ANOVA (Analysis of Variance)

ANOVA (

ANOVA (

Analysis of

Analysis of

Variance

Variance

)

)

13/11/18

TUJUAN

PEMBELAJARAN

 _{Tujuan Umum}

Setelah mengikuti materi ini mahasiswa diharapkan memahami Uji Hipotesis Beda Rata-rata lebih dari 2 kelompok independen

 _{Tujuan khusus, mahasiswa memahami:}

◦ _{Pemanfaatan uji beda rata-rata lebih dari 2}

kel. indep

◦ _{Asumsi Uji Anova}

◦ _{Macam-macam Uji Anova} ◦ _{Prosedur Uji Anova}

◦ _{Latihan soal}

ANOVA



Uji hipotesis perbedaan nilai rata-rata lebih

dari 2 kelompok independen



Contoh:

 _{Adakah perbedaan berat badan bayi lahir dari}

keluarga sosial ekonomi tinggi, sedang dan rendah.

 _{Adakah perbedaan LOS dari kelas perawatan}

VIP, I dan II



Jika uji 2 mean

_{Kel 1}

X



“

Z

”, “t-test”

X

Uji t atau t-test

O

Jika >2 mean



uji Z dan t-test tidak efektif

lagi karena dilakukan berulang kali



akan

menyebabkan error type I (α) menjadi besar

O

Prinsip uji Anova adalah melakukan telaah

variabilitas data menjadi dua sumber variasi

yaitu variasi dalam kelompok (within) dan

variasi antar kelompok (between)

13/11/18 4

ANOVA

PRINSIP UJI ANOVA

Treatment 1 Treatment 2 Treatment k

X_i X_i X_i

… … …

… … …

… … …

X X X

•Deviasi X dengan Xi  Varian Within (S2w)

•Deviasi X dengan X  Varian Between (S2b)

ANOVA

•

Ho:μ

₁

=μ

₂

=μ

₃

(semua μ adalah sama)

•

Ha: μ

₁

≠

μ

₂

=μ

₃

(Tidak semua μ adalah sama) atau

setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan

lainnya

13/11/18 6

Hipotesis

•

Asumsi Uji Anova

• Varian semua populasi adalah sama (homogen)

• Sampel/kelompok independen

• Populasi terdistribusi secara normal

ANOVA



Satu arah (one way anova)

•

Melihat perbedaan bermacam-macam obat yang

khasiatnya sama terhadap manusia (sampel)



Dua arah (two way anova)

•

Sampel dibedakan lagi berdasarkan jenis kelamin

(laki-laki dan perempuan)



Multi arah (MANOVA)

•

Masing-masing obat dibedakan lagi berdasarkan

dosis

•

Sampel laki-laki maupun perempuan dibedakan

lagi berdasarkan kelompok umur

ANOVA

13/11/18 8

1. Ho:μ₁=μ₂=μ₃ (semua μ adalah sama)

Ha: μ₁≠μ₂=μ₃ (Tidak semua μ adalah sama) atau

setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan lainnya 2. Tentukan tingkat kepercayaan

3. Test Statistik : Uji Anova

4. Critical region (Ho ditolak, jika: F _hitung ≥ F _{tabel (k-1, N-k;α)}

(k-1 = numerator), (N-k=denominator) 5. Perhitungan uji Anova

6. Keputusan: 7. Kesimpulan:

ANOVA

O _{F-rasio adalah perbandingan antara variasi}

antar group (between group) dengan variasi di dalam group (within group)

O _{Jika rasio tersebut besar, berarti variasi}

yang terjadi adalah akibat dari perbedaan treatment/kelompok

O _{Jika rasio tersebut kecil berarti variasi}

yang terjadi hanyalah akibat perbedaan antar individu

O _{Berapa rasio yang disebut besar?}

ANOVA

O _{Ada dua sumber varians untuk mengestimasi σ}2

13/11/18 10

n

₁

(x

₁

– x)

2

+ n

2

(x

2

– x)

2

+ …+ n

k

(x

k

– x )

2

S

2

b =

k – 1

k = jumlah kelompok

• Between group (antar group)

• Within groups (

pooled variance

)

