FORMULASI ASIMTOTIK UNTUK MENJELASKAN PROSES FISI GELOMBANG SOLITER INTERNAL NURSALEH

FORMULASI ASIMTOTIK UNTUK MENJELASKAN PROSES

FISI GELOMBANG SOLITER INTERNAL

NURSALEH

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis ini dengan judul Formulasi Asimtotik untuk Menjelaskan Proses Fisi Gelombang Soliter Internal adalah benar-benar karya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum pernah diajukan dalam bentuk apapun oleh perguruan tinggi manapun sebagai suatu karya tulis. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka yang disebutkan di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Desember 2009

Nursaleh

Derivation of the equation of motion for internal waves is based on the assumption that fluid are inviscid and incompressible, in which the density is dependent on the depth of fluid. The derivation is obtained via asymptotic formulation with the assumption that the internal waves have a large wavelength compared to the fluid depth. One of the equations that explains the internal wave motion is the Korteweg-de Vries equation. This equation has a solution in the form of solitary waves, which is dependent on the parameters of amplitude, wavelength and phase speed. This solution gives a relationship between the amplitude and the depth of the fluid. This relationship is used to explain the fission process of internal solitary waves.

As an example, it is considered a fluid with density in the form of exponential function with density parameter of β. Based on the values of β, there are two cases to be considered. In the first case, β is very small. This case is associated with the fission process of internal solitary waves, which occurs at different depths in the fluid having several internal solitary waves with the largest deviation of an odd number and even number. The second case considers very large value of β. In this case, for both internal solitary wave with the largest deviation of odd number as well as even number, the process of fission occurs in the same depth.

Keywords: asymptotic formulation, Korteweg-de Vries equation, internal solitary

NURSALEH. Formulasi Asimtotik untuk Menjelaskan Proses Fisi Gelombang Soliter Internal. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.

Gelombang soliter internal muncul di bawah permukaan laut. Hal ini dikarenakan oleh rapat massa air laut yang tidak konstan. Perubahan rapat massa disebabkan oleh perubahan kadar garam dan temperatur, dimana lapisan air bagian atas lebih hangat dibandingkan dengan bagian bawahnya. Perubahan rapat massa ini dapat mengakibatkan munculnya aliran partikel dari suatu tempat ke tempat lain dalam air laut. Gelombang ini selalu mempertahankan bentuknya pada saat menjalar dan memiliki kecepatan yang konstan. Selain itu gelombang soliter internal memiliki sifat yang sama seperti partikel, yakni stabil melawan tumbukan dan selalu mempertahankan identitasnya.

Persamaan yang mendiskripsikan penjalaran gelombang satu arah pada permukaan laut dangkal adalah persamaan Korteweg dan de Vries (KdV). Persamaan KdV ini diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal dengan menggunakan uraian dari peubah-peubah takbebas yang muncul. Dari uraian tersebut jika orde dari uraian yang ditinjau orde pertama, maka diperoleh persamaan KdV orde rendah, sedangkan jika orde dari uraian tersebut orde kedua, maka diperoleh persamaan KdV dengan orde tinggi. Metode yang digunakan adalah metode asimtotik, namun pada tulisan ini tidak mengkaji persamaan KdV orde tinggi.

Penggunaan metode asimtotik akan memberikan suatu masalah nilai batas berbentuk tak linier. Kemudian berdasarkan kondisi terselesaikan (solvability

condition) dari suatu masalah nilai batas, diperoleh suatu persamaan KdV.

Penurunan persamaan ini diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau hanya bergerak dalam satu arah dan mempunyai panjang gelombang yang cukup panjang serta pengamatan dilakukan dalam waktu yang hingga dengan pemilihan suatu parameter kecil

ε

positif. Selanjutnya, persamaan KdV ini akan dicari penyelesaiannya dengan suatu asumsi bahwa solusi persamaan KdV dinyatakan dalam bentuk gelombang soliter, yakni gelombang berjalan dengan simpangan yang sangat kecil di upstream dan downstream sehingga persamaan KdV yang diperoleh mempunyai penyelesaian berupa gelombang soliter yang dalam bentuk matematis berupa fungsi sekan hiperbolik kuadrat. Penyelesaian gelombang soliter persamaan KdV ini bergantung pada parameter-parameter amplitudo, panjang gelombang dan kecepatan phase.

Selanjutnya, penyelesaian gelombang soliter persamaan KdV ini akan digunakan untuk menentukan kedalaman dimana proses fisi gelombang soliter terjadi. Dalam penurunan fisi gelombang soliter internal digunakan solusi gelombang soliter pembanding berdasarkan pustaka (Baumann, 2004). Simpangan gelombang dari solusi gelombang soliternya berupa paket-paket gelombang (N soliton), dimana N menyatakan jumlah soliton. Dengan membandingkan simpangan dari kedua bentuk solusi gelombang soliter tersebut diperoleh fisi gelombang soliter yang diinginkan. Fisi gelombang soliter ini menyatakan hubungan antara jumlah soliton (N) dan kedalaman fluida (ds) dengan rapat massa fluida berbentuk eksponensial dengan β sebagai parameter rapat massanya.

menjadi dua gelombang soliter di kedalaman 0.48 satuan untuk n ganjil, sedangkan untuk n genap mengalami proses fisi di kedalaman 0.11 satuan. Besaran n menyatakan banyaknya gelombang soliter internal yang memiliki simpangan terbesar dalam suatu fluida. Pada kasus, dimana rapat massa fluida

1

β , diperoleh bahwa gelombang soliter mengalami fisi di kedalaman yang berbeda-beda. Namun demikian untuk parameter β yang cukup besar, gelombang soliter internal mengalami fisi menjadi dua gelombang soliter, baik n ganjil maupun n genap di kedalaman 0.33 satuan.

Kata kunci: Formulasi asimtotik, persamaan Korteweg-de Vries, gelombang soliter internal, proses fisi.

©

Hak Cipta Milik IPB, tahun 2003 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya ini tanpa mencantumkan

atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian,

penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan pihak IPB

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB

FISI GELOMBANG SOLITER INTERNAL

NURSALEH

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

NIM : G551070291

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.S. Drs. Siswandi, M.Si. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga tesis ini bisa diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah Gelombang Soliter Internal, dengan judul Formulasi Asimtotik untuk Menjelaskan Proses Fisi Gelombang Soliter Internal.

Ucapan terima kasih yang takterhingga penulis kepada

1. Bapak Dr. Jaharuddin, M.S dan Drs. Siswandi, M.Si selaku Pembimbing 2. Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku penguji luar komisi

3. Departemen Agama RI selaku sponsor/pemberi beasiswa untuk melanjutkan studi S2 pada Institut Pertanian Bogor

4. Ketua Departemen, ketua program studi dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi pada Departemen Matematika, FMIPA IPB yang turut membantu proses penyelesaian tesis ini

5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MAN Kota Baru Raha yang turut mendoakan serta memotivasi penulis dalam penyelesaian tesis ini

6. Bapak, Ibu dan saudara-saudara penulis yang tak henti-hentinya mendoakan penulis setiap waktu hingga tesis ini bisa terselesaikan

7. Bapak Ir. La Djono dan istri yang selalu membantu segala keperluan studi penulis

8. Seluruh teman-teman yang turut membantu dan memberikan semangat kepada penulis.

Penulis doakan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT dan semoga tesis ini bisa bermanfaat bagi kita semua, amin.

