ANALISIS VARIANSI/
ANALYSIS OF VARIANCE
( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT.
Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha
Bandung
LT Sarvia
ANOVA
•
Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.
•
Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F.
•
adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa
rata-rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA
adalah uji F karena dipakai untuk pengujian lebih dan 2
sampel.
•
Makin menyebar suatu data makin besar nilai variansinya.
•
Makin tidak menyebar suatu data makin kecil nilai
variansinya
•
Pada data seragam atau data yang tidak menyebar, variansi
adalah nol
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
•
Jadi ANOVA merupakan suatu prosedur
hipotesis yang membandingkan k populasi
untuk menguji :
Kesamaan Variansi
Ada / Tidak ada efek treatment
Kesamaan rata-rata
•
Analisis Variansi sering juga disebut
Analisis Ragam
8/29/2012 LT Sarvia 3
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
•
Uji Anova ini didasarkan pada perbandingan
antara variansi yang disebabkan oleh
error
percobaan dan
variansi
yg disebabkan oleh
Asumsi pengujian ANOVA :
1. Populasi yang akan diuji berdistribusi normal
2. Varians/ragam dan populasi yang diuji sama
3. Sampel tidak berhubungan satu dengan
yang lain
LT Sarvia
Tujuan Pengujian ANOVA :
•
Untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan
berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil
yang diinginkan.
•
Contoh : seorang manajer produksi menguji
apakah ada pengaruh kebisingan yang
ditimbulkan oleh mesin-mesin produksi di
pabrik pada hasil perakitan sebuah
komponen yang cukup kecil dan sebuah
sirkuit yang memerlukan konsentrasi yang
tinggi dari seorang operator rakit.
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
•
Cara pengujian dalam ANOVA dapat
diklasifikasikan menjadi 3 jenis, yaitu :
8/29/2012 7
1. Klasifikasi 1 Arah
2. Klasifikasi 2 Arah
3. Klasifikasi 2 Arah dengan Interaksi
4. Klasifikasi 3 Arah dengan Interaksi
LT Sarvia
KLASIFIKASI SATU ARAH:
•
ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan
ANOVA yang didasarkan pada
pengamatan 1 kriteria.
•
Sampel dibagi menjadi beberapa
kategori dan ulangan
kolom = kategori
baris = ulangan/replika
Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :
a. Struktur Hipotesis :
8/29/2012 9
b.
Taraf nyata
a
c.
Statistik Uji : ANOVA 1 arah
H
0:
m
1=
m
2= ... =
m
k
H
1: sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama
LT Sarvia
Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH
•
Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama
:
8/29/2012 10
k n T X SST JKT
2 .. k
1 i
n 1 j
2 ij
k n T n
T
SSR JKK
2 .. k
1 i
2 i.
JKG = SSE = JKT – JKK
dimana :
n : jumlah data tiap kolom k : jumlah kolom data
LT Sarvia
Sumber Variansi
Sum of Squar
e
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah
Kolom JKK k - 1
Galat atau Error JKG k ( n – 1 )
Total JKT ( n k ) – 1
1 -k JKK
S12
) 1 -n ( k
JKG S22
2 2
2 1
S S f
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi
Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH
•
Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom
Berbeda
:
8/29/2012 11
dimana :
ni : Jumlah data tiap kolom
k : Jumlah kolom data N : Jumlah Total Sampel
LT Sarvia
Sumber Variansi
Sum of Squar
e
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah
Kolom JKK k - 1
Galat atau Error JKG N - k
Total JKT N – 1
1 -k JKK
S12
k -N JKG
S22
2 2
2 1
S S f
N T X
SST JKT
2 .. k
1 i
n 1 j
2 ij
N T n T SSR JKK
2 .. k
1 i i
2 i.
JKG = SSE = JKT – JKK
d.
