rencanamu. (Amsal 16:3).

™

Do not dwell in the past, do not dream of the future, concentrate the mind on the

present moment. ( Budha )

™

_{Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall. (Budha).}

Dengan penuh kasih karya ini kupersembahkan untuk : Bapak dan Ibukku,

Mas Arno, mas Ardi, mbak yanti, wandi, “bee”, all family,

ABSTRAK

Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Model ini akan diguna-kan untuk menentudiguna-kan, meramaldiguna-kan dan memperbaharui nilai parameter dari data runtun waktu yang variansinya tidak konstan. Nilai parameter dari model ARCH dapat diperoleh dengan menggunakan metode maksimum likelihood.

ABSTRACT

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) model is inconstant vari-ance autoregressive model. Varivari-ance is a variable in statistic that illustrate how far the changes of the data to mean. This model will be used to fit, to forecast, and to update renew parameter from inconstant variance of time series data. ARCH model parameter value can be obtained by using likelihood maximum method.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Hati kudus Tuhan Yesus dan bunda Maria, karena berkat karunia dan rahmatnya yang telah mereka berikan penulis dapat menyele-saikan skripsi ini.

Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan menulis skripsi ini. Namun, berkat bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si , selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, memimjamkan buku, serta kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku ketua program studi mate-matika FMIPA USD Yogyakarta.

3. Ibu Mv. Any Herawati, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiyati Budi-asih, S.Si, M.Si, selaku dosen penguji yang telah memberikan masu-kan-masukan dan koreksi.

5. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang ber-guna kepada penulis selama dibangku kuliah.

6. Bapak Gunardi, S.Si, M.Si, yang telah memberikan judul skripsi dan masukan-masukan.

7. Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan administrasi dalam

urusan-urusan perkuliahan kepada penulis.

8. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya memberikan dukungan

baik moral, spiritual, maupun materi sehingga penulis dapat

menye-lesaikan skripsi ini.

9. Kakak-kakakku, mas Ardi, mas Arno dan adiku yang selalu

mem-berikan dukungan, doa, bantuan materi serta kesabarnya selama ini.

10.Keluarga mbak Yanti dan keponakan-keponakanku Angela, Jepin

yang selalu memberi semangat, doa, bantuan materi.

11.Teman-temanku Sumi, Vin, Dora, Dewi, Deni, Veri (’01), Anjrah,

Heri (Ndoet), yang selalu setia menemani, memberikan semangat

dan mendengarkan curhatku.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena

itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi

kesempurnaan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini memberikan

man-faat dan berguna bagi semua pihak.

Yogyakarta, 22 Februari 2007

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI... x

BAB I PENDAHULUAN... 1

A. Latar Belakang Masalah... 1

B. Rumusan Masalah ... 2 C. Tujuan Penulisan... 2 D. Pembatasan Masalah ... 2 E. Manfaat Penulisan... 3 F. Metode Penulisan ... 3 G. Sistematika Penulisan ... 3

BAB II LANDASAN TEORI... 5

A. Konsep Dasar Runtun Waktu... 11

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi... 15

D. Autoregresi (AR)... 19

BAB III MODEL ARCH... 32

A. ARCH... 32

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu 41 C. Fungsi Kelihood ARCH... 47

BAB IV PENERAPAN MODEL ARCH PADA DATA HARGA SAHAM COMPOSITE INDEX... 53

A. Identifikasi Model ARCH ... 53

B. Uji Efek ARCH ... 57

C. Pembentukan Model Akhir ... 58

BAB V PENUTUP... 60

A. Simpulan ... 60

B. Saran... 60

DAFTAR PUSTAKA ... 61

LAMPIRAN... LAMPIRAN 1 Data Harga Saham Composite Index dari tanggal 03 Januari 2005 sampai 29 Desem-ber 2005... 62

LAMPIRAN 2 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (3) .. 66

LAMPIRAN 3 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (1) .. 67

LAMPIRAN 5 Hasil Analisis Penentuan Modal Akhir... 69

LAMPIRAN 6 Tabel Distribusi Statistik-t ... 70

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Pada kenyataannya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi kon-stan. Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data run-tun waktu memiliki variansi yang konstan. Variansi merupakan variabel dalam statistik yang menggambarkan seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rata-ratanya. Persamaan umum AR adalah

t k t k t t =β +β Υ + +β Υ +ε Υ _{0 1 −1 K −} dengan :

Υ_t = deret waktu tunggal

=

Υt₋i deret waktu tunggal yang ketinggalan i perioda

(

i=1,2,3,K,k

)

β = parameter

ε = galat

Bila variansi galat berubah terhadap waktu maka keadaan ini disebut heteroskedastisitas. Untuk itulah Robert F. Engle pada tahun 1982 menawarkan model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic). Model ARCH merupakan model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan.

Bentuk model ARCH adalah t t t =v h ε dengan

∑

∞ = − + = 1 2 0 i i t i t

h α α ε dan v_t berdistribusi normal standar.

Peramalan dengan model ARCH dapat kita lakukan cukup dengan adanya data runtun waktu tunggal. Peramalan dengan model ini tidak perlu memandang aspek-aspek lain yang dapat mempengaruhi perubahan data runtun waktu.

B. Rumusan Masalah

Pokok bahasan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan model ARCH?

2. Bagaimana penerapan model ARCH dalam peramalan dengan menggunakan data runtun waktu?

C. Tujuan Penulisan

Untuk menjelaskan dan membahas kegunaan model ARCH dalam peramalan data runtun waktu serta landasan teori yang mendukungnya.

D. Pembatasan Masalah

Dalam tulisan ini peramalan dengan model ARCH hanya akan membahas

2. Uji efek ARCH menggunakan pengganda langrange (langrange

multiplier).

3. Estimasi model ARCH menggunakan maksimum likelihood distibusi normal.

4. Pembuktian distribusi khi-kuadrat tidak dibuktikan.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah untuk semakin memahami dan menguasai penggunaan model ARCH dalam peramalan khususnya peramalan dengan menggunakan data runtun waktu.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode kepustakaan dan data diolah menggunakan software Eviws dan Minitab.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penu-lisan, manfaat penupenu-lisan, sistematika penulisan.

BAB II : menjelaskan tentang konsep dasar runtun waktu, fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi (ACF), fungsi parsial autokorelasi (PACF), autoregresi (AR).

