BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pendahuluan
2.1.1. Struktur Membran
Membran adalah struktur permukaan fleksibel tipis yang memikul beban dengan mengalami terutama tegangan tarik. Gelembung sabun adalah contoh klasik yang dapat dipakai untuk mengilustrasikan struktur membran dan perilakunya. Struktur membran cenderung dapat menyesuaikan diri dengan cara struktur itu dibebani. Selain itu, struktur ini sangat peka terhadap efek aerodinamika dari angin. Efek ini dapat menyebabkan terjaddinya fluttering (getaran). Dengan demikian, membren yang digunakan pada gedung harus distabilkan dengan cara tertentu hingga bentuknya dapat tetap dipertahankan pada saat memikul berbagai kondisi pembebanan.
Ada beberapa cara dasar untuk menstabilkan membran. Rangka penumpu dalam kaku misalnya dapat digunakan. penstabilan dapat dilakukan dengan menggunakan prategang pada permukaan membran. Yang mana dapat dilakukan baik dengan memberikan gaya eksternal yang menarik membran maupun dengan menggunakan tekanan internal apabila membrannya berbentuk volume tertutup.
Contoh pemberian prategang yang menggunakan gaya eksternal adalah struktur tenda. Akan tetapi ada pula tenda yang tidak mempunyai permukaan yang benar-benar ditarik oleh kabel sehingga dapat bergerak apabila dibebani. Sekalipun dapat memikul beban angin normal, misalnya
banyak permukaaan tenda yang dapat bergetar sebagai akibat dari efek aerodinamika dari angin kencang. Karena itulah tenda lebih banyak digunakan sebagai struktur sementara, bukan sebagai struktur permanen. Biasanya membran diberi tegangan dalam arah tegak lurus di seluruh permukaannya. Banyak atap yang menggunakan struktur seperti ini.
Menstabilkan membran dengan menggunakan tekanan internal dapat dilakukan apabila membran mempunyai volume tertutup. Kelompok membran demikian biasa disebut strutur pneumatis, sebutan yang sesuai dengan cara struktur mendapat kestabilan. Meskipun struktur pneumatis seperti ini masih terbilang baru digunakan, teknologi mengenai pneumatis telah lama diketahui. Kulit air, misalnya adalah jenis struktur pneumatis yang telah lama dikenal oleh manusia.
2.1.2. Aksi Dasar
Dasar mekanisme pikul beban pada struktur membran adalah tarik. Membran yang memikul beban tegak lurus terhadap permukaannya dapat mengalami deformasi secara tiga dimensi (bergantung pada kondisi tumpuan dan pembebanannya) dan memikul beban secara tarik (gaya tarik pada-bidang (in-plane) terjadi pada permukaan membran. Aksi pikul beban ini serupa dengan yang terjadi pada sistem kabel menyilang. Selain tegangan tarik, terjadi juga tegangan geser tangensial pada struktur membran, yang diasosiasikan dengan torsi yang secara normal terjadi pada permukaan lengkung. Kedua jenis tegangan ini bekerja sama dalam memikul beban. Jasi pada membran terjadi aksi tarik dua arah dan aksi geser
tangensial apabila membran distabilkan dan dibebani secara funicular serta beban itu tidak menyebabkan terjadinya tegangan tekan.
2.1.3. Struktur Pneumatis
Ada beberapa jenis struktur membran yang mendapat kestabilan dari tekanan internal. Sebutan struktur pneumatis biasanya digunakan untuk konstruksi pneumatis yang digunakan pada gedung. Banyak diantara struktur ini yang menggunakan udara sebagai medium tekanan.
Ada dua kelompok utama pada struktur pneumatis: struktur yang ditumpu udara dan struktur yang digelembungkan udara. Struktur yang ditumpu udara terdiri atas satu membran (menutup ruang yang berguna secara fungsional) yang ditumpu oleh perbedaan tekanan internal kecil. Dengan demikian, volume internal udara dalam gedung ini mempunyai tekanan lebih besar dari pada tekanan udara biasa. Struktur yang digelembungkan udara ditumpu oleh kandungan udara bertekanan yang menggelembungkan elemen-elemen gedung. Volume internal udara gedung tetap sebesar tekanan udara. Penggabungan antara kedua struktur tersebut dapat saja silakukan.
Pada kedua jenis struktur, tekanan udara mempengaruhi tegangan tarik pada membran. Gaya eksternal yang bekerja pada membran menyebabkan berkurangnya tegangan tarik. Tekanan internal harus sedemikian besarnya hingga untuk berbagai kondisi pembebanan tidak akan terjadi tegangan tekan. Kestabilan menyeluruh hanya dapat diperoleh apabila seluruh membran tetap berada dalam keadaan tarik. Bagaimanapun, tegangan tarik
awal yang ditimbulkan dari pemberian tekanan tidak boleh melebihi tegangan izin material.