Bogor, Desember 2009

ayah La Ode Adam dan ibu Wa Nibu. Penulis merupakan putra ke-empat dari enam bersaudara.

Tahun 1995 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Raha dan pada tahun yang sama pula lulus seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri di Universitas Haluoleo Kendari-Sulawesi Tenggara pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) pada Jurusan Pendidikan Matematika.

Pada tahun 2007 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan program magister di Departemen Matematika Fakultas MIPA di jurusan Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui sponsor Departemen Agama Republik Indonesia. Penulis sampai sekarang adalah salah satu staf pengajar Bidang Matematika sejak Januari 2005 di Madrasyah Aliyah Negeri Raha, Kab. Muna Sulawesi Tenggara.

Halaman

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 2

II LANDASAN TEORI ... 3

2.1 Persamaan Dasar Fluida Ideal ... 3

2.2 Metode Asimtotik ... 8

III METODE PENELITIAN ... 11

IV PEMBAHASAN DAN HASIL ... 12

4.1 Persamaan Gerak Gelombang ... 12

4.2 Penyelesaian Gelombang Soliter ... ... 19

4.3 Proses Fisi Gelombang Soliter Internal ... 21

4.4 Studi Kasus ... 22

4.4.1 Kasus β 1... 23

4.4.2 Kasus β 1... 26

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 29

5.1 KESIMPULAN ... 29

5.2 SARAN ... 30

DAFTAR PUSTAKA ... 31

1 Kedalaman d_s pada proses fisi gelombang soliter internal tunggal

menjadi N =2 untuk kasus β 1 ... 26 2 Kedalaman d pada proses fisi gelombang soliter internal tunggal _s

1 Ilustrasi partikel fluida ... 4 2 Domain fluida ... 7 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan asimtotik untuk MNA (2.24)

untuk α =0.1 ... 10 4 Grafik fungsi rapat massa untuk kasus β 1 dan β 1 ... 23 5 Perbandingan fisi gelombang soliter internal pada kasus β 1,

dimana n ganjil dan n genap ... 25 6 Perbandingan fisi gelombang soliter internal pada kasus β 1,

dimana n =1 ... 26 7 Perbandingan fisi gelombang soliter internal pada kasus dimana

100

2 Penurunan persamaan (4.13), (4.15)dan (4.16) ... 38

3 Penurunan persamaan (4.18), (4.19) dan (4.20) ... 43

4 Penurunan persamaan (4.26 dan (4.27) ... 51

I PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Ada berbagai macam fenomena alam yang sering terjadi di laut. Salah satunya adalah fenomena gelombang laut. Gelombang ini selain muncul pada permukaaan laut, juga muncul di bawah permukaan laut. Hal ini dikarenakan oleh rapat massa air laut yang tidak konstan. Perubahan rapat massa disebabkan oleh perubahan kadar garam dan temperatur, dimana lapisan air bagian atas lebih hangat dibandingkan dengan bagian bawahnya. Perubahan rapat massa ini dapat mengakibatkan munculnya aliran partikel dari suatu tempat ke tempat lain dalam air laut. Garis arus dari aliran partikel ini merupakan gelombang internal dan salah satu gelombang internal yang akan dikaji adalah gelombang soliter internal.

Gelombang soliter internal terjadi di bawah permukaan air laut, sehingga gelombang ini tidak dapat dilihat secara kasat mata, tetapi dapat terdeteksi keberadaannya melalui pola tertentu yang ada di permukaan. Misalnya dilaporkan oleh (Apel et al. 1975) berdasarkan pengamatan satelit yang menyatakan keberadaan suatu benda bergerak, fitur ini seolah-olah bergerak secara periodik di atas permukaan laut. Fitur ini dipercaya sebagai manifestasi dari gelombang internal yang dihasilkan dan menyebar pada daerah tepi pantai. Hal ini sesuai dengan pengukuran yang dilakukan oleh (Halpern, 1971). Kemudian berdasarkan hasil penelitian yang dilakukan oleh J. Small, Z. Hallock, G. Pavey dan J. Scoot dalam (Small et al. 1998) disebutkan bahwa panjang gelombang soliter internal berkaitan dengan pola gelap terang yang muncul pada permukaan air laut. Pola gelap terang ini diperoleh berdasarkan foto satelit.

Penelitian ini akan mengkaji secara matematika perilaku gelombang soliter internal. Untuk itu, fluida yang ditinjau adalah fluida yang takmampat (incompresibble) dan tak kental (inviscid). Model matematika yang ditinjau didasarkan pada hukum kekekalan massa dan momentum. Karena bentuknya yang taklinier, model matematika ini tidak mudah dipelajari. Oleh karena itu, tulisan ini bertujuan untuk menurunkan beberapa persamaan gelombang sehingga perilaku gelombang soliter dapat dikaji lebih lanjut.

menggunakan asumsi fluida dangkal, yaitu panjang gelombang internal yang ditinjau jauh lebih besar dari kedalaman fluida. Dalam penurunan persamaan gerak gelombang, fluida yang ditinjau berupa fluida berlapis, yaitu fluida dengan rapat massa berupa fungsi eksponensial. Gelombang internal yang muncul pada fluida berlapis tersebut, berada pada setiap lapisan fluida tersebut. Beberapa penelitian yang dilakukan di laut memberikan suatu data bahwa rapat massa air laut pada setiap lapisan dapat berupa fungsi eksponensial, lihat (Holloway et al. 2001).

1.2 Tujuan penelitian

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah:

1. Menurunkan suatu persamaan gerak gelombang internal sebagai suatu pendekatan bagi model matematika untuk fluida takmampat dan tak kental 2. Mengkaji fisi gelombang soliter internal, pada kasus fluida dengan rapat

massa berupa fungsi eksponensial terhadap kedalaman fluida

3. Mengkaji fisi gelombang soliter internal dengan memanfaatkan persamaan gerak yang telah diperoleh.

II LANDASAN TEORI

Beberapa landasan teori yang dibahas pada bab ini, seperti konsep dasar mekanika fluida akan disarikan dari pustaka (David & Robert, 1994). Salah satu teknik atau metode yang digunakan untuk menentukan suatu masalah nilai awal atau nilai batas, yakni metode asimtotik. Teori mengenai metode asimtotik disarikan dari pustaka (Hinch, 1992).

2.1 Persamaan dasar fluida

Aliran partikel pada fluida dapat digambarkan sebagai persamaan matematika. Persamaan dasar fluida diperoleh berdasarkan gerak partikel fluida, dan ini merupakan dasar bagi penurunan persamaaan-persamaan gerak gelombang internal, seperti persamaan Korteweg-de Vries.

Untuk menurunkan persamaan dasar fluida, maka digunakan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Misalkan komponen kecepatan fluida adalah q=( , , )u v w

r

yang dinyatakan dalam ruang dimensi tiga.

Untuk setiap partikel fluida dinyatakan dalam arah horizontal (arah sumbu x, dan sumbu y), dan arah vertikal dinyatakan dalam sumbu z. Gerak partikel dinyatakan sebagai fungsi dari t. Misalkan u merupakan kecepatan partikel fluida dalam arah sumbu x, v kecepatan partikel fluida dalam arah sumbu y, sedangkan w kecepatan partikel fluida dalam arah sumbu z. Selanjutnya rapat massa dinyatakan oleh

ρ ρ

( = _s( )z +

ρ

( , , ),x y z dengan

ρ

_s(z) rapat massa fluida dalam keadaan setimbang. Penurunan persamaan dasar fluida ideal dalam ruang dimensi tiga menggunakan ilustrasi elemen volume partikel fluida yang diberikan dalam Gambar 1 berikut.