BAB III : menjelaskan tentang model ARCH, ARCH, pengujian adanya efek ARCH dalam data runtun waktu, fungsi likelihood ARCH.

BAB IV : menjelaskan Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite

Index, identifikasi model awal, uji efek ARCH, penentuan model akhir.

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam peramalan dikenal adanya model deret berkala dan model regresi. Pada jenis model deret berkala, penduga masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel atau kesalahan masa lalu. Sedangkan model regresi mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab-akibat dengan satu atau lebih variabel bebas (variabel independen).

Suatu model regresi yang memiliki satu variabel bebas disebut model regresi sederhana atau model regresi linear klasik. Model regresi linear klasik dapat dinyatakan sebagai berikut:

(2.1) 1 0 i i i =β +β Χ +ε Υ dengan: stokastik gangguan unsur parameter ) independen (variabel bebas variabel dependen) (variabel bebas tak variabel = = = Χ = Υ ε β

Model tersebut memiliki beberapa asumsi yaitu:

Asumsi 1:

Asumsi 2:

Tidak adanya autokorelasi atau tidak terdapat korelasi diantara unsur gangguan sto-kastik, yaitu

(

)

(

(

( )

)

(

( )

)

)

(

)

(

)

(

)

( )

0 0 0 , = Ε = − − Ε = Ε − Ε − Ε = j i j i j j i i j i Kov ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

dengan i dan j adalah indeks untuk dua pengamatan yang berbeda.

Asumsi 3:

Varian ε_i adalah suatu bilangan konstan positif yang sama dengan _σ2 _{dengan kata} lain asumsi ini menyatakan homoskedastisitas atau variansi sama, yaitu:

( )

(

( )

)

( )

2 2 2 σ ε ε ε ε = Ε = Ε − Ε = i i i i Var

Penyimpangan dari asumsi 3 disebut sebagai heteroskedastisitas (variansi yang tidak konstan), yaitu:

( )

2 i i Var ε =σ Asumsi 4:

Untuk menaksir parameterβ digunakan metode kuadrat terkecil biasa ( method

of ordinary least squares (OLS) ). Langkah –langkahnya sebagai beriku :

Persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

(2.2) ˆ ˆ ˆ 1 0 i i i i i ε ε β β + Υ = + Χ + = Υ

dengan Υˆ_i merupakan nilai taksiran Υ_i. Secara alternatif persamaan (2.2) dapat din-yatakan sebagai berikut

(2.3) ˆ ˆ ˆ 1 0 i i i i i Χ − − Υ = Υ − Υ = β β ε

yang menunjukkan bahwa ε_i (galat) hanyalah perbedaan antara nilai Υ sebenarnya dengan yang ditaksir. Untuk sampel berukuran N pasang observasi jumlah kuadrat galatnya dapat dinyatakan sebagai berikut

(

)

(

ˆ ˆ

)

(2.4) ˆ 2 1 0 2 2

∑

∑

∑

Χ − − Υ = Υ − Υ = i i i i i β β ε

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap βˆ₀ maka diperoleh persamaan

(

)

₍

₎

(2.5) 0 ˆ ˆ 2 ˆ 0 1 0 2

∑

∑

_{=− Υ − − Χ =} ∂ ∂ i i i _{β β} β ε

Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap βˆ₁ maka diperoleh persamaan

(

)

₍

₎

(2.6) 0 ˆ ˆ 2 ˆ 0 1 0 2

∑

∑

_{=− Υ − − Χ Χ =} ∂ ∂ i i i i _{β β} β ε

Persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi (2.7) ˆ ˆ 1 0

∑

∑

Υ_i =Nβ +β Χ_i

Persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi

(2.8) ˆ ˆ 2 1 0

∑

∑

∑

Υ_iΧ_i =β Χ_i+β Χ_i

Dari persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh

(

)

(2.9) ˆ 2 2 1

∑

∑

∑

∑ ∑

Χ − Χ Υ Χ − Υ Χ = i i i i i i N N β

(

)

(2.10) ˆ 2 2 2 0

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

Χ − Χ Υ Χ Χ − Υ Χ = i i i i i i i N β

Selain menaksir parameter β kita tentukan koefisien determinasi _R2_{. Koefisien} determinasi merupakan ukuran ikhtisar yang menyatakan seberapa baik garis regresi sampel mencocokkan data. Bila persamaan (2.2) kedua sisi dikurangi Υ maka per-samaannya menjadi (2.11) ˆ i i i −Υ =Υ −Υ+ε Υ

Kemudian persamaan (2.11) kedua sisi dikuadratkan sehingga persamaannya menjadi

(

)

2

(

ˆ

)

2 2

(

ˆ

)

∑

2 (2.12)

∑

Υ_i −Υ =

∑

Υ_i −Υ +

∑

Υ_i −Υε_i + ε_i

Karena persamaan (2.5)

∑

ε_i =0 dan persamaan (2.6)

∑

ε_iΧ_i =0 maka

(

)

(

)

(2.13) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 0 1 0 = Υ − Χ + = Υ − Χ + = Υ − Υ

∑

∑

∑

∑

∑

i i i i i i i i ε ε β ε β ε β β ε

Sehingga persamaan (2.12) menjadi

(

)

2

(

ˆ

)

2 2 (2.14)

∑

∑

Υ_i −Υ =

∑

Υ_i −Υ +

ε

_i dengan

(

)

∑

Υ −Υ 2

i = jumlah kuadrat total ( total sum of squares (TSS) )

(

)

∑

Υˆ_i −Υ 2 = jumlah kuadrat yang dijelaskan ( explined sum of squares (ESS) )

∑

2

i

ε = jumlah kuadrat galat/residual ( residual sum of squares (RSS) )

Definisi 2.1:

Koefisien determinasi _R2 _{didefinisikan sebagai}

(

)

(

)

∑

∑

Υ − Υ Υ − Υ = = ₂ 2 2 ˆ i i TSS ESS R Teorema 2.1 Bila

(

)

(

)

∑

∑

Υ −Υ Υ − Υ = ₂ 2 2 ˆ i i N

TR dengan T merupakan banyaknya observasi maka

sta-sistik uji _TR2 _{akan berdistribusi khi-kuadrat.} Bukti :

Karena Υˆ_{i merupakan nilai taksiran}

i

( )

(

)

2 2 1 ˆ ˆ _S n Var i i ₋ = Υ − Υ = Υ

∑

sedangkan

( )