2.2 Pengertian Struktur Cangkang
Pada dasarnya shell diambil dari beberapa bentuk yang ada di alam seperti kulit telur, tempurung buah kelapa, cangkang kepiting, cangkang keong, dan sebagainya.
Cangkang adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Permukaan cangkang dapat mempunyai sembarang bentuk. Bentuk yang umum adalah permukaan yang berasal dari kurva yang diputar terhadap satu sumbu (misalnya, permukaan bola, elips, kerucut, dan parabola), permukaan transllasional yang dibentuk dengan menggeserkan kurva bidang di atas kurva bidang lainnya (misalnya permukaan parabola eliptik dan silindris), permukaan yang dibentuk dengan menggeserkan dua ujung segmen garis pada dua kurva bidang (misalnya permukaan hiperbolik parabolik dan konoid), dan berbagai bentuk yang merupakan kombinasi dari yang telah disebutkan di atas. Bentuk cangkang tidak harus selalu memenuhi persamaan matematis sederhana. Segala bentuk cangkang mungkin saja digunakan untuk suatu struktur. Bagaimanapun, tinjauan konstruksional mungkin membatasi hal ini.
Menurut Schodeck (1998), shell atau cangkang adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Sesuai dengan terjadinya bentuk shell, maka shell digolongkan dalam tiga macam:
1. Rotational surface
Adalah bidang yang diperoleh bilamana suatu garis lengkung yang datar diputar terhadap suatu sumbu. Shell dengan permukaan rotasional dapat dibagi tiga yaitu : spherical surface, eliptical surface, dan parabolic surface.
Gambar 2.1 Rotational surface 2. Translational surface
Adalah bidang yang diperoleh bilamana ujung-ujung suatu garis lurus digeser pada dua bidang sejajar. Shell dengan permukaan translational dibagi dua yaitu: cylindrical surface dan eliptic paraboloid.
Gambar 2.2 Translational surface 3. Ruled surface
Adalah bidang yang diperoleh jika suatu garis lengkung yang datar digeser sejajar diri sendiri terhadap garis lengkung yang datar lainnya. Shell dengan permukaan ruled ada dua macam yaitu: hyperbolic paraboloid dan conoid
parabolic surface eliptical surface
Gambar 2.3 Ruled surface Berdasarkan arah lengkungannya shell dibagi menjadi : 1. Single Curved Shell
Yaitu arah lengkungannya satu arah serta permukaannya tidak diputar/digeser, dan dibentuk oleh konus yang sama. Contoh : lengkung barrel dan silinder..
2. Double Curved Shell
Yaitu arah lengkungannya dalam dua arah. Terdiri dari 2 macam :
a. Double Curved Shell yang arah lengkungnya ke satu arah (Synclastic shell) Contoh: - Spherical dome shell
- Tension membran shell
b. Double Curved Shell yang arah lengkungnya kearah yang berbeda (Anticlastic)
Contoh :- Conoid
- Hiperbolic Paraboloid
Beban-beban yang bekerja pada permukaan cangkang diteruskan ke tanah dengan menimbulkan tegangan geser, tarik, dan tekan pada arah dalam bidang (in-plane) permukaan tersebut. Tipisnya permukaan cangkang menyebabkan tidak adanya tahanan momen yang berarti. Struktrur cangkang tipis khususnya
cocok digunakan untuk memikul beban terbagi rata pada atap gedung. Struktur ini tidak cocok untuk memikul beban terpusat.
Sebagai akibat cara elemen struktur ini memikul beban dalam bidang (terutama dengan cara tarik dan tekan), struktur cangkang dapat sangat tipis dan mempunyai bentang relatif besar. Perbandingan bentang-tebal sebesar 400 atau 500 dapat saja digunakan (misalnya tebal 3 in. Atau 8 cm mungkin saja digunakan untuk kubah yang berbentang 100 – 125 ft atau 30 – 38 m). Cangkang setipis ini menggunakan material yang relatif baru dikembangkan, misalnya beton bertulang yang didesain khusus untuk permukaan cangkang. Bentuk-bentuk tiga dimensional lain, misalnya kubah pesangan (bata), mempunyai ketebalan lebih besar, dan tidak dapat dikelompokkan sebagai struktur yang hanya memikul tegangan dalam bidang karena pada struktur tebal seperti itu, momen lentur sudah dominan.