Wilayah Kritis :
f > f
a
( v1 ; v2 )
Tolak Ho
Dimana :
a = ...
v1 = derajat kebebasan JKK atau SSR = k – 1 = ...
v2 = derajat kebebasan Galat atau Error = ... f a = ...
f a
Wilayah Kritis :
f > f
ae. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis.
Keputusan : TERIMA Ho
LT Sarvia
k 3
2 1
0
:
μ
μ
μ
μ
H
sama
μ
T
:
H
1idak
seluruh
i3 2
1
μ
μ
μ
Semua mean bernilai sama Hipotesis nol adalah benar
(Tak ada efek treatment)
Keputusan : TOLAK Ho
LT Sarvia
Chap 11-14
3 2
1
μ
μ
μ
μ
1
μ
2
μ
3or
k 3
2 1
0
:
μ
μ
μ
μ
H
sama
μ
T
:
H
Aidak
semua
i Minimal ada 1 mean yg berbedaContoh Soal :
1. Tiga buah mesin hendak dibandingkan. Mesin-mesin ini menghasilkan keluaran (output) perjamnya dengan berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut dan hasilnya sbb :
8/29/2012 15
Apakah nilai tengah output
perjam ketiga mesin itu
sesungguhnya berbeda?
Gunakan taraf nyata 5 %.
Sampel Output dari 3 buahMesin
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
47 55 54
53 54 50
49 58 51
50 61 51
46 52 49
LT Sarvia
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
H
0:
m
1=
m
2=
m
3H
1:
sekurang-kurangnya terdapatdua nilai tengah tidak sama
Sampel Output dari 3 buah Mesin
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
47 55 54
53 54 50
49 58 51
50 61 51
46 52 49
245 280 255
245+280+255 = 780 n
= 5
k= 3
b. Taraf nyata :
a
= 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA 1 Arah
Utk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :
Total
224 JKT
40.560 40.784 JKT
3 * 5 780 49 ... 55 47 JKT
k n T X SST JKT
2 2 2
2
2 .. k
1 i
n
1 j
2 ij
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah Kolom 40 3– 1 = 2 20
f = 1,304 Galat atau Error 184 3 ( 5 – 1 ) = 12 15,33
Total 224 ( 3 * 5 ) – 1 = 14
8/29/2012 LT Sarvia 17
40 JKK
40.650 -40.690 JKK
3 * 5 780 5
255 280 245 JKK
k n T n
T SSR JKK
2 2 2 2
2 .. k
1 i
2 i.
JKG = SSE = JKT – JKK = 224 – 40= 184
d.
Wilayah Kritis :
f > f
a
( v1 ; v2 )
Tolak Ho
8/29/2012 18
Dimana :a = 0,05
v1 = k – 1 = 3 – 1 = 2
v2 = k ( n – 1 ) = 3 ( 5 – 1 ) = 12 f 0,05(2,12) = 3,89
3,89
1,304
LT Sarvia
e.
Keputusan : Terima Ho
Contoh Soal :
2. Selama
satu
semester
seorang
siswa
menerima nilai Quiz pada berbagai Mata Kuliah
seperti tabel di bawah ini. Tentukan apakah
terdapat
perbedaan
antara
kemampuan
tersebut untuk Mata Kuliah yang berbeda pada
taraf nyata 0,05
LT Sarvia
8/29/2012 19
Ektek Matvek APK Statistik
72 81 88 74 80 74 82 71 83 77 90 77
75 87 70
80
Jawab :
b. Taraf nyata : a = 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah
a. Struktur Hipotesis :
H0: mEktek = m Matvek = m APK = mStatistik
H1: sekurang-kurangnya terdapat dua
nilai tengah tidak sama
N = n1 + n2 + n3 + n 4 = 4 + 3 + 5 + 4 = 16
564,437
JKT
99.382,565
-99.947 JKT
16 1.261 -70 ... 80 72 JKT
N T X
SST JKT
2 2
2 2
2 .. k
1 i
n 1 j
2 ij
Utk ukuran sampel (n) tiap kolom BERBEDA:
Ektek Matvek APK Statistik
72 81 88 74 80 74 82 71 83 77 90 77 75 87 70
80
310 232 427 292
310+232+427+292 = 1.261
Jawab :
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan
( v )
Mean Square
( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah Kolom 365,5675 4 – 1 = 3 121,856
f = 7,353 Galat atau Error 198,8695 16 – 4 = 12 16,572
Total 564,437 16 – 1 = 15
8/29/2012 21
365,5675 JKK
99.382,565
-99748,13 JKK
16 1.261 -4 292 5 427 3 232 4 310 JKK
N T n T SSR JKK
2 2
2 2 2
2 .. k
1
i i
2 i.
