Slide INF201 Pertemuan 1

(1)

MATEMATIKA DISKRIT

PERTEMUAN KE 1

SAFITRI JAYA, S.Kom, M.T.I

SEMESTER GANJIL TA 2017/2018

(2)

KURIKULUM TEKNIK

INFORMATIKA UPJ

NO KODE MK NAMA MK SKS SIFAT

1 KOTA KOTA MKMI

2 INF201 MATEMATIKA DISKRIT 3 MKMI

3 INF203 SISTEM DIGITAL 3 MKMA

4 INF205 REKAYASA PERANGKAT LUNAK 3 MKMI

5 INF207 PEMROGRAMAN MOBILE 3 MKMI

6 INF209 ANALISIS ALGORITMA 3 MKMI

7 INF211 ARSITEKTUR DAN ORGANISASI KOMPUTER 3 MKMA DISTRIBUSI MATA KULIAH

(3)

KONTRAK PERKULIAHAN

 _{SKS MK : 3 SKS (2 SKS TEORI + 1 SKS LATIHAN)}

 _{LAMA PERKULIAHAN} _{: 100 MENIT TEORI + 50 MENIT LATIHAN}

 _{JUMLAH TM : 14 PERTEMUAN (7 SEBELUM UTS DAN 7 SETELAH UTS)}

 _{PELAKSANAAN UTS} _{: 16 – 20 OKTOBER 2017 (16 OKTOBER 2017)}  _{PELAKSANAAN UAS} _{: 18 – 22 DESEMBER 2017 (18 DESEMBER 2017)}  _{JADWAL KULIAH} _{: SENIN, PKL 15.30 – 18.00 WIB, R-614}

 _{TOLERANSI KETERLAMBATAN : 15 MENIT, > 15 MENIT ABSEN NIHIL}

 _{SYARAT IKUT UJIAN : ABSENSI MINIMAL 70 % (4X ABSEN)}

 _PENILAIAN _:_10%_ABSENSI,_20%_{LATIHAN DI LOG BOOK,}_35%_UTS,_35%_UAS

 _{ALAT KOMUNIKASI : SILENT/MODE GETAR SELAMA PERKULIAHAN BERLANGSUNG}

 _{KEWAJIBAN ALAT BM} _{: LOG BOOK, BUKU AJAR (}_{MATEMATIKA DISKRIT EDISI KELIMA,}

RINALDI MUNIR, INFORMATIKA, 2012)

(4)

MATERI PERKULIAHAN

1. LOGIKA

2. HIMPUNAN

3. MATRIKS

4. RELASI DAN FUNGSI

5. INDUKSI MATEMATIK

6. ALGORITMA

7. BILANGAN BULAT (INTEGER)

8. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

9. ALJABAR BOOLEAN

10.GRAF

11.POHON

(5)

APAKAH MATEMATIKA

DISKRIT ITU???

Matematika diskrit (

discrete mathematics atau finite

mathematics

) adalah cabang ilmu yang mengkaji objek-objek diskrit.

Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga

elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak

bersambungan. Sebagai contoh adalah himpunan bilangan bulat (integer).

Matematika diskrit disebut juga matematika informatika.

Perkembangan matematika diskrit terus meningkat, salah satu alasannya adalah karena komputer digital bekerja secara

(6)

MATAKULIAH SYARAT

1. ALGORITMA

2. STRUKTUR DATA 3. BASIS DATA

4. OTOMATA DAN TEORI BAHASA FORMAL 5. JARINGAN KOMPUTER

6. SISTEM OPERASI 7. TEKNIK KOMPILASI

(7)

CONTOH PERSOALAN

SEHARI-HARI

1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dibuat dari 8 karakter?

2. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b?

3. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks

perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

4. “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak murah”.

Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan hal yang sama? 5. Diberikan dua buah algoritma yang berbeda untuk

(8)

LOGIKA

Logika merupakan studi penalaran (reasoning).

Menurut KBBI, defenisi penalaran adalah cara berpikir dengan

mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan atau pengalaman.

Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements).

Contoh :

Semua pengendara sepeda motor memakai helm.

Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.