Bentuk-bentuk tiga dimensional juga dapat dibuat dari batang-batang kaku dan pendek. Struktur seperti ini pada hakikatnya adalah struktur cangkang karena perilaku strukturalnya dapat dikatakan sama dengan permukaan cangkang menerus, hanya saja tegangannya tidak lagi menerus seperti pada permukaan cangkang, tetapi terpusat pada setiap batang. Struktur demikian baru pertama kali digunakan pada awal abad XIX. Kubah Schwedler, yang terdiri atas jaring-jaring batang bersendi tak teratur, misalnya, diperkenalkan pertama kali oleh Schwedler di Berlin pada tahun 1863, pada saat itu mendesain kubah dengan bentang 132 ft (48 m). struktur baru yang lain adalah yang menggunakan batang-batang yang diletakkan pada kurva yang dibentuk
oleh garis membujur dan melintang dari suatu permukaan putar. Banyak kubah besar di dunia ini yang menggunakan cara yang demikian.
Gambar 2.4.3
Untuk menghindari kesulitan konstruksi yang ditimbulkan dari penggunaan batang-batang yang berbeda dalam membentuk permukaan cangkang, kita dapat menggunakan cara-cara yang lain yang menggunakan batang-batang yang panjangnya sama. Salah satu diantaranya adalah kubah geodesic yang diperkenalkan oleh Buckminster Fuller. Karena permukaan bola tidak dapat dibuat, maka banyaknya pola berulang identik yang akan dipakai untuk membuat bagian dari permukaan bola itu terbatas. Icosohedron bola, misalnya, terdiri atas 20 segitiga yang dibentuk dengan menghubungkan lingkaran-lingkaran besar yang mengelilingi bola. Tinjauan geometris yang demikian inilah yang digunakan oleh Fuller. Kita harus berhati-hati dalam menggunakan cara seperti ini karena sifat strukturalnya dapat membingungkan.
Beberapa contoh permukaan jala (reticulated surface)
3 Gambar 12-1 Contoh-contoh berbagai struktur yang terdiri atas permukaan kaku kontinu atau jaring batang kaku. Buku Struktur oleh Daniel L. Schodek (edisi kedua) hal 387
Keuntungan structural yang didapat tidak selalu lebih besar daripada bentuk kubah lainnya. Bentuk-bentuk lain yang bukan merupakan permukaan putaran juga dapat dibuat dengan menggunakan elemen-elemen batang. Beberapa diantaranya adalah atap barrel ber-rib ddan atap Lamella yang terbuat dari grid miring seperti pelengkung yang membentuk elemen-elemen diskret. Bentuk yang disebut terakhir ini dari material kayu sangat banyak dijumpai, tetapi baja maupun beton bertulang juga dapat digunakan. Dengan system Lamella, kita dapat mempunyai bentang yang sangat besar.
2.3 Prinsip Umum Cangkang 2.3.1. Aksi Membran
Cara yang baik untuk mempelajari perilaku permukaan shell yang dibebani adalah dengan memandangnya sebagai analogi dari membran, yaitu elemen permukaan yang sedemikian tipisnya hingga hanya gaya tarik yang timbul padanya. Membran yang memikul beban tegak lurus dari permukaannya akan berdeformasi secara tiga dimensional disertai adanya gaya tarik pada permukaan membran. Aksi pikul bebannya serupa dengan yang ada pada sistem kabel menyilang. Mekanisme pikul beban dasar dari cangkang kaku yang geometrinya sama, analog dengan yang ada pada membran terbalik. Yang terpenting adalah adanya dua kumpulan gaya internal pada permukaan membran yang mempunyai arah saling tegak lurus. Hal yang juga penting adalah adanya tegangan geser tangensial pada permukaan membran yang juga berfungsi memikul beban.
Pada shell gaya-gaya dalam bidang yang berarah mereditional diakibatkan oleh beban penuh. Tekanan yang diberikan oleh gaya-gaya melingkar tidak
menyebabkan timbulnya momen lentur dalam arah mereditional. Dengan demikian cangkang dapat memikul variasi beban cukup dengan tegangan-tegangan bidang.
2.3.2. Struktur cangkang yang mempunyai permukaan rotasional Adanya dua kumpulan gaya pada arah yang saling tegak lurus di dalam permukaan cangkang menjadikan cangkang berperilaku seperti struktur pelat dua arah. Gaya geser yang bekerja di antara jalur-jalur pelat yang bersebelahan pada struktur pelat planar mempunyai kontribusi dalam memberikan kapasitas pikul beban pelat. Hal yang sama juga terjadi pada struktur cangkang.
Adanya dua karakteristik inilah, yaitu adanya gaya geser dan dua kumpulan gaya aksial, yang membedakan perilaku struktur cangkang dan perilaku struktur yang dibentuk dari pelengkung yang dirotasikan terhadap satu titik hingga didapat bentuk seperti cangkang. Pada pelengkung tidak ada momen lentur apabila bentuk pelngkungnya adalah funicular untuk beban tersebut. Apabila beban yang bekerja hanya sebagian (parsial), pada pelengkung akan timbul momen lentur.