JKG = SSE = JKT – JKK = 564,437 – 365,5675 = 198,8695
LT Sarvia
d.
Wilayah Kritis :
f > f
a
( v1 ; v2 )
Tolak Ho
8/29/2012 22
Dimana :a = 0,05
v1 = k – 1 = 4 – 1 = 3
v2 = N – k = 16 – 4 = 12 f 0,05(3,12) = 3,49
3,49
7,353
LT Sarvia
e.
Keputusan : Tolak Ho
f.
Kesimpulan :
KLASIFIKASI DUA ARAH :
•
ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA
yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria
( baris & kolom ).
•
Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok
kolom : kategori-1;
baris : blok, kategori-2
•
Setiap sel berisi satu data
8/29/2012 LT Sarvia 23
a.
Struktur Hipotesis :
b.
Taraf nyata
a
c.
Statistik Uji : ANOVA
H0’: a1 = a2 = ... = ar = 0 ( pengaruh baris adalah nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b1 = b2 = ... = bc = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
c r T X SST JKT
2 .. r
1 i
c 1 j
2 ij
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
c r T c
T SSA JKB
2 .. r
1 i
2 i.
Dimana :
8/29/2012 25
1 -r SSA
S12 2
3 2 1 1
S S f
1 -c SSB
S22 2
3 2 2 2
S S f
) 1 -c ( ) 1 -r (
SSE S32
Sumber Variansi
Sum of Square
Derajat Kebebasan ( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah
Baris SSA r – 1 Nilai Tengah
Kolom SSB c – 1 Galat atau
Error SSE ( r – 1 ) ( c – 1 )
Total SST ( r c ) – 1
LT Sarvia
c
r
T
r
T
SSB
JKK
2 .. c
1 j
2 .j
JKG = JKT – JKB – JKK ; atau :
SSE = SST – SSA – SSB
Dimana :
r = row = baris c = column = kolom
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
d. Wilayah Kritis :
8/29/2012 26
f
a
f
1> f
a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
v
1: derajat kebebasan
Baris
v
3: derajat kebebasan
Error
f
2> f
a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
v
2: derajat kebebasan
Kolom
v
3: derajat kebebasan
Error
e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
ada 2 buah keputusan dan kesimpulan
LT Sarvia
Contoh Soal :
3. Tiga buah mesin hendak dibandingkan mengenai keluaran / output
perjamnya berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut yang berasal dari lima operator yang berbeda yang menghasilkan satu pengamatan sampel dari setiap mesin dan hasilnya sbb :
8/29/2012 27
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
1 47 55 54
2 53 54 50
3 49 58 51
4 50 61 51
5 46 52 49
LT Sarvia
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa :
a. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk kelima operator tersebut
b. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk ketiga jenis mesin tersebut
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
H0’: a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = operator
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b1= b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = mesin
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
b.
Taraf nyata :
α
= 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA
224 JKT
40.560 40.784 JKT
3 * 5 780 49 ... 55 47 JKT
rc T X SST JKT
2 2 2
2
2 .. r
1 i
c 1 j
2 ij
8/29/2012 29
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan ( v )
Mean Square
Jawab :
d. Wilayah Kritis :
8/29/2012 31
f2 > f a ( v2 ; v3 )
Terima Ho
Wilayah Kritis : f2 < 4,46
LT Sarvia
f a,v2,v23 = 4,46
4,46
a = 0,05 v2 = 2 v3 = 8
1,1163
e. Keputusan dan Kesimpulan
ada 2 buah
1.