(

)

2 2 σ = Υ − Υ = Υ

∑

N Var i i akibatnya

(

)

(

)

(

)

(

)

₂2 2 2 2 2 2 1 1 ˆ σ σ S n N S n N N TR i i − = − = Υ − Υ Υ − Υ =

∑

∑

Jadi terbukti bahwa _TR2 _{berdistribusi χ}2 _{dengan derajat bebas n-1. ■}

Sedangkan model regresi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas disebut mode regresi linear berganda. Model regresi linear berganda dapat dinyatakan sebagai berikut: (2.15) ... 2 2 1 1 0 i i k ki i i =β +β Χ +β Χ + +β Χ +ε Υ dengan: parameter bebas variabel bebas tak variabel = = Χ = Υ β

1,2,3,...) (i i, -ke observasi i stokastik gangguan unsur = = = ε

Model tersebut memiliki asumsi yang sama dengan asumsi pada model regresi linear klasik. Sedangkan untuk menaksir parameter β juga menggunakan metode OLS.

A. Konsep Dasar Runtun Waktu

Suatu runtun waktu (deret waktu/deret berkala) adalah sekumpulan observasi yang berurutan dalam waktu tertentu. Suatu runtun waktu dinotasikan dengan Υ_t dengan t menunjuk pada perioda waktu yang berturutan. Bila t adalah bilangan asli maka Υ_t merupakan runtun waktu diskrit. Bila t sembarang bilangan real maka Υ_t merupakan runtun waktu kontinu.

Dilihat dari sejarah nilai observasi, runtun waktu dapat dibedakan atas runtun waktu deterministik dan runtun waktu stokastik. Runtun waktu deterministik adalah runtun waktu dengan nilai observasi mendatang dapat dihitung atau diramalkan se-cara pasti melalui suatu fungsi berdasarkan nilai observasi yang lampau. Sedangkan runtun waktu stokastik adalah runtun waktu yang nilai observasi mendatang hanya menunjukkan struktur probabilistik yang digambarkan melalui fungsi tertentu ber-dasarkan observasi yang lampau. Contoh runtun waktu deterministik Υ_t =cos

(

2πft

)

dengan Υ_t merupakan nilai observasi pada saat t. Sedangkan f merupakan fre-kuensi yang nilainya dapat ditentukan dengan

N

panga-matan). Contoh runtun waktu stokastik adalah ada Nobservasi yang nilainya dapat ditentukan sebagai Υ₁,Υ₂,Υ₃,_K,Υ_n dengan Υ₁,Υ₂,Υ₃,_K,Υ_n merupakan variabel-variabel random yang memiliki fungsi probabilitas.

Suatu runtun waktu disebut stasioner bila a. Ε

( )

Υ_t =konstan untuk setiapt b. Var

( )

Υ_t =konstan untuk setiapt

c. Kov

(

Υ_t,Υ_t−k

)

=konstan untuk setiaptdan Kov

(

Υ_t,Υ_t−k

)

dependen terhadap lag k

Dengan demikian, suatu runtun waktu dikatakan stasioner bila rata-rata, variansi, dan kovariansinya tetap konstan sepanjang waktu. Sedangkan runtun waktu dikatakan tidak stasioner bila runtun waktu tersebut gagal memenuhi satu bagian atau lebih dari syarat tersebut. Untuk mencapai asumsi stasioneritas, data yang belum stasioner harus diubah menjadi stasioner. Hal itu dapat diatasi melalui metode pembedaan (differencing).

Misal diketahui deret angka sebagai berikut : 2,4,6,8,_K,20 yang mengandung trend linear dan tidak bersifat acak. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan , 4-2, 6-4, 8-6, ... ,20-18, kita akan mendapatkan nilai-nilai pembedaan pertama (first

differeneces) yang merupakan deret angka 2,2,2,...,2 dan deret ini jelas stasioner. Jadi

untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret baru yang terdiri dari perbedaan angka antara periode yang berturut-turut:

(2.16) 1 − Υ − Υ = Υ′_{t t t}

Deret baru Υ′_t, akan mempunyai n−1 buah nilai dan akan stasioner apabila trend dari data awal Υ_t adalah linear (pada orde pertama).

Apabila autokorelasi dari data yang dibedakan pertama tidak mendekati nol sesudah lag kedua atau ketiga, berarti data belum bisa dikatakan stasioner. Oleh karena itu perlu dilakukan pembedaan lagi dari data pembedaan pertama sebagai berikut:

(2.17)Υ ′′_t =Υ′_t −Υ′_t−1

t

Υ ′′ dinyatakan sebagai deret pembedaan orde kedua (second order differences). Deret ini akan mempunyai n−2 buah nilai. Dengan mensubstitusikan (2.16) ke dalam (2.17) akan diperoleh:

(

) (

)

2 1 2 1 1 2 _{− −} − − − Υ + Υ − Υ = Υ ′′ Υ − Υ − Υ − Υ = Υ ′′ t t t t t t t t t

Barisan

{ }

ε_t merupakan proses white noise bila untuk setiap periode waktu t

maka berlaku

I. Ε

( )

ε_t =0untuk setiapt

II. _Ε

( )

_εt2 _=σ2 untuk setiapt

Teorema 2.2

Bila ε_t white noise maka ε_t stasioner. Bukti:

Pertama karena Ε

( )

ε_t =0 dan 0 suatu konstanta maka syarat pertama stasioner dipenuhi.

Kedua karena Ε

( )

ε_t =0 dan _Ε

( )

_ε2 _=σ2

t maka

( )

(

( )

)

(

)

( )

2 2 2 2 0 σ ε ε ε ε ε = Ε = − Ε = Ε − Ε = t t t t t Var

Yang berarti syarat kedua stasioner dipenuhi.

Ketiga karena Ε

( )

ε_t =0untuk setiapt dan Ε

(

ε_tε_s

)

=0untuk setiapt≠s maka

(

)

(

(

( )

)

(

( )

)

)

(

)(

)

(

)

(

)

0 0 0 , = Ε = − − Ε = Ε − Ε − Ε = − − − − − k t t k t t k t k t t t k t t Kov ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

Yang berarti syarat ketiga stasioner dipenuhi.

