Kata kunci: Tuberculosis, model SEIR, bilangan reproduksi dasar.

1

ANALISIS MODEL SEIR UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS DENGAN PENAMBAHAN PARAMETER OBAT

HERBAL DI WILAYAH BOGOR

Sabrina Nur Aulia Pratama1, Embay Rohaeti2, dan Ani Andriyati2 Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pakuan

Bogor ABSTRAK

Cepatnya penyebaran Tuberculosis mengakibatkan cukup tingginya jumlah individu exposed dan jumlah individu infected. Sebagian Masyarakat di wilayah Bogor menjalani pengobatan dengan obat herbal untuk penyakit Tuberculosis sebagai pendamping obat sintesis karena memiliki efek samping yang relatif sedikit dari pada obat sintesis serta mudah didapatkan dengan harga yang terjangkau. Pemodelan matematika dapat membantu memahami dan mengidentifikasi hubungan penyebaran penyakit Tuberculosis dengan berbagai parameter epidemiologi. Model yang digunakan pada penelitian ini yaitu model epidemik Susceptible-Exposed-Infected-Recovered (SEIR) dengan penambahan parameter obat herbal. Model penyebaran penyakit Tuberculosis dengan penambahan parameter obat herbal yang terbentuk menghasilkan sistem persamaan differensial yang menggambarkan laju penyebaran penyakit Tuberculosis pada kelompok individu Susceptible, Exposed, Infected dan Recovered. Model tersebut dianalisis dengan mencari titik tetap, bilangan reproduksi dasar, dan analisis titik tetap kestabilan dengan kriteria Routh-Hurwitz kemudian dilakukan penyusunan syntax program pada software Mathematica 7.0 untuk mengetahui dinamika laju penyebaran Tuberculosis dengan penambahan parameter obat herbal. Dari hasil analisis diperoleh dinamika laju penyebaran Tuberculosis dengan penambahan parameter obat herbal bahwa penyakit Tuberculosis tidak menjadi wabah berarti penambahan obat herbal mempunyai pengaruh dalam meningkatkan jumlah kelompok individu sembuh pada penyebaran penyakit Tuberculosis.

Kata kunci: Tuberculosis, model SEIR, bilangan reproduksi dasar.

1

Mahasiswa Program Studi Matematika, Universitas Pakuan

2

2 PENDAHULUAN

Latar Belakang

Penyakit TB di Indonesia merupakan masalah utama kesehatan masyarakat karena angka kematian akibat penyakit ini cukup tinggi (Sulaiman, 2014).

Menurut Komariah dkk (2013), angka prevalensi kesakitan TB di wilayah Kabupaten Bogor termasuk kategori cukup tinggi yaitu mencapai 240 orang per 100.000 orang sehingga Kabupaten Bogor pernah dinyatakan sebagai wilayah endemik TB di wilayah Jawa Barat yang cukup tinggi.

Cepatnya penyebaran TB mengakibatkan cukup tingginya jumlah individu exposed (individu-individu pengidap penyakit tetapi belum menularkan penyakit) dan jumlah individu infected (individu-individu pengidap penyakit yang dapat menularkan penyakit).

Penyebaran penyakit TB dapat ditekan dengan upaya pencegahan dan pengobatan. Saat ini beberapa masyarakat seperti di wilayah Bogor menjalani pengobatan dengan obat herbal untuk penyakit TB sebagai pendamping obat sintesis karena obat herbal memiliki efek samping yang relatif sedikit dari pada obat sintesis serta mudah didapatkan dengan harga yang terjangkau.

Penambahan obat herbal untuk menekan penyebaran penyakit TB dapat dimodelkan dengan model epidemik. Model yang digunakan pada penelitian ini yaitu model epidemik Susceptible – Exposed – Infected - Recovered (SEIR).

Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini yaitu menentukan dinamika laju

penyebaran penyakit TB dengan penambahan parameter obat herbal

Metodologi Penelitian Data

Data yang digunakan yaitu data rekam medik penderita TB yang telah dikelompokkan ke dalam kelompok individu susceptible (S), exposed (E), infected (I), dan recovered (R), data instalasi farmasi penderita penyakit TB dengan mengambil data pasien yang menggunakan obat herbal untuk penyakit TB sebagai pendamping OAT yang diambil dari Rumah Sakit Paru Dr. M. Goenawan Partowidigdo Cisarua Bogor mulai bulan Januari 2012 s/d Desember 2014 serta data jumlah kependudukan dari tahun 2012 sampai dengan tahun 2014 yang diambil dari Dinas Kependudukan dan Pencatatan Sipil. Tahapan Analisis

Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada tahapan analisis yaitu:

1. Tahap ke-1 dilakukan pengolahan data dengan langkah sebagai berikut:

a. Data rekam medik mulai dari bulan Januari 2012 sampai dengan Desember 2014 dikelompokkan ke dalam empat kelompok individu yaitu S untuk individu susceptible, E untuk individu exposed, I untuk individu infected dan R untuk individu recovered.

b. Data instalasi farmasi Rumah Sakit Paru Dr. M. Goenawan Partowidigdo Cisarua Bogor yang telah diperoleh disortir dan dipilih data pasien TB yang menggunakan obat

3 herbal untuk penyakit TB selama masa pengobatannya. 2. Tahap ke-2 membuat model

dengan terlebih dahulu membuat kompartemen model penyebaran penyakit TB menggunakan model SEIR yang telah dikembangkan oleh Li dkk (1999) sebagai dasar model penyebaran penyakit TB dengan asumsi-asumsi yang telah ditentukan, selanjutnya ditambah parameter obat herbal pada kelompok individu exposed (E) dan infected (I).

3. Tahap ke-3 mencari titik tetap dari model yang telah didapatkan pada tahap ke-2.

Menurut TU (1994), misal diberikan sistem persamaan differensial (SPD) sebagai berikut: n R x x f x dt dx _{  } ), ( 

Titik 𝑥 disebut titik tetap, jika

 

x 0 f .

Langkah-langkah mencari titik tetap yaitu:

a. Setiap persamaan differensial yang telah menjadi model dibuat dalam kondisi konstan terhadap waktu yaitu sama dengan nol (0).

b. Dilakukan penyelesaian sistem persamaan differensial pada model sehingga didapat nilai I = 0 , E = 0, R = 0 dan nilai S sehingga diperoleh titik tetap pertama.

c. Dilakukan penyelesaian sistem persamaan differensial pada model sehingga sehingga diperoleh titik tetap kedua.

4. Tahap ke-4 mencari nilai

 

₀ dengan membagi titik tetap kelompok individu susceptible

 

S0 pada saat I = 0 dengan titik

tetap kelompok individu susceptible

 

S_ pada saat I 0. Menurut Giesecke (1994), basic reproduction ratio adalah rata-rata banyaknya individu yang rentan terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang telah terinfeksi bila individu yang telah terinfeksi tersebut masuk ke dalam kelompok individu yang seluruhnya masih rentan. Secara umum bilangan ₀ mempunyai tiga kemungkinan kondisi yang akan timbul yaitu :

a. Jika ₀ 1, maka penyakit akan menghilang

b. Jika ₀ 1, maka penyakit akan menetap

c. Jika ₀ 1, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.

5. Pada tahap ini dilakukan analisis kestabilan titik tetap menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

Menurut Fisher (1990), misal

k

a a

a₁, ₂,..., bilangan real. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik yang ditulis :

 

0 .... 3 3 2 2 1 1           k k k k k a a a a P    

mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks

xk j M untuk setiap j = 1, 2, 3, …, n                  _   0 0 0 0 0 ... 0 ... 1 ... 3 2 3 1 2 2 4 2 1 2 5 3 1      j j j j a a a a a a a a a a M

adalah positif dengan ak = 0 jika

n k  .

4 Kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2 , 3 , 4 :

1. k = 2 : a₁ 0,a₂ 0.