Terima Ho
kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput
perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.
2.
Terima Ho
kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata output
perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
•
Prosedur pengujian ANOVA dalam
Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi :
a.Struktur Hipotesis :
H0’: a1 = a2 = ... = ar ( pengaruh baris nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b1 = b2 = ... = bc ( pengaruh kolom nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
H0’’’ : ( ab )11 = ( ab )12 = ... = ( ab )rc ( pengaruh interaksi nol )
H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol
r = row = baris
c = column = kolom
n =
jumlah sampel/replikasic. Statistik Uji : ANOVA
8/29/2012 33
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
LT Sarvia
Pembuktian Rumus
rcn
8/29/2012 35 1
-r SSA
S12 2
4 2 1 1
S S f
1 -c SSB
S22 2
4 2 2 2
S S f
) 1 -c ( ) 1 -r (
SS(AB)
S32 2
4 2 3 3
S S f
) 1 -n ( ) c r (
SSE
S42
Sumber Variansi
Sum of Square
Derajat Kebebasan ( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah
Baris SSA r – 1
Nilai Tengah
Kolom SSB c – 1
Interaksi SS(AB) ( r – 1 ) ( c – 1 )
Galat atau Error SSE ( r c ) ( n – 1 )
Total SST ( r c n ) – 1
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
d. Wilayah Kritis :
f1 > f a ( v1 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Baris
v2 = derajat kebebasan Error
f2 > f a ( v2 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Kolom
v2 = derajat kebebasan Error
f3 > f a ( v3 ; v4 ) Tolak Ho
v1 = derajat kebebasan Interaksi
v2 = derajat kebebasan Error
f
aKLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
ada 3 buah!!!
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk
Baris
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk
Kolom
Contoh Soal :
4. Data dibawah ini menunjukkan output perjam dari 3 Mesin dan 5 Operator yang berbeda dengan 3 kali pengulangan untuk masing-masing percobaannya :
8/29/2012 LT Sarvia 37
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
1
47 55 54
30 55 44
45 78 50
2
53 54 50
33 32 50
56 54 50
3
49 58 51
66 34 54
70 34 65
4
50 61 51
21 20 65
32 30 54
5
46 52 80
47 23 98
55 70 62
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa :
a. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk kelima operator tersebut
b. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk ketiga jenis mesin tersebut
c.
Tidak ada interaksi antara
operator dengan jenis mesin
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
• H0’ : a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = Operator
H1’ : sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
• H0” : b
1 = b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = Mesin
H1” : sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
• H0’’’ : ( ab ) 11 = ( ab ) 12 = ... = ( ab ) 53 ( pengaruh interaksi nol )
H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol
dimana :
r= baris = 5 ; c= kolom= 3; n= jumlah sampel/replikasi = 3
b. Taraf nyata :
a
= 0,05
Jawab :
LT Sarvia
Output dari 3 buah Mesin
Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
Output dari 3 buah Mesin
Jawab :
WalpoleRumus yang lebih Sederhana
Jawab :
WalpoleJawab :
8/29/2012 LT Sarvia 43
Sumber Variansi Sum of
Square
Derajat Kebebasan ( v )
Mean Square
( MS ) Statistik Uji
JKB 1.367 5 – 1 = 4 341,75 f1 = 1,96
JKK 1.334 3 – 1 = 2 667 f2 = 3,83
JK(BK) 2.885 (5 – 1) (3 – 1) = 8 360,625 f3 = 2,07
Galat atau Error 5.226 (5 * 3) (3 – 1) = 30 174,2
Total 10.812 (5 * 3 * 3) – 1 = 44
d. Wilayah Kritis :
f
1> f
a ( v1 ; v4 )
Terima Ho
v
1: derajat kebebasan
Baris
v
4: derajat kebebasan
Erro
r
a
= 0,05
v1 = 4 f a = 2,69
v4 = 30
f
2> f
a ( v2 ; v4 )
Tolak Ho
v
2: derajat kebebasan
Kolom
v
4: derajat kebebasan
Error
a
= 0,05
v2 = 2 f a = 3,32
v4 = 30
2,69 1,96
f
3> f
a ( v3 ; v4 )
Terima Ho
v
3: derajat kebebasan
Interaksi
v
4: derajat kebebasan
Error
a
= 0,05
v3 = 8 f a = 2,27
v4 = 30
e. Keputusan dan Kesimpulan
Hipotesis
ada 3 buah
• Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.