Pada cangkang gaya-gaya dalam-bidang (in-plane forces) yang berarah meridional (disebut gaya meridional) diakibatkan oleb beban penuh. Ini sama dengan yang terjadi pada pelengkung analoginya. Pada kondisi beban sebagian, bagaimanapun, aksi cangkang sangat berbeda dengan yang terjadi pada pelengkung karena cangkang ada aksi dalam arah melingkar. Gaya melingkar (hoop forces) ini berarah tegak lurus dengan gaya meridional. Gaya melingkar menahan jalur meridional dari gerakan ke arah keluar
bidang yang cenderung terjadi untuk kondisi pembebanan sebagian (lentur pada pelengkung terjadi disertai gerakan seperti ini). Pada cangkang, tekanan yang diberikan oleh gaya-gaya melingkar tidak menyebabkan timbulnya momen lentur dalam arah meridional (juga dalam arah melingkar untuk kasus ini). Dengan demikian, cangkang dapat memikul variasi beban cukup dengan tegangan-tegangan dalam-bidang. Geser pelat yang telah disebutkan di atas juga memberikan kontribusi dalam memikul beban.
Variasi pola beban yang ada, bagaimanapun, harus merupakan transisi perlahan (perubahan halus dari kondisi beban penuh ke kondisi sebagian agar momen lentur tidak timbul). Diskontinuitas tajam pada pola beban (misalnya beban terpusat) dapat menyebabkan timbulnya momen lentur. Pada pelengkung, beban seperti ini dapat menimbulkan tegangan lentur yang sangat besar, sedangkan pada cangkang, lentur dengan cepat dihilangkan dengan adanya aksi melingkar. Jadi, beban yang sembarang pada pelengkung, misalnya gangguan tepi yang diasosiasikan dengan tumpuan-tumpuannya, dapat menyebabkan timbulnya momen lentur di seluruh bagian pelengkung. Pada cangkang hal ini dapat dilokalisasi.
Gambar. 2.5.4 Gaya aksial dalam bidang (in-plane) pada cangkang bola tipis
Cangkang adalah struktur yang unik. Cangkang dapat disebut bekerja secara funicular untuk banyak jenis beban yang berbeda meskipun bentuknya tidak benar-benar funicular. Pada contoh yang telah dibahas di atas, bentuk funicular untuk pelengkung yang memikul beban terbagi rata adalah parabolic. Cangkang berbentuk segmen bola (tidak parabolic) dapat juga memikul beban hanya dengan gaya-gaya dalam-bidang. Dalam hal ini gaya melingkar terjadi, meskipun bebannya penuh, karena bentuk strukturnya tidak benar-benar funicular.
Gaya meridional pada cangkang yang mengalami beban vertical penuh selalu adalah gaya tekan (analog dengan gaya yang terjadi pada pelengkung). Sedangkan gaya melingkar dapat berupa tarik maupun tekan, bergantung pada lokasi cangkang yang ditinjau.
Pada cangkang setengah lingkaran, atau cangkang tinggi, ada kecenderungan pada jalur meridional bawah umtuk berdeformasi ke arah luar. Jadi, jelas gaya-gaya melingkar yang terjadi adalah tarik. Di dekat puncak cangkang tersebut, jalur meridional cenderung berdeformasi ke dalam, yang berarti gaya melingkarnya adalah tekan.
Tegangan yang diasosiasikan dengan gaya melingkar dan meridional umumnya kecil untuk kondisi beban terbagi rata. Beban terpusat pada umumnya menyebabkan terjadinya tegangan yang sangat besar, karena itu sebaiknya dihindari pada permukaan cangkang.
Tinjauan desain utama pada cangkang putar (shell of revolution) adalah masalah di tumpuannya atau di tepi-tepinya. Sama halnya dengan penggunaan batang pengikat pada pelengkung (untuk menahan gaya
horizontal), kita juga harus melakukan cara-cara khusus untuk mengatasi gaya tendangan horizontal yang diasosiasikan dengan gaya dalam-bidang di tepi bawah cangkang. Pada kubah, misalnya, system penyokong melingkar perlu digunakan. Alternative lain adalah menggunakan cincin lingkaran, yang disebut dengan cincin tarik, di dasar kubah sehingga dapat menahan komponen keluar dari gaya meridional. Karena gaya yang disebut terakhir ini selalu tekan, maka komponen horizontal selalu berarah keluar. Karena itulah cincin containment selalu mengalami gaya tarik. Seandainya pada puncak cangkang terdapat lubang, maka komponen gaya meridional di dasar cangkang akan berarah ke dalam sehingga gaya pada cincin adalah gaya tekan.