Jadi terbukti bahwa ε_t stasioner. ■

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi (ACF)

Definisi 2.2:

Autokovariansi antara Υ_t dan Υ_t−kdidefinisikan sebagai

(

_t, _{t k}

)

(

(

_t

( )

_t

)

(

_{t k}

(

_{t k}

)

)

)

_k (2.18)

Kov Υ Υ₋ =Ε Υ −Ε Υ Υ₋ −Ε Υ₋ =γ

Teorema 2.3

Bila Υ_t runtun waktu stasioner maka γ₀ =Var

( )

Υ_t dan γ_k =γ_−k. Bukti:

(

)

( )

(

)

(

( )

)

(

)

( )

(

)

( )

t t t t t t t t t Var Kov Υ = Υ Ε − Υ Ε = Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ = , 2 0 γ

dengan mengingat syarat ketiga stasioner sehingga

(

)

(

,

)

, k t t k t t k Kov Kov + − Υ Υ = Υ Υ = γ =γ_−k ■

Fungsi autokovariansi merupakan plot dari γ_k terhadap lag k.

Fungsi korelasi digunakan untuk mengetahui sejauh mana hubungan antara satu kelompok data dengan satu kelompok data lainnya. Sedangkan fungsi autokorelasi

merupakan perkembangan lebih lanjut dari fungsi korelasi. Fungsi autokorelasi digunakan untuk mengetahui apakah suatu data pada waktu tertentu dipengaruhi oleh data pada waktu sebelumnya dan juga digunakan untuk mengetahui apakah suatu data stasioner atau tidak stasioner. Stasioneritas sangat diperlukan karena untuk mempermudah melakukan peramalan.

Definisi 2.3 :

Didalam runtun waktu korelasi antara Υ_t dan Υ_t−k disebut autokorelasi bila

(

)

(

)

( ) (

)

( )

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

(

(

)

)

)

(2.19) , , 2 2 k t k t t t k t k t t t k t t k t t k t t Var Var Kov Korr − − − − − − − Υ Ε − Υ Ε Υ Ε − Υ Ε Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ Υ Υ = Υ Υ

Karena syarat kedua stasioner dan sifat pertama autokovariansi persamaan (2.19) menjadi

(

)

(

(

( )

)

(

(

)

)

)

( )

(

)

(2.20) , 0 2 k k t t k t k t t t k t t Korr ρ γ γ = = Υ Ε − Υ Ε Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ − − −

Teorema 2.4

Bila Υ_t runtun waktu stasioner maka ρ₀ =1 dan ρ_k =ρ_−k. Bukti: 1 0 0 0 =_γ = γ ρ

Menggunakan Teorema 2.3 maka diperoleh

0 0 γ γ γ γ ρ k k k = = − = ρ_−k ■

Fungsi autokorelasi merupakan plot dari ρ_k terhadap lag k.

Dalam praktek kita bisa menggunakan autokorelasi sampel, dengan mengasumsikan Υ_t stasioner sehingga Υ =Υt =Υt−1 dan Var

( )

Υ_t =Var

(

Υ_t−k

)

sebagai berikut:

(

)

( ) (

)

(

)(

)

(

)

1 1 , 1 2 1 − Υ − Υ −       _{Υ −Υ Υ −Υ} = Υ Υ Υ Υ =

∑

∑

= + = − − − n n Var Var Kov n t t n k t k t t k t t k t t k ρ

(

)(

)

(

)

(2.21) 1 2 1

∑

∑

= + = − Υ − Υ Υ − Υ Υ − Υ = _n t t n k t t t k k ρ

C. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

Fungsi autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk menunjukkan keeratan hubungan antara Υ_t dan Υ_t−k.

Definisi 2.4 :

Autokorelasi parsial didefinisikan sebagai berikut: ( ) ( ) (2.22) k k kk Μ Η = φ

dengan Μ_{( )k} dan Η_{( )k} adalah matriks autokorelasi k×k, yaitu

( )                 = Μ − − − − − − 1 1 1 1 3 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 L M M M M M L L L k k k k k k k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

Sedangkan Η_{( )k} adalah Μ_{( )k} yang kolom terakhirnya diganti             k ρ ρ ρ M 2 1 dapat ditulis menjadi

( )                 = Η − − − k k k k k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ L M M M M M L L L 3 2 1 3 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1

Untuk memperoleh φ_kkdengan k =1,2,3,_K digunakan aturan Cramer akan diperoleh

2 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 1 2 2 1 1 1 33 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 22 1 11 2 2 1 2 1 1 1 1 1 , 3 1 1 1 1 , 2 , 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ − − + − − + + = = = − − = = = = = k k k D. Autoregresif (AR)

Model Autoregresif memiliki persamaan umum sebagai berikut:

(2.23) ... 2 2 1 1 0 t t k t k t t =φ +φ Υ +φ Υ + +φ Υ +ε Υ _{− − −}

Persamaan (2.23) juga merupakan persamaan regresi, tetapi berbeda dengan persamaan (2.15). Pada persamaan (2.15) variabel-variabel sebelah kanan merupakan faktor-faktor bebas yang lain, sedangkan pada persamaan (2.23) variabel-variabel sebelah kanan merupakan nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υ_t.

Asumsi-asumsi pada persamaan regresi juga berlaku pada persamaan tersebut denganε_t merupakan white noise.

Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υ_t yang ketinggalan satu perioda maka persamaannya disebut autoregresif orde satu (AR (1)). Persamaan AR (1) adalah

(2.24) 1 1 0 t t t =φ +φ Υ +ε Υ ₋

Bila Υ_t diketahui maka akan diperoleh

(

)

(

)

2 _{0 1 1 2} 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 ε ε φ φ φ φ ε ε φ φ φ φ ε φ φ ε φ φ + + Υ + + = + + Υ + + = + Υ + = Υ + Υ + = Υ

(

)

(

)

(

)

M 1 1 3 2 1 1 2 1 0 3 1 2 1 1 0 3 2 1 1 2 1 0 3 1 2 1 0 1 0 0 3 2 1 1 0 2 1 1 0 1 0 3 2 1 0 3 ε ε φ ε φ φ φ φ φ ε ε φ ε φ φ φ φ φ φ φ ε ε ε φ φ φ φ φ φ ε φ φ + + + Υ + + + = + + + Υ + + + = + + + Υ + + + = + Υ + = Υ

(

)

( ) ( ) ( ) n (n n) n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − − − − − + + + + + Υ + + + + + = Υ ε φ ε φ ε φ ε φ φ φ φ φ φ 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 K K