2. k3:a₁0, a₃0; a₁a₂a₃0. 3. k 4:a₁0, a₃0; a₄0; a₁a₂a₃ a₁2a₄ a₃2. Analisis kestabilan titik tetap diawali dengan pelinieran terhadap persamaan di sekitar titik tetap tersebut yang diturunkan secara parsial terhadap variabel S, E, I, dan R. Hasil dari turunan parsial yang telah diperoleh, selanjutnya disusun membentuk matriks jacobian yaitu J . ₀

a. Analisis kestabilan titik tetap pertama dilakukan dengan mensubtitusikan titik tetap pertama ke dalam matriks jacobian J₀ sehinggga diperoleh matriks jacobian untuk titik tetap pertama yaitu J . Selanjutnya, ₁ dicari nilai eigen _{. Nilai eigen}  dikatakan stabil jika nilai eigen bernilai negatif. Ditentukan koefisien persaman karakteristik yang memuat nilai-nilai eigen  pada matriks jacobian J yang ₁ belum diketahui. Pengujian kestabilan titik tetap pertama dengan memperhatikan kriteria Routh-Hurwitz pada saat ₀ 1 dan ₀ 1. Nilai eigen akan bernilai negatif jika koefisien karakteristik pada matriks J ₁ yaitu a1 0, a3 0 dan 0 3 2 1a a  a .

b. Analisis kestabilan titik tetap kedua dilakukan dengan mensubtitusikan titik tetap kedua ke dalam matriks jacobian J ₀ sehingga diperoleh matriks

jacobian untuk titik tetap kedua yaitu J . Pada matriks jacobian ₂

2

J dicari nilai eigen . Nilai eigen  dari matriks jacobian

2

J dikatakan stabil jika nilai eigen bernilai negatif. Ditentukan koefisien persamaan karakteristik yang memuat nilai-nilai eigen  matriks jacobian J yang belum ₂ diketahui. Analisis kestabilan titik tetap kedua dapat juga dilakukan dengan membuktikan koefisien persamaan karakteristik yang telah didapat berdasarkan kriteria Routh-Hurwiitz pada saat

1

0 

 dan ₀ 1. Nilai eigen akan bernilai negatif jika koefisien karakteristik pada matriks jacobian J yaitu ₂ . 0 0 0 4 32 2 1 3 2 1 3 1 ,a  dan aaa a a a  a

6. Pada tahap ke-6 dilakukan penyusunan program untuk mendapatkan dinamika laju penyebaran penyakit TB dengan penambahan parameter obat herbal.

7. Dibuat kesimpulan dengan membaca grafik yang telah diperoleh agar diketahui penyebaran penyakit TB dengan penambahan obat herbal menjadi wabah atau tidak.

HASIL DAN PEMBAHASAN Model SEIR untuk Penyebaran Penyakit TB dengan Penambahan Parameter Obat Herbal

Pembentukan model SEIR untuk penyebaran penyakit TB dengan penambahan parameter obat herbal, terlebih dahulu dibentuk kompartemen model untuk penyebaran penyakit TB dengan penambahan parameter obat herbal seperti pada Gambar 1.

5 S

f

Gambar 1. Kompartemen Model Penyebaran Penyakit TB dengan Penambahan Obat Herbal

Berdasarkan kompartemen maka Model SEIR untuk penyebaran penyakit TB dengan penambahan parameter obat herbal membentuk sistem persamaan differensial sebagai berikut: S S dt dS       (1) oE E E S f dt dE        (2)   oI I I I R S f E dt dI t               1 ₍₃₎ R R I dt dR_{   (4)} dengan N = S + E + I + R

Parameter merupakan laju kontak dengan individu infected. Jika

 adalah laju kontak individu infected untuk menularkan penyakit kepada individu susceptible dan I merupakan jumlah kelompok individu infected maka maka banyaknya kasus baru yaitu SI. Berdasarkan hal tersebut maka Persamaan (6), (7), (8), dan (9) dinyatakan sebagai berikut :

S SI dt dS _{  (10)} oE E E SI f dt dE _{    } (11)





oI I I I R SI f E dt dI t               1 ₍₁₂₎ R R I dt dR _{  }    (13) dengan N = S + E + I + R

