Una Aplicaci´
on del An´
alisis Cl´
asico
An Application of Classical Analysis
Atilio Morillo Pi˜
na
Divisi´on de Posgrado. Facultad de Ingenier´ıa Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela
En el pr´ologo del conocido texto “Ordinary Differential Equations”, por Coddington y Levinson [1], los autores hacen el siguiente comentario: “. . . la Teor´ıa de Ecuaciones Diferenciales es una fuente de aplicaciones sinceras del An´alisis . . . ”. Precisamente es nuestro objetivo en este art´ıculo desarrollar una aplicaci´on del An´alisis Cl´asico, tomada del campo de las Ecuaciones Di-ferenciales Parciales, que no s´olo ilustra adecuadamente el citado comentario sino que nos parece particularmente instructiva del manejo de las t´ecnicas del an´alisis. Al mismo tiempo puede ser ´util como material intuitivo previo para la motivaci´on de la formulaci´on abstracta, por los m´etodos del An´alisis Funcional, del problema involucrado.
Se trata de encontrar una f´ormula para la soluci´on del Problema de Cauchy para la ecuaci´on de onda en dimensi´on 3, utilizando el m´etodo de las medias esf´ericas atribuido a Poisson.
Empezaremos suponiendo que la funci´on u(x1, . . . , xn, t) de claseC2 en −∞< x1, . . . , xn, t <+∞satisface la ecuaci´on
ux1x1+ux2x2+· · ·+uxnxn =c
−2u
tt (1)
con las condiciones iniciales
u(x1, . . . , xn,0) =f(x1, . . . , xn)
ut(x1, . . . , xn,0) =g(x1, . . . , xn)
(2)
De manera que, en f´ormulas, donde hemos usado la notaci´on ωn para el ´area de la esfera unitaria en di-mensi´onn.
En este punto podemos recordar que
ωn=
La definici´on deI(r, t) nos conduce a valores iniciales para esta funci´on. M´as precisamente, de ´angulo s´olido generado en la esfera unitaria, se verifica la relaci´on dS =
rn−1dω. Luego, (3) puede ser escrita
Si explotamos en la relaci´on (6) la independencia respecto derde la regi´on de integraci´on, encontramos el l´ımite u(x, t) = limr→0I(r, t). de donde surge
la idea de buscar una ecuaci´on en derivadas parciales para I(r, t), para la cual sepamos c´omo resolver el problema de valores iniciales y, a partir de esa soluci´on, determinaru(x, t) como funci´on l´ımite.
Bas´andonos en la independencia respecto derde la regi´on de integraci´on EN (6), podemos derivar dentro del signo integral usando la regla de derivaci´on de una composici´on de funciones, para obtener
dondeξi es lai-´esima componente del vector unitarioξ.
Seg´un el Teorema de la Divergencia de Gauss, si Ω es una regi´on con suficientes condiciones de regularidad en Rn,∂Ω es la hipersuperficie cerrada orientada que acota a Ω, H es un campo vectorial de claseC1 definido en Ω
ynes el vector unitario normal saliente a ∂Ω, entonces Z unitarioξ. Aplicando el citado teorema obtenemos
Ir= 1
Y puesto que inicialmente hab´ıamos asumido que la funci´onues una soluci´on de la ecuaci´on de onda, esto nos conduce a
Ir= Esta expresi´on a su vez puede escribirse como
Ir= c
Abandonando el caso general, la ´ultima relaci´on puede justificarse para
n= 3 del modo siguiente: si introducimos coordenadas esf´ericas
donde la expresi´on entre llaves es precisamente Z
|y−x|=ρ
utt(y, t)dS.
La f´ormula (12) puede reescribirse como
rn−1Ir=
c−2 ωn
Z r
0
Z
|y−x|=ρ
uttdS dρ. (14)
La derivaci´on respecto de rnos conduce a
(rn−1Ir)r= c
−2 ωn
Z
|y−x|=r
uttdS
=c−2rn−1 1 ωnrn−1
Z
|y−x|=r
uttdS !
=c−2rn−1∂ 2
∂t2
1
ωnrn−1 Z
|y−x|=r
u dS
!