Lubang pada permukaan cangkang seperti disebutkan di atas mungkin saja ada, tetapi sebaiknya dihindari karena hal ini mengganggu kontinuitas juga mengurangi efisiensi permukaan cangkang. Apabila memang harus ada lubang, cangkang harus secara khusus diperkuat di tepi lubang tersebut.
Masalah lain pada desain cangkang adalah derajat kelengkungannya. Pada cangkang berprofil rendah, atau permukaannya yang relative datar, permukaannya mudah mengalami tekuk ke dalam. Tekuk adalah jenis keruntuhan yang termasuk ke dalam masalah stabilitas, sama halnya dengan kolom langsing panjang. Tekuk dapat terjadi secara lokal (hanya pada sebagian kecil permukaan cangkang), dapat pula terjadi secara menyeluruh. Cangkang dengan kelengkungan besar relative lebih sulit mengalami tekuk, karena itulah sebaiknya cangkang yang demikianlah yang digunakan.
2.3.3. Struktur cangkang yang mempunyai permukaan translasional Perilaku bentuk-bentuk structural yang didefenisikan oleh permukaan-permukaan translasional sangat dipengaruhi oleh proporsi relative cangkang dan kondisi tumpuannya.
Struktur yang umum disebut adalah terowongan (vault), dapat dipandang sebagai permukaan yang terdiri atas sederetan pelengkung sejajar asalkan dinding penumpu tersebut dapat memberikan reaksi yang diperlukan. Apabila permukaan itu kaku (misalnya terbuat dari beton bertulang), maka permukaan tersebut juga dapat menunjukkan aksi pelat (ada gaya geser di antara jalur-jalur yang bersebelahan) yang dibutuhkan dalam memikul beban tidak merata. Jenis aksi yang sama juga akan terjadi apabila permukaan dipikul oleh balok yang sangat kaku. Balok ini pada gilirannya meneruskan beban ke tumpuannya secara melentur.
a. Terowongan: Terowongan ditumpu menerus di sepanjang tepi longitudinalnya. Gaya transversal internal mempunyai perilaku seperti aksi pelengkung.
b. Cangkang pendek dengan balok tepi kaku: Balok tepi pada dasarnya berfungsi seperti dinding pada terowongan apabila cukup kaku. Aksi seperti pelengkung meneruskan beban permukaan ke balok. Balok ini memikulnya secara melentur dan meneruskan ke tumpuannya.
c. Cangkang barrel panjang: Apabila cangkang tidak mempunyai balok tepi kaku, maka aksi seperti pelengkung tidak dapat timbul pada arah transversal. Oleh karena itu, beban dipikul dengan aksi lentur yang serupa dengan yang ada pada balok.
Perilaku cangkang yang sangat pendek, sangat berbeda dengan perilaku cangkang yang telah disebutkan di atas apabila pengaku ujung transversal digunakan. Beban permukaan dapat diteruskan secara langsung ke pengaku-pengaku ujung secara aksi pelat longitudinal.
Pada cangkang yang panjang dibandingkan dengan bentang transversalnya ada aksi yang sangat berbeda dengan cangkang pendek, khususnya apabila balok tepi tidak digunakan atau apabila digunakan, balok tersebut sangat fleksibel. Perlu diingat bahwa setiap balok tepi akan menjadi fleksibel apabila panjangnya bertambah. Dengan demikian, cangkang silindris akan mulai cenderung berperilaku seperti pelengkung dalam arah transversal. Balok tepi fleksibel (atau tidak ada balok tepi) tidak dapat memberikan tahanan terhadap gaya tendangan horizontal. Sebagai akibatnya, tidak ada aksi seperti pelengkung pada arah ini. Hal ini berarti apabila tidak ada balok tepi, tepi bebas longitudinal akan berdefleksi ke arah dalam, bukan ke luar, pada kondisi beban penuh. Oleh karena itu, harus ada jenis lain mekanisme pikul beban. Struktur seperti ini disebut cangkang barrel. Aksi utama pada cangkang demikian adalah dalam arah longitudinal, bukan transversal. Lentur longitudinal terjadi dan analog dengan yang terjadi pada balok sederhana atau pelat lipat. Tegangan tekan pada arah longitudinal dapat terjadi di dekat puncak dari permukaan lengkung dan tegangan tarik di bagian bawah.
Analogi dengan stuktur pelat lipat sangat berguna karena banyak prinsip desain yang sama. Pengaku transversal, misalnya, sangat berguna dalam meningkatkan kapasitas pikul beban cangkang barrel. Jika semakin banyak
pengaku digunakan atau apabila cangkang barrel yang ditinjau merupakan satu di antara sederetan cangkang yang bersebelahan, maka perilaku seperti balok dapat digunakan. Cangkang barrel yang panjangnya sekitar tiga kali (atau lebih) dari bentang transversalnya dapat menunjukkan perilaku longitudinal dengan jelas.
2.3.4. Struktur cangkang yang mempunyai permukaan ruled
Permukaan ruled biasanya membutuhkan analisis yang lebih rumit. Pada umumnya, perilaku cangkang demikian dapat dipelajari dengan memandangnya sebagai kelengkungan yang dibentuk dari garis-garis lurus. Apabila kondisi tepi dapat memberikan tahanan (misalnya dengan menggunakan fondasi atau balok tepi yang sangat kaku), aka ada aksi seperti pelengkung di daerah yang cembung, dan aksi seperti kabel di daerah yang cekung. Adanya gaya tekan atau tarik pada permukaan tersebut bergantung pada aksi yang ada. Apabila permukaan mempunyai kelengkungan kecil, maka aksi pelat (momen lentur dominan) akan ada, yang berarti membutuhkan penampang yang lebih tebal. Apabila tepi cangkang tidak ditumpu, maka perilaku balok dapat terjadi.
Permukaan ruled yang dibuat dengan menggerakkan dua ujung dari suatu garis lurus pada dua garis lurus sejajar, tetapi terpuntir (jadi bukan bentuk yang kompleks), diperlihatkan pada gambar 2.6. Bentuk ini dapat dipandang pula sebagai permukaan tranlasional yang dibentuk dengan menggerakkan parabola cekung pada parabola cembung. Struktur seperti ini menunjukkan aksi seperti pelengkung pada arah kelengkungan cembung dan aksi seperti kabel pada arah cekung (tegak lurus dari arah cembung).
Dengan demikian, medan tegangan pada pelat adalah tarik pada satu arah dan tekan pada arah tegak lurusnya. Kedua arah ini membentuk sudut 45º dengan garis lurus pembentuk cangkang tersebut.
2.4. Deformasi dinding cangkang (shell) tanpa lenturan
Pada pembahasan tentang deformasi dan tegangan dalam cangkang (shell) berikut ini system notasinya sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat. Kita tandai ketebalan cangkang dengan h, dimana besarnya selalu dianggap kecil dibandingkan dengan besaran lain dari cangkang dan dengan jari-jari kelengkungannya. Permukaan yang membagi ketebalan pelat sama besar disebut permukaan tengah (middle surface). Dengan menspesifikasikan bentuk permukaan tengah dan ketebalan cangkang pada setiap titik, maka suatu cangkang ditentukan sepenuhnya secara geometris. Untuk menganalisis gaya-gaya dalam, kita potong suatu elemen yang kecilnya tak terhingga dari cangkang itu yang dibentuk oleh dua pasang bidang yang berdekatan dan tegak lurus terhadap permukaan tengah dari cangkang itu, dan yang memiliki kelengkungan utamanya. Kita ambil sumbu-sumbu koordinat x dan y yang menyinggung garis kelengkungan utama pada titik 0 dan sumbu z yang tegak lurus pada permukaan tengah, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.6. Jari-jari utama kelengkungan yang terletak pada bidang xz dan yz ditandai masing-masing oleh rx dan ry. Tegangan yang bekerja pada permukaan bidang elemen itu diuraikan dalam arah sumbu-sumbu koordinat, dan komponen tegangan ditunjukkan oleh simbol σx, σy, τxy = τyx, τxz . Dengan notasi ini, gaya resultan per satuan panjang penampang melintang normal seperti pada gambar adalah:
𝑁𝑥= ∫−ℎ+ℎ//22𝜎𝑥�1−𝑟𝑧𝑦�𝑑𝑧 𝑁𝑦 = � 𝜎𝑦�1−𝑟𝑧 𝑥� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑𝑧 𝑁𝑥𝑦 =∫−ℎ+ℎ//22𝜏𝑥𝑦�1−𝑟𝑧𝑦�𝑑𝑧 𝑁𝑦𝑧 =� 𝜏𝑦𝑧�1−𝑟𝑧 𝑥� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑𝑧 𝑄𝑥 =∫ 𝜏𝑥𝑧�1−𝑟𝑧 𝑦� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑𝑧 𝑄𝑦 = � 𝜏𝑦𝑧�1−𝑟𝑧 𝑥� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑 Gambar 2.6. 5
Besaran z/rx dan z/ry yang kecil tampak pada persamaan (a), (b), (c), karena sisi-sisi lateral elemen yang diperlihatkan pada gambar 2.6a memiliki bentuk trapesium yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang. Hal ini akan
5 Sumber buku “Teori Pelat dan Cangkang” oleh Timoshenko halaman 342 (a)
(b)
menyebabkan tidak samanya gaya geser Nxy dan Nyx satu dengan lainnya, meskipun di sini masih berlaku bahwa τxy = τyx. Pada pembahasan selanjutnya, kita harus mengasumsikan bahwa ketebalan h adalah sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari rx, ry dan mengabaikan suku-suku z/rx dan z/ry pada persamaan-persamaan (a), (b), (c). Kemudian Nxy = Nyx dan resultan gaya geser dinyatakan oleh persamaan yang sama seperti pada pelat.
