BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Permasalahan
Perkembangan ilmu pengetahuan dewasa ini tidak lepas dari kompleknya permasalahan hidup manusia. Salah satu ilmu yang berkenaan dengan hal tersebut adalah statistika. Statistika merupakan ilmu pengkajian data. Statistika menawarkan suatu konsep ilmiah bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menginteprestasi, dan merepresentasikan data. Analisa statistika diharapkan dapat membantu menjawab permasalahan data. Permasalah dalam statistika biasanya di dirumuskan dalam variabel random. Namun demikian, masalah yang sering dialami oleh statistikawan dalam mempelajari statistika adalah menentukan statistik. Statistik pada dasarnya merupakan fungsi dari sampel yang berguna untuk meringkas daftar panjang kumpulan sampel. Hasil analisis statistik lebih lanjut digunakan dalam berbagai kepentingan statistika.
Analisis statistika yang cukup populer adalah analisis regresi. Regresi dapat diartikan hubungan sebuah variabel random dengan beberapa variabel random lainnya. Secara umum variabel random dalam regresi diklasifikasikan menjadi dua yakni variabel respon dan variabel prediktor. Analisis regresi merupakan analisa statistika yang digunakan untuk menjelaskan hubungan antara sebuah variabel respon dengan satu ataupun lebih variabel prediktor. Jenis data berpengaruh sangat berpengaruh terhadap analisis regresi. Salah satu hubungan yang sangat populer adalah hubungan linier. Kelinieran dalam regresi direpresentasikan dalam model linier. Kelinieran dalam suatu model regresi pada umumnya merupakan asumsi yang diberikan beserta beberapa asumsi distribusi untuk komponen model. Salah satu analisis regresi yang mempertahankan struktur model linier adalah analisis Regresi Logistik.
Analisis regresi logistik merupakan analisis statistika yang menjelaskan hubungan antara variabel respon yang dengan tipe kualitatif (dikotomus) dengan satu atau beberapa variabel prediktor (baik metrik ataupun non-metrik). Regresi logistik sangat banyak digunakan untuk kepentingan analisis statistika. Regresi
logistik pada dasarnya merupakan salah satu model regresi nonlinier. Linierisasi terhadap model regresi logistik dilakukan dengan trasformasi yang dalam kasus ini lebih dikenal transformasi logit. Untuk kepentingan analisis, model-model regresi dikembangkan secara lebih general. Nelder dan Wedderburn (1972) mengembangkan suatu metode yang dapat digunakan untuk melakukan beberapa analisis lebih lanjut yang dikenal sebagai Generalized Liniear Models (GLMs). Tujuan utama dari pengembangan metode ini, adalah untuk menyatukan berberapa analisis statistika dalam suatu model. Metode ini mencangkup analisa regresi linier, logistik, dan beberapa model non-linier.
Perkembangan Statistika tidak lepas dari perkembangan struktur data yang lebih komplek. Struktur data yang dimaksud adalah struktur data berhirarki atau sering disebut multilevel. Untuk kepentingan analisa statistika, dikembangkan analisis regresi multilevel. Analisa regresi multilevel dikembangkan oleh Goldstein (1987). Terdapat beberapa masalah yang dikaji terkait regresi multilevel. Beberapa masalah terkait model tersebut antara lain model regresi multilevel. Secara umum model regresi multilevel dapat dibagi dalam dua bagian yakni efek tetap dan efek random. Efek tetap pada regresi multilevel mencakup koefisien regresi multilevel dan varibel prediktor, sedangkan efek random atau parameter random yang merupakan variansi dan kovariansi pada setiap level. Kedua efek tersebut lebih dikenal sebagai efek campuran. Untuk kepentingan analisis statistika yang berkaitan dengan model-model linier terkait regresi multilevel, dikembangkan suatu model yang merupakan perluasan dari GLMs yang dikenal dengan nama Generalized Linear Mixed Models (GLMMs).