(9)

1.1 PROPOSISI

Proposisi (preposition) merupakan kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya, yang digunakan dalam penalaran. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenaran (truth

value). Contoh 1 :

1. 6 adalah bilangan genap. Proposisi (true)

2. 2 + 2 = 4. Proposisi (true)

3. Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang. Proposisi (false)

4. Kemarin hari hujan. Bukan proposisi

(10)

1.1 PROPOSISI

Contoh 2 :

1. Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Kalimat tanya

2. Serahkan uangmu sekarang! Kalimat perintah

3. X + 3 = 8. Bukan proposisi

4. X > 3. Bukan proposisi

(11)

1.1 PROPOSISI

Bidang logika yang membahas proposisi dinamakan kalkulus proposisi (propositional calculus) atau logika proposisi

(propositional logic), sedangkan bidang logika yang membentuk

proposisi pada pernyataan yang mengandung peubah seperti

contoh 2.3 dan 2.4 dinamakan kalkulus predikat.

Secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,...

Misalnya :

(12)

1.2 MENGKOMBINASIKAN

PROPOSISI

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika

Operator logika dasar yang biasa digunakan antara lain : 1. Dan (and) , disebut juga operator biner.

2. Atau (or), disebut juga operator biner.

3. Tidak (not), disebut juga operator uner (hanya membutuhkan satu proposisi).

Proposisi hasil pengkombinasian disebut proposisi majemuk

(13)

1.2 MENGKOMBINASIKAN

PROPOSISI

Contoh 3 :

Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : hari ini hujan

q : murid-murid diliburkan dari sekolah Maka :

p ^ q : hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah P v q : hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah ~ p : tidak benar hari ini hujan (hari ini tidak hujan)

(14)

1.2 MENGKOMBINASIKAN

PROPOSISI

_{Latihan 1 :}

Diketahui proposisi-proposisi berikut : p : pemuda itu tinggi

q : pemuda itu tampan

Nyatakan proposisi-proposisi di bawah ini ke dalam ekspresi logika (notasi simbolik)

1. Pemuda itu tinggi dan tampan

2. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

3. Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

4. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

5. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

(15)

1.3 TABEL KEBENARAN

Tabel kebenaran AND Tabel kebenaran OR

(16)

1.3 TABEL KEBENARAN

Latihan 2 :

Jika p, q dan r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut ini :

1. (p ^ q) v (~q ^ r) 2. p v ~(p ^ q)

3. (p ^ q) ^ ~(p v q) 4. ~(p ^ q)

(17)

1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF

Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara : 1. inklusif or (inclusive or) yaitu p atau q atau keduanya

Contoh : Tenaga IT yang dibutuhkan harus menguasai bahasa C++ atau Java.

2. ekslusif or (exclusive or) yaitu p atau q tetapi bukan keduanya Contoh : Pemenang lomba mendapat hadiah TV atau uang

p q p v q

(18)

1.5 HUKUM-HUKUM LOGIKA

PROPOSISI

1. Hukum identitas

2. Hukum null / dominasi

3. Hukum negasi

4. Hukum idempoten

5. Hukum involusi (negasi ganda)

6. Hukum penyerapan (absorpsi)

7. Hukum komutatif

8. Hukum asosiatif

9. Hukum distributif

(19)

1.6 OPERASI LOGIKA DI

DALAM KOMPUTER

Bahasa pemrograman menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika.

Tipe data boolean hanya mempunyai dua konstanta nilai yaitu true dan false.

Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR (exclusive OR) dan NOT.

Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran true adalah 1

Operasi biner yang menyatakan nilai kebenaran false adalah 0

(20)

1.7 PROPOSISI BERSYARAT

(IMPLIKASI)

Selain dalam bentuk AND, OR dan NOT, proposisi majemuk juga dapat muncul dalam bentuk bersyarat (implikasi) jika p maka q. Contoh :

a. Jika adik lulus ujian maka ia mendapat hadiah dari ayah. b. Jika suhu mencapai 800 C, maka alarm berbunyi.

c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.

(21)

1.7 PROPOSISI BERSYARAT

(IMPLIKASI)

Latihan 3 :

Misalkan

x : Anda berusia 17 tahun.

y : Anda dapat memperoleh SIM.