Sehingga untuk setiap 0t〉 akan didapatkan

(2.25) 1 0 1 0 1 1 0 1 0

∑

∑

− = − − = + Υ + = Υ t i i t i t t i i t φ φ φ φ ε

Nilai harapan Υ_t pada persamaan (2.25) dapat dicari dengan mengingat syarat pertama white noise adalah

( )

(

)

(2.26) 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 Υ + =       Ε + Υ Ε +       Ε =       _{+ Υ +} Ε = Υ Ε

∑

∑

∑

∑

∑

− = − = − − = − = − − = t t i i t i i t i t t i i t i t i i t t i i t φ φ φ ε φ φ φ φ ε φ φ φ φ

Sedangkan nilai harapan dari Υ_t−k dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah

(

)

(

)

(2.27) 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 Υ + =       Ε + Υ Ε +       Ε =       _{+ Υ +} Ε = Υ Ε − − − = − − = − − − − − = − − = − − = − − − −

∑

∑

∑

∑

∑

k t k t i i k t i i k t i k t k t i i k t i k t i i k t i k t i k t φ φ φ ε φ φ φ φ ε φ φ φ φ

Persamaan (2.26) dan (2.27) keduanya dependen terhadap waktu. Karena

( )

Υt ≠Ε

(

Υt−k

)

Ε maka

{ }

Υ_t tidak stasioner.

Teorema 2.5

bila φ₁〈1 maka I. t−k

1

II.

(

1 3 ...

)

1 2 1 1 0 1 0 1 0

∑

= + + + + − − = φ φ φ φ φ φ t k i i _{konvergen ke} 1 1 φ φ − o _(2.29) Bukti:

I. Karena φ₁〈1 maka lim ₁− =0

∞ → k t t φ II. Karena

(

1 3 ...

)

1 2 1 1 0 1 0 1 0

∑

= + + + + − − = φ φ φ φ φ φ t k i

i _{merupakan deret geometri yang}

konvergen dengan a=φ₀dan r=φ₁ maka

1 0 1 1 φ φ − = −r a ■

Jadi untuk

(

t→∞

)

dan φ₁〈1,

( )

(2.30) 1 lim lim 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0

∑

∑

∑

∞ = − − = − − = ∞ → ∞ → + − =       _{+ Υ +} = Υ i t i i t i t i i t t i i t t t ε φ φ φ ε φ φ φ φ

Nilai harapan Υ_t dengan menggunakan persamaan (2.30) dan mengingat syarat pertama white noise adalah

( )

(2.31) 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 φ φ ε φ φ φ ε φ φ φ − =       Ε +       − Ε =       + − Ε = Υ Ε

∑

∑

∞ = − ∞ = − i i t i i i t i t

Terlihat bahwa rata-rata dari Υ_t berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi

( ) (

)

untuk semua . 1 ₁ 0 _t k t t _φ φ − = Υ Ε = Υ Ε ₋

Nilai variansiΥ_t dengan menggunakan persamaan (2.30), (2.31) dan mengingat syarat kedua white noise adalah

( )

(

( )

)

( )

( )

( )

(2.32) 1 ... ... 1 1 2 1 2 2 4 1 2 2 1 2 2 2 4 1 2 1 2 1 2 2 0 1 2 1 0 0 1 1 0 2 φ σ σ φ σ φ σ ε φ ε φ ε ε φ φ φ ε φ φ φ − = + + + = + Ε + Ε + Ε =       Ε =       − − + − Ε = Υ Ε − Υ Ε = Υ − − ∞ = − ∞ = −

∑

∑

t t t i t i i i i t i t t t Var

yang juga berhingga dan independen terhadap waktu.

Nilai kovariansiΥ_t dengan mengingat persamaan (2.30), syarat kedua white noise dan persamaan (2.31) adalah

(

)

(

(

( )

)

(

(

)

)

)

                  Ε =               − − + −       − − + − Ε = Υ Ε − Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ

∑

∑

∑

∑

∞ = − − ∞ = − ∞ = − − ∞ = − − − − 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 , i i k t i i i t i i i k t i i i t i k t k t t t k t t Kov ε φ ε φ φ φ ε φ φ φ φ φ ε φ φ φ

(

)

(

(

)

(

))

( )

(

)

(

)

(

K

)

K K K + Ε + Ε + Ε = + + + + + + + + + + + Ε = Υ Υ − − + − − + − − − + − − − − − − − − + − − − − 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , k t k k t k k t k k t k k t k k t k t k t k t k k t k t t t k t t Kov ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ ε ε φ ε φ ε φ ε φ ε

(

)

(2.33) 1 1 2 1 1 2 4 1 2 1 1 2 φ φ σ φ φ φ σ − = + + + = k k K

Ternyata nilai kovariansinya berhingga dan tidak berubah terhadap waktu. Jadi bila nilai limit (2.30) digunakan maka deret

{ }

Υ_t akan menjadi stasioner.

Fungsi Autokorelasi (ACF) untuk AR (1) dapat dicari dengan menggunakan persamaan (2.32) dan (2.33) sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 1 1 1 0 untuk φ φ σ φ σ φ γ γ ρ φ φ σ φ σ φ γ γ ρ γ γ ρ = − − = = = = − − = = = = = = k k k M

(

)

(

)

n n n n n k ₁ 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 φ φ σ φ σ φ γ γ ρ = − − = = =

Bila .0〈φ₁〈1makaρ_k〉0untuk semuak Bila −1〈φ₁〈0 maka akan berubah tanda ρ_k dari negatif ke positif untuk semua k ≥1.

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (1) Untuk , 1 = k φ₁₁ =ρ₁ =φ₁ , 2 = k 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 = − − = − − = φ φ φ ρ ρ ρ φ

Karena AR (1) persamaannya hanya berhubungan dengan Υ_t−1 maka untuk k≥2

nilai φ_kk bernilai nol. Secara umum dapat ditulis menjadi

   ≥ = 2 untuk 0 1 untuk 1 k k kk φ φ

Pada proses ini autokorelasi parsial bernilai tidak nol pada lag pertama, yang juga merupakan order dari proses, tetapi bernilai nol untuk lag yang lain.

Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υ_t yang ketinggalan p perioda maka persamaannya disebut autoregresif orde p (AR (p)). Persamaan AR (p) adalah

(2.34) 1 0 t i t p i i t =φ + φ Υ +ε Υ ₋ =

∑

Nilai harapanΥ_t persamaan (2.34) dengan mengingat syarat pertama white noise adalah

( )

( )

( )

t 1 0 1 0 ε φ φ ε φ φ Ε +       Υ Ε + Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε

∑

∑

= − = − p i i t i t p i i t i t (2.35) 1 0

∑

= − Υ + = p i i t i φ φ

sedangkan nilai harapan Υ_t−k adalah

(

)

( )

( )

(2.36) 1 0 k t 1 0 1 0

∑

∑

∑

= − − − = − − − = − − − Υ + = Ε +       Υ Ε + Ε =       + Υ + Ε = Υ Ε p i i t k i p i i k t i k t p i i t k i k t φ φ ε φ φ ε φ φ

Persamaan (2.35) dan (2.36) keduanya dependen terhadap waktu. Karena

( ) (

Υt ≠Ε Υt−k

)

Ε maka

{ }

Υ_t tidak stasioner. Persamaan (2.34) dapat ditulis menjadi

0 1 t p i i t i t − φ Υ =φ +ε Υ

∑

= − (2.37) 0 2 2 1 1 t t p t p t t −φ Υ −φ Υ − −φ Υ =φ +ε Υ _{− − K −}

Apabila persamaan (2.37) ditulis dalam bentuk operator pergeseran mundur dengan

i t t i

t p i i i t t p i i i t t t p p t t t B B B B B ε φ φ ε φ φ ε φ φ φ φ + =       Υ + = Υ       − Υ + = Υ − − Υ − Υ − Υ

∑

∑

= = 0 1 t 0 1 0 2 2 1 -1 K (2.38) 1 -1 1 0 1 0 t

∑

∑

= = − + = Υ _p i i t p i i iB φ B ε φ φ dengan 1 1 ≠

∑

= p i i iB φ .

Nilai harapan Υ_t persamaam (2.38) dengan mengingat syarat pertama white noise

adalah

( )

1 1 1 1 0             − + − Ε = Υ Ε

∑

∑

= = p i i i t p i i i t B B φ ε φ φ (2.39) 1 1 1 1 0 1 1 0

∑

∑

∑

= = = − =             − Ε +             − Ε = p i i i p i i i t p i i i B B B φ φ φ ε φ φ

Nilai variansi Υ_t persamaam (2.38) dengan mengingat syarat kedua white noise adalah

( )

(

( )

)

2 1 0 1 1 0 2 1 1 1             − − − + − Ε = Υ Ε − Υ Ε = Υ

∑

∑

∑

= = = p i i i p i i i t p i i i t t t B B B Var φ φ φ ε φ φ (2.40) 1 1 2 1 2 2 1 2       − =                     − Ε =

∑

∑

= = p i i i p i i i t B B φ σ φ ε

Nilai kovariansi

(

Υ_t,Υ_t−k

)

dengan mengingat syarat ketiga white noise adalah

(

t t k

)

(

(

t

( )

t

)

(

t k

(

t k

)

)

)

Kov Υ ,Υ₋ =Ε Υ −Ε Υ Υ₋ −Ε Υ₋                   − − − + −                   − − − + − Ε =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = − = = = = p i i i p i i i k t p i i i p i i i p i i i t p i i i B B B B B B 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 φ φ φ ε φ φ φ φ φ ε φ φ

(

)

                        −             − Ε = Υ Υ

∑

∑

= − = − p i i i k t p i i i t k t t B B Kov 1 1 1 1 , φ ε φ ε (2.41) 0 1 ₂ 1 =                     − Ε =

∑

= − p i i i k t t B φ ε ε

Jadi autoregresi orde p merupakan runtun waktu yang stasioner.

Bila persamaan (2.34) dikalikan Υ_t−k dengan 0k〉 maka persamaannya menjadi (2.42) 1 1 0 t k t t k p t p t k t t k k t tΥ− = Υ− + Υ−Υ− + + Υ− Υ− + Υ− Υ φ φ _K φ ε

dan dengan mengambil nilai harapannya diperoleh

(

Υ_tΥ_t−k

)

= ₀Ε

(

Υ_t−k

)

+ ₁Ε

(

Υ_t−1Υ_t−k

)

+ + _pΕ

(

Υ_t−pΥ_t−k

)

+Ε

(

_tΥ_t−k

)

(2.43)

Ε φ φ _K φ ε

Persamaan (2.43) menurut definisi 2.2 dan dengan menggunakan persamaan (2.39) serta syarat ketiga white noise dapat ditulis menjadi

(2.44) 1 1 1 1 2 0 p k p k p i i i k B − − = + + + − =

∑

φ φγ φ γ φ γ _K

Bila persamaan (2.44) dibagi γ₀ maka diperoleh fungsi autokorelasi AR (p) sebagai berikut (2.45) 1 1 1 2 1 2 0 p k p k p i i i k B − − = _{+ + +}     − =

∑

φ ρ φ ρ σ φ φ ρ _K

Persamaan (2.45) merupakan persamaan yule-walker. 2 1 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1, k untuk φ ρ φ φ σ φ φ ρ ρ φ ρ φ φ σ φ φ ρ − + + +                   − = + + + +       − = = − = − =

∑

∑

p p p i i i p p p i i i B B K K M K 2 2 1 1 2 1 2 0 2 1 2, k = + + + + ₋       − = =

∑

_{p p} p i i iB ρ φ φ ρ φ σ φ φ ρ p p p p i i i p B p φ ρ φ ρ φ σ φ φ ρ + + + +     − = =

∑

= _{− −} K 2 2 1 1 2 1 2 0 1 , k

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) untuk AR (p)

2 1 1 2 1 2 0 1 11 ₁ 1 1, k untuk φ ρ φ φ σ φ φ ρ φ − + + +                   − = = = − =

∑

p p p i i iB K M

1 1 1 1 1 , 3 2 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L L M M M M M L L − − − − − − − − = = p p p p p p p p p pp p k ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ . untuk , 0 k p kk = 〉 φ

Autokorelasi parsial akan nol setelah lag p atau kurva akan terputus setelah suku

BAB III

MODEL ARCH

A. ARCH

Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH) merupakan model

autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Masalah yang dihadapi ketika berhadapan dengan data runtun waktu adalah masalah variabilitas, yang menentukan seberapa cepat data berubah menurut waktu. Variabilitas menjadi bagian sangat penting ketika sebuah sistem lebih bersifat stokastik dari pada deterministik. Dalam sistem stokastik sendiri juga masih dibedakan antara data runtun waktu dengan variabilitas konstan atau variabilitas tidak konstan. Suatu besaran yang dapat mengukur variabilitas adalah variansi. Variansi mengukur harapan seberapa besar nilai suatu data runtun waktu berbeda terhadap rata-rata data keseluruhan.

