1
REPRESENTASI DAN TEORI APOS UNTUK
MENGEKSPLORASI PEMAHAMAN MATEMATIKA
MAHASISWA PADA KONSEP LIMIT
Disusun oleh:
Elah Nurlaelah
Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
A. Pendahuluan
Penelitian pemahaman mahasiswa untuk suatu konsep matematika dapat didekati melalui pembagian pengetahuan menjadi bagian-bagian yang bermakna yaitu pengetahuan prosedural dan pengetahuan konseptual (Hiebert & Carpenter, 1992; Hiebert & Lefervre, 1986). Salah satu cara melakukan ini adalah dengan memperhatikan langkah-langkah proses konstruksi suatu konsep dengan menggunakan Teori APOS (Asiala, M. et al 1997; Cottrill, et al 1996). Teori APOS telah terbukti berguna untuk mendisain pembelajaran, sebagai contoh, Asiala et.al (1997) dan Repo (1996) menemukan bahwa mahasiswa yang mempelajari Konsep Turunan yang dirancang dengan menggunakan Teori APOS lebih berhasil daripada mahasiswa dari kelompok tradisional. Teori APOS juga digunakan dalam menganalisa pemahaman mahasiswa. Sebagai contoh Santos dan Thomas (2003) telah mengkonstruksi suatu kerangka kerja berdasarkan representasi untuk mengetahui Konsep Turunan secara representasi simbolik, representasi grafik, dan representasi numerik yang dibagi menjadi orentasi prosedur, orentasi process, orentasi object, orentasi concept, dan dimensi pengetahuan yang luas. Tetapi mahasiswa mungkin berada pada tingkat yang dan representasi yang berbeda dan hubungan antara representasi adalah komponen utama dalam pemahaman sebagaimana dikemukakan dalam kerangka kerja Santos dan Thomas (2003). Dengan demikian penelitian mengenai pemahaman harus juga bertujuan untuk pada pendugaan representasi internal dan kaitan-kaitan diantara mereka (Goldin, 1998; Goldin & Kaput, 1996).
Penelitian ini mengeksplorasi pemahaman mahasiswa tentang turunan dengan menggunakan pendekatan yang dikemukakan di atas dan fokusnya hanya
2
pada representasi dari limit pada pembagian selisih. Analisis awal dari presentasi yang lain dilaporkan oleh Hahkioniemi (2004) dan aturan dari representasi ini dalam pembelajaran turunan didiskusikan dalam Hahkioniemi.
B. Pemahaman dalam Matematika
Menurut Hiebert dan Carpenter (1992) dan Hiebert dan Lefevre (1986), Pengetahuan Konseptual adalah pengathuan yang dihubungkan dengan bagian yang lain dari pengetahuan, dan pemilik pengetahuan itu juga mengetahui hubungan-hubungannya. Hubungan antara bagian-bagian pengetahuan sepenting bagian-bagina itu sendiri. Pengetahuan Prosedural terdiri dari bahasa formal, aturan-aturan, algoritma, dan prosedur matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan matematika (Hiebert & Lefevre, 1986). Objek-objek dari tindakan prosedur dapat dismbolkan atau tidak. Demikian juga koneksi dalam pengetahuan prosedural, tetapi koneksi ini berbentuk linier dan hanya mengindikasikan bahwa suatu langkah mengikuti yang lainnya. Sehingga memungkinkan untuk mempelajari prosedurnya dengan dihafal di luar kepala, tetapi belajar prosedur dengan bermakna dihubungkan dengan pengetahuan kenseptual. Menurut Hiebert dan Lefevre (1986), koneksi antara pengetahuan konseptual dan pengetahuan prosedural dapat meningkatkan pembelajaran dari kedua pengetahuan tersebut.