Nyatakan proposisi berikut ke dalam notasi implikasi :

1. Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM

2. Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun

3. Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun

4. Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun

(22)

1.7 PROPOSISI BERSYARAT

(IMPLIKASI)

Latihan 4 :

Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk

menarik pembeli. Pedagang pertama memiliki moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua memiliki moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut

(23)

1.8 VARIAN PROPOSISI

BERSYARAT

Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan “jika p maka q”, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari

implikasi, yaitu :

1. Konvers (kebalikan) : q p 2. Invers : ~p ~q

(24)

1.9 BIKONDISIONAL

(BI-IMPLIKASI)

Proposisi bersyarat lainnya adalah “p jika dan hanya jika q”, yang dilambangkan dengan p q

p q p q

T T T

T F F

F T F

F F T

(25)

1.9 BIKONDISIONAL

(BI-IMPLIKASI)

p q ekivalen secara logika dengan (p q) ^ (q p).

Dapatkah anda membuktikan ekivalensinya?

Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional dalam kata-kata, yaitu :

1. p jika dan hanya jika q.

2. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.

3. Jika p maka q, dan sebaliknya.

4. p iff q.

5. p if and only if q.

6. p is necessary and sufficient for q.

(26)

1.10 INFERENSI

Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi, diantaranya :

1. Modus Ponen atau law of detachment. 2. Modus Tollen

3. Silogisme hipotesis 4. Silogisme disjungtif 5. Simplifikasi

(27)

1.10 INFERENSI – MODUS

PONEN

Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ (p q)) q dimana p q : hipotesis

p : hipotesis q : konklusi Contoh :

Implikasi “jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis “20 habis dibagi 2” keduanya benar, maka inferensi modus ponen adalah sbb : p q : jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap hipotesis p : 20 habis dibagi 2 hipotesis

(28)

1.10 INFERENSI – MODUS

TOLLEN

Kaidah ini didasarkan pada tautologi [~q ^ (p q)] ~p dimana p q : hipotesis

~q : hipotesis ~p : konklusi Contoh :

Implikasi “jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil” dan hipotesis “n2 bernilai

genap” keduanya benar, maka inferensi modus tollen adalah sbb : p q : jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil hipotesis

~q : n2 bernilai genap hipotesis

(29)

1.10 INFERENSI – SILOGISME

HIPOTESIS

Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p q) dan (q r)] (p r) dimana p q : hipotesis

q r : hipotesis p r : konklusi

Contoh :

Implikasi “jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian” dan implikasi “jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah” keduanya benar, maka inferensi silogisme

hipotesis adalah :

p q : jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian hipotesis q r : jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah hipotesis

(30)

1.10 INFERENSI –

DISJUNGTIF

Kaidah ini didasarkan pada tautologi [(p v q) ^ ~p] q dimana p v q : hipotesis

~p : hipotesis q : konklusi

Contoh :

Inferensi berikut “Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan” dan

inferensi “Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu, saya menikah tahun depan”, maka

inferensi kaidah silogisme disjungtifadalah sbb :

p v q : Saya belajar dengan giat atau Saya menikah tahun depan hipotesis ~p : Saya tidak belajar dengan giat hipotesis

(31)

1.10 INFERENSI –

SIMPLIFIKASI

Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ^ q) p dimana p ^ q : hipotesis

p : konklusi

Contoh :

“Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR” , maka

inferensi simplifikasi adalah sbb :

p ^ q : Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa UNPAR hipotesis

(32)

1.10 INFERENSI –

PENJUMLAHAN

Kaidah ini didasarkan pada tautologi p (p v q) dimana p : hipotesis

p v q : konklusi

Contoh :

“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah penjumlahan

adalah sbb :

p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit hipotesis

q : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit atau mengulang kuliah Algoritma

(33)

1.10 INFERENSI –

KONJUNGSI

Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((p) ^ (q)) (p ^ q) dimana p : hipotesis

q : hipotesis p ^ q : konklusi

Contoh :

“Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslim mengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma”, maka kaidah konjungsi

adalah :

p : Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit hipotesis q : Taslim mengulang kuliah Algoritma hipotesis

(34)

1.11 ARGUMEN

Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai berikut : p1, p2, p3, ... pn, q

p1, p2, p3, ... pn : hipotesis q : konklusi

Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid)

Contoh :

1. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”

2. “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut”