Logika Predikat (Kalkulus Predikat)

(1)

Logika Predikat (Kalkulus Predikat)

Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016

M. Arzaki Fakultas Informatika

Telkom University FIF Tel-U

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: Buku:

1 Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2,

2004,olehM. Huth dan M. Ryan (acuan utama).

2 Mathematical Logic for Computer Science, Edisi 2, 2000,olehM. Ben-Ari. 3 The Essence of Logic, 1997,olehJ. Kelly.

(3)

Slide kuliah:

1 _Slide _{kuliah Metode Formal dan Topik dalam Logika Komputasional di}

Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.

2 Slide kuliah Metode Formal diUniversity of Bozen-Bolzano oleh Enrico

Franconi.

3 Slide kuliah Metode Formal dariVeri…ed Software Systems. 4 _Slide _kuliah_{Computational Logic} _{di TU Dresden.}

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalamslide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(4)

Bahasan

1 _{Sintaks Logika Predikat}

2 Semantik Logika Predikat

3 Bentuk Normal Prenex (Prenex Normal Form, PNF)

4 Ketakterputusan (Undecidability) dari Logika Predikat

(5)

Bahasan

(6)

Term pada Logika Predikat

Formula logika predikat dibangun daritermyang dide…nisikan sebagai berikut.

Term

1 _{Setiap variabel adalah term.} _{Variabel biasanya ditulis dengan huruf}

u; v; w; x; y; z, u1; u2; : : :,v1; v2; : : :,w1; w2; : : :,x1; x2; : : :,y1; y2; : : :,

z1; z2; : : :.

2 Setiap konstanta pada domain (atau semesta pembicaraan) adalah term.

Konstanta biasanya ditulis dengan hurufa; b; c,a1; a2; : : :,b1; b2; : : :,

c1; c2; : : :, atau secara kongkrit. Contohnya konstanta dapat ditulis dengan bilangan0;1;2 (jika domain adalah himpunan bilangan), dengan nama manusia sepertiAlex, Bob, atauCharlie(jika domain adalah himpunan manusia), atau yang lainnya.

3 Jikat

1; t2; : : : ; tn adalah termdanf adalah fungsi dengan aritin 1,maka

f(t1; t2; : : : ; tn)juga merupakan term. Dalam hal inif dapat dipadang

(7)

Subterm

1 Sebuah termtadalah subterm darit itu sendiri.

2 _Jika_s_dan_t_{adalah dua term yang dipakai untuk membangun term} _u_yang

lebih kompleks, makasdantdikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari termu.

3 Subterm bersifat transitif: jikassubterm dari tdantsubterm dariu, makas

subterm dariu.

Contoh

Misalkan1dan2adalah konstanta, xadalah variabel,f adalah fungsi uner, serta

+dan adalah fungsi biner. Misalkant adalah term1 + (2 f(x)),maka subterm darit adalah (1)1 + (2 f(x)),(2)2 f(x), (3)f(x),(4)1,(5)2, dan (6)

(13)

Subterm

subterm dariu.

Contoh

+dan adalah fungsi biner. Misalkant adalah term1 + (2 f(x)),maka subterm darit adalah (1)1 + (2 f(x)),(2)2 f(x), (3)f(x),(4)1,(5)2, dan (6)x.

(14)

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Term

Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu term dalam logika predikat.

Sebagai contoh, jika2 adalah konstanta,xdany adalah variabel,sadalah fungsi uner, serta ,+, adalah fungsi biner, maka pohon urai untuk term

(15)

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Term

Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu term dalam logika predikat.