(n

₁

– 1)S

₁2

+ (n

2

– 1)S

22

+ …+ (n

k

– 1)S

k2

S

2

w =

N – k

• Ratio Variance

S

2

b

F =

ANOVA

Treatment 1 Treatment 2 Treatment k Total

X₁ X₁ X₁

x₂ X₂ X₂

… … …

X_n X_n X_n

n₁ n₂ n_k N=…

X₁ X₂ X_k X

S₁2 _S

22 Sk2 S2

13/11/18 11

Data Lay-out

n

₁

X

₁

+ n

₂

X

₂

+ … + n

_k

X

_k

X =

ANOVA

O

Tiga macam obat tidur dilakukan trialnya terhadap

tikus putih. Dicatat waktu dalam detik dari mulai

obat diberikan sampai tikus itu tertidur. Buktikan

apakah efek ketiga jenis obat tersebut sama

(α=0,05)

No Obat 1 Obat 2 Obat 3

1 47 55 54

2 53 58 50

3 49 54 51

4 50 61 51

5 46 62 49

Rata-rata 49 56 51

Varians 7.5 12.5 13/11/18 3.512

Jawab

13/11/18 13

Ho:μ₁=μ₂=μ₃ (Tidak ada perbedaan efek dari obat 1, obat 2 & obat 3) Ha: μ₁≠μ₂=μ₃ (Ada perbedaan efek dari obat 1, obat 2 dan obat 3) 1.

2. Tingkat kepercayaan 95% (α=0,05)

5 (49) + 5 (56) + 5 (51) X =

15

245 + 280 + 255

X = = 52

15

(5 – 1)7,5 + (5 – 1)12,5 + (5 – 1)3,5

S2_{w = = 7,8}

15 – 3

5(49 – 52)2 _{+ 5(56 – 52)}2 _{+ 5(51 – 52)}2

S2b = = 65

3 – 1

S2_{b 65}

F = = = 8,3

S2_{w 7,8}

Lihat tabel F (Cuplikan)

Denominator DF

Area Numerator DF

1 2 3 4 5 6 dst

12 0,100 … 2,81 … … … … …

0,050 … 3,89 … … … … …

0,025 … 5,10 … … … … …

0,010 … 6,93 … … … … …

0,005 … 8,51 … … … … …

0,001 … 12,97 … … … … …

13/11/18 14

Nilai F hitung = 8,3 Df1 (numerator) = k-1=3-1=2

Df2 (denominator)=N-k=15-3=12

F hitung (8,3) > F tabel (3,89)  keputusan Ho ditolak

ANALISIS MULTIPLE

COMPARISON (POSTHOC TEST)

O

Analisis ini bertujuan



mengetahui lebih

lanjut kelompok mana saja yang lebih berbeda

meannya



bilamana terjadi pada pengujian

Anova dihasilkan ada perbedaan yang

signifkan (Ho ditolak)

O

Jenis analisis



Bonferroni, Honestly Signifcant

Diference (HSD), Schefe dll

O

Perhitungan Bonferroni sbb:

13/11/18 15

x

_i

- x

_j

t

_ij

=

√S

2

w [(1/n

i

) + (1/n

j

)]

df = n - k

Dengan level of Sig (α) sbb: α

α* = (k

CONTOH KASUS

O _{Misalnya pada soal di atas kita coba telusuri lebih lanjut}

kelompok mana saja yang efeknya yang berbeda:

13/11/18 16

3!

Kombinasi uji t yang mungkin adalah (

3

2

) = --- = 3

(3-2)! 2!

Pada soal di atas alpha 5% (0,05) maka α bonferroni adalah

0,05

α* = --- = 0,0167 = 0,01

3

Lanjutan-Bonferroni

O _{Uji kelompok I dan II}

Degree of Freedom (df)

Area in Two Tail

0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 … … … …

. … … … …

12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318

dst … … … …

13/11/18 17

x

_i

- x

_j

t

_ij

=

√S

2

w [(1/n

i

) + (1/n

j

)]

49 - 56

t₁₂ = --- = -3,95 √7,8 [(1/5) + (1/5)]

Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12

Lanjutan-Bonferroni

O _{Uji kelompok I dan III}

Degree of Freedom (df)

Area in Two Tail

0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 … … … …

. … … … …

12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318

dst … … … …

13/11/18 18

49 - 51

t₁₃ = --- = -1,13 √7,8 [(1/5) + (1/5)]

Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12

Lanjutan-Bonferroni

O _{Uji kelompok II dan III}

Degree of Freedom (df)

Area in Two Tail

0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

1 … … … …

. … … … …

12 0,695 1,356 1,782 2,178 2,681 3,055 4,318

dst … … … …

13/11/18 19

56 - 51

t₂₃ = --- = 2,83 √7,8 [(1/5) + (1/5)]

Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12