TIN309 - Desain Eksperimen Materi #6 Genap 2016/2017 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN

(1)

6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d

TIN309 – DESAIN EKSPERIMEN

Materi #6

h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

RCBD

2



Randomized Complete Block Design (RCBD):



Adalah perluasan dari konsep Analysis of

Varians (ANOVA) dengan prinsip membagi

eksperimen menjadi beberapa blok.



Hal ini dilakukan bila terdapat

nuisance factors

(faktor-faktor selain yang diujikan)

yang

keberadaannya diketahui dan dapat dikontrol,

tetapi kita tidak ingin mengujinya dalam

eksperimen.

(2)

Prinsip Desain Blok

Materi #6 Genap 2016/2017 TIN309 - Desain Eksperimen

3

 Blok adalah suatu metode untuk mengatasi pengaruh dari nuisance factors.

 Nuisance factor adalah suatu faktor yang mempengaruhi percobaan tetapi orang yang melakukan eksperimen tidak ingin mengujinya dalam eksperimen tersebut.

 Dengan demikian variabilitas yang ditimbulkan oleh

nuisance factor tersebut perlu diminimumkan.

 Contoh nuisance factors : batches of raw material, operator, peralatan, waktu (shifts, hari), dll.

 Kebanyakan pengujian eksperimen melibatkan prinsip blok. h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Prinsip Blocking

4

 Jika variabel nuisance diketahui (known) dan dapat dikontrol (controllable), kita dapat menggunakan

blocking.

 Jika variabel nuisance diketahui (known) tetapi tidak dapat dikontrol (uncontrollable), maka digunakan analysis of covariance untuk menghilangkan efek dari nuisance factor.

 Jika nuisance factor tidak diketahui (unknown) dan tidak dapat dikontrol (uncontrollable), digunakan prinsip randomisasi seperti yang dipelajari pada pengujian dengan satu faktor.

(3)

Model RCBD

…(1/5)

 Jika ada a level percobaan dan b blok, maka:

 Model statistik (model efek) untuk RCBD adalah:

Dimana:

 μ = rata-rata total,

 τ_i = efek dari percobaan ke-i,  β_j = efek dari blok ke-j,

 ε_ij = random error yang berdistribusi NID(0,σ2).

Materi #6 Genap 2016/2017

5

TIN309 - Desain Eksperimen

1, 2,...,

ij i j ij

i

a

y

j

b

  







  



_{ }



Model RCBD

…(2/5) 6

 Hipotesis untuk model efek tersebut adalah:  𝑯_𝟎∶ 𝝁_𝟏= 𝝁_𝟐= … = 𝝁_𝒂

Dimana: 𝝁_𝟏= 𝟏 𝒃 𝒃_𝒋=𝟏 𝝁 + 𝝉_𝒊+ 𝜷_𝒋 = 𝝁 + 𝝉_𝒊

 𝑯_𝟏∶ 𝐩𝐚𝐥𝐢𝐧𝐠 𝐬𝐞𝐝𝐢𝐤𝐢𝐭 𝐬𝐚𝐭𝐮 𝝁_𝒊 ≠ 𝝁_𝒋

 Atau hipotesis dalam bentuk:  𝑯_𝟎∶ 𝝉_𝟏 = 𝝉_𝟐 = … = 𝝉_𝒂= 𝟎  𝑯_𝟏∶ 𝒑𝒂𝒍𝒊𝒏𝒈 𝒔𝒆𝒅𝒊𝒌𝒊𝒕 𝒔𝒂𝒕𝒖 𝝉_𝟏 ≠ 𝟎

(4)

Model RCBD

…(3/5) Materi #6 Genap 2016/2017 TIN309 - Desain Eksperimen

7



ANOVA partitioning of total variability:

2 .. . .. . .. 1 1 1 1 2 . . .. 2 2 . .. . .. 1 1 2 . . .. 1 1 ( ) [( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) a b a b ij i j i j i j ij i j a b i j i j a b ij i j i j T Treatments Blocks E y y y y y y y y y y b y y a y y y y y y SS SS SS SS                            







Model RCBD

…(4/5) 8 𝑺𝑺𝑻 = 𝒚𝒊𝒋𝟐 𝒃 𝒋=𝟏 𝒂 𝒊=𝟏 −𝒚.. 𝟐 𝑵 𝑺𝑺_{𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕} = 𝟏 𝒃 𝒚𝒊. 𝟐₋𝒚..𝟐 𝑵 𝒂 𝒊=𝟏 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌 = 𝟏 𝒂 𝒚.𝒋 𝟐₋𝒚.. 𝟐 𝑵 𝒃 𝒋=𝟏 𝑺𝑺𝑬 = 𝑺𝑺𝑻− 𝑺𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕− 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌

(5)

Model RCBD

9

 Derajat bebas untuk the sums of squares adalah:

𝑺𝑺𝑻 = 𝑵 − 𝟏 ; 𝑺𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕 = 𝒂 − 𝟏

𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌 = 𝒃 − 𝟏 ; 𝑺𝑺𝑬= 𝒂 − 𝟏 𝒃 − 𝟏

 Rasio sums of squares terhadap derajat bebasnya disebut

mean squares treatment, mean square blocks dan mean square error untuk menguji hipotesis dengan statistik F:

𝑴𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕 = 𝑺𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒂 − 𝟏 ;𝑴𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌 = 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌 𝒃 − 𝟏 𝑴𝑺_𝑬 = 𝑺𝑺𝑬 𝒂 − 𝟏 𝒃 − 𝟏 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Tabel ANOVA Untuk RCBD

10 Source of Variation Sum of Squares (SS) Degree of

Freedom Mean Square (MS) F0 Treatments 𝑆𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎 − 1 𝑆𝑆𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎 − 1 𝑀𝑆_{𝑡𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠} 𝑀𝑆𝐸 Blocks 𝑆𝑆𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠 𝑏 − 1 𝑆𝑆𝑏𝑙𝑜𝑐𝑘𝑠 𝑏 − 1 Error 𝑆𝑆𝐸 𝑎 − 1 𝑏 − 1 𝑆𝑆𝐸 𝑎 − 1 𝑏 − 1 Total 𝑆𝑆_𝑇 𝑁 − 1

(6)

Pengujian Hipotesis RCBD

11



F

₀

dibandingkan dengan F

_tabel



Dimana:

𝑭

_{𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍}

= 𝑭

_{𝜶 𝒂−𝟏 ; 𝒂−𝟏 𝒃−𝟏}



Jika F

₀

< F

_tabel

maka terima H

₀

dan tolak

H

₁

.



Jika F

₀

> F

_tabel

maka tolak H

₀

dan terima

H

₁

.

Contoh

(Pengujian Kekerasan Bahan/Hardness)

12

Seorang Penguji ingin melihat pengaruh dari 4 jenis ujung (tip) alat penguji kekerasan Rockwell yang berbeda terhadap pembacaan kekerasan pada alat Rockwell tersebut. Untuk masing-masing jenis ujung penguji akan dilakukan pengujian (observasi) sebanyak 4 kali dengan cara menekan ujung (tip) penguji pada suatu lembaran plat baja. Ada 4 jenis lembaran plat baja yang digunakan, dan ternyata masing-masing jenis plat baja diproduksi pada temperatur yang berbeda dan dapat mempengaruhi hasil pengujian kekerasan. Penguji hanya ingin menguji pengaruh dari tipe ujung alat penguji, dan mengeliminasi pengaruh dari tipe lembaran plat baja dengan melakukan desain blok terhadap eksperimen ini.

(7)

Deskripsi Pengujian Contoh

13

 Eksperimen didesain sebagai RCBD.

 Keempat jenis ujung alat penguji kekerasan diujikan pada setiap tipe lembaran baja.

 Masing-masing lembaran baja disebut sebagai suatu “blok” yang sifatnya homogen.

 Variabilitas antar blok besar, sedangkan variabilitas di dalam satu blok relatif lebih kecil.

 Secara umum, suatu blok merepresentasikan satu level dari nuisance factor.

 Replikasi terhadap eksperimen dilakukan pada masing-masing blok.

 Suatu blok merepresentasikan pembatasan dari proses randomisasi.  Randomisasi hanya dilakukan dalam suatu blok.

Desain Blok

14

Blok 1

y

₁₁

y

₂₁

y

₃₁ . . .

y

_a1

Blok 2

y

₁₂

y

₂₂

y

₃₂ . . .

y

_a2

Blok 3

y

₁₃

y

₂₃

y

₃₃ . . .

y

_a3

Blok b

y

_1b

y

_2b

y

_3b . . .

y

_ab

(8)

Desain Pengujian Hardness

15



Ada 4 blok yaitu lembaran pengujian baja

(metal test coupon) nomor 1, 2, 3 dan 4.



Randomisasi dilakukan di dalam

masing-masing blok.



Contoh pada blok 1, setelah randomisasi

didapat urutan pengujian yang pertama

tip 3, kedua tip 1, ketiga tip 4 dan keempat

tip 2, dst.