Sebagai contoh, jika2 adalah konstanta,xdany adalah variabel,sadalah fungsi uner, serta ,+, adalah fungsi biner, maka pohon urai untuk term

(16)

Formula Logika Predikat

Formula (atau kalimat) logika predikat dibentuk dari:

1 _{konstanta proposisi:} _T_{(benar) atau} _F_(salah) 2 ekspresiP(t

1; t2; : : : ; tn)dengan t1; t2; : : : ; tn adalah termdanP adalah

predikatnaridengann 1

3 operator logika proposisi: _:_;_^_;_{_}_; _;_!_;_$

dengan aturan sebagai berikut:

1 setiap ekspresiP(t

1; t2; : : : ; tn)yang terde…nisi dengan baik adalah formula

logika predikat,

2 _apabila _dan _{adalah dua formula logika predikat, maka}_: _, _^_, _{_}_,

, _! , _$ ,masing-masing juga merupakan formula logika predikat,

3 apabila adalah formula logika predikat danxadalah variabel,maka8x

(17)

Subformula

1 Sebuah formula adalah subformula dari itu sendiri.

2 Jika dan adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk

membangun formula yang lebih kompleks, maka dan dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari .

3 _{Subformula bersifat transitif: jika} _{subformula dari} _dan _{subformula dari}

, maka subformula dari .

Contoh

Misalkan adalah formula₈x₉y (P(x)_^Q(y; z)_!R(x; z)),maka subformula dari adalah (1)

8x₉y (P(x)_^Q(y; z)_!R(x; z)),(2)

De…nisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula,

WFF))

Suatu formula dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik

(well-formed formula) bila dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (…nite step) melalui aturan konstruksi formula logika predikat yang telah dijelaskan sebelumnya.

Catatan

Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berartiwell-formed formula, kecuali bila disebutkan selain itu.

(26)

Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed

Formula, WFF)

De…nisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula,

WFF))

Suatu formula dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik

(well-formed formula) bila dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (…nite step) melalui aturan konstruksi formula logika predikat yang telah dijelaskan sebelumnya.

Catatan

Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berartiwell-formed formula, kecuali bila disebutkan selain itu.

(27)

BNF untuk Term dan Formula Logika Predikat

BNF (Backus Naur Form) untuk Term Logika Predikat

Misalkanxadalah simbol yang mewakili variabel,c adalah simbol yang mewakili konstanta, danf adalah fungsi dengan aritin 1. Sembarang termt pada logika predikat dibangkitkan oleh Backus Naur Form (BNF) berikut:

t::=x_jc _jf(t; : : : ; t).

BNF (Backus Naur Form) untuk Formula Logika Predikat

Misalkant1; t2; : : : ; tn menyatakan term, xsimbol yang mewakili variabel, danP adalah predikat dengan aritin 1. Sembarang formula pada logika predikat dibangkitkan oleh BNF berikut:

::=P(t1; t2; : : : ; tn) j : j ^ j _ j j ! j $ j 8x j 9x Kita akan menulis_>sebagai ringkasan dari _{_ :} atau _{: _} . Kemudian kita juga akan menulis_?sebagai ringkasan dari _{^ :} atau _{: ^} .

(28)

Catatan

Penulisan_>dan_?biasanya hanya digunakan ketika kita meninjau formula logika predikat secara sintaks saja. Jika kita meninjau formula logika predikat secara sematik, maka kita akan menggunakan notasiTdanF,BdanS, atau0 dan1.

(29)

Cakupan (Scope) dari Kuantor

Cakupan (Scope)

MisalkanP(x; y; z)adalah sebuah predikat terner. Dalam ekspresi logika predikat

9z₈y₉x P(x; y; z)kita memiliki 9z₈y₉x P(x; y; z) | {z } cakupan9x | {z } cakupan8y | {z } cakupan9z

9xmencakupP(x; y; z),pada subformula₉x P(x; y; z)variabely danz

adalah variabel bebas, variabelxadalah variabel terikat.

8y mencakup₉x P(x; y; z),pada subformula₈y₉x P(x; y; z)variabelz

adalah variabel bebas, variabelxdany adalah variabel terikat.