Berdasarkan Gambar 1, selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar dalam arah sumbu x dan sumbu y masing-masing adalah

{

(ρ(u)_x∆ ∆ −y z (ρ(u)_x+∆x∆ ∆y z

}

dan

{

( ) ( )

}

,

y y y

v x z v x z

ρ

( ∆ ∆ −

ρ

( _+∆ ∆ ∆ sedangkan pada arah vertikal (sumbu z) adalah

{

(ρ(w)_z ∆ ∆ −x y (ρ(w)_z+∆z ∆ ∆x y

}

. Jadi laju perubahan massa fluida adalah

x y z t ρ ∂ ∆ ∆ ∆ = ∂ (

{

(ρ(u)_x∆ ∆ −y z (ρ(u)_x+∆x∆ ∆y z

}

+

{

( ) ( )

}

y y y v x z v x z

ρ

( ∆ ∆ −

ρ

( _+∆ ∆ ∆ +

{

(ρ(w)_z ∆ ∆ −x y (ρ(w)_z+∆z ∆ ∆x y

}

, atau t ρ ∂ = ∂ ( ( ) ( ) x x x u u x ρ ρ _+∆  ₋      ∆     ( ( + ( ) ( ) y y y v v y

ρ

ρ

_+∆  ₋      ∆     + ( w)z ( w)z z z ρ ρ _+∆  ₋      ∆    . (2.1) y x z z ∆ y∆ x∆

( )

y y y v ρ +∆

( )

y y v ρ

(

x+ ∆x y, + ∆y z, + ∆z

)

Untuk ∆ →x 0, ∆ →y 0 dan ∆ →z 0, maka persamaan (2.1) menjadi u v w t x y z

ρ

ρ

ρ

ρ

∂ _{= −}∂ ₋∂ ₋∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ( ( (

atau dapat dituliskan

( ).

t u x ux v y vy w z wz

ρ( = − ρ( +ρ( + ρ( +ρ( + ρ( +ρ( (2.2) Jika turunan total dari ρ( terhadap t didefinisikan berikut

D u v w Dt t x y z

ρ

₌ ∂

ρ

₊ ∂

ρ

₊ ∂

ρ

₊ ∂

ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ( ( ( ( ( atau dapat dituliskan

t x y z D u v w Dtρ ρ ρ ρ= + + + ρ ( ( ( ( ( (2.3) maka persamaan (2.2) memberikan

( x y z). D u v w Dt ρ( _{= −ρ}( _{+ +} (2.4)

Jika asumsi fluida tak mampat (incompressible) digunakan, yaitu

' 0 t u x v y w z sw

ρ

+

ρ

+

ρ

+

ρ

+

ρ

= (2.5) atau 0 D Dt ρ( ₌ (2.6) maka diperoleh 0. x y z u +v +w = (2.7) Selanjutnya menurut hukum kekekalan momentum, laju perubahan momentum merupakan selisih antara momentum yang masuk dengan momentum yang keluar ditambah dengan gaya-gaya yang bekerja pada elemen volume tersebut. Pada hukum kekekalan momentum pergerakan partikel dapat dilihat dari dua arah, yakni arah horizontal (sumbu x dan sumbu y) dan arah vertikal (sumbu z). Misalkan momentum yang masuk dan keluar dalam arah sumbu x masing-masing adalah ( ) x uu y z

ρ

( ∆ ∆ dan ( ) , x x uu y z

ρ

( _+∆ ∆ ∆ sedangkan dalam arah sumbu y masing-masing adalah (ρ(vu)_y∆ ∆x z dan (ρ(vu)_y+∆y∆ ∆x z.

Kemudian momentum yang masuk dan keluar dalam arah sumbu z masing-masing adalah ( ) z wu x y

ρ

( ∆ ∆ dan ( ) . z z wu x y

ρ

( _+∆ ∆ ∆

Jadi momentum pada arah sumbu x (horizontal) adalah (ρuu)_x (ρuu)_x+∆x y z  ₋ _{∆ ∆}  ( (  + (

ρ

vu)y (

ρ

vu)y+∆y x z  ₋ _{∆ ∆}   ( ( + (ρwu)_z (ρwu)_z+∆z x y.  ₋ _{∆ ∆}  ( ( 

Pada arah sumbu y (horizontal) adalah (ρuv)_x (ρuv)_x+∆x y z  ₋ _{∆ ∆}  ( (  + (

ρ

vv)y (

ρ

vv)y+∆y x z  ₋ _{∆ ∆}   ( ( + (ρwv)_z (ρwv)_z+∆z x y  ₋ _{∆ ∆}  ( ( 

sedangkan pada arah sumbu z (vertikal) adalah (ρuw)_x (ρuw)_x+∆x y z  ₋ _{∆ ∆}  ( (  + (

ρ

vw)y (

ρ

vw)y+∆y x z  ₋ _{∆ ∆}   ( ( + (ρww)_z (ρww)_z+∆z x y.  ₋ _{∆ ∆}  ( ( 

Jika asumsi fluida tak kental (inviscid) digunakan, maka tegangan geser diabaikan sehingga gaya-gaya yang mempengaruhi tekanan fluida adalah gaya gravitasi dan tekanan. Gaya akibat tekanan p dan gravitasi g pada arah sumbu x dan arah sumbu y masing-masing adalah

(

p _x −p _x+∆x

)

∆ ∆ +y z

ρ

(g_x∆ ∆ ∆x y z,

(

p y −p y+∆y

)

∆ ∆ +x z

ρ

gy∆ ∆ ∆x y z

(

, sedangkan pada arah sumbu z adalah

(

p _z − p _z+∆z

)

∆ ∆ +x y ρ(g_z∆ ∆ ∆x y z, dimana gx, gy,dan gz masing-masing

percepatan gravitasi dalam arah sumbu x, y dan z. Jadi laju perubahan momentum pada arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z berturut-turut sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) x u uu uv uw p g t x y z x

ρ

ρ

ρ

ρ

_ρ

∂ _{= −}∂ ₋∂ ₋∂ ₋∂ ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ( ( ( (2.8) ( ) ( ) ( ) ( ) y v vu vv vw p g t x y z y

ρ

ρ

ρ

ρ

_ρ

∂ _{= −}∂ ₋∂ ₋∂ ₋∂ ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ( ( ( (2.9) ( ) ( ) ( ) ( ) . z w wu wv ww p g t x y z z

ρ

ρ

ρ

ρ

_ρ

∂ _{= −}∂ ₋∂ ₋∂ ₊∂ ₊ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ( ( ( (2.10) Jika persamaan (2.5) dan (2.7) disubstitusikan pada persamaan (2.8), (2.9) dan (2.10), maka diperoleh:

(ut uux vuy wuz) px 0

ρ( + + + + = (2.11) (v_t uv_x vv_y wv_z) p_y 0

(w_t uw_x vw_y ww_z) p_z g 0

ρ( + + + + +ρr = (2.13) dengan g =(0, 0, )g , dimana g percepatan gravitasi.

Persamaan (2.5) dan (2.7) merupakan persamaan kekontinuan, sedangkan persamaan (2.11), (2.12) dan (2.13) merupakan persamaan momentum. Selanjutnya akan dibahas syarat-syarat batas yang berlaku pada domain fluida.

Syarat batas yang akan ditinjau adalah batas antara air dan udara, dan batas pada permukaan dasar. Syarat batas terdiri atas syarat batas kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat batas kinematik disebabkan oleh adanya gerak partikel, sedangkan syarat batas dinamik disebabkan oleh adanya tekanan pada fluida. Tinjau domain fluida yang diberikan pada Gambar 2. Misalkan kedalaman fluida pada dasar yang rata adalah d Untuk memudahkan perhitungan, misalkan ₀.

0 1

d = .

Misalkan S merupakan kurva yang membatasi air dan udara, yaitu persamaan z =1 seperti pada Gambar 2, sehingga S(x,y,z,t) = 1 – z. Jika

diasumsikan tidak ada satupun partikel yang menembus permukaan, maka

0

DS

Dt = , di z = 1

(2.14)

atau dapat ditulis sebagai berikut

w = 0 , di z = 1. (2.15) z z = 1 d s do =1 z = b(x, y)

ρ

_s( )z x

fluida. Dari persamaan (2.14), diperoleh syarat batas kinematik pada permukaan dasar yaitu

x y

w=ub +vb , di z = b(x,y) . (2.16) Syarat batas dinamik pada permukaan atas fluida diperoleh berdasarkan kekontinuan tekanan fluida. Jika asumsi tekanan permukaan bebas sama dengan tekanan atmosfir, maka pada permukaan fluida, tekanan diasumsikan konstan (nol).

Dengan demikian persamaan dasar fluida yang tak mampat dan tak kental dengan batas permukaan dasar yang tidak rata adalah

' 0 0 ( ) 0 , ( ) 0 ( ) 0 x y z t x y z s t x y z x t x y z y t x y z z u v w u v w w u uu vu wu p v uv vv wv p w uw vw ww p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + + =   + + + + =   + + + + =   + + + + = _  + + + + + = _ ( ( ( (2.17)

dengan syarat batasnya berbentuk

( , , ) 0 di 1 di ( , ) . 0 di 1 x y w x y z z w ub vb z b x y p z  = =  = + =   = =  (2.18)

Persamaan (2.15) dengan syarat batas (2.17) merupakan persamaan dasar fluida dalam formulasi Euler. Penyederhanaan persamaan dasar (2.17) dan (2.18) akan dilakukan dengan menggunakan metode asimtotik. Konsep metode asimtotik diberikan berikut ini.

2.2 Metode asimtotik

Metode asimtotik merupakan salah satu teknik yang digunakan untuk menentukan suatu masalah nilai awal atau nilai batas. Penyelesaian masalah nilai awal atau nilai batas dimisalkan dalam uraian asimtotik. Uraian asimtotik suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan g x t( , ; )α fungsi real yang kontinu terhadap x∈ℜ2 dan t∈ ℜdengan 0

Fungsi g mempunyai uraian terhadap parameter kecil sebagai berikut 0 0 1 1 2 2 ( , ; ) ( , ) ( , ) ( , ) .... _{N N}( , ) g x t

α

=

σ

g x t +

σ

g x t +

σ

g x t + +

σ

g x t (2.19) atau 0 ( , ; ) N_n n n( , ), g x t α =

∑

₌ σ g x t N∈N. (2.20) Jika barisan asimtotik

{

σ α

_n( )

}

diberikan, maka uraian asimtotik dari fungsi g adalah tunggal. Bukti ini akan diuraikan sebagai berikut. Jika persamaan (2.19) dibagi dengan σ₀, maka

1 2 0 1 2 0 0 0 0 ( , ; ) ( , ) ( , ) ( , ) .... N ( , ) N g x t g x t σ g x t σ g x t σ g x t α σ = +σ +σ + + σ Untuk α →0, diperoleh 0 0 0 lim g , g α→ σ = karena 0 0 ( ) lim 0, 1. ( ) n n α

σ α

σ α

→ = ≥ Persamaan (2.19) dapat dituliskan dalam bentuk

0 0 1 1 2 2 .... N N.

g−σ g =σ g +σ g + +σ g (2.21) Jika persamaan (2.21) dibagi dengan σ₁, maka diperoleh

0 0 1 0 1 lim g g . g α

σ

σ

→ − = (2.22)

Jika proses yang sama diteruskan, maka diperoleh

1 0 0 lim N N N n N N g g g α

σ

σ

− = → − =

∑

. (2.23)

Persamaan (2.22) menunjukan bahwa uraian asimtotik dari fungsi g ada dan tunggal.

Salah satu contoh penggunaan metode asimtotik untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal (MNA) diberikan berikut ini. Tinjau MNA berikut

2 2 0

xx x

g − αg + g = , (2.24)

(0) 1

g = dan g_x(0)=0.

Penyelesaian eksak dari MNA (2.24) tersebut adalah

(

2

)

(

2

)

2

( ; ) exp( ) cos 2 sin 2 .

2 g x

α

α

x

α

x

α

α

x

α

  =  − − −  −   (2.25)

Dengan menggunakan metode asimtotik akan dicari solusi MNA tersebut. Untuk itu, misalkan penyelesaian persamaan (2.24) berbentuk

2

0 1 2

( ; ) ( ) ( ) ( ) ...

g xα =g x +αg x +α g x + (2.26) Jika persamaan (2.26) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.24), maka koefisien

0

α ,

α

dan α2 masing-masing memberikan persamaan

0 0 1 1 0 2 2 1 2 0 2 2 2 2 . xx xx x xx x g g g g g g g g + = + = + =

Dengan menggunakan syarat batas (0)g =1 dan gx(0)=0, maka solusi MNA (2.24) berbentuk

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

2 2

1

( ; ) cos 2 sin 2 cos 2

2 1 2 in 2 2 cos 2 ... 2 g x x x x x x s x x x α α α   = + _− + _   − − +

Untuk mengetahui sejauh mana penyelesaian dengan metode asimtotik menghampiri penyelesaian eksak dari MNA (2.24) diberikan pada Gambar 3 berikut.

Eksak asimtotik

 6  4  2 2 4 6 x  1.0  0.5 0.5 1.0 1.5 g



x;



Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan asimtotik untuk MNA (2.24) untuk α =0.1

III METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini, akan dibahas tinjauan matematis mengenai gelombang internal. Untuk itu akan dimulai dengan menurunkan persamaan dasar untuk fluida ideal (fluida takmampat dan tak kental) yang diperoleh dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dalam penurunan ini diasumsikan bahwa domain fluida berdimensi tiga.

Persamaan KdV merupakan salah satu formulasi yang dapat menjelaskan gerak gelombang internal. Persamaan ini diturunkan dari persaman dasar fluida ideal dengan menggunakan uraian asimtotik dari peubah-peubah yang takbebas yang muncul. Dari uraian tersebut jika orde dari uraian yang ditinjau adalah orde pertama, maka diperoleh persamaan KdV orde rendah, sedangkan jika orde dari uraian tersebut adalah orde kedua, maka diperoleh persamaan KdV dengan orde tinggi. Metode yang digunakan adalah metode asimtotik, namun demikian pada tulisan ini tidak mengkaji persamaan KdV orde tinggi.

yang berbentuk tak linier. Kemudian berdasarkan kondisi terselesaikan (solvability condition) dari suatu masalah nilai batas, diperoleh suatu persamaan KdV. Persamaan ini diperoleh dengan asumsi bahwa gelombang internal yang ditinjau bergerak hanya dalam satu arah dan panjang gelombang internal jauh lebih besar dari kedalaman fluida. Selanjutnya akan dijelaskan bagaimana gelombang soliter mengalami proses fisi. Hasilnya secara grafis diperoleh dengan menggunakan software mathematica6.

IV PEMBAHASAN DAN HASIL

Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan gerak gelombang internal dengan menggunakan metode asimtotik. Penyelesaian gelombang soliter dari persamaan gerak gelombang internal diturunkan mengikuti alur penurunan yang diberikan dari pustaka (Mei, 2005). Salah satu metode penyelesaian suatu masalah nilai batas diperkenalkan oleh Wentzel, Kramers dan Brillouin yang disebut dengan metode WKB. Konsep ini disarikan dari pustaka [Stakgold, 1967]. Selain itu, deformasi gelombang soliter untuk mengetahui proses fisi juga diberikan pada bagian ini.

4.1 Persamaan Gerak Gelombang

Berikut ini akan diturunkan persamaan gerak gelombang internal dengan metode asimtotik. Oleh karena itu diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau mempunyai panjang gelombang yang cukup panjang dan pengamatan dilakukan dalam waktu yang hingga, dimana pengertian panjang dan waktu yang hingga

didasarkan pada pemilihan suatu parameter positif

ε

sehingga peubah fisis x, y dan t dapat dituliskan dalam peubah baru berikut

1 / 2 3 / 2 3 / 2 [ ( , )a x y t] x y

ε

ε

ε

 τ = −  ξ =   η = _ (4.1)

dengan a(x,y) suatu fungsi yang bergantung pada x dan y, sedangkan

ε

suatu parameter positif yang cukup kecil. Selanjutnya variabel takbebas dari persamaan dasar (2.17) dan syarat batas (2.18) dinyatakan dalam uraian asimtotik berikut:

(1) 2 (2) 3 (3) (1) 2 (2) 3 (3) 3 / 2 (1) 5 / 2 ( 2) 7 / 2 (3) (1) 2 (2) 3 (3) (1) 2 ( 2) 3 (3) ... ... ... ... ... u U U U v V V V w W W W p P P P

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ρ ερ

ε ρ

ε ρ

= + + + = + + + = + + + = + + + = + + + (4.2)

Jika persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.17) dan syarat batas (2.18), maka koefisien

ε

dan ε3 / 2 memberikan masalah nilai batas berikut: (1) (1) (1) (1) ' (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 0, 0, 0, 0, 0, x y z s s x s y z a U a V W W U a P V a P P τ τ τ τ τ τ τ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

+ + = − + = − + = − + = + = (4.3)

dengan syarat batas berikut

(1) (1) ( , , 1) 0, ( , , ) 0. W x y z W x y z b = = = = (4.4) Koefisien ε2 dan ε5 / 2

(2) ' ( 2) 2 (2) (2) 3 ( 2) (2) 4 ( 2) (2) 5 , , , , s s x s y z W N U a P N V a P N P N τ τ τ τ τ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

− + = − − + = − − + = − + = (4.5)

dengan syarat batas berikut:

(2) (2) (1) (1) ( , , 1) 0, ( , , ) , W x y z W x y z b U b_ξ V b_η = = = = + (4.6) dimana (1) (1) 1 (1) (1) (1) (1) (1) 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 3 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 4 (1) 5 , ( ) , ( ) , ( ) , . x y Z s x s y s Z s x s y s Z s N U V N U a V a W N U a V a U W U P N U a V a V W V P N W ξ η τ τ ξ τ η τ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= + = + + = − + + + = − + + + = (4.7)

Berdasarkan persamaan (4.3) dan (4.4), diperoleh masalah nilai batas untuk W(1)

berikut: (1) ' (1) 2 2 (1) (1) (1) ( ) 0, ( , , 1) ( , , ) 0, sWzz sWz ay ax W W x y z W x y z b

ρ

+

ρ

− + = = = = = (4.8) atau (1) ' (1) 2 2 (1) (1) 1 0, ( ) ( 1) ( ) 0. s z s x y _z W W a a W z W z b

ρ

ρ

  − =    ₊    = = = = (4.9)

Penurunan persamaan (4.3), (4.4), (4.5), (4.6), dan (4.9) dapat dilihat pada Lampiran 1.

Masalah nilai batas (4.8) dan (4.9) diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel, misalkan

(1)

( ),

W = A_τφ z (4.10)

dimana A adalah fungsi sembarang yang akan ditentukan, sedangkan ( )φ z dicari sebagai berikut.

Jika persamaan (4.10) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.9), maka diperoleh masalah nilai batas untuk ( )φ z berikut:

' 2 2 1 0, ( ) ( 1) 0, ( ) 0. s z s x y _z a a z z b

ρ φ

ρ φ

φ

φ

  − =   +     = = = = (4.11) Solusi MNB untuk

φ

pada persamaan (4.11) akan ditentukan dengan memisalkan rapat massa fluida dalam keadaan setimbang dinyatakan dalam fungsi eksponensial berikut

( ) exp( ), >0

s z z

ρ

= −

β

β

(4.12) Dengan menggunakan metode WKB, maka solusi masalah nilai batas (4.9) adalah (1) / 2 , ( ), 1, 2, 3,... z n n n W A e sin z b n d β τ π = − = (4.13) Dengan demikian φ_n pada persamaan (4.10) diperoleh dalam bentuk

/ 2 ( ) z ( ), 1, 2, 3,... n n z e sin z b n d β π φ = − = (4.14)

dengan fungsi a(x,y) memenuhi persamaan berikut

2 2 2 1 4 x y n a a d

π

β

β

 _{ }  + =  +_{ }        . (4.15)

dimana d = 1 - b(x,y). Jika (1)

W pada persamaan (4.13) disubstitusikan pada persamaan (4.3), maka diperoleh

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 (1) / 2 2 (1) (1) 2 cos sin 2 1 2 cos sin 2 1 2 sin 1 2 n y z n z n z U e z b z b A d n d d n n da _{n d n} V e z b z b A d n d d n n n e z b A d d P e d n n β β β

π

β

π

π

β

_π

_β

_π

π

β

π

π

π

ρ

β

β

β

π

π

− − = − _ − + − _  _{ }    +  _{ }   _{ }      = − _ − + − _  _{ }    +  _{ }   _{ }    = − − = −  _{ }  +  _{ }   _{ }   

(

)

(

)

/ 2 cos sin 2 n n d n z b z b A d n d

π

β

π

π

  − + −     (4.16)

Penurunan persamaan (4.13), (4.15) dan (4.16) dapat dilihat pada Lampiran 2 Masalah nilai batas untuk W( 2) diperoleh dari persamaan (4.5) dan (4.6), yaitu (2) ' (2) 2 2 (2) ( 2) (2) ( ) , ( , , 1) 0, ( , , ) , sWzz sWz ay ax W N W x y z W x y z b R

ρ

+

ρ

− + = = = = = (4.17) atau

(

(2)

)

' 2 2 (2) ( 2) (2) ( ) , ( , , 1) 0, ( , , ) , sWZ _Z s ax a_y W N W x y z W x y z b R