Titik Tetap Model Penyebaran Penyakit TB dengan Penambahan Parameter Obat Herbal

Titik tetap model penyebaran penyakit TB dapat diperoleh dengan menetapkan persamaan (5), (6), (7), dan (8) menjadi konstan terhadap waktu

, 0 , 0 , 0    dt dI dt dE dt dS dan 0 dt dR . Titik tetap pertama didapat dengan menyelesaikan persamaan sehingga didapatkan titik tetap pertama





_        ₀, ₀, ₀, ₀ ,0,0,0 1   R I E S T Langkah selanjutnya menyelesaikan persamaan untuk mencari titik tetap kedua dengan

, 0



S E 0, I 0, dan R0. Titik tetap kedua yang diperoleh yaitu sebagai berikut :



   



 S E I R T₂ , , , dengan         o f fo o o o S t t                _{    }          ) (         f fo f E o o t o t o f                 _{    }                                      _                o o o fo f o I t t ) (  _ _{  }  _ _ _  _  _ _  _    _                    o o o fo f o R t t ) ( E S S     I t  E  I I  R oE oI I R



1 f



S R S f

6 Titik tetap kedua dapat disederhanakan dengan memisalkan beberapa variabel sebagai berikut :

           f f Z Y o X o W o V t t              

maka titik tetap kedua dapat ditulis menjadi :



   



 S E I R T₂ , , ,                                      Z X W V Z V X W V Z V Y Z V Y X W f V f Z V Y X W V                   , , ,

Bilangan Reproduksi Dasar

 

₀ Bilangan reproduksi dasar dicari dengan membagi titik tetap kelompok individu susceptible

 

S₀ pada saat I = 0 dengan titik tetap kelompok individu susceptible

 

S_ pada saat I 0 seperti berikut :

   S S₀ 0         o o o fo f o t t                               ) ( 0

Analisis Kestabilan Titik Tetap Analisis kestabilan titik tetap dilakukan dengan langkah awal linierisasi persamaan pada model SEIR dari persamaan (5), (6), (7), dan (8) sehingga membentuk matriks Jacobian J₀ sebagai berikut:

                                                        0 0 1 1 0 0 0 0 o S f I f S f o I f S I J t

1. Analisis Kestabilan Titik Tetap Pertama

Analisis kestabilan titik tetap pertama dilakukan dengan langkah awal mensubtitusikan titik tetap

bebas penyakit yaitu

  _        ₀, ₀, ₀, ₀ ,0,0,0 1 _  R I E S T

ke dalam matriks Jacobian J ₀ sehingga membentuk matriks jacobian J₁ seperti berikut:





                           Y W f f V J          0 0 1 0 0 0 0 0 1

Matriks jacobian J yang ₁ telah didapat akan diuji kestabilan titik tetap pertama menggunakan kriteria Routh-Hurwitz dengan langkah awal mencari nilai eigen



dari matriks jacobian _{J dengan 1} menuliskan matriks J sebagai ₁

0 )

(IJ₁  . Persamaan (IJ₁)0 harus memiliki pemecahan tak nol agar mempunyai nilai eigen



jika dan hanya jika :

0 ) det(IJ₁    0 0 0 1 0 0 0 0 0 det                                                                                    Y W f f V

sehingga persamaan karakteristiknya







2 _{2 3}



0 1 3         a a  a dengan     f Y V W a1   1          X W V Z f Y VW VY a2      1  X W YV Z V a         3

Nilai eigen dari persamaan yaitu .

1 

7 merupakan akar-akar dari polinomial berikut :

 

2 3 2 1 3 a a a Q     

a. Uji kestabilan titik tetap pertama pada ₀< 1

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ₁, ₂ dan ₃ akan bernilai negatif jika a₁0,

0 3  a dan a1a2 a3 0, karena 1 0   terbukti bahwa a10, 0 3  a , dan a₁a₂a₃0 pada persamaan karakteristik sehingga titik tetap pertama stabil pada

1

0 

 .

b. Uji kestabilan titik tetap pertama pada ₀> 1

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ₁, 2 dan 3 akan

bernilai negatif jika a10,

0 3  a dan a₁a₂ a₃ 0, karena 1 0   diperoleh bahwa a10, 0 3  a dan a₁a₂ a₃ 0 . Hal ini bertentangan dengan kriteria Routh-Hurwitz yang menyatakan bahwa ₁, ₂ dan ₃ akan bernilai negatif jika a10,

0

3 

a dan a₁a₂ a₃0sehingga titik tetap pertama tidak stabil pada

R

₀



1

.

2. Analisis Kestabilan Titik Tetap Kedua

Analisis kestabilan titik tetap kedua dilakukan dengan langkah awal mensubtitusikan titik tetap kedua berikut:



   



 S E I R T₂ , , ,                 _            Y X W V Z V X W V Z V Y Z V Y X W f V f Z V Y X W V                   , , ,

ke dalam matriks jacobian J ₀ sehingga membentuk matriks jacobian J seperti berikut : ₂

              _  _   _{ }                                                                                              0 0 1 1 0 0 0 2 W f f V J Z V Y X W V X W V Z V Y Z V Y X W V X W V Z V Y f Z V Y X W V X W V Z V Y

Pada matriks jacobian J akan diuji ₂ kestabilan titik tetap kedua menggunakan kriteria Routh-Hurwitz dengan langkah awal mencari Nilai eigen



dari matriks jacobian J ₂ dengan menuliskan matriks _{J 2} sebagai : 0 ) det(IJ₂                _  _   _{ } 0 0 0 1 1 0 0 0 det                                                                                                                                   Y W f f V Z V Y X W V X W V Z V Y Z V Y X W V X W V Z V Y f Z V Y X W V X W V Z V Y

sehingga persamaan karakteristiknya



4 a₁3a₂2 a₃a₄



0 dengan





  f Y V W a1    1           Y V Y W X W V Z V WY X W V Z V Y X W Z V Y VY a                          2 2                 Y  X W V X W Z V X W f Z V Y X W Z V Y X W Z V WY a                                 2 3



V Z



V



W X



Y a₄     

nilai-nilai eigen merupakan akar-akar dari polynomial berikut :

 

3 4 2 2 3 1 4 a a a a Q        a. Uji kestabilan titik tetap kedua

pada ₀< 1

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ₁ , 2 , 3,dan 4

akan bernilai negatif jika a10, 0

3

a dan a₁a₂a₃a₁2a₄a₃2 0. Pada persamaan karakteristik diperoleh nilai a yang telah ₁

8 diperoleh semua parameternya bernilai positif sehingga terbukti

. 0

1 

a sedangkan nilai a₃ dan

2 3 4 2 1 3 2 1a a a a a a   berdasarkan pembuktian pada ₀ 1 diperoleh bahwa a₃ 0 dan

0 2 3 4 2 1 3 2 1a a a a a  a . Hal ini

bertentangan dengan kriteria Routh-Hurwitz yang menyatakan bahwa ₁ , 2 , 3,dan 4 akan

bernilai negatif jika a₁ 0 , 0

3 

a dan a₁a₂a₃a₁2a₄a₃2 0

sehingga titik tetap kedua tidak stabil pada

R

₀



1

.

b. Uji kestabilan titik tetap kedua pada ₀> 1

Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, ₁ , 2 , 3, dan 4

akan bernilai negatif jika a10,

0

3

a dan a₁a₂a₃a₁2a₄a₃20. Pada persamaan karakteristik telah diperoleh nilai a yang ₁ telah diperoleh semua parameternya bernilai positif sehingga terbukti a10 .

sedangkan nilai a₃ dan

2 3 4 2 1 3 2 1a a a a a a   . Berdasarkan pembuktian pada ₀ 1 diperoleh bahwa a10 , a30 dan a₁a₂a₃a₁2a₄a₃2 0sehingga titik tetap kedua tidak stabil pada

1

0



R

_.