Momen lentur dan puntir per satuan panjang penampang normal dituliskan dengan persamaan berikut ini:
𝑀𝑥= ∫ 𝜎𝑥+ 𝑧 �1−𝑟𝑧𝑦� ℎ 2 −ℎ2 𝑑𝑧 𝑀𝑦 =∫ 𝜎𝑦𝑧 �1− 𝑧 𝑟𝑥� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑𝑧 𝑀𝑥𝑦= ∫−ℎ+ℎ//22𝜏𝑥𝑦𝑧 �1−𝑟𝑧𝑦�𝑑𝑧 𝑀𝑦𝑥= � 𝜏𝑦𝑧𝑧 �1−𝑟𝑧 𝑥� +ℎ/2 −ℎ/2 𝑑𝑧
di mana penentuan arah momennya mempergunakan aturan yang sama seperti yang dipergunakan pada pelat. Pada pembahasan selanjutnya, kita abaikan lagi besaran z/rx dan z/ry yang kecil, yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang, dan untuk momennya, digunakan persamaan yang sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat.
Dalam membahas lenturan cangkang diasumsikan bahwa elemen linear, seperti AD dan BC (Gambar 2.6a), yang tegak lurus pada permukaan tengah, tetap lurus dan menjadi tegak lurus terhadap permukaan tengah cangkang yang dideformasikan. Suatu kasus yang sederhana di mana, selama pelenturan, permukaan lateral/melintang elemen ABCD hanya berotasi terhadap garis-garis perpotongannya dengan permukaan tengah. Jika r`x dan r`y merupakan besaran (d)
jari-jari kelengkungan setelah deformasi, maka “perpanjangan satuan” suatu belahan tipis (lamina) pada jarak z dari permukaan tengah (gambar 2.6a) adalah ∈𝑥=−1−𝑧𝑧 𝑟𝑥� 1 𝑟`𝑥− 1 𝑟𝑥� ∈𝑦= − 𝑧 1−𝑟𝑦𝑧 � 1 𝑟`𝑦− 1 𝑟𝑦� (f)
Jika, selain rotasi, sisi-sisi lateral elemen berpindah tempat parallel terhadap dirinya sendiri akibat meregangnya permukaan tengah, dan jika perpanjangan satuan bagian tengah permukaan yang bersangkutan pada x dan y ditandai masing-masing dengan є1 dan є2, maka perpanjangan dari belahan yang ditinjau di atas seperti yang terlihat pada gambar 2.6c adalah
∈𝑥=𝑙2𝑙− 𝑙1 1
Dengan mensubstitusikan (menyulihkan) 𝑙1 =𝑑𝑠 �1−𝑟𝑧 𝑥� 𝑙2 =𝑑𝑠(1 +∈1)�1− 𝑧 𝑟`𝑥� Kita peroleh ∈𝑥= 1−∈1𝑧 𝑟𝑥− 𝑧 1−𝑟𝑥𝑧 � 1 (1−∈1)𝑟`𝑥− 1 𝑟𝑥�
Persamaan yang serupa dapat diperoleh untuk pertambahan panjang . Pada pembahasan selanjutnya, ketebalan cangkang h akan selalu dianggap kecil bila dibandingkan dengan jari-jari kelengkungannya. Dalam hal seperti ini, besaran z/rx dan z/ry dapat diabaikan, bila dibandingkan dengan satu. Kita harus mengabaikan juga pengaruh pertambahan panjang dan pada kelengkungan. Oleh karena itu, sebagai pengganti persamaan (g) di atas, didapat
∈𝑥=∈1− 𝑧 �𝑟`𝑥1 −𝑟1
𝑥�=∈1− 𝜒𝑥𝑧
∈𝑦=∈2− 𝑧 �𝑟`1
𝑦−
1
𝑟𝑦�=∈𝑦− 𝜒𝑦𝑧
dimana χx dan χy menunjukkan perubahan lengkungan. Dengan mempergunakan persamaan untuk menghitung komponen regangan suatu belahan ini dan dengan menganggap bahwa tidak ada tegangan normal antara belahan (σz), maka diperolehlah persamaan untuk menghitung komponen tegangan seperti berikut ini
𝜎𝑥 =1− 𝑣𝐸 2�∈1− 𝑣 ∈2− 𝑧�𝜒𝑥+𝑣𝜒𝑦�� 𝜎𝑦 =1− 𝑣𝐸 2�∈2− 𝑣 ∈1− 𝑧�𝜒𝑦+𝑣𝜒𝑥��
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (a) dan (b) dengan mengabaikan besaran z/rx dan z/ry yang kecil dibandingkan dengan angka satu, maka diperoleh
𝑁𝑥 = 1𝐸ℎ− 𝑣2(∈1+𝑣 ∈2) 𝑁𝑦 =1−𝑣𝐸ℎ2(∈2+𝑣 ∈1)
𝑀𝑥 =−𝐷(𝜒𝑥− 𝑣𝜒𝑦) 𝑀𝑦 =−𝐷(𝜒𝑦− 𝑣𝜒𝑥)
Dimana D menunjukkan ketegaran lentur cangkang 𝐷 = 𝐸ℎ3
12(1−𝑣2)sama dengan kekakuan pelat.