Dalam penelitian ini, konsep representasi digunakan untuk memperoleh pemahaman mendalam pada pengetahuan konseptual. Representasi adalah sesuatu yang menyajikan sesuatu dan dapat eksternal atau internal (Goldin & Kaput, 1996). Tindakan representasi adalah kompleks dan sering sulit untuk dikatakan apa yang sedang direpresentasikan dan apa yang direpresentasikan (Goldin & Kaput, 1996). Representasi internal dapat dipikirkan menjadi asosiasi mental dari sesuatu (Dreyfus, 1991). Menurut Goldin (1998) sitem internal representasi dapat menjadi a) verbal/ sintatik, b) dibayangkan, c) notasi formal, d) strategi dan heuristik, dan e) afektif. Suatu konsep dipelajari ketika bermacam-macam representasi internal yang bersesuaian telah dibangun dengan hubungan fungsional diantaranya (Goldin, 1998). Juga Deyfrus (1991) menekankan representasi internal penting berhubungan secara kuat sedemikian sehingga dalam problem solving seseorang dapat secara mahir berubah dari suatu representasi ke representasi yang lain. Tapi tidak begitu
3
banyak literatur atau penelitian bagaimana kaitan antara representasi-representasi itu dan kaitan yang mana yang lebih berguna antara yang satu dengan yang lainnya. Meskipun demikian, menurut Goldin dan Kaput )1996, h. 401), dapat dihubungkan antara dua representasi eksternal, antara dua representasi internal, atau representasi eksternal dan internal sedemikian sehingga yang satu merepresentasikan yang lainnya. Goldin dan Kaput (1996) juga menganalisa kaitan antara beberapa representasi. Menurut mereka, dua representasi eksternal tidak boleh dihubungkan secara fisik tetapi bisa dihubungkan secara internal dalam pikiran seseorang yang menghasilkan atau membacanya. Kaitan itu lemah jika individu hanya dapat memprediksi, mengidentifikasi, atau menghasilkan representasi eksternal lain seperti yang diberikan. Suatu kaitan akan kuat ketika diberikan suatu aksi pada suatu representasi eksternal, maka individu itu akan memprediksi, mengidentifikasi, atau menghasilkan suatu hasil berkaitan dengan aksi yang sesuai pada representasi ekternal. Dalam penelitian ini, kaitan, hubungan, dan koneksi antara representasi-representasi digunakan secara sinonim dan selalu berarti sebagai suatu hubungan internal. Karena reperesentasi internal seseorang hanya dapat di duga dari represetasi eksternalnya, dalam penelitian ini kata “ representasi “ digunakan untuk mengartikan reprsentasi internal yang bagaimanapun berupa representasi eksternal seseorang.
C. Metodologi Penelitian
Wawancara terhadap mahasiswa dilaksanakan selama periode perkuliahan musim semi tahun 2003 pada mata kuliah Kalkulus Diferensial 1. Periode perkuliahan terdiri dari lima pertemuan pertama untuk materi turunan. Representasi yang berbeda dan Problem Solving terbuka ditekankan dalam pembelajaran. Untuk mengenalkan konsep turunan, mahasiswa diberikan soal berikut: Bagaimana menunjukkan kecepatan sesaat dari suatu titik tertentu yang berubah ? Beberapa penyelesain yang berbeda didiskusikan dalam kelas. Satu estimasi adalah menggambar suatu garis tangen pada suatu titik dan menghitung kemiringan dari tangen. Cara yang lain adalah menghitung rata-rata kecepatan pada interval yang berbeda-beda dan menentukan bilangan mana yang didekati. Rata-rata kecepatan yang menjadi perhatian adalah kemiringan yang meruapakan secant dan sering disebut pembagian selisih. Akhirnya nilai limit ditentukan secara
4
aljabar dan turunan daru fungsi f pada titik a didefinisikan sebagai
a x a f x f a f a x ) ( ) ( lim ) ( ' . D. Pertanyaan Penelitian
Penelitian ini mengeksplorasi cara untuk menjelaskan pemahaman siswa pada konsep limit pembagian selisih. Berkaitan dengan kerangka kerja yang bertujuan untuk mempelajari representasi mahasiswa dan bagaimana mereka mendapatkan pengetahuan prosedural dan pengetahuan konseptual. Berikut adalah pertanyaan-pertanyaan penelitian yang disusun:
1. Bagaimana mahasiswa dapat menghitung limit dari pembagian selisih? 2. Representasi apakah yang mahasiswa miliki dalam proses perhitungan
limit?