Salah satu struktur multilevel yang populer adalah struktur data pengukuran berulang. Struktur data pengukuran berulang sendiri terjadi jika individu atau unit yang sama diukur lebih dari satu kali pengukuran. Hal ini jelas terlihatnya suatu struktur data berhirarki dimana pengukuran berulang yang dilakukan bersarang pada individu atau unit yang sama. Individu merepresentasikan unit pada level-2 sedangkan pengukuran sebagai level-1. Seiring dengan kebutuhan manusia akan analisa statistika dikembangkan pula Regresi Logistik Multilevel untuk Data Pengukuran Berulang. Oleh karena itu
pengembangan GLMMs memberikan kontribusi dalam analisa yang dilakukan. Kondisi ini melahirkan beberapa metode estimasi untuk analisa lebih lanjut yakni Gauss Hermite quadratur, Laplace Approximation, dan Penalized Quasi-Likelihood (PQL).
Estimasi parameter yang optimal dalam kasus regresi logistik dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode PQL sangat membantu dalam melakukan estimasi parameter dalam kasus regresi logistik multilevel. Metode PQL mengalami perkembangan secara teoritis hingga saat ini dapat digunakan. Metode ini pada awalnya dikembangkan oleh Breslow dan Clayton (1993). Seiring dengan perkembangan teoritis, metode PQL yang banyak dikenal saat ini merupakan metode numerik. Prosedur yang sangat popular digunakan diperkenalkan oleh Goldstein (1991). Goldstein (2011) menjelaskan adanya dua prosedur iteratif yang diterapkan dalam metode PQL. Prosedur pertama adalah Iterative Generalized Least Square (IGLS) yang dalam perkembangannya dianggap bersifat bias terhadap variansi. Untuk memperoleh variansi yang bersifat tak-bias maka digunakanlah metode estimasi Resticted (residual) Maximum Likelihood (REML). Oleh karena itu, Goldstein menawarkan prosedur iteratif yang baru yang dikenal dengan Restricted (residual) Iterative Generalized Least Square (RIGLS) yang bersifat tak bias terhadap varisansi.
Dalam penulisan tesis ini akan dijelaskan analisis regresi logistik multilevel untuk data pengukuran berulang dengan menggunakan metode estimasi PQL berda-sarkan prosedur RIGLS. Studi kasus yang dilakukan dengan memanfaatkan data sekunder milik Rusmining (2015) yakni nilai mahasiswa Fakultas Keguruan dan Ilmu Kependidikan (FKIP) jurusan matematika Universitas Ahmad Dahlan. Nilai yang digunakan adalah nilai pre-test, tugas, dan post-test mahasiswa semester ganjil yang menempuh mata kuliah Aljabar Linier. Dalam studi kasus yang digunakan paket program yang digunakan adalah MLwiN 2.36. MLwiN program khusus yang digunakan untuk melakukan analisa terkait regresi multilevel. Selain itu MLwiN merupakan program yang direkomendasikan oleh Goldstein dalam melakukan analisis regresi multilevel.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penulisan tesis ini adalah:
1. Menyajikan suatu teknik dalam statistika, yaitu analisis regresi logistik multilevel untuk data pengukuran berulang.
2. Menyajikan metode estimasi parameter menggunakan metode PQL dan REML yang mendasari prosedur RIGLS.
3. Memperoleh persamaan model terbaik yang merepresentasikan data untuk studi kasus yang dilakukan
Manfaat penulisan tesis adalah:
1. Memperoleh model yang dapat menjelaskan pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respons.
2. Memberikan kontribusi terhadap dosen atau guru pengajar terkait pemilihan ataupun pengembangan model pembelajaran yang akan diterapkan.
3. Sebagai studi lebih lanjut terhadap efek random untuk data multilevel.
1.3 Batasan Masalah
Pada penulisan tesis ini, regresi logistik multilevel untuk data pengukuran berulang dibatasi pada model random intersep untuk dengan struktur 2 level. Terkait dengan penggunaan metode PQL, linierisasi dilakukan dengan memanfaatkan ekspansi deret Taylor orde pertama atau disebut PQL1.
