ANOVA ANALISIS VARIANSI/ ANALYSIS OF VARIANCE ( ANOVA ) 8/29/2012

ANALISIS VARIANSI/

ANALYSIS OF VARIANCE

( ANOVA )

Elty Sarvia, ST., MT.

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha

Bandung

LT Sarvia

ANOVA

• Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.

• Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F.

• adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa

rata-rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA

adalah uji F karena dipakai untuk pengujian lebih dan 2

sampel.

• Makin menyebar suatu data makin besar nilai variansinya.

• Makin tidak menyebar suatu data makin kecil nilai

variansinya

• Pada data seragam atau data yang tidak menyebar, variansi

adalah nol

ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )

• Jadi ANOVA merupakan suatu prosedur

hipotesis yang membandingkan k populasi

untuk menguji :



Kesamaan Variansi



Ada / Tidak ada efek treatment



Kesamaan rata-rata

• Analisis Variansi sering juga disebut

Analisis Ragam

8/29/2012 LT Sarvia 3

ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )

• Uji Anova ini didasarkan pada perbandingan

antara variansi yang disebabkan oleh

error

percobaan dan

variansi

yg disebabkan oleh

error percobaan + perbedaan populasi,

dengan menggunakan Distribusi F.

Asumsi pengujian ANOVA :

1. Populasi yang akan diuji berdistribusi normal

2. Varians/ragam dan populasi yang diuji sama

3. Sampel tidak berhubungan satu dengan

yang lain

LT Sarvia

Tujuan Pengujian ANOVA :

• Untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan

berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil

yang diinginkan.

• Contoh : seorang manajer produksi menguji

apakah ada pengaruh kebisingan yang

ditimbulkan oleh mesin-mesin produksi di

pabrik pada hasil perakitan sebuah

komponen yang cukup kecil dan sebuah

sirkuit yang memerlukan konsentrasi yang

tinggi dari seorang operator rakit.

ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )

•

Cara pengujian dalam ANOVA dapat

diklasifikasikan menjadi 3 jenis, yaitu :

8/29/2012 7

1. Klasifikasi 1 Arah

2. Klasifikasi 2 Arah

3. Klasifikasi 2 Arah dengan Interaksi

4. Klasifikasi 3 Arah dengan Interaksi

LT Sarvia

KLASIFIKASI SATU ARAH:

• ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan

ANOVA yang didasarkan pada

pengamatan 1 kriteria.

• Sampel dibagi menjadi beberapa

kategori dan ulangan

kolom = kategori

baris = ulangan/replika

Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :

a. Struktur Hipotesis :

8/29/2012 9

b.

Taraf nyata

a

c.

Statistik Uji : ANOVA 1 arah



H

0

:

m

1

=

m

2

= ... =

m

k



H

1

: sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama

LT Sarvia

Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH

•

Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama

:

8/29/2012 10 k n T X SST JKT 2 .. k 1 i n 1 j 2 ij



    k n T n T SSR JKK 2 .. k 1 i 2 i.



   JKG = SSE = JKT – JKK dimana :

n : jumlah data tiap kolom k : jumlah kolom data

LT Sarvia Sumber Variansi Sum of Squar e Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Stat. Uji Nilai Tengah Kolom JKK k - 1 Galat atau Error JKG k ( n – 1 )

Total JKT ( n k ) – 1 1 -k JKK S12  ) 1 -n ( k JKG S₂2  2 2 2 1 S S f 

SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi

Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH

•

Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom

Berbeda

:

8/29/2012 11

dimana :

ni : Jumlah data tiap kolom

k : Jumlah kolom data N : Jumlah Total Sampel

LT Sarvia Sumber Variansi Sum of Squar e Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Stat. Uji Nilai Tengah Kolom JKK k - 1

Galat atau Error JKG N - k

Total JKT N – 1 1 -k JKK S12  k -N JKG S22  2 2 2 1 S S f  N T X SST JKT 2 .. k 1 i n 1 j 2 ij



    N T n T SSR JKK 2 .. k 1 i i 2 i.



   JKG = SSE = JKT – JKK

d.

Wilayah Kritis :

f > f

a

_{( v1 ; v2 )}

 Tolak Ho

Dimana :

a = ...

v1 = derajat kebebasan JKK atau SSR = k – 1 = ...

v2 = derajat kebebasan Galat atau Error = ... f a = ...

f a

Wilayah Kritis :

f > f

a

e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis.

Keputusan : TERIMA Ho

LT Sarvia k 3 2 1 0

:

μ

μ

μ

μ

H











sama

μ

T

:

H

₁

idak

seluruh

_i 3 2 1

μ

μ

μ





Semua mean bernilai sama Hipotesis nol adalah benar (Tak ada efek treatment)

Keputusan : TOLAK Ho

LT Sarvia Chap 11-14 3 2 1

μ

μ

μ





μ

₁



μ

₂



μ

₃

or

k 3 2 1 0

:

μ

μ

μ

μ

H











sama

μ

T

:

H

_A

idak

semua

_i Minimal ada 1 mean yg berbeda

Hipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)

Contoh Soal :

1. Tiga buah mesin hendak dibandingkan. Mesin-mesin ini menghasilkan keluaran (output) perjamnya dengan berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut dan hasilnya sbb :

8/29/2012 15

Apakah nilai tengah output

perjam ketiga mesin itu

sesungguhnya berbeda?