• Tolak Ho kesimpulan : bahwa ada beda rata-rata output perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
• Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada interaksi antara kelima operator yang mengoperasikan dengan ke-3 jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
8/29/2012 45
2,27 2,07
LT Sarvia
SOAL
–
SOAL
1. Disebuah Universitas di AS,
Professor Pria dan Wanita
diambil secara bebas (tidak
saling terikat) yang
memberikan hasil pendapatan
tahunan mereka berikut
(dalam jutaan rupiah) :
Apakah terdapat perbedaan
rata-rata pendapatan yang
signifikan antara pria dengan
Wanita Professor? (
a
= 0,05 )
8/29/2012 46
Jenis Kelamin
Pria Wanita
12
9
11
12
19
8
16
10
22
16
SOAL
–
SOAL
2. Tabel di bawah ini menunjukkan hasil perhektar dari 4 jenis
tanaman pertanian yang diberikan 3 jenis perlakuan penyubur
tanah yang berbeda. Dengan menggunakan taraf nyata 0,01 :
a) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan
penyubur tanah?
b) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan
jenis tanaman pertanian?
8/29/2012 LT Sarvia 47
Jenis I Jenis II Jenis III Jenis IV
Penyubur A 4,5 6,4 7,2 6,7
Penyubur B 8,8 7,8 9,6 7
Penyubur C 5,9 6,8 5,7 5,2
SOAL
–
SOAL
3. Tabel berikut menunjukkan jarak (dalam mil) yang ditempuh oleh
kendaraan yang serupa pada setiap galon dari lima merk bahan bakar
yang berbeda. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara merk bahan
bakar pada taraf nyata 0,01.
Merk A 12 15 14 11 15
Merk B 14 12 15
Merk C 11 12 10 14
Merk D 15 18 16 17 14
SOAL
–
SOAL
4. Sebuah pabrik ingin menentukan efektivitas dari 4 jenis mesin (A,B,C,D)
dalam memproduksi sekrup. Untuk itu jumlah baut rusak yang diproduksi
oleh mesin setiap mesin pada suatu hari-hari yang ditentukan, diamati
untuk setiap shift kerja. Tiap hari terdapat 2 shift kerja. Hasilnya
ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Lakukan analisis varians untuk
menentukan apakah terdapat perbedaan antar mesin dan antar shift
pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia
Mesin Shift Pertama Shift kedua
Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Senin Selasa Rabu Kamis Jumat
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
ANALISIS VARIANSI/
ANALYSIS OF VARIANCE
( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT.
Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha
Bandung
LT Sarvia
KLASIFIKASI 3 ARAH :
•
ANOVA klasifikasi 3 arah merupakan ANOVA
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
8/29/2012 53
a.Struktur Hipotesis :
1. H0: α1= α2=...αi
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.
2. H0: β1= β2=...βj
H1 : sekurangk-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.
3. H0: γ1= γ2 = ... γk
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol. 4. H0 : (αβ)11= (αβ)12= .... = (αβ)ij
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.
5. H0: (αγ)11= (αγ)12= .... = (αγ)ik
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.
6. H0: (βγ)11= (βγ)12= .... = (βγ)jk
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.
7. H0: (αβγ)111= (αβγ)112= .... = (αβγ)ijk
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol
LT Sarvia
b.
Tentukan nilai
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
• Jumlah kuadrat dihitung dengan mengganti jumlah yang sesuai ke dalam
rumus perhitungan berikut :
ai b
j c
k n
l ijkl
abcn
T
y
JKT
1 1
.... 2 1 1
2
abcn T bcn
T
JKA a
i i
.... 2 1
... 2
abcn T acn
T JKB
b
j j
.... 2 1
.. . 2
abcn T abn
T JKC
c
k k
.... 2 1
. .. 2
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
Rumus Yang Sederhana
LT Sarvia
Pembuktian Rumus
abcn
Walpole
SSAB
Pembuktian Rumus
LT Sarvia
Idem dengan rumus dibawah ini :
Cara perhitungan pengujian tiga arah dan lambangnya sebagai
berikut
• T… = jumlah seluruh abcn pengamatan.
• Ti… = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A
• T.j.. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B
• T..k. = jumlah pengamatan taraf ke k faktor C
• Tij.. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B
• Ti.k. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke k faktor C
• Tj.k. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B dan taraf ke k faktor C
• Tijk. = jumlah pengamatan pada kombinasi perlakuan ke (ijk)
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
A
B
Jumlah1 2 … b
1 T11.. T12.. … T1b.. T1...
2 T21.. T22.. … T2b.. T2...
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
a Ta1.. Ta2.. … Tab.. Ta...
Jumlah T.1.. T.2.. … T.b.. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 1
Dua arah A-B
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
A
C
Jumlah1 2 … c
1 T1.1. T1.2. … T1.c. T1...
2 T2.1. T2.2. … T2.c. T2...
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
a Ta.1. Ta.2. … Ta.c. Ta...
Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
B
C
Jumlah1 2 … c
1 T.11. T.12. … T.1c. T.1..
2 T.21. T.22. … T.2c. T.2..
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
b T.a1. T.b2. … T.ac. T.b..
Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 3
Dua arah B-C
Tabel 5. Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber variansi
Jumlah kuadrat
Derajat kebebasan
Rataan Kuadrat
f hitungan
Pengaruh utama
A JKA a - 1 S12 f
1 = S12/S2
B JKB b - 1 S22 f 2 = S22/S2
C JKC c – 1 S32 f 3 = S32/S2
Interaksi dwifaktor
AB JK(AB) (a-1) (b-1) S42 f 4 = S42/S2
AC JK(AC) (a-1) (c-1) S52 f
5 = S52/S2
BC JK(BC) (b-1) (c-1) S62 f 6 = S62/S2
Interaksi trifaktor
ABC JK(ABC) (a-1) (b-1)(c-1) S72 f 7 = S72/S2
Contoh Soal
5. Dalam pembuatan sejenis barang ada tiga faktor
yang perlu diperhatikan:
•
A = pengaruh petugas (tiga orang)
•
B= katalis yang dipakai dalam percobaan (tiga
katalis)
•
C= Waktu pencucian barang sesudah proses
pendinginan (15 menit dan 20 menit).
•
Tiga replikasi diambil pada tiap kombinasi
faktor. Diputuskan bahwa semua interaksi
antara faktor perlu diselidiki. Hasilnya adal
ah
sbb :
LT Sarvia
•
Buatlah analisis variansi untuk menguji
keberartian pengaruh
Pengaruh Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C)
15 menit 20 menit Katalis (B) Katalis (B)
1 2 3 1 2 3
10,7 10,3 11,2 10,9 10,5 12,2
10,8 10,2 11,6 12,1 11,1 11,7
Ana 11,3 10,5 12 11,5 10,3 11
Susi
11,4 10,2 10,7 9,8 12,6 10,8 11,8 10,9 10,5 11,3 7,5 10,2 11,5 10,5 10,2 10,9 9,9 11,5
13,6 12 11,1 10,7 10,2 11,9
14,1 11,6 11 11,7 11,5 11,6
Frans 14,5 11,5 11,5 12,7 10,9 12,2
Jawab
Struktur Hipotesis
1. H0: α1= α2=α3
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.