Kasus yang lebih umum tentang deformasi elemen pada gambar 2.6 akan dapat diperoleh bila dianggap bahwa, selain tegangan normal, tegangan gesernya juga bekerja pada sisi-sisi lateral dari elemen. Bila regangan geser pada permukaan tengah cangkang ditandai dengan γ, dan rotasi tepi BC relative (1)
terhadap Oz sekitar sumbu x (gambar 2.6a) ditandai dengan χxy dx maka diperoleh
𝜏𝑥𝑦= �𝛾 −2𝑧𝜒𝑥𝑦�𝐺
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (b) dan (e) dengan mempergunakan penyederhanaan, maka diperoleh
𝑁𝑥𝑦 =𝑁𝑦𝑥 =2(𝛾ℎ𝐸1+𝑣) 𝑀𝑥= −𝑀𝑦𝑧 = 𝐷(1− 𝑣)𝜒𝑥𝑦
Jadi, dengan menganggap bahwa selama pelenturan suatu cangkang, elemen linear yang tegak lurus pada permukaan tengah adalah tetap lurus dan menjadi tegak lurus pada pemukaan tengah yang mengalami deformasi, maka dapat dinyatakan gaya resultan per satuan panjang Nx, Ny, dan Nxy serta momen-momen Mx, My, dan Mxy atas suku-suku yang terdiri atas enam buah
besaran : tiga buah komponen regangan , dan β dari permukaan tengah
cangkang dan tiga buah besaran χx, χy, dan χxy yang menggambarkan perubahan kelengkungan serta puntiran permukaan tengah.
Pada banyak persoalan deformasi cangkang, tegangan lentur dapat diabaikan, dan hanya tegangan yang disebabkan oleh regangan pada permukaan tengah cangkang saja yang diperhitungkan. Sebagai contoh, diambil suatu wadah berbentuk bola yang mengalami pengaruh tekanan dalam yang terbagi secara merata dan tegak lurus pada permukaan cangkang.
Di bawah pengaruh ini, permukaan tengah cangkang mengalami suatu regangan terbagi rata; dan karena ketebalan cangkang ternyata kecil, tegangan tarik dapat dianggap terbagi secara merata ke seluruh tebalnya. Contoh yang serupa disuguhkan oleh suatu tabung silinder bundar yang tipis di mana suatu (2)
gas atau cairan ditekan dengan menggunakan piston yang bergerak bebas sepanjang sumbu silinder. Di bawah pengaruh tekanan dalam yang merata ini, “tegangan lingkar” (loop stress) yang dihasilkan dalam cangkang silindris ternyata terbagi rata ke seluruh ketebalannya. Jika ujung silinder dijepit (dibangun menyatu) sepanjang tepinya, dinding ini tak lagi bebas mengembang secara lateral, dan pasti terjadi sesuatu lenturan di dekat tepi yang dijepit itu jika dikenakan tekanan dalam ini. Namun, penelitian yang lebih lengkap memperlihatkan bahwa lenturan ini hanya setempat dan bagian cangkang pada suatu jarak tertentu dari ujung-ujungnya tetap silindris dan hanya mengalami regangan pada permukaan tengahnya tanpa lenturan yang berarti.
Jika kondisi cangkang sedemikian rupa sehingga lenturan dapat diabaikan, permasalahan analisis tegangan dapat dibuat menjadi sangat sederhana, karena momen resultan (d) dan (e) serta resultan gaya geser (c) hilang. Jadi, yang belum diketahui adalah tiga buah besaran Nx, Ny, dan Nxy=Nyx, yang dapat ditetapkan dari kondisi keseimbangan suatu elemen, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.6. Oleh karena itu, permasalahannya menjadi statis tertentu bila semua gaya yang bekerja pada cangkang telah diketahui. Gaya-gaya Nx, Ny, dan Nxy yang diperoleh dengan cara ini acapkali disebut gaya selaput tipis, dan teori cangkang yang berdasarkan pada pengabaian tegangan lentur disebut teori selaput tipis.