3. Bagaimana mahasiswa menghubungkan representasi dari proses perhitungan limit menjadi limit dari pembagian selisih?
E. Pengumpulan Data
Data dikumpulkan dari wawancara kepada lima orang mahasiswa yang mengikuti perkuliahan. Wawancara terhadap mahasiswa Tommi dan Niina dilaksanakan diakhir materi perkuliahan ini. Samuel diwawancara satu kali, Susanna 3 kali dan Daniel diwawancara 5 kali setelah perkuliahan materi ini berakhir. Setelah itu dosen melanjutkannya dengan konsep turunan fungsi dan dengan aturan pendiferensialan. Sebagai seorang pengajar dari mahasiswa yang mengikuti perkuliahan sebelumnya, maka penulis adapat mengklasifikasikan mahasiswa tersebut secara kasar, sebagai berikut; Niina dan Susanna lemah dalam matematika, Tommi dan Samual berada pada kleompok rata-rata dan Daniel berada klasifikasi baik. Merupakan suatu hal yang kebetulan bahwa mahasiswa yang lemah adalah perempuan. Sekitar 45 menit wawancara tugas-tugas yang paling penting didiskusikan adalah;
1. Mengestimasi setepat mungkin nilai tuturan dari fungsi f(x) 2x
5
2. a. Dari gambar (1) Interpretasikan apa arti dari pembagian
h f h
f(1 ) (1)
b. Dari gambar (1) apa arti dari h f h f h ) 1 ( ) 1 ( lim 0
Bentuk pembagian selisih no.4 tidak termasuk dalam perkuliahan.
F. Pemahaman Mahasiswa terhadap Konsep Limit Pembagian Selisih
Pengetahuan prosedural dan pengetahuan konseptual mahasiswa dari konsep limit pembagian selisih dianalisis dengan menggunakan Teori APOS dan dengan koneksi antara representasi-representasi.
Pemahaman Susanna
Pemahaman Susanna tentang konsep limit pembagian selisih muncul ketika dia mencoba memahami untuk mengestimasi turunan dari fungsi f(x) 2x pada titik x = 1. Pertama dia mencoba menggunakan aturan pendiferensialan dan ketika dia menggambar grafik dan mengestimasi turunan sebagai kemiringan dari tangen. Dia bepikir bahwa ini tidak begitu tepat. Sehingga dai ditanya apakah dia dapat menggambarkan estimasi yang lebih tepat.
Susanna : Hitung nilai limit dari dua arah pada nilai 2. – Saya maksud 1, dari kedua arah nilai 1. Sebagai contoh 0,5 dan 1,5 (menandai titik yang dimaksud pada sumbu x). Dan selanjutnya menggambar ( menandai titik-titik pada grafik dan menghubungkan dua titik tersebut sebagai secant). Kamu tidak memperoleh nilai yang begitu tepat dengan menggambar seperti ini.—
Pewawancara : Dapatkah akamu memunculkan sesuatu sehingga akan menghasilkan yang lebih tepat ?
Susanna : Baiklah, jika anda mengambil kapur, dan selanjutnya menggerakkan nilai x menuju 1. Ekspresi (menulis
x x
x f(x) 2
lim , maka anda dapat mengganti secara langsung disana… mengganti 1 dan selanjutnya akan menjadi 2.