Gunakan taraf nyata 5 %.

Sampel Output dari 3 buah

Mesin

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

47 55 54 53 54 50 49 58 51 50 61 51 46 52 49 LT Sarvia

Jawab :

a. Struktur Hipotesis :

H

0

:

m

1

=

m

2

=

m

3

H

1

:

sekurang-kurangnya terdapat

dua nilai tengah tidak sama Sampel Output dari 3 buah Mesin

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

47 55 54 53 54 50 49 58 51 50 61 51 46 52 49 245 280 255 245+280+255 = 780 n = 5 k= 3

b. Taraf nyata :

a

= 0,05

c. Statistik Uji : ANOVA 1 Arah

 Utk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :

Total

_

_

224 JKT 40.560 40.784 JKT 3 * 5 780 49 ... 55 47 JKT k n T X SST JKT 2 2 2 2 2 .. k 1 i n 1 j 2 ij        



 

Sumber Variansi Sum of Square Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Stat. Uji Nilai Tengah Kolom 40 3– 1 = 2 20

f = 1,304 Galat atau Error 184 3 ( 5 – 1 ) = 12 15,33

Total 224 ( 3 * 5 ) – 1 = 14 8/29/2012 17 LT Sarvia 40 JKK 40.650 -40.690 JKK 3 * 5 780 5 255 280 245 JKK k n T n T SSR JKK 2 2 2 2 2 .. k 1 i 2 i.       



 JKG = SSE = JKT – JKK = 224 – 40= 184

d.

Wilayah Kritis :

f > f

a

( v1 ; v2 )



Tolak Ho

8/29/2012 18 Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 3 – 1 = 2 v2 = k ( n – 1 ) = 3 ( 5 – 1 ) = 12 f 0,05(2,12) = 3,89 3,89

1,304

LT Sarvia

e.

Keputusan : Terima Ho

f.

Kesimpulan : bahwa nilai tengah

output ketiga mesin adalah sama

pada taraf nyata 0,05.

Contoh Soal :

2. Selama

satu

semester

seorang

siswa

menerima nilai Quiz pada berbagai Mata Kuliah

seperti tabel di bawah ini. Tentukan apakah

terdapat

perbedaan

antara

kemampuan

tersebut untuk Mata Kuliah yang berbeda pada

taraf nyata 0,05

LT Sarvia

8/29/2012 19

Ektek Matvek APK Statistik

72 81 88 74 80 74 82 71 83 77 90 77 75 87 70 80

Jawab :

b. Taraf nyata : a = 0,05 c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah a. Struktur Hipotesis :

H0: m Ektek = m Matvek = m APK = m Statistik

H1: sekurang-kurangnya terdapat dua

nilai tengah tidak sama

N = n1 + n2 + n3 + n 4 = 4 + 3 + 5 + 4 = 16





564,437 JKT 99.382,565 -99.947 JKT 16 1.261 -70 ... 80 72 JKT N T X SST JKT 2 2 2 2 2 .. k 1 i n 1 j 2 ij        



 

 Utk ukuran sampel (n) tiap kolom BERBEDA:

Ektek Matvek APK Statistik

72 81 88 74 80 74 82 71 83 77 90 77 75 87 70 80 310 232 427 292 310+232+427+292 = 1.261



Jawab :

Sumber Variansi Sum of

Square Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Stat. Uji Nilai Tengah Kolom 365,5675 4 – 1 = 3 121,856

f = 7,353 Galat atau Error 198,8695 16 – 4 = 12 16,572

Total 564,437 16 – 1 = 15 8/29/2012 21 365,5675 JKK 99.382,565 -99748,13 JKK 16 1.261 -4 292 5 427 3 232 4 310 JKK N T n T SSR JKK 2 2 2 2 2 2 .. k 1 i i 2 i.              



 JKG = SSE = JKT – JKK = 564,437 – 365,5675 = 198,8695 LT Sarvia

d.

Wilayah Kritis :

f > f

a

( v1 ; v2 )



Tolak Ho

8/29/2012 22 Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 4 – 1 = 3 v2 = N – k = 16 – 4 = 12 f 0,05(3,12) = 3,49 3,49

7,353

LT Sarvia

e.

Keputusan : Tolak Ho

f.

Kesimpulan :

bahwa terdapat perbedaan nilai

tengah kemampuan quiz untuk

keempat Mata Kuliah pada taraf

nyata 0,05

KLASIFIKASI DUA ARAH :

• ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA

yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria

( baris & kolom ).

• Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok

kolom : kategori-1;

baris : blok, kategori-2

• Setiap sel berisi satu data

8/29/2012 LT Sarvia 23

a.

