TUGAS M3 KB 4 TURUNAN DAN APLIKASINYA TUGAS M3 KB 4 TURUNAN DAN APLIKASINYA
Nama
Nama : : Farid Farid Hidayat, Hidayat, S.Pd.S.Pd. No.
No. Peserta Peserta : : 1803211801018032118010173173 Prodi PPG/Kelas
Prodi PPG/Kelas : (180) Matem: (180) Matematika / Kelas Aatika / Kelas A LPTK
LPTK : : UNSUNS Tahap
Tahap : : 22
1.
1. Dengan MenggunakDengan Menggunakan definisi tan definisi turunan buktikan bahwa : urunan buktikan bahwa : JikaJika
f f
(c) ada (c) ada maka maka f kontinu pada f kontinu pada c.c. Petunjuk Pengerjaan :Petunjuk Pengerjaan : a.
a. Ubah f(x) menjadiUbah f(x) menjadi
− −
−
−
..xxccf f cc..
b.b. Hitung nilai limitnya untuk x → cHitung nilai limitnya untuk x → c
Penyelesaian: Penyelesaian:
limlim
→
→
[[
]]
= =limlim
→
→
−
−
−
−
= =limlim
→
→
limlim
→
→ −
−
−
−
= (0) = (0)[[
]]
= 0 = 0 Karena selisihKarena selisih f(x) f(x) – – f(c) f(c) mendekati 0 ketika mendekati 0 ketika
→ → 00
, maka, makalimlim
→
→
= =
, sehingga, sehingga f f kontinu kontinu padapada x = c x = c 2.
2. Diberikan f(x) =Diberikan f(x) =
{{ , , < 2
< 2
,, ≥ 2
≥ 2
. Tentukan m dan b sehingga. Tentukan m dan b sehingga f f mempunyai turunan di mempunyai turunan di setiap nilai xsetiap nilai x
∈ ∈
Petunjuk pengerjaan : Petunjuk pengerjaan : a.a. Ingat syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan adalah fungsi tersebut kontinu.Ingat syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan adalah fungsi tersebut kontinu. b.
b. HitunglahHitunglah
limlim
→
→
= 2
= 2
.. c. c. HitunglahHitunglah
−−
22
++
22
d. d. SelesaikanSelesaikan
−−
22
−−
22
Penyelesaian: Penyelesaian: = = { { , < 2
, < 2
,, ≥ ≥ 22
kontinu jika kontinu jikalimlim
→
→
, , limlim
→
→
(mempunya(mempunyai i limit)limit)2
2 = 2
= 2
2
2 = 4
= 4
...(1)...(1) Kontinu di titikKontinu di titik
= 2= 2
jika jika
−−
..22 = =
++
..22
= 2
= 2
= = 44
...(2)...(2) Subtitusi2 = 4
= 4 }8 = 4
= 4
Jadi
= 4
dan = 4
3. Diberikan lingkaran dengan persamaan
x
4xy
+3 = 0. Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal (0,0) dan menyinggung lingkaran tersebut.a. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran,sebut pusat P dan jari-jari r.
b. Misalkan titik potong garis singgung dengan lingkaran adalah A= (a,b). Subtitusikann a dan b ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan pertama dalam a dan b.
c. Hitung jarak titik A ke titik asal dan titik P ke titik asal. Dari jarak yang diperoleh ,gunakan teorema phytagoras untuk memperoleh persamaan kedua dalam a dan b.