Tabel Desain Pengujian Hardness

16

(9)

Hasil Eksperimen Pengujian

17

Tipe Ujung (Tip)

Lembaran baja (Blok)

1 2 3 4 1 9.3 9.4 9.6 10.0 2 9.4 9.3 9.8 9.9 3 9.2 9.4 9.5 9.7 4 9.7 9.6 10.0 10.2 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi RCBD

…(1/5) 18 Tipe Ujung (Tip)

Lembaran baja (Blok)

yi. 1 2 3 4 1 9.3 9.4 9.6 10.0 38.3 2 9.4 9.3 9.8 9.9 38.4 3 9.2 9.4 9.5 9.7 37.8 4 9.7 9.6 10.0 10.2 39.5 y.j 37.6 37.7 38.9 39.8 y.. = 154

(10)

Solusi RCBD

19 𝑺𝑺_𝑻= 𝒚_𝒊𝒋𝟐 𝒃 𝒋=𝟏 𝒂 𝒊=𝟏 −𝒚.. 𝟐 𝑵 𝑺𝑺𝑻= 𝟗. 𝟑 𝟐+ 𝟗. 𝟒 𝟐+ ⋯ + 𝟏𝟎. 𝟐 𝟐 − 𝟏𝟓𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 = 𝟏. 𝟐𝟗𝟎 𝑺𝑺_{𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕}=𝟏 𝒃 𝒚𝒊. 𝟐₋𝒚..𝟐 𝑵 𝒂 𝒊=𝟏 𝑺𝑺_{𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕}=𝟏 𝟒 𝟑𝟖. 𝟑 𝟐_{+ 𝟑𝟖. 𝟒} 𝟐_{+ 𝟑𝟕. 𝟖} 𝟐_{+ 𝟑𝟗. 𝟓} 𝟐 ₋ 𝟏𝟓𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝑺𝑺_{𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕}= 𝟎. 𝟑𝟖𝟓 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi RCBD

…(3/5) 20 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌= 𝟏 𝒂 𝒚.𝒋 𝟐₋𝒚..𝟐 𝑵 𝒃 𝒋=𝟏 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌= 𝟏 𝟒 𝟑𝟕. 𝟔 𝟐_{+ 𝟑𝟕. 𝟕} 𝟐_{+ 𝟑𝟖. 𝟗} 𝟐_{+ 𝟑𝟗. 𝟖} 𝟐 ₋ 𝟏𝟓𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝑺𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌= 𝟎. 𝟖𝟐𝟓 𝑺𝑺𝑬= 𝟏. 𝟐𝟗 − 𝟎. 𝟑𝟖𝟓 − 𝟎. 𝟖𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟎

(11)

Solusi RCBD

21 𝑴𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔= 𝑺𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒂 − 𝟏 = 𝟎. 𝟑𝟖𝟓 𝟒 − 𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟖 𝑴𝑺𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌𝒔= 𝑺𝑺_{𝒃𝒍𝒐𝒄𝒌𝒔} 𝒃 − 𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟐𝟓 𝟒 − 𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟓 𝑴𝑺_𝑬= 𝑺𝑺𝑬 𝒂 − 𝟏 𝒃 − 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟎 𝟒 − 𝟏 𝟒 − 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗 𝑭_𝟎 =𝑴𝑺𝒕𝒓𝒆𝒂𝒕𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝑴𝑺𝑬 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟖 𝟎. 𝟎𝟎𝟗= 𝟏𝟒. 𝟒𝟑𝟖 𝑭_{𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍} = 𝑭_{𝜶 𝒂−𝟏 ; 𝒂−𝟏 𝒃−𝟏} = 𝑭_{𝟎.𝟎𝟓 𝟒−𝟏 ; 𝟒−𝟏 𝟒−𝟏} 𝑭𝒕𝒂𝒃𝒆𝒍 = 𝑭𝟎.𝟎𝟓 𝟑;𝟗 = 𝟑. 𝟖𝟔𝟑 h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d 6 6 2 3 T a u fi qu r R a ch m a n

Solusi RCBD

…(5/5)  Kesimpulan:

 Karena F₀ = 14.438 > F_tabel = 3.863 maka Tolak H₀, artinya terdapat perbedaan dari tipe ujung alat penguji (tip) pada pengujian kekerasan Rockwell. 22 Source of Variation Sum of Squares (SS) Degree of Freedom Mean Square (MS) F0 Treatments 0.385 3 0.128 14.438 Blocks 0.825 3 0.275 Error 0.080 9 0.009 Total 1.290 15

(12)

Solusi SPSS RCBD

23

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable: Hasil Uji Kekerasan Source

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Perlakuan .385 3 .128 14.438 .001

Blok .825 3 .275 30.938 .000

Error .080 9 .009

Total 1.290 15

a. R Squared = 1.000 (Adjusted R Squared = 1.000) Langkah SPSS:

Analyze  General Linear Model  Univariate

66 23 - Ta uf iqu r R ac hman h t t p : / / t a u f i q u r r a c h m a n . w e b l o g . e s a u n g g u l . a c . i d