Susanna hanya memahami sedikit pengetahuan prosedural tentang limit pembagian selisih sebab dia memahami algoritmanya secara salah. Selanjutnya dia mengetahui bahwa terdapat algoritma yang dapat digunakan untuk menunjukkan turunan pada suatu titik dan berikutnya dia juga menunjukkan bahwa algoritma ini memberikan nilai yang tepat dari turunan. Dengan demikian berdasarkan Teori
6
APOS, Susanna hanya berada pada tingkat Action. Susanna menunjukkan bahwa dia memahami sedikit pengetahuan konseptual dari konsep limit pembagian selisih. Setelah menghitung kemiringan dari tangen dia mulai menggunakan representasinya tentang secant untuk tangen sedemikian sehingga titik-titik umum dari secant dan gambar untuk mendekatinya dari dua sisi. Representasi ini tidak menolong dia untuk mengestiamsi lebih baik sebab representasi adalah grafik seperti tangen. Dari keadaan ini, dia mengubah “ limes-formula” dimana dia dengan jelas dia memikirkannya menjadi limit dari pembagian selisih. Ini sepertinya bahwa Susanna mengetahui bahwa secant mendekati representasi tangen yang sama dengan rumus limit pembagian selisih. Tetapi representasi tidak saling menjelaskan yang lainnya.
Pemahaman Niina
Ketika mengestimasi turuna suatu fungsi f(x) 2x pada titik 1, pertama-tama Niina meragukan apakah turunan dapat diestimasi oleh kemiringan tangen tetapi dia tidak begitu yakin akan hal ini. Ini menunjukkan bahwa dia sedang berpikir bahwa limit pembagian selisih sebagai suatu cara untuk menghitung kemiringan yang dia ketahui menjadi derifatif.
― Saya harus melihat bahwa rumus tertentu .—yaitu, dimana anda menghitungnya. Atau yang dikansel itu—saya maksudkan bahwa pembagian selisih – ( pewawancara memberikan rumus) – anda harus menggantinya dengan titik ―.
Ini menunjukkan bahwa representasi Niina tentang limit pembagian selisih ditempati oleh rumus dari buku. Ketika rumus diberikan pada dia tidak dapat menggambarkan bagaimana menggunakannya, tapi dia mengetahui beberapa tindakan yang harus dikerjakan, seperti mensubstitusikan sautu titik pada rumus. Sehingga Niina memiliki sedikit pengetahuan prosedural tentang limit pembagian selisih dan berdasarkan Teori APOS dia hanya berada pada tingkat Action. Niina juga memiliki sedikit pengetahuan konseptual, karena dia menghubungkan kemiringan tangen dengan hasil dari rumus. Tetapi dia tidak menjelaskan kemiringan dengan tangen atau dalam cara yang lain.
Niina mempunyai suatu representasi dari proses limit ketika dia menggunakan kecepatan rata-rata untuk mengestimasi kecepatan sesaat dari suatu
7
mobil dari gambar yang dia pikirkan menjadi garafik waktu-jarak. Dia juga menggunakan representasi garis lurus lokal untuk proses limit ketika dia menjelaskan mengapa turunan nol pada puncak dan dasar dari kurva .
“ Jika anda memperbesar disini sebagai contoh, ini akan lurus untuk sesaat (menggambar garis dengan jari), tapi tidak disana”.
Tetapi dia tidak menunjukkan koneksi-koneksi dari representasi ini terhadap konsep limit pembagians selisih.
Pemahaman Tommi
Tommi kelihatannya dapat menjelaskan langkah-langkah dari prosedur dan memunculkannya dengan fasih. Dengan demikian berdasrkan Teori APOS, Tomi telah interiorized konsep limit perbandingan selisih sebagai suatu Process. Hal ini dibuktikan ketika dia mencoba menghitung turunan dari fungsi f(x) 2x pada titik x = 1 dengan limit pembagian selisish, sebagai berikut;
“ Anda dapat menghitung ini secara tepat, Saya misalkan – ( menulis 1 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ' x f x f f ). Misalkan ( menambahkan 1 lim
x ke bagian depan dari pembagian selisih) x mendekati 1 ( menambahkan =
1 2 2 lim 1 x x x ). Bagaimana
menggeluarkan sukunya? – Ini salah. Maka tentu anda dapat memulai suatu pendekatan dari dua sisi. Tapi saya tidak mengingatnya, sebab saya hanya mengingat rumus itu, percayalah saya tidak dapat mengerjakannya !’