d. Gunakan persamaan pertama dan kedua untuk menentukan nilai a dan b. e. Gunakan turunan fungsi implisit untuk menentukan
dd
.f. Subtitusikan nilai a dan b ke dalam
dd
untuk memperoleh gradien garis singgung kemudian subtitusikan ke dalam persamaan garis singgung.Penyelesaian:
Diketahui persamaan lingkaran:
4
+3 = 0 Diperoleh = 4, = 0, = 3
, maka = (12 ,12)
=
.4,
.0
= 2,0
= 14
14
=
4
0
3
= √ 4 03
= √ 1
= 1
12
12
= 0
Titik potong garis singgung dengan lingkaran
,
2 3 = 0
2 2 3 = 0
Jarak titik P(-2,0) ke titik asal O(0,0)
|| = 20
00
= √ 4 0
= √ 4
= 2
Jarak titik A(a,b) ke titik asal O(0,0)
|| = 0
0
= √
=
= 4
1 = 4
= 3
...(persamaan 2) Persamaan (1) untuk (x,y) diganti (a,b) 2 2 3 = 0
2 . 2 3 = 0
2
2 3 = 0
4 3 = 0
Substitusi
= 3
ke
4 3 = 0
34 3 = 0
4 6 = 0
4 = 6
= 32
y x P A(a,b) -2 OSubstitusi
=
ke
= 3
= 3
(32)
= 3
94
= 3
= 394
= 34
= ∓ 34
= ∓12√ 3
4
3 = 0
Turunan fungsi implisit
4
3 = 0
2 42() 0 = 0
= 2 42
= 2
=
= 2
= 2
= 322
12√ 3
= 12
12√ 3
= 1√ 3 ×√ 3√ 3
= 13√ 3
=
= 2
= 2
= 322
12√ 3
= 12
12√ 3
= 1√ 3×√ 3√ 3
= 13√ 3
Persamaan garis singgung 1,
=
dan
=
=
( 12√ 3) = 13√ 3( 32)
= 13√ 3 12√ 312√ 3
= 13√ 3
Persamaan garis singgung 2,
=
dan
=
=
( 12√ 3) = 13√ 3( 32)
= 13√ 3 12√ 3 12√ 3
= 13√ 3
4. Buktikan teorema turunan invers fungsi trigonometri untuk yang belum dibuktikan. Petunjuk pengerjaan: Lihat sebagian bukti teorema turunan invers fungsi trigonometri.
Penyelesaian: Pembuktian sin
=
√−
,|| < 1
=
−
→ sin =
sin =
cos
= 1
=
=
−
=
√−
1
> 0 ↔
< 1 ↔ || < 1
Pembuktian tan
=
+
=
−
→ tan =
tan =
sec
= 1
=
=
+
=
+
Pembuktian cotan
=
+
−
=
−
→ cot =
cot =
cosec
.
= 1
=
−
=
+
−
=
+
−
Pembuktian cosecan
=
||√
−
−
,|| > 1
=
−
→ cosec = |
|
cosec =
cosec .
.cot = 1
=
− .
=
.
=
.
−
−
=
||
−
−
1 > 0 ↔
> 1 ↔ || > 1
5. Diberikan
=
dengan A > 0 . Tunjukkan bahwa
mempunyai sebuah maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika
3 > 0
. Petunjuk pengerjaan:a. Hitung
dan
.b. Tentukan bilangan kritis dari
dan syarat
mempunyai dua bilangan kritis. c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis.Penyelesaian:
5. a.
= 2
2
"
= 6 2
b. Menentukan bilangan kritis dari f
= 2
2
,
=
− ±
.
−..
=− ±√
.
−
=− ±√
−
=−+√
−
=
−−√
−
c. Uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis
"
= 6 2
→
"
= 6
−+√
−
2
=2√
3>
0,
maksimal
→
"
= 6
−−√
−
2
=2√
3<
0,
minimalJadi, f mempunyai sebuah maksimal lokal dan minimal lokal jika dan hanya jika
3>
0 6. Tentukan volume terbesar kotak terbuka yang dapat dibuat dari sepotong kertas kartonberbentuk persegi dengan panjang sisi 24 inchi dengan memotong persegi yang sama pada tiap pojoknya kemudian dilipat ke atas masing-masing sisinya.