Struktur Hipotesis :

b.

Taraf nyata

a

c.

Statistik Uji : ANOVA

 H0’: a1 = a2 = ... = ar = 0 ( pengaruh baris adalah nol )

H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol

 H0”: b1 = b2 = ... = bc = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )

H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

c r T X SST JKT 2 .. r 1 i c 1 j 2 ij



   

Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :

c r T c T SSA JKB 2 .. r 1 i 2 i.



   Dimana : r = row = baris c = column = kolom

8/29/2012 25 1 -r SSA S12  2 3 2 1 1 S S f  1 -c SSB S₂2  2 3 2 2 2 S S f  ) 1 -c ( ) 1 -r ( SSE S32  Sumber Variansi Sum of Square Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Statistik Uji Nilai Tengah Baris SSA r – 1 Nilai Tengah Kolom SSB c – 1 Galat atau Error SSE ( r – 1 ) ( c – 1 ) Total SST ( r c ) – 1 LT Sarvia

c

r

T

r

T

SSB

JKK

2 .. c 1 j 2 .j









JKG = JKT – JKB – JKK ; atau : SSE = SST – SSA – SSB Dimana : r = row = baris c = column = kolom

Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :

d. Wilayah Kritis :

8/29/2012 26

f

_a



f

₁

> f

a ( v1 ; v2 )



Tolak Ho

v

₁

: derajat kebebasan

Baris

v

₃

: derajat kebebasan

Error



f

₂

> f

a ( v1 ; v2 )



Tolak Ho

v

₂

: derajat kebebasan Kolom

v

₃

: derajat kebebasan Error

e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis



ada 2 buah keputusan dan kesimpulan

LT Sarvia

Contoh Soal :

3. Tiga buah mesin hendak dibandingkan mengenai keluaran / output

perjamnya berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut yang berasal dari lima operator yang berbeda yang menghasilkan satu pengamatan sampel dari setiap mesin dan hasilnya sbb :

8/29/2012 27

Output dari 3 buah Mesin Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

1 47 55 54 2 53 54 50 3 49 58 51 4 50 61 51 5 46 52 49 LT Sarvia

Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa :

a. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk kelima operator tersebut

b. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk ketiga jenis mesin tersebut

Jawab :

a. Struktur Hipotesis :

 H0’: a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = operator H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol

 H0”: b 1= b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = mesin

H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

b.

Taraf nyata :

α

= 0,05

c. Statistik Uji : ANOVA





224 JKT 40.560 40.784 JKT 3 * 5 780 49 ... 55 47 JKT rc T X SST JKT 2 2 2 2 2 .. r 1 i c 1 j 2 ij        



 

8/29/2012 29 40,667 40.560 -40.600,667 JKB 3 * 5 780 -3 147 162 158 157 156 JKB c r T c T SSA JKB 2 2 2 2 2 2 2 .. r 1 i 2 i.               



 JKG = JKT – JKB – JKK = 224 – 40,667– 40 = 143,333 LT Sarvia

Jawab :

Output dari 3 buah Mesin

Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)

1 47 55 54 156 2 53 54 50 157 3 49 58 51 158 4 50 61 51 162 5 46 52 49 147 Total (Tj) 245 280 255 780 40 JKK 40.650 -40.690 JKK 3 * 5 780 5 255 280 245 JKK c r T r T SSR JKK 2 2 2 2 2 .. c 1 i 2 j       





Sumber Variansi Sum of

Square

Derajat Kebebasan ( v )

Mean Square

( MS ) Statistik Uji

Nilai Tengah Baris 40,667 5 – 1 = 4 10,16675 f₁ = 0,5674

Nilai Tengah Kolom 40 3 – 1 = 2 20 f₂ = 1,1163 Galat atau Error 143,333 (5 – 1) (3 – 1) = 8 17,916625

Total 224 ( 5 * 3 ) – 1 = 14 8/29/2012 30 LT Sarvia

Jawab :

d. Wilayah Kritis :

 f1 > f a ( v1 ; v3 )



Terima Ho

v1 : derajat kebebasan Kolom

f a,v1,v3 = 3,84 v2 : derajat kebebasan Error

3,84 a = 0,05 v1 = 4 v3 = 8 O,5674 Wilayah Kritis : f1 < 3,84

Jawab :

d. Wilayah Kritis :

8/29/2012 31  f2 > f a ( v2 ; v3 )



Terima Ho

Wilayah Kritis : f2 < 4,46 LT Sarvia f _a,v2,v23 = 4,46 4,46 a = 0,05 v2 = 2 v3 = 8 1,1163

e. Keputusan dan Kesimpulan



ada 2 buah

1.

Terima Ho



kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput

perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.

2.