Engle (1982) menunjukkan bahwa model runtun waktu, rata-rata dan variansinya dapat dicari secara bersamaan. Dengan manunjukkan bahwa ramalan bersyarat lenih unggul dari pada yang tidak bersyarat. Sebagai contoh, kita miliki AR(1) (3.1) 1 1 0 t t t =φ +φ Υ +ε Υ ₋

dan ingin meramalkan Υt+1 yaitu ramalan satu langkah kedepan. Ramalan bersyarat

(

Υ+1 Υ

) (

=Ε 0 + 1Υ + +1

)

Ε _{t t} φ φ _t ε_t

( ) (

) ( )

(3.2) 1 0 1 1 0 t t t Υ + = Ε + Υ Ε + Ε = ₊ φ φ ε φ φ

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan (2.16) maka nilai harapan adalah

( )

(3.3) 1 ₁ 0 1 _φ φ − = Υ Ε _t+

Bila kita gunakan rata-rata bersyarat (3.2) untuk mencari nilai variansi bersyarat, akan diperoleh

(

)

[

(

)

]

[

]

[

]

( )

2 1 2 1 0 1 1 0 2 1 0 1 2 1 1 1 + + + + + + Ε = Υ − − + Υ + Ε = Υ − − Υ Ε = Υ Υ Ε − Υ Ε = Υ Υ t t t t t t t t t t t Var ε φ φ ε φ φ φ φ karena Ε

( )

ε_t =0 maka

( ) ( )

(

( )

)

( )

(3.4) 2 1 2 1 2 1 2 1 σ ε ε ε ε = = Ε − Ε = Ε + + + + t t t t Var

Sedangkan bila digunakan ramalan tak bersyarat dengan memperhatikan persamaan (2.11) maka variansi tidak bersyarat dari

( )

(3.5) 1 2 1 2 1 _φ σ − = Υ_t+ Var

Bila 1 1 1 maka 1 0 ₂ 1 1〈 ₋ ≥ 〈 φ

φ sehingga ramalan tidak bersyarat mempunyai variansi

yang lebih besar, dengan alasan inilah ramalan bersyarat lebih digemari. Bila variansi bersyarat Υ_t dependen terhadap waktu maka disebut heteroskedastisitas.

Suatu pendekatan menggambarkan kuadrat dari ε_t dapat ditulis dalam proses AR (1) sebagai berikut (3.6) 2 1 1 0 2 t t t =α +α ε − +u ε

Dengan u_t merupakan white noise baru,α₀〉0 dan α₁ ≥0.

Persamaan (3.6) merupakan pesamaan Autoregressive Conditional

Heteroscedastic orde 1 (ARCH (1)). Sebagai alternatif persamaan (3.6), dapat

dinyatakan dalam bentuk multiplikatif yang diusulkan Engle (1982) sebagai berikut (3.7) t t t =v h ε dengan 2 1 1 0 + − = _t t

h α α ε dan v_t berdisribusi normal standar. Bila persamaan (3.7) kedua sisi dikuadratkan dan 2

t

ε menggunakan persamaan (3.6) maka persamaannya menjadi

(

2 1

)

2 − = + = t t t t t t t v h u u h v h

Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (1): a. Nilai harapan ε_t sama dengan nol.

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut

( )

(

)

( )

(

)

(

)

0 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 t = + Ε = + Ε Ε = + Ε = Ε − − − t t t t t v v ε α α ε α α ε α α ε

b. Bila α₁〈1 maka galat

( )

ε_t mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

( )

(

( )

)

2 t t t Var ε =Εε −Εε

( )

2 =Εε_t

( )(

)

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1 1 0 0 2 3 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 2 2 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + + Ε = + + + Ε = + + Ε = + + Ε = + Ε = + Ε Ε = + Ε = t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v v v v v v v v v v v v v ε α α α α α α ε α α α α α α ε α α α α ε α α α α ε α α ε α α ε α α

( )

(

)

1 0 3 1 2 1 1 0 3 1 0 2 1 0 1 0 0 1 1 α α α α α α α α α α α α α ε − = + + + + = + + + + = K K t Var

Jadi variansi tidak bersyarat dari ε_t bersifat homoskedastik. c. Galat

( )

ε_t mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

0 2 ₁ 2 1 1 2 1 − Ε = Ε − Ε = − − − − t t t t t t t t Var ε ε ε ε ε ε ε ε

(

)

_    ₊ Ε = 2₋ 2 1 1 0 v_t α α ε_t

(

)

(

)

( ) (

)

( )

( )

t t t t t t t t t t h v v v v v = + = Ε + Ε = Ε + Ε = + Ε = − − − − 2 1 1 0 2 2 1 1 2 0 2 1 1 2 0 2 2 1 1 0 2 ε α α ε α α ε α α ε α α

Jadi variansi bersyarat dari ε_t bersifat heteroskedastisitas. d. Galat

{ }

ε_t tidak berkorelasi

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

(

)

[

(

( )

)

(

( )

)

]

(

t t k

)

k t k t t t k t t kov − − − − Ε = Ε − Ε − Ε = ε ε ε ε ε ε ε ε ,

(

)

(

)

( ) ( )

(

(

)(

)

)

0 . , 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 = + + Ε Ε Ε = + + Ε = − − − − − − − − − k t t k t t k t k t t t k t t v v v v kov ε α α ε α α ε α α ε α α ε ε Jadi

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

0 0 , , = = = − − − − k t t k t t k t t k t t Var Var Var Var kov korr ε ε ε ε ε ε ε ε

Karena nilai korelasi nol berarti

{ }

ε_t tidak berkorelasi.

Bila pada persamaan (3.6) kuadrat dari ε_t ditulis dalam proses AR (q) maka persamaannya menjadi (3.8) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 t q t q t t t =α +α ε − +α ε − + +α ε − +u ε _K

Dengan u_t merupakan white noise,α₀〉0 dan α_i ≥0 untuk i=1,2,_K,q Bila 0

3 2

1 =α =α = =αq =

α _K maka variabel galat terestimasi menjadi α₀. Sebaliknya apabila hal ini tidak terjadi variansi bersyarat Υ_t akan membesar menurut proses autoregresi pada (3.8).