1.4 Tinjauan Pustaka
Model regresi multilevel pertama kali dikembangkan oleh Goldstein (1987). Oleh karena itu, pendalaman model yang digunakan terkait data multilevel ditinjau dari buku yang ditulis oleh Goldstein (2011) yang memaparkan tentang contoh pengunaan dan sistematika model untuk data berhirarki dan estimatornya. Model-model linier yang merupakan model utama dari analisis regresi ditinjau dari buku ditulis oleh Rencher, et.al. (2008), sedangkan pengembangan model-model non-linier yang digunakan menggunakan buku yang ditulis oleh Agresti
(2002). Terkait prosedur iterasi RIGLS yang merupakan salah satu prosedur PQL dikaji dalam Goldstein (2011) dan Goldstein (1988).
1.5 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian pada penulisan tesis ini merupakan studi literatur. Sumber yang digunakan dalam penyusunan tesis ini bersumber dari buku-buku dan jurnal-jurnal yang membahas topik terkait. Untuk pendukung pemahaman lebih lanjut menggunakan jurnal dan sumber-sumber lain yang diperoleh dari internet. Rangkaian penelitian yang dilakukan diawali dengan pengkajian terhadap jurnal yang ingin diteliti. Jurnal yang dikaji pada penulisan tesis ini terinspirasi dari jurnal Yau, et.al. (2015). Jurnal tersebut, mengkaji data untuk model dengan respon ordinal dengan metode estimasi PQL dan REML. Adapun jurnal pendukung yang dikaji dari Leeden (1998) yang memaparkan tentang analisis regresi multilevel untuk data pengukuran berulang.
Langkah awal yang dilakukan adalah mentukan model yang akan digunakan dalam analisis regresi multilevel. Model yang digunakan dalam kasus ini adalah model random intersep. Dilain sisi, konsep regresi multilevel merupakan model campuran yang dibawa ke dalam model linier. Untuk itu, terkait regresi multilevel yang merupakan model campuran, model ini dibawa dalam pada model yang lebih umum yakni GLMMs. Keuntungan dari penggunaan model umum ini adalah dapat dilakukan estimasi terhadap parameter-parameter yang akan dicari untuk model. Struktur log-likelihood GLMMs yang rumit untuk dilakukan estimasi, mendorong untuk melakukan estimasi dengan memanfaatkan metode PQL.
Metode PQL merupakan metode estimasi parameter dalam konteks multilevel yang diperoleh dengan memanfaatkan proses iteratif. Terdapat dua prosedur iteratif yang digunakan untuk melakukan pendekatan numerik. Prosedur yang dimaksud adalah IGLS dan RIGLS. IGLS bersifat bias terhadap variansi, oleh karena itu digunakan prosedur RIGLS dimana variansi diperoleh dengan pendekatan REML yang tak bias terhadap variansi. Perangkat pengolahan data yang menunjang untuk melakukan estimasi adalah MLwiN 2.36. Program
MLwiN merupakan perangkat pengolahan data yang secara khusus dikembangkan untuk melakuakan estimasi parameter dalam regresi multilevel. Program tersebut menjadi rujukan untuk melakukan analisis data dengan srtuktur multilevel dalam Goldstein (2011).
1.6 Sistematika Penulisan
Tesis ini disusun dengan sistematika sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN
Bagian ini membahas tentang latar belakang permasalahan terkait topik yang akan dikaji. Tujuan dan manfaat penulisan tesis yang merupakan ekspektasi yang ingin dicapai dalam penulisan tesis. Tinjauan pustaka berisi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menambah pemahaman serta kajian lebih lanjut atas penyelesaian tesis. Metodologi sebagai kegiatan dan prosedur penelitian yang digunakan. Sistematika penulisan sebagai gambaran umum isi tesis.
BAB II LANDASAN TEORI
Bagian ini membahas teori-teori dasar yang terkait analisa yang akan dilakukan. Tesis ini menggunakan model regresi logistik multilevel pengukuran berulang 2-level, maka kajian tentang model regresi logistik dan model regresi multilevel untuk 2-level yang menjadi dasar menjadi perhatian.
BAB III RENCANA PENELITIAN
Bagian ini membahas langkah-langkah pengerjaan tesis beserta jadwal pengerjaan tesis.
BAB IV HASIL SEMENTARA
Bagian ini bertujuan untuk memaparkan bagaimana estimator itu diperoleh yakni dengan metode PQL dengan prosedur iteratif RIGLS. Analisis terkait regresi multilevel dengan pengukuran berulang akan dibahas lebih lanjut.