Terima Ho



kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata output

perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05

KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :

• Prosedur pengujian ANOVA dalam

Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi :

a.Struktur Hipotesis :

H0’: a1 = a2 = ... = ar ( pengaruh baris nol )

H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol H0”: b1 = b2 = ... = bc ( pengaruh kolom nol )

H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

H0’’’ : ( ab )11 = ( ab )12 = ... = ( ab )rc ( pengaruh interaksi nol )

H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol

r = row = baris

c = column = kolom

n =

jumlah sampel/replikasi

c. Statistik Uji : ANOVA

8/29/2012 33 n c r T X SST JKT 2 ... r 1 i c 1 j n 1 k 2 ijk



     n c r T n c T SSA JKB 2 ... r 1 i 2 i..



   n c r T n r T SSB JKK 2 ... c 1 j 2 .j.



   LT Sarvia n c r T n r T n c T n T SS(AB) JK(BK) 2 ... c 1 j 2 .j. r 1 i 2 i.. r 1 i c 1 j 2 ij   



 







 JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) ; atau : SSE = SST – SSA – SSB – SS(AB)

KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :

LT Sarvia SSB SSA rcn T n T AB JK a i b j ij    



1 1 2.... .. 2 ) (

Pembuktian Rumus

rcn T n T AB JK a i b j ij .... 2 1 1 .. 2 ) (  



  rcn T cn T a i i .... 2 1 ... 2  



 rcn T rn T b j j .... 2 1 .. . 2  





SSB

SSA

Jadi rcn T rn T cn T n T AB JK b j j a i i a i b j ij .... 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. 2 ) (    







    Rumus di buku Walpole

8/29/2012 35 1 -r SSA S₁2  2 4 2 1 1 S S f  1 -c SSB S22  2 4 2 2 2 S S f  ) 1 -c ( ) 1 -r ( SS(AB) S32  2 4 2 3 3 S S f  ) 1 -n ( ) c r ( SSE S42  Sumber Variansi Sum of Square Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Statistik Uji Nilai Tengah Baris SSA r – 1 Nilai Tengah Kolom SSB c – 1 Interaksi SS(AB) ( r – 1 ) ( c – 1 )

Galat atau Error SSE ( r c ) ( n – 1 )

Total SST ( r c n ) – 1

LT Sarvia

KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :

d. Wilayah Kritis :

 f1 > f a ( v1 ; v4 )  Tolak Ho

v1 = derajat kebebasan Baris

v2 = derajat kebebasan Error  f2 > f a ( v2 ; v4 )  Tolak Ho

v1 = derajat kebebasan Kolom

v2 = derajat kebebasan Error  f3 > f a ( v3 ; v4 )  Tolak Ho

v1 = derajat kebebasan Interaksi

v2 = derajat kebebasan Error

f

_a

KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :

e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

 ada 3 buah!!!



Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk

Baris



Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk

Kolom

Contoh Soal :

4. Data dibawah ini menunjukkan output perjam dari 3 Mesin dan 5 Operator yang berbeda dengan 3 kali pengulangan untuk masing-masing percobaannya :

8/29/2012 LT Sarvia 37

Output dari 3 buah Mesin

Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

1 47 55 54 30 55 44 45 78 50 2 53 54 50 33 32 50 56 54 50 3 49 58 51 66 34 54 70 34 65 4 50 61 51 21 20 65 32 30 54 5 46 52 80 47 23 98 55 70 62

Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa :

a. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk kelima operator tersebut

b. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk ketiga jenis mesin tersebut

c.

Tidak ada interaksi antara

operator dengan jenis mesin

Jawab :

a. Struktur Hipotesis :

• H0’ : a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = Operator H1’ : sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol

• H0” : b1 = b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )  c = Mesin

H1” : sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

• H0’’’ : ( ab ) 11 = ( ab ) 12 = ... = ( ab ) 53 ( pengaruh interaksi nol )

H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol

dimana :

r= baris = 5 ; c= kolom= 3; n= jumlah sampel/replikasi = 3

b. Taraf nyata :

a

= 0,05

Jawab :

LT Sarvia

Output dari 3 buah Mesin

Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)

1 47 55 54 458 30 55 44 45 78 50 2 53 54 50 432 33 32 50 56 54 50 3 49 58 51 481 66 34 54 70 34 65 4 50 61 51 384 21 20 65 32 30 54 5 46 52 80 533 47 23 98 55 70 62 Total (Tj) 700 710 878 2288





10.812 116.332 -127.144 JKT 3 * 3 * 5 288 2. -62 98 ... 30 47 JKT n c r T X SST JKT 2 2 2 2 2 2 ... r 1 i c 1 j n 1 k 2 ijk          

  

  

Jawab :

C. Statistik Uji : ANOVA

1.367 116.332 -117.699 3 * 3 * 5 2.288 -3 * 3 1.059.294 JKB 3 * 3 * 5 2.288 -3 * 3 533 384 481 432 458 n c r T n c T SSA JKB 2 2 2 2 2 2 2 2 ... r 1 i 2 i..                  





Output dari 3 buah Mesin

Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)

OP 1 122 188 148 458 OP 2 142 140 150 432 OP 3 185 126 170 481 OP 4 103 111 170 384 OP 5 148 145 240 533 Total (Tj) 700 710 878 2288 2.288 -878 710 700 T T SSB JKK 2 2 2 2 2 ... c 1 j 2 .j.           