=c−2rn−1Itt
(15)
Es decir,I(r, t) satisface la ecuaci´on en derivadas parciales
(rn−1Ir)r=c−2rn−1Itt, o bien Irr+n−1
r Ir=c
−2I
tt. (16) La ecuaci´on anterior, conocida como ecuaci´on de Darboux, es dif´ıcil de resolver cuandones un entero par. Cuandones un entero impar, la ecuaci´on puede reducirse a la ecuaci´on de onda unidimensional. Por ejemplo, para
n= 3,
Irr+2
rIr=c
−2I
tt, o bien (rI)rr =c−2(rI)tt. (17) La ´ultima ecuaci´on establece que la funci´onJ =rIes soluci´on de la ecua-ci´on de onda unidimensional. Esta funci´on satisface, adem´as, las condiciones iniciales
J(r,0) =rI(r,0) =rF(r)
En consecuencia podemos aplicar la f´ormula de D’Alembert para la solu-ci´on del problema de valores iniciales para la ecuaci´on de onda en dimensi´on 1. Es decir,
v(x, t) = 1
2(φ(x+ct) +φ(x−ct)) + 1 2c
Z x+ct
x−ct
ψ(τ)dτ, (19)
dondeφyψdenotan las condiciones iniciales.
Substituyendo los datos actuales en la expresi´on (19), resulta
J(r, t) = (r+ct)F(r+ct) + (r−ct)F(r−ct)
2 +
1 2c
Z r+ct
r−ct
τ G(τ)dτ, (20)
es decir,
I(r, t) =(r+ct)F(r+ct) + (r−ct)F(r−ct)
2r +
1 2rc
Z r+ct
r−ct
τ G(τ)dτ, (21)
Ya hab´ıamos establecido que limr→0I(r, t) = u(x, t). Para calcular este
l´ımite, notemos que I(−r, t) = I(r, t), as´ı que podemos extender la funci´on media esf´erica para valores negativos de r como funci´on par. Como conse-cuencia, los valores iniciales F yGquedan extendidos como funciones pares:
F(−r) =F(r) yG(−r) =G(r).
La f´ormula (21) puede entonces expresarse en la forma
I(r, t) =(ct+r)F(ct+r)−(ct−r)F(ct−r)
2r +
1 2rc
Z ct+r
ct−r
τ G(τ)dτ, (22)
Obs´ervese que lim
r→0
(ct+r)F(ct+r)−(ct−r)F(ct−r) 2r
= lim r→0
(ct+r)F(ct+r)−ctF(ct)
2r +
ctF(ct)−(ct−r)F(ct−r) 2r
= d
d(ct)ctF(ct) =
d dttF(ct).
(23)
Mientras que si denotamos
H(ct) = Z ct
0
resulta
lim r→0
1 2rc
Z ct+r
ct−r
τ G(τ)dτ = lim r→0
H(ct+r)−H(ct−r) 2rc
= H
′(ct)
c =
ctG(ct)
c =tG(t).
(24)
As´ı que, resumiendo,
u(x, t) = lim
r→0I(r, t) = d
dttF(ct) +tG(ct). (25)
Finalmente, usamos las f´ormulas (5) para escribir (25) en detalle y obtener la f´ormula buscada
u(x, y, z, t) = 1 4πc2
∂ ∂t
1
t
Z
(ξ−x)2+(η−y)2+(ζ−z)2=c2t2
f(ξ, η, ζ)dS
!
+ 1
4πc2t
Z
(ξ−x)2+(η−y)2+(ζ−z)2=c2t2
g(ξ, η, ζ)dS
(26)
Esta f´ormula, llamada F´ormula de Poisson, generaliza al caso n = 3 la F´ormula de D’Alembert, ya que expresa la soluci´onu(x, y, z, t) como funci´on de los valores iniciales f ygsobre la superficie de esferas de radioct.
La F´ormula de Poisson para la ecuaci´on de onda puede deducirse como caso particular de expresiones m´as generales (v´ease [4]), pero que no pueden obtenerse de manera tan sencilla como la que hemos expuesto en este art´ıculo.
Referencias
[1] Coddington, E., Levinson, N. Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, 1955.
[2] Marsden, I., Tromba, A. C´alculo Vectorial, Addison-Wesley Iberoameri-cana, 1987.
[3] John, F. Partial Differential Equations, 4th ed., Springer-Verlag, New York, 1982.