2. H0: β1= β2=β3
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.
3. H0: γ1= γ2
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol.
4. H0 : (αβ)11= (αβ)12= .... = (αβ)33
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.
5. H0: (αγ)11= (αγ)12= .... = (αγ)32
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.
6. H0: (βγ)11= (βγ)12= .... = (βγ)32
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.
7. H0: (αβγ)111= (αβγ)112= .... = (αβγ)332
H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol
LT Sarvia
Jawab :
•
Buat tabel :
Pengaruh Petugas (A)
Katalis (B)
Total
1 2 3
Ana 67,3 62,9 69,7 199,9
Susi 66,7 61,6 63,9 192,2
Frans 77,3 67,7 69,3 214,3
Jawab:
Pengaruh Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C)
Total
15 menit
20 menit
Ana
98,6
101,3
199,9
Susi
97,7
94,5
192,2
Frans
110,9
103,4
214,3
Total
307,2
299,2
606,4
LT Sarvia
Jawab :
Katalis (B)
Waktu Pencucian (C)
Total
15 menit
20 menit
1
109,7
101,6
211,3
2
97,7
94,5
192,2
3
99,8
103,1
202,9
Total
307,2
299,2
606,4
Jawab :
LT Sarvia
Pengaruh
Petugas
(A)
Waktu Pencucian (C)
Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber variansi
Jumlah kuadrat
Derajat kebebasan
Rataan Kuadrat
f hitungan
Pengaruh utama
A(Petugas) 13.98 2 6.99 11.65
B(Katalis) 10.18 2 5.09 8.48
C(Waktu cuci) 1.18 1 1.18 1.97
Interaksi dwifaktor
AB 4.78 4 1.2 2
AC 2.92 2 1.46 2.43
BC 3.64 2 1.82 3.03
Interksi trifaktor
ABC 4.89 4 1.22 2.03
Galat 21.62 36 0.6
Jumlah 63.19 LT Sarvia 53
Wilayah Kritis :
f > f
a
( v1 ; v2 )
Tolak Ho
Dimana :a = 0,05
v1 = 2 v2 = 36
Interpolasi f a =3,278
3,278
11.65
Wilayah Kritis : f > 3,278
Keputusan : Tolak Ho
Kesimpulan :bahwa sekurang-kurangnya ada 1 aj yang
tidak sama dengan nol pada taraf nyata 0.05
atau Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05
•
Keputusan :
Pengaruh utama A : Tolak Ho(11,65>3,278)
Pengaruh utama B : Tolak Ho
(8,48>3,278)
Pengaruh utama C : Terima Ho (1.97<2.651)
Interaksi Dua Arah AB : Terima Ho (2<2,651)
Interaksi Dua Arah AC : Terima Ho (2,43<3,278)
Interaksi Dua Arah BC : Terima Ho (3,03<3,278)
Interaksi Tiga Arah ABC : Terima Ho (2,03<2,651)
•
Kesimpulan :
Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05
Ada pengaruh katalis yang digunakan dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05 Tidak Ada perbedaan waktu mencuci barang
sesudah proses pada taraf nyata 0.05 Interaksi Dua Arah AB : Tidak ada
perbedaan interaksi petugas dengan katalis yang digunakan pada taraf nyata 0.05 Interaksi Dua Arah AC : Tidak ada
perbedaan interaksi petugas dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah BC : Tidak ada perbedaan interaksi katalis dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
Interaksi Tiga Arah ABC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas, katalis dan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
LT Sarvia
Teknik Mengingat
Grouping
Visualisasi Mengingat kata kunci
Gunakan singkatan
Gunakan irama
7 Area Soft Skills : Winning Characteristics
* Menurut Patrick
O’Brien dalam bukunya “Making College Count”