9z mencakup₈y₉x P(x; y; z),pada subformula₉z₈y₉x P(x; y; z)variabel

(30)

Cakupan (Scope) dari Kuantor

Cakupan (Scope)

9xmencakupP(x; y; z), pada subformula₉x P(x; y; z)variabely danz

(31)

Cakupan (Scope) dari Kuantor

Cakupan (Scope)

(32)

Cakupan (Scope) dari Kuantor

Cakupan (Scope)

(33)

Presedens Operator Logika Predikat

Presedensoperator logika memberikan suatu aturan operator mana yang harus lebih dulu dioperasikan (dikenakan pada suatuoperand).

Dari kuliah Logika Matematika, tabel urutan pengerjaan (presendens) operator logika adalah Operator Urutan 8 1 9 2 : 3 ^ 4 _ 5 6 ! 7 $ 8

Kita dapat menggunakan tanda kurung “(” dan “)” untuk memperjelas operasi yang harus didahulukan.

(34)

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Formula

Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu formula logika predikat.

(35)

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Formula

Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu formula logika predikat.

(36)

Bahasan

(37)

Variabel Terikat dan Formula Tertutup

Variabel Terikat

MisalkanP adalah suatu predikat uner, variabel xpadaP(x)disebut variabel terikat (bound variable)apabila

1 _xtelahdigantikan oleh sebuah elemen tertentudari domain_D, atau 2 xdiikat oleh sebuah kuantor(8xatau9x)

Variabel yang tidak terikat disebutvariabel bebas (free variable). Terminologi variabel terikat dan variabel bebas tidak hanya terdapat pada predikat uner saja, tetapi juga pada predikat lain dengan aritin >1.

Formula Tertutup

Suatu formula logika predikat dikatakan sebagaiformula tertutupbilaseluruh variabelyang terdapat pada formula tersebut adalahvariabel terikat. Sebagai contoh, bilaP adalah predikat biner,xdany adalah variabel, sertaadanb

adalah elemen pada domain yang ditinjau, maka formula₈x₉y P(x; y),

8x P(x; b), danP(a; b)adalah formula tertutup,sedangkan₈x P(x; y),P(x; b), danP(a; y)bukan formula tertutup.

(38)

Substitusi Variabel

Misalkan adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta pembicaraanD dandadalah suatu elemen padaD. Notasi [x d]berarti formula baruyang diperoleh denganmenggantisemuakemunculan variabel x dengandpada formula .

(39)

Aturan Semantik Logika Predikat

Misalkan adalah sebuah formula,D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan_I adalah interpretasi yang terde…nisi untuk setiap formula atom yang muncul di . Interpretasi untuk pada domainD dide…nisikan sebagai berikut

Jika =P(d1; d2; : : : ; dn)untukdi (1 i n) pada domain yang ditinjau, maka_ID( ) =ID(P(d1; d2; : : : ; dn)) = Tbilad1; d2; : : : ; dn berrelasi dan memberikan nilai kebenaran sesuai dengan de…nisi predikatP.

Jika = T, maka_ID( ) =ID(T) = T. Kemudian jika = F, maka

ID( ) =ID(F) = F.

Jika =₈x untuk suatu formula , maka _ID( ) =_ID(₈x ) = T apabila_ID( [x d]) = Tuntuksetiapdpada domain pembicaraanD. Jika =₉x untuk suatu formula , maka _ID( ) =ID(9x ) = T

(40)

Aturan Semantik Logika Predikat

ID( ) =ID(F) = F.

(41)

Aturan Semantik Logika Predikat

ID( ) =ID(F) = F.

(42)

Aturan Semantik Logika Predikat

ID( ) =ID(F) = F.

Jika =₈x untuk suatu formula , maka_ID( ) =_ID(₈x ) = T apabila_ID( [x d]) = Tuntuksetiapdpada domain pembicaraanD.

Jika =₉x untuk suatu formula , maka _ID( ) =ID(9x ) = T

(43)

Aturan Semantik Logika Predikat

ID( ) =ID(F) = F.