Petunjuk pengerjaan:
a. Tentukan rumus volume kotak yang dibentuk. b. Cari turunan pertama dari rumus volume tersebut.
c. Tentukan titik kritisnya.
Penyelesaian:
= × ×
= 242∙242∙
= 57696 4
∙
= 576 96
4
576 96
4
= 576192 12
12
192 576 = 0
16 48 = 0
12 4 = 0
= 12 = 4
= 12 → = 576 96
4
= 576129612
412
= 6912138246912
= 0
= 4 → = 576 96
4
= 5764964
44
= 23041536 256
=1024Jadi volume terbesar adalah
1024
7. Turunan simetris didefinisikan dengan
= lim
→
ℎ ℎ
2ℎ
Tunjukkan : Jika
ada maka
ada Petunjuk pengerjaan:a. Ubah
+−−
menjadi+−+− −
b. Pecah menjadi dua limit dengan ketentuan limit yang pertama untuk
ℎ → 0
dan limit yang kedua untukℎ → 0
c. Gunakan definisi
.Penyelesaian:
7. Akan dibuktikan jika
′
ada maka
ada. Dipunyai
= lim
→ +−−
. :12
24
24
Karena
′
ada makalim
→ +−
ada. Jelaslim
→
ℎ ℎ
2ℎ
= lim
→
ℎ ℎ
2ℎ
= lim
→
ℎ
2ℎ lim
→
ℎ
2ℎ
= 12lim
→
ℎ
ℎ
12lim
→
ℎ
ℎ
= 12lim
→
ℎ
ℎ
12lim
→
[ ℎ ]
ℎ
= 12lim
→
ℎ
ℎ
12 lim
−→
[ ℎ]
ℎ
Misalkan, = ℎ
maka= 12lim
→
ℎ
ℎ
12lim
→
[ ]
Karenalim
→ +−
ada makalim
→ +−
juga ada. Sehinggalim
→ +−−
ada.Berdasarkan definisi maka terbukti jika
′
ada maka
ada.8. Garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung. Tentukan persamaan garis normal kurva
8
= 100
di titik (3,1).Petunjuk pengerjaan :
a. Tentukan
dengan menggunakan turunan fungsi implisit. b. Subtitusikan (3,1) pada
c. Hitung gradien garis normal dengan menggunakan aturan tegak lurus.
d. Bentuk persamaan garis melalui titik (3,1) dengan gradien yang diperoleh dari langkah c.
Penyelesaian:
= 100
= 1008
2
= 252
252
4
4
4
4
= 25 25
4
4
25 = 25 4
4
4
4
25 = 25 4
4
= 25 4
4
4
4
25
Subtitusi
3,1
untuk mencari
(gradien garis singgung)
= 25.34.3
4.3
.14.1
4.3.1
25.1
= 4565
= 913
Mencari
(gradien garis normal)
.
= 1,
jadi
=
Persamaan garis normal :
=
1 = 139 3
9 9 = 13 39
399 = 13 9
13 9 = 30
9. Tunjukkan bahwa persegi panjang dengan keliling K yang mempunyai luas maksimum adalah persegi.
Petunjuk pengerjaan:
a. Misalkan ukuran panjang dan lebar persegi panjang berturut-turut adalah
p
danl
b. Dengan menggunakan permisalan tersebut,rumuskan keliling dan luas.c. Dengan menggunakan rumus keliling, nyatakan
l
dalamp
kemudian subtitusikan ke rumus luas.d. Cari turunan pertama dari rumus luas kemudian tentukan bilangan kritis dari rumus luas dengan menggunakan turunan pertamannya.
e. Lakukan uji turunan pertama pada bilangan kritis yang diperoleh.
Penyelesaian: misal panjang = p lebar = l K = 2p + 2l
→
l =−
L = pl =p
−
=−
=
– 2 pMencari titik kritis:
– 2p = 0 K – 4p = 0-4p = -K p =
Substitusikan p =