ρ

− ρ + = = = = = (4.18) dengan

(

) (

)

(

)

2 2 3 1 4 2 5 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 2 ( ) (( )(( ) ( ( ) ) ( ) (( x s y z y x s _z x s x s y s Z _z y s x s y s Z _z y N a N N a N a a N N U V a U a V a U W U P a U a V a V W V P a τ ξ η τ ξ τ η

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= − + + + + − = + − − + + + + − + + + + 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) )((( ) ) ) . (4.19) x x y Z s a U a V a W W R U b V b τ ττ ξ η

ρ

ρ

ρ

+ + + − = +

Jika rapat massa dalam keadaan setimbang

ρ

_s pada persamaan (4.12), dan bentuk

(1) (1) (1)

, ,

W U

ρ

dan P pada persamaan (4.15), (4.14), (4.15) dan (4.16) (1)

( 2) (2) 2 2 1 ' , s z s x y _z W W N a a ρ ρ   − =   +     (4.20)

dan syarat batas

( 2) ( 2) ( ) 0, di 1 ( ) , di ( , ), W z z W z R z b x y = = = = (4.21) dengan / 2 2 / 2 2 2 / 2 , 2 2 2 , 2 ( )(1 ) cos ( ) ( ) sin ( ) ) sin ( ) 2 ( ) sin ( ) 2 sin ( ) cos ( 4 z n x y x y z z n x y n x n y n n t n n n N A e a b a b z z b a a z b d d d n n A e a a z b e A a A a z b d d n n n A A z b z d d d

π

π

π

π

π

π

π

π

ξ −β ξ η ξ η −β β ,τττ ξ ,η 3   = _ + − − − + − _+   ( + − − β + − +   β _{− +}  _β    2 2 2 ) sin ( ) 2( ) (cos ( ) sin ( )) (4.22) 2 2n 1+ x y n n n b z b d d a d a d _{n d n} R z b z b A d n d d ξ η

π

π

π

β

π

π

π

β

   _{− + −}  β β  _  + = − + −  _{ }   _{ }   _{ }   

Penurunan persamaan (4.18), (4.19) dan (4.22) dapat dilihat pada Lampiran 3. Dengan demikian diperoleh dua masalah nilai batas untuk ( )φ z dan W( 2)

yang masing-masing diberikan pada persamaan (4.11) dan (4.21). Masalah nilai batas (4.21) memiliki penyelesaian, jika memenuhi kondisi terselesaikan

(Solvability condition) berikut:

(

)

1 ₁ (2) (2) (2) (2) Z s Z 2 2 b ( LW ) = - z s z b x y W L dz W W a a ρ φ φ φ ρ φ = = − +

∫

_(4.23) dengan 2 2 ( 2) (2) ( 2) ( 2) 2 2 2 2 2n 1 4 d 2n 1 0. 4 d W W LW W N z z L z z β π β β φ φ β π φ β φ β  _{ }  ∂ ∂ _{ } = − + _ +_{  } = ∂ ∂ _   _  _{ }  ∂ ∂ _{ } = − + _ +_{  } = ∂ ∂ _   _ (4.24)

2 2 b = . s z x y _{z b} N dz R a a ρ φ φ = +

∫

_(4.25)

Jika N dan R pada persamaan (4.22) disubtitusikan ke dalam persamaan (4.25), maka diperoleh persamaan berikut.

1 2 2 2 ( )(1 ) sin ( ) ( ) sin ( ) n x y x y b n n n A a b a b z z b a a z b dz d d d π π π β ξ η ξ η   + − − − + − + _{ }    

∫

1 1 2 2 2 2 , b 2 1 3 2 , ) sin ( ) dz 2 ( ) sin ( ) 2

sin ( ) cos ( )sin ( )

4 2 2 + sin ( )sin n x y n x n y b n n b n n A a a z b A a A a z b dz d d n n n n A A z b z b z b d d d d n n z b d d τ π π π π π π π π ξ ,τττ ξ ,η 3     ( +  −  − β +  −        β + − + _β  − −     −  _β  _β  

∫

∫

∫

/ 2 2 ( ) 2 = cos ( ) sin ( ) . 2 2 1 2 z x y n z b e dz d n d n n a d a d z b z b d n d d d n n d ξ η π π β π π π β π π β β  −        ₊  _{− + −}        _{ }      +  _{ }        (4.26)

Dengan menggunakan metode integral parsial pada persamaan (4.26), maka diperoleh 2 , , 2 3 2 / 2 (1 ) / 2 , 2 , 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 3 2 1 ( 1) 0. 4 ₂ 1 9 x y x y n x n y n n d n n n n d a d a d a d a d A a dA a dA n d n d d n A e e A A d _n d ξ η ξ η β β τττ τ

π

β

π

β

π

β

β

π

β

_π

β

−   _{ }    _{ }   _{+ + +}  ₊    _{+ +}  _{ }    _{ + }    _{ }            _{ }  _{ }   −  +_{ }  + −_ − _ =         ₊     (4.27)

Penurunan persamaan (4.26) dan (4.27) dapat dilihat pada Lampiran 4.

Persamaan (4.27) merupakan persamaan Korteweg-de Vries (KdV) untuk gelombang internal dalam dua dimensi dengan koefisien yang bergantung pada kondisi fisis fluida tersebut.

Jika diasumsikan batas bawah berupa permukaan dasar rata dalam arah sumbu y, maka persamaan (4.27) menjadi

2 2 , , 2 3 / 2 (1 ) / 2 2 2 2 ( ) 1 2 1 4 2 1 2 3 ( 1) 2 1 9 x x n x n n n d n d d n a d a d A a dA A d n d n d e e n d ξ ξ τττ β β

π

β

π

β

π

β

π

β

β

π

β

−   _{ }    _{ }  _{ }    ₊  ₊    _{+ −  + }  _{ }          _{ + }      _{   }             + −_ − _   +    , 2 A An nτ =0  (4.28)

atau dapat pula dituliskan sebagai berikut.

0 1 2 3 0

s A+s A_ξ +s AA_τ +s A_τττ = . (4.29) dengan koefisien-koefisien persamaan (4.29) berbentuk

2 0 2 2 1 3 ( ) 2 1 x x n d s a d a d n d ξ ξ

π

β

π

β

 _{ }  +  _{ }      = + _{ }    _{+ }   _{ }    . (4.30) 1 2 x . s = a d (4.31) 3 / 2 (1 ) / 2 2 2 2 3 ( 1) 2 1 9 n d n d s e e n d β β

π

β

β

π

β

−         = −_ − _   +     . (4.32) 2 3 2 1 4 d n s d

π

β

 _{ }  =  +_{ }        . (4.33) 2 2 2 1 . 4 x n a d

β

π

β

 _{ }  =  +_{ }        (4.34) Selanjutnya, dimisalkan ( ) ( , ). A= f ξ B ξ τ (4.35) Jika persamaan (4.35) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.29), maka diperoleh

1 2 3 0.

dengan 1 / 4 2 1 2 1 n . f d d

π

β

 _{ }  =  +_{ }        (4.37)

Persamaan (4.36) dapat pula ditulis 0, B_ξ +µBB_τ +δB_τττ = (4.38) dengan 2 1 s f s

µ

= dan 3 1 . s s

δ

= (4.39) Persamaan (4.38) juga merupakan persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Persamaan KdV (4.38) akan digunakan untuk menjelaskan proses fisi gelombang soliter internal pada fluida dengan lapisan berbentuk fungsi eksponensial. Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan KdV (4.38) dalam bentuk gelombang soliter internal.