Jika =₈x untuk suatu formula , maka_ID( ) =_ID(₈x ) = T apabila_ID( [x d]) = Tuntuksetiapdpada domain pembicaraanD. Jika =₉x untuk suatu formula , maka_ID( ) =ID(9x ) = T

(44)

Jika =_: , untuk suatu formula , maka

I( ) =_I(_: ) =_:I( ) = T, jikaI( ) = F F, jika_I( ) = T .

Jika = _^ , untuk suatu formula dan , maka

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

Jika = _{_} , untuk suatu formula dan , maka

I( ) =_I( _{_} ) =_I( )_{_ I}( ) = F, jikaI( ) =I( ) = F T, lainnya

Jika = , untuk suatu formula dan , maka

I( ) =_I( ) =_I( ) _I( ) = T, jikaI( )6=I( ) F, jika_I( ) =_I( ) .

Jika = _! , untuk suatu formula dan , maka_I( ) =_I( _! ) =

I( )_{! I}( ) = F, jikaI( ) = Tnamun I( ) = F

T, lainnya .

Jika = _$ , untuk suatu formula dan , maka

I( ) =_I( _$ ) =_I( )_{$ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) F, jika_I( )₆=_I( ) .

(45)

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

T, lainnya .

(46)

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

T, lainnya .

(47)

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

T, lainnya .

(48)

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

T, lainnya .

(49)

I( ) =_I( _^ ) =_I( )_{^ I}( ) = T, jikaI( ) =I( ) = T

F, lainnya .

T, lainnya .

(50)

Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya

De…nisi

Misalkan adalah sebuah formula logika predikat:

1 formula dikatakan absah (valid) atau tautologi apabila selalu bernilai

benar untuk setiap interpretasi_I pada sembarang domainD

2 formula dikatakan terpenuhi (satis…able) apabila dapat bernilai benar

untuk suatu interpretasi_I pada suatu domainD

3 formula dikatakan kontradiksi (contradictory) apabila selalu bernilai

salah untuk setiap interpretasi_I pada setiap domainD

4 formula dikatakan tersalahkan (falsi…able) apabila dapat bernilai salah

untuk suatu interpretasi_I pada suatu domainD

5 formula dikatakan kontingensi (contingency) apabila bukan formula yang

(51)

Masalah Keabsahan dan Keterpenuhan

Masalah Keabsahan (Validity Problem)

Diberikan suatu formula logika predikat . Apakah bersifat absah (valid)?

Masalah Keterpenuhan (Satis…ability Problem)

Diberikan suatu formula logika predikat . Apakah bersifat terpenuhi (satis…able)?

(52)

Beberapa Teorema Penting

Teorema

Misalkan adalah sebuah formula logika predikat, maka berlaku:

1 formula absah (valid) jika dan hanya jika: kontradiksi,

2 formula terpenuhi (satis…able) jika dan hanya jika: tersalahkan

(falsi…able),

3 _formula _{terpenuhi (}_satis…able_{) jika dan hanya jika}_: _{tidak absah (tidak}

valid),

(53)

Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika

De…nisi

Misalkan dan adalah dua formula logika predikat:

Formula dan dikatakansetaraatauekuivalen (logically equivalent)jika formula

$

merupakantautologi. Hal ini dituliskan dengan atau _, .

Formula dikatakan sebagaikonsekuensi logis (logical consequence)dari jika formula

!

merupakantautologi. Hal ini dituliskan dengan ₎ .

Tidak seperti pada logika proposisi,untuk menunjukkan konsekuensi logis maupun kesetaraan logika antar dua formula pada logika predikat kita tidak dapat

(54)

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor

Misalkan dan adalah dua formula logika predikat danxadalah sebuah variabel.