Jawab :

8/29/2012 41 n c r T n r T n c T n T SS(AB) JK(BK) 2 ... c 1 j 2 .j. r 1 i 2 i.. r 1 i c 1 j 2 ij   



 







 JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) = 10.812 – 1.367 – 1.334 – 2885 JKG = 5.226 LT Sarvia 2.885 JK(BK) 116.332 1334 -1367 -121.918 JK(BK) 116.332 1344 -1367 -3 240 ... 142 122 JK(BK) 2 2 2             _{  }  n c r T SSB -SA n T SS(AB) JK(BK) 2 ... r 1 i c 1 j 2 ij   



  S Rumus di buku Walpole Rumus yang lebih

Sederhana

Jawab :

8/29/2012 42 n c r T n r T n c T n T SS(AB) JK(BK) 2 ... c 1 j 2 .j. r 1 i 2 i.. r 1 i c 1 j 2 ij   







    LT Sarvia 2885 JK(BK) 116.332 117.666 -117.699 -121.918 JK(BK) 116.332 3 * 5 1.764.984 -3 * 3 1.059.294 -3 240 ... 142 122 JK(BK) 2 2 2             _{  }  Rumus di buku Walpole

Idem hasilnya dengan rumus yg

lebih sederhana

Jawab :

8/29/2012 LT Sarvia 43

Sumber Variansi Sum of

Square Derajat Kebebasan ( v ) Mean Square ( MS ) Statistik Uji JKB 1.367 5 – 1 = 4 341,75 f1 = 1,96 JKK 1.334 3 – 1 = 2 667 f2 = 3,83 JK(BK) 2.885 (5 – 1) (3 – 1) = 8 360,625 f3 = 2,07 Galat atau Error 5.226 (5 * 3) (3 – 1) = 30 174,2

Total 10.812 (5 * 3 * 3) – 1 = 44

d. Wilayah Kritis :



f

1

> f

a ( v1 ; v4 )



Terima Ho

v

1

: derajat kebebasan

Baris

v

4

: derajat kebebasan

Erro

r

a

= 0,05

v1 = 4 f a = 2,69 v4 = 30



f

2

> f

a ( v2 ; v4 )



Tolak Ho

v

2

: derajat kebebasan

Kolom

v

4

: derajat kebebasan

Error

a

= 0,05

v2 = 2 f a = 3,32 v4 = 30

2,69 1,96 3,32 3,83



f

3

> f

a ( v3 ; v4 )



Terima Ho

v

3

: derajat kebebasan

Interaksi

v

4

: derajat kebebasan

Error

a

= 0,05

v3 = 8 f a = 2,27

v4 = 30

e. Keputusan dan Kesimpulan

Hipotesis



ada 3 buah

• Terima Ho  kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.

• Tolak Ho  kesimpulan : bahwa ada beda rata-rata output perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05

• Terima Ho  kesimpulan : bahwa tidak ada interaksi antara kelima operator yang mengoperasikan dengan ke-3 jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05

8/29/2012 45

2,27 2,07

LT Sarvia

SOAL – SOAL

1. Disebuah Universitas di AS,

Professor Pria dan Wanita

diambil secara bebas (tidak

saling terikat) yang

memberikan hasil pendapatan

tahunan mereka berikut

(dalam jutaan rupiah) :

Apakah terdapat perbedaan

rata-rata pendapatan yang

signifikan antara pria dengan

Wanita Professor? (

a

= 0,05 )

8/29/2012 46 Jenis Kelamin Pria Wanita

12

9

11

12

19

8

16

10

22

16

LT Sarvia

SOAL – SOAL

2. Tabel di bawah ini menunjukkan hasil perhektar dari 4 jenis

tanaman pertanian yang diberikan 3 jenis perlakuan penyubur

tanah yang berbeda. Dengan menggunakan taraf nyata 0,01 :

a) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan

penyubur tanah?

b) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan

jenis tanaman pertanian?

8/29/2012 LT Sarvia 47

Jenis I Jenis II Jenis III Jenis IV

Penyubur A 4,5 6,4 7,2 6,7

Penyubur B 8,8 7,8 9,6 7

Penyubur C 5,9 6,8 5,7 5,2

SOAL – SOAL

3. Tabel berikut menunjukkan jarak (dalam mil) yang ditempuh oleh

kendaraan yang serupa pada setiap galon dari lima merk bahan bakar

yang berbeda. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara merk bahan

bakar pada taraf nyata 0,01.

Merk A 12 15 14 11 15

Merk B 14 12 15

Merk C 11 12 10 14

Merk D 15 18 16 17 14

SOAL – SOAL

4. Sebuah pabrik ingin menentukan efektivitas dari 4 jenis mesin (A,B,C,D)

dalam memproduksi sekrup. Untuk itu jumlah baut rusak yang diproduksi

oleh mesin setiap mesin pada suatu hari-hari yang ditentukan, diamati

untuk setiap shift kerja. Tiap hari terdapat 2 shift kerja. Hasilnya

ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Lakukan analisis varians untuk

menentukan apakah terdapat perbedaan antar mesin dan antar shift

pada taraf nyata 0,05

LT Sarvia

Mesin Shift Pertama Shift kedua

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8

B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8

C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6

D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10

ANALISIS VARIANSI/

ANALYSIS OF VARIANCE

( ANOVA )

Elty Sarvia, ST., MT.

Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha

Bandung

LT Sarvia

KLASIFIKASI 3 ARAH :

• ANOVA klasifikasi 3 arah merupakan ANOVA

yang didasarkan pada pengamatan 3 kriteria.

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

8/29/2012 53

a.Struktur Hipotesis :

1. H0 : α1 = α2 =...αi

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.

2. H0 : β1 = β2 =...βj

H1 : sekurangk-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.

3. H0 : γ1 = γ2 = ... γk

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol. 4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)ij

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.

5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)ik

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.

6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)jk

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol. 7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)ijk

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol

LT Sarvia

b.

Tentukan nilai

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

• Jumlah kuadrat dihitung dengan mengganti jumlah yang sesuai ke dalam rumus perhitungan berikut :



   





a i b j c k n l ijkl

abcn

T

y

JKT

1 1 .... 2 1 1 2 abcn T bcn T JKA a i i .... 2 1 ... 2  



 abcn T acn T JKB b j j .... 2 1 .. . 2  



 abcn T abn T JKC c k k .... 2 1 . .. 2  



 LT Sarvia

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

abcn T acn T bcn T cn T AB JK b j j a i i a i b j ij .... 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. 2 ) (    







    abcn T abn T bcn T bn T AC JK c k k a i i a i c k k i .... 2 1 . .. 2 1 ... 2 1 1 . . 2 ) (    







    abcn T abn T acn T an T BC JK c k k b j j b j c k jk .... 2 1 . .. 2 1 .. . 2 1 1 . . 2 ) (    







    abcn T abn T acn T bcn T an T bn T cn T n T ABC JK c k k b j j a i i b j c k jk a i c k k i a i b j ij a i b j c k ijk .... 2 1 . .. 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. . 2 1 1 . . 2 1 1 .. 2 1 1 1 . 2 ) (        















           

JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC

LT Sarvia

Rumus Yang Sederhana

SSB

SSA

abcn

T

cn

T

AB

JK

a i b j ij











1 1 2.... .. 2

)

(

SSC SSA abcn T bn T AC JK a i c k k i    



1 1 2.... . . 2 ) ( SSC SSB abcn T an T BC JK b j c k jk    



1 1 2.... . . 2 ) ( abcn T SSBC SSAC SSAB SSC SSB SSA n T ABC JK a i b j c k ijk .... 2 1 1 1 . 2 ) (        



  

LT Sarvia SSB SSA abcn T cn T AB JK a i b j ij    



1 1 2.... .. 2 ) (

Pembuktian Rumus

abcn T cn T AB JK a i b j ij .... 2 1 1 .. 2 ) (  



  abcn T bcn T a i i .... 2 1 ... 2  



 abcn T acn T b j j .... 2 1 .. . 2  





SSB

SSA

Jadi abcn T acn T bcn T cn T AB JK b j j a i i a i b j ij .... 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. 2 ) (    







    Rumus di buku Walpole SSAB

Pembuktian Rumus

abcn T abn T abcn T acn T abcn T bcn T n T ABC JK c k k b j j a i i a i b j c k ijk .... 2 1 . .. 2 .... 2 1 .. . 2 .... 2 1 ... 2 1 1 1 . 2 ) (       









      LT Sarvia abcn T SSBC SSAC SSAB SSC SSB SSA n T ABC JK a i b j c k ijk .... 2 1 1 1 . 2 ) (        



   abcn T abn T acn T an T c k k b j j b j c k jk .... 2 1 . .. 2 1 .. . 2 1 1 . . 2    







    Jadi abcn T abn T bcn T bn T c k k a i i a i c k k i .... 2 1 . .. 2 1 ... 2 1 1 . . 2    



 







 abcn T acn T bcn T cn T b j j a i i a i b j ij .... 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. 2    



 







 SSA SSAC SSBC

abcn

T

2....



LT Sarvia n T ABC JK a i b j c k ijk



    1 1 1 . 2 ) ( cn T a i b j ij



   1 1 .. 2 bcn T bn T a i i a i c k k i





   _  1 ... 2 1 1 . . 2 abn T acn T an T c k k b j j b j c k jk







    _{ }  1 . .. 2 1 .. . 2 1 1 . . 2 abcn T2....  abcn T SSBC SSAC SSAB SSC SSB SSA n T ABC JK a i b j c k ijk .... 2 1 1 1 . 2 ) (        



  

Idem dengan rumus dibawah ini :

Cara perhitungan pengujian tiga arah dan lambangnya sebagai

berikut

• T… = jumlah seluruh abcn pengamatan.