Persamaan (3.8) merupakan pesamaan Autoregressive Conditional

Heteroscedastic orde q (ARCH (q)). Persamaan (3.8) dapat dinyatakan dalam bentuk

(3.9) t t t =v h ε dengan 2 2 1 1 0 t q t q t

h =α +α ε ₋ +_K+α ε ₋ dan v_t berdisribusi normal standar Berikut ini beberapa sifat yang dimiliki oleh model ARCH (q):

a. Nilai harapan ε_t sama dengan nol.

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan persamaan (3.9), sehingga akan diperoleh nilai harapan galat sebagai berikut

( )

( )

0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 t =         + Ε =         + Ε Ε =         + Ε = Ε − = − = − =

∑

∑

∑

i t q i i i t q i i t i t q i i t v v ε α α ε α α ε α α ε

b. Galat

( )

ε_t mempunyai variansi tidak bersyarat yang konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

( )

(

( )

)

2 t t t Var ε =Εε −Εε

( )

_      + Ε Ε =         + Ε = − = = −

∑

∑

2 1 0 2 2 1 2 0 i t q i i t q i i t i t v v ε α α ε α α

( )

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

2

)

1 0 2 2 2 1 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 − − − − − − − + + + + + Ε = + + + Ε = q t q q t q t t q t q t t v v Var ε α α α ε α α α α ε α ε α α ε K K

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

))

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

q q q q q q q q t q t q t q q t q t q q t q t t t t t t q t q q t q t q q t q t t t q t q t q q t q t t t v v v v v v v v v v v v v v v v v v v α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α ε α α α β α ε α α α α α ε α α α α α ε α α α α α ε α α α ε α α α α − − − = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + Ε = + + + + + + Ε = + + + + + Ε = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − K K K K K K K K K K 1 0 3 2 3 1 2 1 1 0 3 0 2 0 0 3 1 0 2 1 0 1 0 0 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 0 2 0 2 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 0 2 1 0 0 2 2 0 2 1 2 2 2 1 0 2 3 1 0 2 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1

Jadi variansi tak bersyarat dari ε_t bersifat homoskedastik. c. Galat

( )

ε_t mempunyai variansi bersyarat yang tidak konstan. Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

_      Ε + Ε =             + Ε =                 + Ε = − Ε = Ε − Ε = − − = − = − − − − − − − −

∑

∑

∑

2 2 0 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 0 , , , , , , , , i t q i t t i t q i i t i t q i i t q t t t q t t t q t t t q t t t v v v v Var ε α α ε α α ε α α ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε K K K K

(

)

( )

2

( )

2 1 2 0 1, , t i t q i i t q t t t v v Var = Ε + ₋Ε = − − ε α

∑

α ε ε ε _K t i t q i i h = + = ₋ =

∑

2 1 0 α ε α

Jadi variansi bersyarat dari ε_t bersifat heteroskedastisitas. d. Galat

{ }

ε_t tidak berkorelasi

Sifat tersebut dapat dibuktikan dengan

(

)

[

(

( )

)

(

( )

)

]

(

)

( ) ( )

0 . , 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 =               +       + Ε Ε Ε =         + + Ε = Ε = Ε − Ε − Ε = − − = − = − − − = − − = − − − −

∑

∑

∑

∑

i k t q i i i t q i i k t t i k t q i i k t i t q i i t k t t k t k t t t k t t v v v v kov ε α α ε α α ε α α ε α α ε ε ε ε ε ε ε ε Jadi

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

0 0 , , = = = − − − − k t t k t t k t t k t t Var Var Var Var kov korr ε ε ε ε ε ε ε ε

B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu

Data runtun waktu dalam kenyataannya tidak semua mempunyai efek ARCH. Untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH dalam data runtun waktu dapat diuji dengan uji Pengganda Langrange.

Langkah-langkah dalam uji Pengganda langrange sebagai berikut:

1. Tentukan persamaan rata-rata yang paling sesuai untuk data runtun waktu yang ingin dianalisis. Dari persamaan tersebut akan diperoleh kuadrat galat

{ }

2

t

ε . 2. Regresikan kuadrat galat

{ }

2

t

ε pada konstanta dan qlag terhadap dirinya sendiri.

(3.10) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 q t q t t t =α +α ε − +α ε − + +α ε − ε _K

3. Hitung koefisien determinasi

( )

_R2 _{dari persamaan (3.10).} 4. Dilakukan uji hipotesis seperti dibawah ini:

. , , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 satu rdapat sedikit te paling ). lag hingga ARCH efek ada tidak ( 0 k 1 2 1 0 0 q k q q K K = ≠ = Η = = = = = = Η α α α α α

Digunakan statistik uji _TR2 _{dengan T menyatakan banyaknya galat pada} langkah satu. Dibawah hipotesis nol statistik uji _TR2 _{akan berdistribusi} 2

q

χ . Hipotesis nol ditolak bila nilai _TR2 _{lebih besar dari} 2

q

χ maka terdapat efek ARCH dalam data runtun waktu tersebut.

Contoh 3.1

Pada data dibawah ini periksalah apakah ada efek ARCH pada data dengan menggunakan uji Langrange Multiplier .

t Υt 1 30 2 20 3 45 4 35 5 30 6 60 7 40 8 50 9 45 10 65 Penyelesaiannya

1. Untuk memperoleh kuadrat galat digunakan persamaan model AR (1)

t t

t =β +β Υ +ε

t Υt Υt−1 ΥtΥt−1 Υt2−1 1 30 - 0 0 2 20 30 600 900 3 45 20 900 400 4 35 45 1575 2025 5 30 35 1050 1225 6 60 30 1800 900 7 40 60 2400 3600 8 50 40 2000 1600 9 45 50 2250 2500 10 65 45 2925 2025

∑

Υ_t =420

∑

Υ_t−1 =355

∑

Υ_tΥ_t−1 =15.500

∑

Υ2₋ =15.175 1 t

Nilai β dapat diduga dengan

(

)

(

) ( )( )

(

) ( )

229349 , 0 355 175 . 15 10 420 355 500 . 15 10 ˆ 2 2 1 2 1 1 1 1 = − − = Υ − Υ Υ Υ − Υ Υ =

∑

∑

∑

∑ ∑

− − − − t t t t t t n n β