Hukum De Morgan untuk Kuantor

:8x ₉x_: :9x ₈x_:

Bila variabelxbukan variabel bebas pada , maka berlaku:

8x _^ ₈x ( _^ )

8x _{_} ₈x ( _{_} )

9x _^ ₉x ( _^ )

9x _{_} ₉x ( _{_} )

Karena kuantor₈merupakan generalisasi dari _^dan kuantor₉merupakan generalasiasi dari_{_}, maka berlaku:

8x _{^ 8}x ₈x ( _^ )

(55)

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor

:8x ₉x_: :9x ₈x_:

8x _^ ₈x ( _^ )

8x _{_} ₈x ( _{_} )

9x _^ ₉x ( _^ )

9x _{_} ₉x ( _{_} )

8x _{^ 8}x ₈x ( _^ )

(56)

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor

:8x ₉x_: :9x ₈x_:

8x _^ ₈x ( _^ )

8x _{_} ₈x ( _{_} )

9x _^ ₉x ( _^ )

9x _{_} ₉x ( _{_} )

8x _{^ 8}x ₈x ( _^ )

(57)

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor

:8x ₉x_: :9x ₈x_:

8x _^ ₈x ( _^ )

8x _{_} ₈x ( _{_} )

9x _^ ₉x ( _^ )

9x _{_} ₉x ( _{_} )

8x _{^ 8}x ₈x ( _^ )

(58)

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor

Misalkanxdanyadalah dua variabel, dan adalah dua formula logika predikat.

1 8x8y 8y8x

2 ₉_x₉_y ₉_y₉_x

3 8x ^ 8y 8x8y ( ^ )

4 9x ^ 9y 9x9y ( ^ ), apabila xbukan variabel bebas di dany

bukan variabel bebas di

5 ₈_x _{^ 9}_y ₈_x₉_y ₍ _^ ₎_{, apabila} _x_{bukan variabel bebas di} _dan_y

Aturan nomor 3–4 dapat ditulis: (Q1x) ^(Q2y) (Q1x) (Q2y) ( ^ ), denganQ1 danQ2 adalah kuantor yang dapat berupa8 atau9.

(59)

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor

1 8x8y 8y8x

2 ₉_x₉_y ₉_y₉_x

3 8x ^ 8y 8x8y ( ^ )

(60)

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor

1 8x8y 8y8x

2 ₉_x₉_y ₉_y₉_x

3 8x ^ 8y 8x8y ( ^ )

bukan variabel bebas di Aturan nomor 3–4 dapat ditulis:

(Q1x) ^(Q2y) (Q1x) (Q2y) ( ^ ), denganQ1 danQ2 adalah kuantor yang dapat berupa8 atau9.

(61)

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor

1 8x8y 8y8x

2 ₉_x₉_y ₉_y₉_x

3 8x ^ 8y 8x8y ( ^ )

(62)

7 9x _ 9y 9x9y ( _ )

8 ₈_x _{_ 8}_y ₈_x₈_y ₍ _{_} ₎_{, apabila} _x_{bukan variabel bebas di} _dan_y

9 8x _ 9y 8x9y ( _ ), apabila xbukan variabel bebas di dany

bukan variabel bebas di Aturan nomor 7–10 dapat ditulis:

(Q1x) _(Q2y) y (Q1x) (Q2y) ( _ ), denganQ1 danQ2 adalah kuantor yang dapat berupa8 atau9.

(63)

7 9x _ 9y 9x9y ( _ )

8 ₈_x _{_ 8}_y ₈_x₈_y ₍ _{_} ₎_{, apabila} _x_{bukan variabel bebas di} _dan_y

Aturan nomor 7–10 dapat ditulis: (Q1x) _(Q2y) y (Q1x) (Q2y) ( _ ), denganQ1 danQ2 adalah kuantor yang dapat berupa8 atau9.