• Ti… = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A • T.j.. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B • T..k. = jumlah pengamatan taraf ke k faktor C

• Tij.. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B • Ti.k. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke k faktor C • Tj.k. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B dan taraf ke k faktor C • Tijk. = jumlah pengamatan pada kombinasi perlakuan ke (ijk)

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

A

B

Jumlah 1 2 … b 1 T_11.. T_12.. … T_1b.. T_1... 2 T21.. T22.. … T2b.. T2... . . . . . . . . . . . . . . . .

a Ta1.. Ta2.. … Tab.. Ta...

Jumlah T_.1.. T_.2.. … T_.b.. T_….

k = 1,2,3, …, c

LT Sarvia

Tabel 1  Dua arah A-B

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

A

C

Jumlah 1 2 … c 1 T1.1. T1.2. … T1.c. T1... 2 T_2.1. T_2.2. … T_2.c. T_2... . . . . . . . . . . . . . . . .

a T_a.1. T_a.2. … T_a.c. T_a...

Jumlah T_..1. T_..2. … T_..c. T_….

k = 1,2,3, …, c

LT Sarvia

Tabel 2  Dua arah A-C

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

B

C

Jumlah 1 2 … c 1 T.11. T.12. … T.1c. T.1.. 2 T._21. T._22. … T._2c. T_.2.. . . . . . . . . . . . . . . . . b T._a1. T_.b2. … T._ac. T_.b.. Jumlah T_..1. T_..2. … T_..c. T_…. k = 1,2,3, …, c LT Sarvia

Tabel 3  Dua arah B-C

Tabel 5. Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi

Sumber variansi Jumlah kuadrat Derajat kebebasan Rataan Kuadrat f hitungan Pengaruh utama A JKA _{a - 1} S₁2 f 1 = S12/S2 B JKB _{b - 1} S22 f ₂ = S₂2/S2 C JKC _{c – 1} S32 f ₃ = S₃2/S2 Interaksi dwifaktor AB JK(AB) (a-1) (b-1) S42 f ₄ = S₄2/S2 AC JK(AC) _{(a-1) (c-1)} S₅2 f 5 = S52/S2 BC JK(BC) _{(b-1) (c-1)} S62 f ₆ = S₆2/S2 Interaksi trifaktor

Contoh Soal

5. Dalam pembuatan sejenis barang ada tiga faktor

yang perlu diperhatikan:

• A = pengaruh petugas (tiga orang)

• B= katalis yang dipakai dalam percobaan (tiga

katalis)

• C= Waktu pencucian barang sesudah proses

pendinginan (15 menit dan 20 menit).

• Tiga replikasi diambil pada tiap kombinasi

faktor. Diputuskan bahwa semua interaksi

antara faktor perlu diselidiki. Hasilnya adal

ah

sbb :

LT Sarvia

• Buatlah analisis variansi untuk menguji

keberartian pengaruh

Pengaruh Petugas (A) Waktu Pencucian (C) 15 menit 20 menit Katalis (B) Katalis (B) 1 2 3 1 2 3 10,7 10,3 11,2 10,9 10,5 12,2 10,8 10,2 11,6 12,1 11,1 11,7 Ana 11,3 10,5 12 11,5 10,3 11 Susi 11,4 10,2 10,7 9,8 12,6 10,8 11,8 10,9 10,5 11,3 7,5 10,2 11,5 10,5 10,2 10,9 9,9 11,5 13,6 12 11,1 10,7 10,2 11,9 14,1 11,6 11 11,7 11,5 11,6 Frans 14,5 11,5 11,5 12,7 10,9 12,2 LT Sarvia

Jawab

Struktur Hipotesis

1. H0 : α1 = α2 =α3

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol. 2. H0 : β1 = β2 =β3

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.

3. H0 : γ1 = γ2

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol. 4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)33

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol. 5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)32

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.

6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)32

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.

7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)332

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol LT Sarvia

Jawab :

• Buat tabel :

Pengaruh Petugas (A) Katalis (B) Total 1 2 3 Ana 67,3 62,9 69,7 199,9 Susi 66,7 61,6 63,9 192,2 Frans 77,3 67,7 69,3 214,3 Total 211,3 192,5 202,9 606,7

Jawab:

Pengaruh Petugas

(A)

Waktu Pencucian (C)

Total

15 menit

20 menit

Ana

98,6

101,3

199,9

Susi

97,7

94,5

192,2

Frans

110,9

103,4

214,3

Total

307,2

299,2

606,4

LT Sarvia

Jawab :

Katalis (B)

Waktu Pencucian (C)

Total

15 menit

20 menit

1

109,7

101,6

211,3

2

97,7

94,5

192,2

3

99,8

103,1

202,9

Total

307,2

299,2

606,4

LT Sarvia

Jawab :

LT Sarvia

Pengaruh

Petugas

(A)

Waktu Pencucian (C)

15 menit

20 menit

Katalis (B)

Katalis (B)

1

2

3

1

2

3

Ana

32,8

31

34,8

34,5

31,9

34,9

Susi

34,7

31,6

31,4

32

30

32,5

Frans

42,2

35,1

33,6

35,1

32,6

35,7

Jawab :

• Hitung

19

.