4.2 Penyelesaian Gelombang Soliter

Misalkan bahwa solusi persamaan KdV dinyatakan dalam bentuk gelombang soliter, yakni gelombang berjalan dengan simpangan yang sangat kecil

di upstream (x→ −∞) dan downstream (x→ +∞). Untuk itu, misalkan

( ) dengan = ( - ).

B B

c

ξ τ

= Ψ Ψ (4.40) dengan c konstanta positif. Jika persamaan (4.40) disubstitusikan pada persamaan (4.38), maka diperoleh

0.

B_Ψ −c BB

µ

_Ψ −c B

δ

_ΨΨΨ = (4.41) Jika kedua ruas pada persamaan (4.41) dintegralkan terhadap Ψ, maka diperoleh

2

. 2

c

Karena gelombang yang ditinjau adalah gelombang soliter dengan simpangan gelombangnya B dan semua turunannya menuju nol di Ψ → ∞, maka L = 0, sehingga persamaan (4.42) menjadi

2 0. 2 c B− µ B −c Bδ _ΨΨ = (4.43)

Jika persamaan (4.43) dikalikan dengan B_Ψ, maka diperoleh

2

0. 2

c

BB_Ψ − µ B B_Ψ −c B Bδ _{Ψ ΨΨ} = . (4.44) Kemudian kedua ruas pada persamaan (4.44) diintegralkan terhadap Ψ, maka diperoleh 2 3 2 1 1 . 2 6 2 c f c B − µ B − δ B_Ψ =L (4.45) Karena penyelesaiannya berupa gelombang soliter, maka L = 0, sehingga 1

persamaan (4.45) menjadi 2 3 2 1 0 2 6 2 c c B − µ B − δ B_Ψ = (4.46) atau B 1 3 B B c

µ

δ

Ψ   = _ − _   (4.47) atau . 1 3 dB d B B c

δ

µ

Ψ =   −    

(4.48) Jika kedua ruas pada persamaan (4.48) diintegralkan, maka diperoleh

1 3 dB B B c

δ

µ

Ψ =   −    

∫

(4.49) atau 1 tanh 1 3 c 4 c B

µ

µ δ

−    Ψ − _{ } − __=     atau

2 ( ) = sec . c 4 B h c

µ

µ δ

Ψ  Ψ   (4.50)

Jadi penyelesaian persamaan (4.38) diperoleh

2 3 1 ( , ) = sec ( ) 2c B h c c

ξ τ

ξ

τ

µ

µ δ

− atau 1 1 2 1 2 2 3 3 ( , ) = sec ( ) 2cs s s s B h c cs f f s

ξ τ

ξ

−

τ

atau 2 ( , ) = sec ( ) B

ξ τ

p h q

ξ

−c

τ

(4.51) dengan 1 2 3s p cs f = dan 1 1 2 3 . 2cs s s q f s = (4.52) Dari persamaan (4.52) diperoleh tiga parameter gelombang soliter internal, yakni p, q dan c. Jika salah satu parameter diketahui, maka dua parameter lainnya dapat ditentukan. Nilai parameter p bergantung pada nilai µ yang merupakan koefisien dari persamaan KdV (4.38) dan nilainya bergantung pada rapat massa dan kedalaman fluida (kondisi fisis fluida).

4.3 Proses Fisi Gelombang Soliter Internal

Berikut ini akan dibahas fisi gelombang soliter internal mengikuti persamaan KdV (4.38) berdasarkan pustaka (Baumann, 2004). Simpangan gelombang yang memiliki sejumlah N soliton (gelombang soliter) dapat dinyatakan oleh persamaan berikut.

2

( , 0) = ( 1) sec .

B ξ τ = N N + h qξ (4.53) Jika persamaan (4.51) dan persamaan (4.53) dibandingkan, maka diperoleh

( 1).

p=N N + (4.54) Dari persamaan (4.51) dan (4.54) diperoleh

3

( 1)

N N

cµ

atau 3 ( 1) 2 2 x a N N µ + = (4.56) atau 2 3 2 3 ( 1) . 2 s N N s f

β

+ = (4.57)

Dengan menggunakan persamaan (4.57), maka pada saat perambatan gelombang, hubungan antara banyaknya soliton dan kedalaman d dapat dinyatakan sebagai _s

2 3 2 2 2 3 3 ( 1) ( ) ( ) ( 1) . . 2 3 ( ) ( 1) ( 1) s s s s d s d d f d d N N s d f d s d d

β

β

= = = + = = = = (4.58) atau 3 2 3 2 ( 1) ( ) ( ) ( 1) . . 2 ( ) ( 1) ( 1) s s s s d s d d f d d N N s d d s d f d = = = + = = = = (4.59) Jika persamaan (4.31), (4.32) dan (4.33) disubstitusikan ke persamaan (4.59), maka diperoleh 3 / 4 ₂ 2 / 2 3 / 2 2 2 / 2 1 1 6 ( 1) 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 6 2 s s d n n s _s d n N N n e d _d e n n β β

β

β

π

π

β

β

π

π

−  _{ }   _{ }  + +  _{ }   _{ }    + ₌         − −    _{ }   _{ } _{ − − }  _{+ }   _{+ }              (4.60)

Persamaan (4.60) merupakan persamaan yang akan digunakan untuk mengkaji fisi gelombang soliter.

Penurunan persamaan (4.60) dapat dilihat pada Lampiran 5.

4.4 Studi Kasus

Pada bagian ini akan dikaji fisi gelombang soliter internal dengan meninjau dua kasus dari kondisi fisis fluida. Kondisi fisis fluida dinyatakan oleh rapat massa yang diberikan pada persamaan (4.12) yang dituliskan kembali sebagai berikut:

Dalam kajian ini ditinjau dua kasus beerikut 1. Kasus β 1

2. Kasus β 1.

Grafik fungsi rapat massa kedua kasus tersebut diberikan pada Gambar 4 berikut

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 _s



z



Gambar 4 Grafik fungsi rapat massa untuk kasus β 1 dan β 1

Berdasarkan grafik fungsi rapat massa yang diberikan pada Gambar 4 diperoleh bahwa rapat massa untuk kasus β 1 lebih cepat mendekati nol ketika nilai z

bergerak dari nol ke satu, sedangkan pada kasus β 1 rapat massa fluida berubah dengan sangat lambat. Berikut ini kajian mengenai proses fisi gelombang soliter internal pada kedua kasus di atas.

4.4.1 Kasus β 1

Pada kasus ini, dimisalkan β 1 sehingga diperoleh

2 1 2n

β

π

      (4.61) 1

β

1

β

Jika persamaan (4.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.60), maka diperoleh / 2 3 / 2 / 2 ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) s d n n s e N N d e β β − −  _{− −}  + _≈    _{− −}    . (4.62)

Untuk n ganjil, persamaan (4.62) menjadi

/ 2 3 / 2 / 2 1 ( 1) 1 2 1 s d s e N N d e β β − −  ₊  + ₌    ₊    atau / 4 / 4 1 / 4 2 3 / 2 / 4 1 / 4 / 4 2 ( 1) 2 s s s d d d s e e N N e d e e e β β β β β β − − − − −  ₊  + ₌    ₊    atau (1 ) / 4 3 / 2 3 / 2 cosh 4 ( 1) . 2 cosh 4 s s d s s d N N d eβ d

β

β

− − −       + _{≈ }  _≈        _{ }    (4.63)

Karena β 1, maka persamaan (4.64) menjadi

3 / 2 ( 1) , 2 s N N d − + _≈ untuk n ganjil.