(64)

Bahasan

(65)

Bentuk Normal Prenex (Prenex Normal Form, PNF)

Sebuah formula logika predikat dikatakan berada dalam bentuk normal prenex (prenex normal form, PNF) apabila berbentuk

(Q1x1) (Qnxn) (1)

denganQi2 f8;9guntuk1 i ndantidak ada kuantor yang muncul di . Biasanya juga direpresentasikan dalam CNF. Ekspresi kumpulan kuantor

(Q1x1) (Qnxn)pada (1) disebut sebagai pre…ks (pre…x) dan formula yang tidak mengandung kuantor dinamakan matriks (matrix). BNF untuk PNF dijelaskan sebagai berikut:

::=P(t1; t2; : : : ; tn) j : j ^ j _ j j ! j $

::= _{j 8}x _{j 9}x

(66)

Contoh

MisalkanP danQadalah predikat uner,R adalah predikat biner. Formula

8xP(x)_{! 8}x₉y(Q(y)_^R(x; y))tidak berada dalam PNF, begitu pula dengan formula₈x(P(x)_{! 9}y(Q(y)_^R(x; y))). Formula

8x₉y(P(x)_!Q(y)_^R(x; y))adalah contoh formula dalam PNF.

Formula₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)dan₉xP(x)_{^ 9}xQ(x)keduanya tidak berada dalam PNF. PNF dari formula₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)bukan₈x(P(x)_{_}Q(x))dan PNF dari formula₉xP(x)_{^ 9}xQ(x)bukan₉x(P(x)_^Q(x)).

(67)

Konversi Formula Ke PNF

Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut:

1 Ubah formula dengan operator selain:,^, dan_ke dalam formula yang

hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator , _!, dan_$kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: ( _{^ :} )_{_}(_{: _} ), _! _{: _} , dan

$ (_{: _} )_^( _{_ :} ).

2 Jika menemukan subformula dengan bentuk_:₍ _^ ₎, maka subformula

tersebut diubah ke dalam bentuk_{: _ :} . Kemudian jika menemukan subformula dengan bentuk_:( _{_} ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk_{: ^ :} .

3 _{Jika menemukan subformula dengan bentuk}_:: _{, maka subformula tersebut}

diubah ke dalam bentuk .

4 Gunakan hukum De Morgan untuk kuantor, yaitu:8x 9x: dan

(68)

Konversi Formula Ke PNF

hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator ,_!, dan_$kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: ( _{^ :} )_{_}(_{: _} ), _! _{: _} , dan

$ (_{: _} )_^( _{_ :} ).

(69)

Konversi Formula Ke PNF

$ (_{: _} )_^( _{_ :} ).

(70)

Konversi Formula Ke PNF

$ (_{: _} )_^( _{_ :} ).

(71)

Konversi Formula Ke PNF

$ (_{: _} )_^( _{_ :} ).

(72)

5 Ubah nama variabel terikat bila diperlukan.

6 _{Gunakan ekuivalensi terkait logika predikat terkait operator}_^_dan_{_}_untuk

membawa semua kuantor ke bagian depan (pre…ks).

7 Gunakan sifat distributif secara tepat dan sesuai.Kita memiliki

(73)

(74)

(75)

Beberapa Contoh Konversi ke PNF

MisalkanP danQadalah predikat uner, konversi dari :=₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut:

= ₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)

8xP(x)_{_ 8}yQ(y) (ubah nama variabel)

8x₈y(P(x)_{_}Q(y)) (ekuivalensi kuantor dan_{_}) Jadi PNF dari adalah₈x₈y(P(x)_{_}Q(y)). Dengan cara serupa, PNF dari

(76)

Beberapa Contoh Konversi ke PNF

= ₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)

(77)

Beberapa Contoh Konversi ke PNF

= ₈xP(x)_{_ 8}xQ(x)

(78)

MisalkanP danQadalah predikat uner, konversi dari :=₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut:

= ₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

:9xP(x)_{_ 8}xQ(x) (ekuivalensi _! )

8x_:P(x)_{_ 8}xQ(x) (De Morgan untuk kuantor)