Dalam persoalan problem solving itu Tommi mengubah representasi limit pembagian selisih ke representasi pendekatan dari dua sisi. Setelah itu, dia mengubahnya menjadi representasi dari kemiringan tangen. Setelah dia berhasil mngestimasi turunan dengan kemiringan, dia masih meragukan bagaimana menggunakan limit pembagian selisih dari dua sisi. Ketika ditanya, dia menjelaskan apa yang dia maksud dengan pendekatan dari dua sisi dia tidak dapat menggambarkan bagaimana itu terjadi;
― Anda dapat menghitung rata-rata kecepatan dengan mengubah nilai titik pada 1,1 dan 0,9 dan seterusnya mendekati 1. Akhirnya akan ditemukan benar-benar mendekati 1.—saya tidak mengingat secara keseluruhan bagaimana itu dihitung‖.
Ini menunjukkan bahwa Tommi mengasosiasikanproses simbolik untuk menghitung limit pembagian selisih menjadi rata-rata kecepatan yang berubah setelah intervalnya berubah-ubah. Juga kemiringan tangen terlihat diasosiakan pada konsep
8
itu. Hal ini menunjukkan pula bahwa Tommi mengetahui bahwa representasi-representasi itu menunjukkan hal yang sama, tapi dia tidk mengerti bagaimana representasi itu dihubungkan dan dia tidak menggunakan suatu contoh untuk menjelaskannya. Dengan demikian Tommi memeliki nbanyak pengetahuan prosedural tetapi sedikit pengetahuan konseptual tentang konsep itu. Hal ini ditunjukkan juga ketika dia menginterpretasikan apa arti dari dengan grafik fungsi
h f h f h ) 1 ( ) 1 ( lim 0 ;
― Itu menyerupai turunan, tetapi (nilai dari penyebut) mungkin bernilai negatif, negatif satu. Itu mungkin derivatif suatu fungsi pada titik 1. – Bagaimana anda dapat nilai h disana, penyebut mendekati nol, itu sesuatu yang tidak baik.‖
Hal ini menunjukkan bahwa Tommi menginterpretasikan rumus turunan pada titik 1 sebab menyerupai rumus limit pembagian selisish (
1 ) 1 ( ) ( lim ) 1 ( ' 1 x f x f f x ). Dia
mengemukakan bahwa seharusnya bilangan pada penyebut adalah h-1 seperti yang diketahui dalam rumus. Dia juga mulai meragukan bagaimana melakukan proses kanselasi. Dengan demikian interpretasinya sangat prosedural. Ketia pewawancara membimbing dia untuk memperhatikan pada kasus khusus h = 0,5 dan memperhatikan perubahan pada nilai x dan y, dia dapat menginterpretasikan pembagian 5 , 0 2 , 1 ) 5 , 0 1 ( f
sebagai rata-rata perubahan dan menggambarkan garis secant yang bersesuaian. Jadi Tommi dapat menginterpretasikan secara atepat apa yang dimasud atau apa arti dari pembagian pada grafik ketika limit disajiakn sebagai suatu persoalan;
―(Menggambar garis secant melalui titik 0,1 dan 1.5 pada grafik) – Jika diambil sebagai contoh pada 0,1, maka sebelah san akan berniali 1,1. Dan ini akan lebih kecil daripada itu ( menunjukkan pada grafik mendekati titik 1). – ( menggunakan penggaris untuk menemukan titik yang berkorespondensi pada sumbu Y yaitu titik 1,1, menulis
1 , 0 2 , 1 ) 1 , 1 ( f = 1 , 0 2 , 1 09 , 1 = 1,1). Ini merupakan nilai rata-rata yang berubah apabilai suatu nilai mendekati nol ( titik pada grafik mendekati nol) maka mendekati 1 ( menunjukkan pada grafik pada 1).
Tommi mengetahui bahwa h mendekati nol dan dia dapat menghasilkan representasi simbolik dari pendekatan ini tapi dia agak kabur ketika
9
menginterpretasikan apa yang dimasudkannya pada gambar. Ini menunjukkn bahwa representasi Tommi tentang konsep limit pembagian selisih dan perubahan rata-rata tidak saling berkaitan.
Pemahaman Daniel
Daniel tidak memperhatikan pembagian selisih dalam wawancara sebelum dia menginterpretasikannya dari grafik fungsi apa yang dimaskud dengan
h f h
f(1 ) (1) .
― Misalkan nilai h adalah 1. – maka h disini adalah menjadi jarak ( menunjukan pada sumbu x pada [1,2]). Dari niali itu ( menunjukkan pada grafik di titik 2) kami mengurangi niali itu( menunjukkan pada grafik pada titik 2), dengan demikian ini merupakan suatu interval, selisih dari nilai-nilai ini (menunjukkan poada sumbu Y pada [1,2 ; 3,2]). Akibatnya pembagian dengan bagian yang lebih rendah (menunjukkan pada interval [1,2]). Bagaimana hal ini bisa terjadi? Saya mengasumsikan pasti dapat dihubungkan dengan garis (menggambar sketsa secant di udara). Oh ya.. selanjtnya ini ? Apa yang dimaksud dengan pembagians selisih? Ini pasti mendekati pembagian selisih (menggambar secant). Ini mendefsnisikan tangen jugfa. Saya tidak begitu yakin,tidak mengingat bahwa rumus pembagians selisih seperti ini, selenjutnya ini akan menjadi kemiringan dari suatu garis (menggambar secant). Ini muncul dari ini juga. Jarak ini ( menunjuk pada sumbu Y pada [1,2;3,2] dibagi oleh (menunjuk pada sumbu x pada [1,2]) – (menggambar secant). Ini menjadi kemiringan dari suatu garis. Ya seperti itu, rata-rata turunan dari interval itu‖.
Daniel menggunakan secant untuk mendekati tangen dan “ rata-rata turunan” ( dimana dia mengartikan sebagai sesuatu seperti perubahan rata-rata) sebagai representasi dari proses limit. Dia juga menggunakan kemiringan suatu garis melalui titik 1 dan 1 + h untuk memahami pembagian. Konsep itu dan tangen dihubungkan melalui pembagian selisih. Dia menggunakan verbalisasinya sendiri “ turunan rata-rata” untuk menjelaskannya. Setyelah itu dia dapat menginterpretasikan apa yang dimaksud dengan limit sebagai pembagian h menuju nol;
“Apa artinya limit ? Jika h menuju nol. Lebih jelasnya turunan pada titik ini (menunjuk pad sumbu x pada x=1) adalah yang diinginkan. Sebab h adalah jarak ini dan jika menuju nol maka ha akan nol disini (menunjuk grafik pada 1), sehingga akan memperoleh titik ini, anda akan mendapat nilai tangen disini (menggambarkan tangen), kemiringan akan muncul dari rumus itu (menunjuk pada rumus yang diinginkan). Sehingga anda akan memperoleh turunan disini‖.
10
Seperti dapat dilihat bahwa Daniel memeiliki koneksi yang kuat antara proses limit dan limit pembagian selisih. Daniel menggunakan proses limit dan rumus yang diberikan (limit pembagian selisih) untuk dapat saling menjelaskan . Sehingga Daniel memiliki banyak pengetahuan konseptual, tetapi dia memiliki pengetahuan prosedural yang lemah. Dia tidak menggunakan limit pembagians selisih untuk menghitung turunan selama berlangsungnya wawancara. Dan sebelumnya dia berhasil menginterpretasikan dia ditanya apakah dia dapat menghitung turunan fungsi f(x) 2x pada titik x = 1 berdasarkan interpretasinya, ternyata dia tidak dapat menggunakan limit pembagian selisih. Dengan demikian berdasarkan Teori APOS Daniel hanya berada pada tingkat Action .
Pemahaman Samuel
Pada waktu wawancara Samuel pertama-tama menggunakan metode untuk mengestimasi fungsi f(x) 2x pada titik x= 1. sebagai berikut;
― (Menulis rumus 1 2 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( x x f x f x Df x
). Anda tidak dapat meyederhanakan bentuk saat ini (menunjuk pada pembiolang dan penyebut), sebab nilai ini akan berniali nol.—Anda harus menemukan faktor umum disini (menunjuk pada penyebut). – jika anda dapat menemukan faktor umum disini dan faktor lain akan menjadikan x minus 1, maka anda dapat mengkanselasi. – selanjutnya anda dapat mengsubstitusi 1 oleh yang berada di sebelah kiri‖.
Dari wawancara tersebut tercermin bahwa Samuel mengetahui bagaimana menggunakan limit pembagian selisish dan dia dapat menjelaskan langkah demi langkah walaupun notasinya tidak cukup. Berdasarkan teori APOS dia berada pada tingkat Process. Samuel memiliki pengetahuan prosedural yang baik tentang konsep limit pembagian selisih tapi dia juga memiliki banyak pengetahuan konseptual sebab walaupun proses kanselasinya tidak berhasil dia dapat mengestimasi niali turunan. Dia menghitung pembagian selisih berdasar interval [0,9;1], [0,99;1], dan [0,999;1] dan hasil estimasinya „mendekati 1,4” . Setelah dia menggunakan tangen untuk menjelaskan limit pembagian selisih dan menggunakan secant untuk nilai tangen untuk menjelaskan pembagian selisih;
Pewawancara : Menceritakan apa ( pembagian selisih atas interval) pada suatu fungsi? Jika ini (limit pembagian selisish) adalah turunan dan ini bukan benar-benar turunan, Apa artinya?
11
Samuel : (Menggambar grafik dan suatu tangen). Ini berarti begini ( Menggambar tiga garis secant yang mendekati garis tangen). Mereka mendekati secara konstan untuk turunan yang tepat.
Pewawancara : Ya..ya, Apa anda memliki penjelasan lain?
Samuel : Tidak, baik, ini disebabkan anda tidak bisa mensubstitusi nilai 1 di sini, sebab ini akan mengakibatkan nol disini, tapi ini dapat diganti hanya untuk yang mendekati … ya mendekati satu, tapi tidak pernah bernilai satu(menunjuk pada 0,999), selanjutnya ini tidak akan menjadi nol dan anda dapat menghitung ini, oleh karena itu mengapa ini didekati.
Representasi yang kuat ini tentang proses limit memungkin Samuel mengestimasi turunan dengan sangat tepat dan dia juga memahami bagaimana representasi ini berkaitan dengan representasi simbolik dari limit pembagian selisih. Samuel menggunakan representasi dan koneksi yang sama ketika dia menginterpretasikan dari grafik fungsi ke arti dari bentuk
h f h
f(1 ) (1) ;
― Sebagai contoh 0,2, maka nilainya adalah 1,2 (menunjuk pada 1+h pada rumus). – Ini atau pada titik satu. Maka ini 1,2 (Diam). Ya.. Ini akan menjadi turunan (menggambar tangen pada titik 1). Serlanjutnya . Mm. Jika ini bernilai 1,2 maka nilai ini menuju 1. -- Jika kita sumsikan bahwa ini adalah 0,2, maka nilai fungsinya 1,2 (menunjuk pada 1 + h pada rumus). Maka ini ( menunjuk pada penyebut) adalah 1,2 kurang 1 adalah 0,2, niali ini adalah h. Ini bukan turunan, tapi ini sesuatu yang mungkin bernilai apa saja. Dan mungkin berniali negatif. Baiklah ini sesuatu melalui ini dan meungkin melampauinya sekitar turunan yang benar (menggambar dua garis secant). Ini bisa juga banyak, jika anda menambah banyak bilangan disini. – Sesuatu yang selanjutnya akan mendekati turunan yang benar‖.
Di atas adalah ide kunci dari pemahaman Samuel bahwa h = h+1 –1. Jika digambarkan kembali, dia kelihatannya memandang bentuk
h f h f(1 ) (1) sebagai 1 2 , 1 ) 1 ( ) 2 , 1 ( f f
yang merupakan pembagian selisih menurut dia. Dan pembagian selisish sangat kuat berkoneksi pada garis secant yang mendekati garis tangen. Dia juga menginterpretasikan limit pembagians elisih menjadi turunan dari soal 2b. Samuel meiliki koneksi dari limit pembagian pada tangen, tetapi tidak menghitung algoritmanya berdasarkan geometri analitik dalam menghitung kemiringan dari tangen karena dia mencoba untuk mengestimasi nilai limit pembagian pada 2b oelh
12 „ h f h f h ) 1 ( ) 1 ( lim 0 = 0,1 ) 1 ( ) 1 , 0 1 ( f f
”, tapi tidak dengan kemiringan dari garis tangen. Juga situasi lain selama wawancara dia tidak mengetahui bagaimana menhitung kemiringan dari gambar tangen tanpa menghitung turunannya.
G. Kesimpulan
Kelima mahasiswa mempunyai beberpa pengetahuan prosedural dari limit pembagian selisih. Menurut Teori APOS Susanna, Niina dan Daniel berada hanya pada tingkat Action, tetapi Tommi dan Samuel berada pada tingkat Process. Teori APOS ditemukan berguna untuk menganalisa prosuder pemahaman mahasiswa pada reprsentasi tertentu pada suatu konsep (limit pembagian selisih) tetapi pemahaman dari keseluruhan konsep (turunan) mungkin terlalu luas untuk dianalisa menggunakan Teori APOS. Sebagai contoh Hahkioniemi (2004) menemukan bahwa seorang mahasiswa yang mungkin berada pada tingkat yang berbeda dalam Teori APOS dengan representasi yang berbeda pada konsep yang sama. Ketika menganalisa pengetahuan konseptual representasi yang berbeda dan koneksinya harus diperiksa lebih jauh. Sebagaimana kami lihat, kelima mahasiswa memiliki reprsentasi yang berbeda tentaas proses limit tetpai mereka juga memiliki koneksi yangberbeda untuk representasi simbolik unruk konsep tersebut. Paling tidak dua macam koneksi telah diobservasi dalam wawancara. Susanna dan Tomi telah mengasosiasikan prosedur limit pembagian selisih kepada pendekatan representasinya. Koneksi ini seperti yang dikemukakan oleh Goldin dan Kaput (1996) adalah hubungan yang lemah karena mahasiswa hanya dapat memprediksi, mengidentifikasi, atau menghasilkan suatu kaitan dari representasi yang diberikan. Mahasiswa-mahasiswa tersebut mengetahui bahwa dua representasi menyajiakn hal yang sama tetapi mereka tidak mengerti bagaimana bisa terjadi. Berbeda dengan Daniel dan samuel yang menggunakan reprsentasinya untuk menjelaskan representasi simbolik untuk konsep tersebut. Koneksi ini dapat dibandingkan dengan Goldin dan kaput (1996) adalah hubungan yang kuat karena ketika diberikan suatu aksi pada suatu representasi, mahasiswa dapat memprediksikan, mengidentifikasi, atau menghasilkan suatu hasil yang berkaitan dengan aksi. Koneksi semacam ini berarti bahwa mahasiswa juga memahami pada tingkat yang sama mengapa reprsentasi merepresentasikan hal yang sama.
13
Analisa pemahaman mahasiswa dengan cara ini, menemukan bahwa mahasiswa memiliki pemahaman yang berbeda tentang limit pembagian selisih. Khususnya perbandingan antara Daniel dan Tommi merupakan hal yang menarik sebab Tommi memiliki banyak pengetahuan prosedural tetapi memiliki sedikit pengetahuan konseptual, tetapi Daniel memiliki sebaliknya. Sememtara Niina dan Sussana memiliki sedikit keduanya dan Samuel memiliki kedua pengetahuan, ini memungkinkan untuk memiliki setiap kombinasidari kedua pengetahuan tersebut.
Catatan : Makalah ini merupakan terjemahan dari jurnal yang berjudul “ Is There a limit in The derivative? – Exploring Students’ Understanding of The Limit of The Difference Quotient ― yang ditulis oleh Markus Hahkioniemi dari University of Jyvaskyla, Finlandia tahun 2004.