Dinamika Laju Penyebaran Penyakit TB dengan Penambahan Parameter Obat Herbal

1. Dinamika Pada Saat ₀ 1 Berdasarkan data diperoleh laju individu yang menggunakan

obat herbal sebagai pendamping

OAT o0.000346, 0.002, 0.00013,   0.00604, 0.939, 0539 . 0   _, _t 0.00077, f = 0.9 dan 01 . 0   . Nilai parameter-parameter yang diperoleh tersebut selanjutnya diinputkan ke dalam program software mathematica 7.0 sehingga didapat grafik seperti pada gambar 2.

Gambar 2. Dinamika pada saat ₀ 1 Gambar 2. Menunjukkan bahwa ketika kelompok individu terinfeksi mengalami kesembuhan terjadi peningkatan pada jumlah kelompok individu sembuh sehingga penyakit TB tidak menjadi wabah, maka penambahan obat herbal mempunyai pengaruh dalam meningkatkan jumlah kelompok individu sembuh pada penyebaran penyakit TB.

2. Dinamika Pada Saat ₀ 1 Dinamika pada saat ₀ 1 diberikan  0.00000035,  0.0007, 000000005 . 0   , t 0.0000006, f = 0.9,  0.095.  0.00008 dan 187 

 yang diinputkan ke dalam program software mathematica 7.0 sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar 3.

Gambar 3. Dinamika pada saat ₀1

5 10 15 20 Waktu t 5000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 Jumlah Individu R I E S 10 20 30 40 Waktut 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 Jumlah Individu R I E S

9 Gambar 3. Menunjukkan bahwa Jumlah kelompok individu sembuh mengalami penurunan sehingga jumlah kelompok individu sembuh tidak melebihi jumlah kelompok individu terinfeksi, sehingga kelompok individu terinfeksi menjadi wabah pada penyebaran penyakit TB.

PENUTUP Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh model yang berbentuk sistem persamaan differensial dengan titik tetap pertama yang merupakan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap kedua merupakan titik tetap serta bilangan reproduksi dasar yaitu

        o o o fo f o t t                               ) ( 0

Dinamika laju penyebaran penyakit TB menunjukan bahwa ketika kelompok individu terinfeksi mengalami kesembuhan terjadi peningkatan pada jumlah kelompok individu sembuh dan penurunan pada kelompok individu terinfeksi sehingga penyakit TB tidak menjadi wabah, maka penambahan obat herbal mempunyai pengaruh dalam meningkatkan jumlah kelompok individu sembuh pada penyebaran penyakit TB.

Saran

Penambahan obat herbal dalam proses pengobatan sebagai pendamping OAT dapat menjadi pilihan karena dapat menekan penyebaran penyakit Tuberculosis di wilayah Bogor, sehingga penyakit Tuberculosis tidak menjadi wabah. Penelitian selanjutnya dapat mengembangkan model penyebaran penyakit Tuberculosis dengan penambahan parameter obat herbal

dengan memasukan masa imunitas sebelum memasuki masa rentan dan pemberian vaksinasi.

DAFTAR PUSTAKA Fisher, S.D 1990. Complex

Variables, 2nd ed. Wadsworth & Brooks/ColeeBooks & Softwar, Pacific Grove, California

Giesecke, J. 1994. Modern Infectious Disease Epidemikology. New York : Oxford University Press

Komariah, K., dkk. 2013. Pola Komunikasi Kesehatan Dalam Pelayanan Dan Pemberian Informasi Mengenai Penyakit TBC Pada Puskesmas Di Kabupaten Bogor. Jurnal Kajian vol.1 no.2 Desember 2013, 173-185.

Li, M.Y., dkk. 1999. Global Dynamics of a SEIR Model with Varying Total

Population Size.

Mathematical Biosciences. 160: 191-213.

Sulaiman, M.R. Indonesia, Negara dengan Pasien TB Terbesar ke-4 di Dunia. (http://health. detik.com/read/2014/03/03/1 54319/2513830/763/indonesi a-negara-dengan-pasien-tb-terbesar-ke-4-di-dunia Diakses 28 September 2014) Tu, P.N.V. 1994. Dynamical System,

An Introduction with Application in Economic and Biology. Heidelberg : Springer-Verlag