8x_:P(x)_{_ 8}yQ(y) (ubah nama variabel)

(79)

= ₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

(80)

= ₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

(81)

= ₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

(82)

= ₉xP(x)_{! 8}xQ(x)

(83)

MisalkanP adalah predikat biner danQadalah predikat uner, konversi dari

:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut:

= _:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)

8x_:8yP(x; y)_{^ 8}xQ(x) (De Morgan untuk kuantor)

8x₉y_:P(x; y)_{^ 8}xQ(x) (De Morgan untuk kuantor)

8x₉y_:P(x; y)_{^ 8}zQ(z) (ubah nama variabel)

(84)

= _:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)

(85)

= _:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)

(86)

= _:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)

(87)

= _:9x₈yP(x; y)_{^ 8}xQ(x)

(88)

Bahasan

(89)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut:

P (kelas polinomial):

kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu

komputasinya adalah_O nk _{untuk suatu}_{k >}₀_.

N P (kelas non-deterministik polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O nk _{untuk suatu}_{k >}₀_. Hingga saat ini belum diketahui apakahP ₆=N P.

EXP T IM E (kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0.

N EXP T IM E (kelas non-deterministik eksponensial): kelas-kelas

permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n₎_untuk suatu >0. Hingga saat ini belum diketahui apakah

EXP T IM E₆=N EXP T IM E.

DECIDABLE (terputuskan): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan dengan suatu algoritma yang sifatnya seragam (uniform) untuk setiap masukan (input) yang mungkin.

(90)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu

N P (kelas non-deterministik polinomial):

kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O nk _{untuk suatu}_{k >}₀_. Hingga saat ini belum diketahui apakahP ₆=N P.

EXP T IM E (kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0.

(91)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

EXP T IM E(kelas eksponensial):

kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0.

(92)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

EXP T IM E(kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0.

N EXP T IM E (kelas non-deterministik eksponensial):

kelas-kelas

(93)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0. Hingga saat ini belum diketahui apakah

DECIDABLE (terputuskan):

kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan dengan suatu algoritma yang sifatnya seragam (uniform) untuk setiap masukan (input) yang mungkin.

(94)

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional

permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah_O( n)untuk suatu >0. Hingga saat ini belum diketahui apakah

DECIDABLE (terputuskan): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan dengan suatu algoritma yang sifatnya seragam (uniform) untuk

(95)

Dari teori komputasi, kita memiliki hubungan

P N P EXP T IM E N EXP T IM E DECIDABLE

(96)

Dari teori komputasi, kita memiliki hubungan

P N P EXP T IM E N EXP T IM E DECIDABLE

(97)

Masalah Keterpenuhan pada Logika Proposisi dan Logika

Predikat

Permasalahan

Diberikan sembarang formula logika proposisi yang memuatnproposisi atom berbeda. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi atau tidak?

Masalah keterpenuhan formula pada logika proposisi merupakan masalah yang terpenuhi. Untuk sembarang formula logika proposisi yang memuatnproposisi atom berbeda, kita dapat membuat algoritma yang kompleksitas asimtotik untuk waktu terburuknya adalah_O(2n₎_.

Permasalahan

Diberikan sembarang formula logika predikat atas sembarang domainD. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi atau tidak?

(98)

Masalah Keterpenuhan pada Logika Proposisi dan Logika

Predikat

Permasalahan

Diberikan sembarang formula logika proposisi yang memuatnproposisi atom berbeda. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi atau tidak? Masalah keterpenuhan formula pada logika proposisi merupakan masalah yang terpenuhi. Untuk sembarang formula logika proposisi yang memuatnproposisi atom berbeda, kita dapat membuat algoritma yang kompleksitas asimtotik untuk waktu terburuknya adalah_O(2n₎_.

Permasalahan

Diberikan sembarang formula logika predikat atas sembarang domainD. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah bersifat terpenuhi atau tidak?