63

54

4

.

606

2

.

12

...

8

.

10

7

.

10

2 2 2 2 1 1 .... 2 1 1 2



















   

JKT

abcn

T

y

JKT

a i b j c k n l ijkl 98 . 13 54 4 . 606 3 * 2 * 3 3 . 214 2 . 192 9 . 199 2 2 2 2 .... 2 1 ... 2       



 JKA abcn T bcn T JKA a i i .... 2 1 .. . 2  



 abcn T acn T JKB b j j

Jawab :

18 . 1 54 4 . 606 3 * 3 * 3 2 . 299 2 . 307 2 2 2 .... 2 1 . .. 2      



 JKC abcn T abn T JKC c k k 78 . 4 65 . 6809 83 . 6819 63 . 6823 6 3 . 69 ... 7 . 66 3 . 67 ) ( ) ( 2 2 2 .... 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. 2            



 







 AB JK abcn T acn T bcn T cn T AB JK b j j a i i a i b j ij 92 . 2 65 . 6809 93 . 6810 63 . 6823 9 4 . 103 ... 7 . 97 6 . 98 ) ( ) ( 2 2 2 .... 2 1 . .. 2 1 ... 2 1 1 . . 2            



 







 AC JK abcn T abn T bcn T bn T AC JK c k k a i i a i c k k i LT Sarvia

Jawab :

64 . 3 65 . 6809 83 . 6810 83 . 6819 9 1 . 103 ... 7 . 97 7 . 109 ) ( ) ( 2 2 2 .... 2 1 . .. 2 1 .. . 2 1 1 . . 2            



 







 BC JK abcn T abn T acn T an T BC JK c k k b j j b j c k jk 89 . 4 ) ( 65 . 6809 83 . 6810 93 . 6819 63 . 6823 65 . 6824 73 . 6827 59 . 6838 3 7 . 35 ... 7 . 34 8 . 32 ) ( ) ( 2 2 2 .... 2 1 . .. 2 1 .. . 2 1 ... 2 1 1 .. . 2 1 1 . . 2 1 1 .. 2 1 1 1 . 2                    



  



 



 



 











 ABC JK ABC JK abcn T abn T acn T bcn T an T bn T cn T n T ABC JK c k k b j j a i i b j c k jk a i c k k i a i b j ij a i b j c k ijk

JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC JKG = 63.19 - 13.98 - 10.18 - 1.18 - 4.78 - 2.92 - 3.64 - 4.89

JKG = 21.62

Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi

Sumber variansi Jumlah kuadrat Derajat kebebasan Rataan Kuadrat f hitungan Pengaruh utama A(Petugas) 13.98 2 6.99 11.65 B(Katalis) 10.18 2 5.09 8.48 C(Waktu cuci) 1.18 1 1.18 1.97 Interaksi dwifaktor AB 4.78 4 1.2 2 AC 2.92 2 1.46 2.43 BC 3.64 2 1.82 3.03 Interksi trifaktor ABC 4.89 4 1.22 2.03 Galat 21.62 36 0.6 Jumlah 63.19 LT Sarvia 53

Wilayah Kritis :

f > f

a

( v1 ; v2 )

 Tolak Ho

Dimana :a = 0,05 v1 = 2 v2 = 36 Interpolasi f a =3,278 3,278

11.65

Wilayah Kritis : f > 3,278 Keputusan : Tolak Ho

Kesimpulan :bahwa sekurang-kurangnya ada 1 aj yang tidak sama dengan nol pada taraf nyata 0.05

• Keputusan :

 Pengaruh utama A : Tolak Ho

(11,65>3,278)

 Pengaruh utama B : Tolak Ho

(8,48>3,278)

 Pengaruh utama C : Terima Ho

(1.97<2.651)

 Interaksi Dua Arah AB : Terima Ho (2<2,651)

 Interaksi Dua Arah AC : Terima Ho (2,43<3,278)

 Interaksi Dua Arah BC : Terima Ho (3,03<3,278)

 Interaksi Tiga Arah ABC : Terima Ho (2,03<2,651)

•

Kesimpulan :

 Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05

 Ada pengaruh katalis yang digunakan dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05

 Tidak Ada perbedaan waktu mencuci barang sesudah proses pada taraf nyata 0.05

 Interaksi Dua Arah AB : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan katalis yang digunakan pada taraf nyata 0.05

 Interaksi Dua Arah AC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

 Interaksi Dua Arah BC : Tidak ada perbedaan interaksi katalis dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

 Interaksi Tiga Arah ABC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas, katalis dan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

LT Sarvia

Teknik Mengingat

Grouping Visualisasi Mengingat kata kunci Gunakan singkatan Gunakan irama LT Sarvia

7 Area Soft Skills : Winning Characteristics

* Menurut Patrick O’Brien dalam bukunya “Making College Count”