Untuk n genap, persamaan (4.62) menjadi

/ 2 3 / 2 / 2 1 ( 1) 1 2 1 s d s e N N d e β β − −  ₋  + _≈    ₋    atau (1 ) / 4 3 / 2 sinh 4 ( 1) . 2 sinh 4 s s d s d N N d eβ β β − −       + _{≈ }  _        _{ }    (4.64)

Karena β 1, maka persamaan (4.64) menjadi

1 / 2 ( 1) , 2 s N N d − + _≈ untuk n genap.

oleh persamaan berikut. 3 / 2 1/ 2 , genap ( 1) 2 , ganjil s s d n N N d n − −  +  ≈   (4.65)

dengan n berkaitan dengan fungsi eigen

φ

_n( )z yang berpengaruh pada amplitudo gelombang. Dalam domain fluida 0< <z 1, terdapat n buah gelombang yang memiliki amplitudo terbesar. Sebagai contoh untuk n=1, maka dalam domain fluida hanya terdapat satu gelombang soliter internal yang memiliki amplitudo terbesar.

Berikut ini ilustrasi fisi gelombang soliter internal. Suatu gelombang soliter internal tunggal yang merambat dari domain fluida dengan dasar tidak rata akan mengalami fisi menjadi dua gelombang soliter (N =2) pada kedalaman d _s

yang dihitung berdasarkan persamaan (4.65), yaitu

( )

2 / 3 3 0.481, s d ≈ − ≈ untuk n ganjil (4.66) dan

( )

2 3 0.111, s d ≈ − ≈ untuk n genap. (4.67)

Hal ini menunjukan bahwa gelombang soliter akan mengalami fisi menjadi dua soliton pada kedalaman fluida 0.481 satuan untuk n ganjil, dan pada kedalaman 0.111 satuan untuk n yang genap.

Berikut ini akan diperlihatkan fisi gelombang soliter terhadap kedalaman fluida (ds) dengan menggunakan formulasi fisi gelombang soliter pada persamaan (4.65). Gambar 5 menunjukkan perbandingan fisi untuk gelombang soliter n ganjil dan n genap.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 d_s 0 5 10 15 20 N



N1



2

Gambar 5 Perbandingan fisi gelombang soliter internal n ganjil dan n genap untuk kasus β 1

Berdasarkan Gambar 5 disimpulkan bahwa fisi gelombang soliter internal untuk

n ganjil (garis putus-putus) mengalami proses fisi yang lebih banyak pada kedalaman yang sama, jika dibandingkan dengan proses fisi untuk n genap.

Secara lengkap proses fisi gelombang soliter internal untuk parameter kerapatan massa fluida β 1 dapat dilihat pada Tabel 1 berikut. Perhitungan d s

dilakukan dengan menggunakan persamaan (4.64) untuk n ganjil, dan persamaan (4.65) untuk n genap.

Tabel 1 Kedalaman d pada proses fisi gelombang soliter menjadi _s N =2 untuk kasus β 1 β n 1 2 3 4 5 6 0.005 0.010 0.050 0.100 0.250 0.480958 0.481165 0.482817 0.484858 0.490824 0.111358 0.111606 0.113597 0.116117 0.123874 0.480958 0.481165 0.482808 0.484823 0.490606 0.111358 0.111606 0.113596 0.116110 0.123828 0.480958 0.481165 0.482807 0.484820 0.490588 0.111358 0.111606 0.113595 0.116109 0.123820

Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa posisi (kedalaman fluida ds) terjadinya fisi menjadi dua soliton untuk n ganjil terjadi pada kedalaman 0.48 satuan, sedangkan untuk n genap terjadi pada kedalaman 0.11 satuan.

4.4.2 Kasus β 1

n ganjil n genap

persamaan (4.60). Gambar 6 menunjukkan perbandingan fisi gelombang soliter internal antara parameter kerapatan β =10 dan β =100, dimana n=1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 d_s 0 5 10 15 20 N



N1



2

Gambar 6 Perbandingan fisi gelombang soliter internal pada kasus β 1, dimana n =1

Berdasarkan Gambar 6 diperoleh bahwa untuk n=1 fisi gelombang soliter internal untuk parameter kerapatan massa β =10(merah) mengalami proses fisi yang lebih cepat dibandingkan dengan proses fisi gelombang soliter internal untuk

100

β = (biru). Gambar 7 menunjukkan proses fisi gelombang soliter internal untuk n ganjil dan n genap dengan parameter β yang sama.

00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ds 5 10 15 20 N



N 1



2

Gambar 7 Perbandingan fisi gelombang soliter internal pada kasus dimana β =100 100 β = 10 β = 1 n= 2 n=

Berdasarkan Gambar 7 fisi gelombang soliter internal untuk n=2 (merah) mengalami proses fisi yang lebih cepat dibandingkan dengan fisi gelombnag soliter internal untuk n=1 (hitam).

Tabel 2 berikut ini menunjukkan proses fisi gelombang soliter dengan parameter kerapatan β 1 dengan perhitungan d didasarkan persamaan (4.60). s

Tabel 2 Kedalaman d pada proses fisi gelombang soliter menjadi _s N =2 untuk kasus β 1 β n 1 2 3 4 5 6 50 100 500 1000 2500 0.464531 0.390511 0.336721 0.334196 0.333472 0.552796 0.464529 0.345986 0.336721 0.333887 0.587316 0.517818 0.359178 0.340732 0.334573 0.596175 0.552796 0.374448 0.345986 0.335521 0.593148 0.574593 0.390511 0.352218 0.336721 0.584866 0.587316 0.406583 0.359178 0.33816

Berdasarkan Tabel 2 diperoleh bahwa untuk parameter kerapatan yang sangat besar, maka proses fisi gelombang soliter tunggal menjadi dua gelombang soliter terjadi pada kedalaman 0.33 satuan.

V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Penurunan persamaan gerak gelombang internal dilakukan berdasarkan asumsi fluida yang takmampat (incompressible) dan tak kental (inviscid) atau disebut juga fluida ideal, dengan rapat massa yang bergantung pada kedalaman fluida. Untuk mendapatkan persamaan dasar fluida ideal diperlukan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Formulasi yang digunakan dalam menurunkan persamaan gerak gelombang internal adalah formulasi asimtotik dengan asumsi bahwa gelombang internal yang ditinjau memiliki panjang gelombang cukup besar dibandingkan dengan kedalaman fluida (fluida dangkal) serta pengamatan dilakukan dalam waktu yang hingga. Parameter asimtotik yang digunakan adalah parameter yang digunakan untuk mengukur amplitudo dan panjang gelombang. Berdasarkan keseimbangan kedua parameter tersebut diperoleh persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dengan koefisien-koefisiennya yang bergantung pada rapat massa fluida dalam keadaan setimbang dan kedalaman fluida.

Persamaan KdV yang diperoleh mempunyai penyelesaian berupa gelombang soliter yang merambat tanpa mengalami perubahan bentuk dan