II.B. Sistem Waktu Diskrit docx

(1)

Bab 2a

Sinyal-sinyal Waktu Diskrit

Kuliah PSD 01 (MFS4617)

agfi@ugm.ac.id

agfi@ugm.ac.id II.A. Sinyal-sinyal Waktu Diskrit 2

Sinyal Waktu Diskrit

• Kategori sinyal:

– Sinyal

analog

x

a

(t)

t bisa sembarang besaran fisik apapun

untuk PSD dianggap sebagai besaran waktu (detik);

– Sinyal

digital

x(n)

n

merupakan bilangan bulat yang

menyatakan instan diskrit dalam waktu

sinyal waktu-diskrit

;

• Tanda panah ke-atas

cuplikan saat n=0;

Macam-macam Deret:

1. Deret Cuplik satuan –

unit sample

• Fungsi

zeros(1,N)

(2)

Macam-macam Deret:

1. Deret Cuplik satuan –

unit sample

Macam-macam Deret:

2. Deret Langkah Satuan –

unit step

• Fungsi

ones(1,N)

digunakan untuk

menghasilkan sebuah

vektor baris dengan

data satu (‘1’)

sebanyak N;

Macam-macam Deret:

(3)

Macam-macam Deret:

3. Deret Eksponensial Nilai-Real –

Real-valued exponential

Macam-macam Deret:

3. Deret Eksponensial Nilai-Real –

Real-valued exponential

Macam-macam Deret:

4. Deret Eksponensial Nilai-Kompleks –

(4)

Macam-macam Deret:

4. Deret Eksponensial Nilai-Kompleks –

Complex-valued exponential

Macam-macam Deret:

5. Deret Sinusoidal

• :

merupakan fase

dalam radian;

• Untuk implementasi

deret…

Macam-macam Deret:

(5)

Macam-macam Deret:

6. Deret Acak

• Dicirikan dengan

PDF

–

Probability

Density Function;

• Menggunakan

rand(1,N)

:

– Deret acak dengan panjang N terdistribusi

merata (

uniformly distributed

) antara 0-1;

• Menggunakan

randn(1,N)

:

– Deret acak Gaussian dengan rerata 0 dan

varians 1;

Macam-macam Deret:

6. Deret Acak

Macam-macam Deret:

7. Deret Periodik

• Sebuah deret

dikatakan periodik jika

n

N

n

x

n

(6)

Macam-macam Deret:

7. Deret Periodik

Operasi Deret:

1-Penjumlahan sinyal

function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2) % implements y(n) = x1(n)+x2(n) % ---% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)

% y = sum sequence over n, which includes n1 and n2 % x1 = first sequence over n1

% x2 = second sequence over n2 (n2 can be different from n1) %

n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % duration of y(n) y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; % initialization

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; % x1 with duration of y y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; % x2 with duration of y

y = y1+y2; % sequence addition

Operasi Deret:

2-Perkalian sinyal

function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2) % implements y(n) = x1(n)*x2(n) % ---% [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)

% y = product sequence over n, which includes n1 and n2 % x1 = first sequence over n1

% x2 = second sequence over n2 (n2 can be different from n1) %

n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % duration of y(n) y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %

y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; % x1 with duration of y y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; % x2 with duration of y

(7)

Operasi Deret:

3-Penskalaan sinyal

• Masing-masing cuplikan dikalikan dengan suatu

konstanta;

• Menggunakan operator ‘

*

’ pada MATLAB;

Operasi Deret:

4-Penggeseran sinyal

• Masing-masing cuplikan x(n) digeser sebanyak k

sehingga dihasilkan y(n)

y(n)={x(n-k)}

;

• Jika

m=n-k

n=m+k

y(m+k)={x(m)}

;

• Dengan demikian, operasi tidak berpengaruh pada

vektor x, tetapi vektor n berubah dengan menambahkan

nilai k pada masing-masing elemen:

function [y,n] = sigshift(x,m,n0)

% implements y(n) = x(n-n0)

%

---% [y,n] = sigshift(x,m,n0)

%

n = m+n0; y = x;

Operasi Deret:

5-Pelipatan sinyal

• Pada operasi ini, tiap-tiap cuplikan dari x(n)

dilipat pada n=0

y(n) = {x(-n)};

• Untuk MATLAB digunakan bantuan fungsi

fliplr

untuk melipat x dan

–fliplr

untuk

melipat indeks-nya:

function [y,n] = sigfold(x,n)

% implements y(n) = x(-n)

%

---% [y,n] = sigfold(x,n)

%

(8)

Operasi Deret:

6-Penjumlahan cuplikan

• Operasi ini berbeda dengan penjumlahan sinyal,

karena yang dijumlahkan adalah tiap-tiap

elemen dalam x(n) (semuanya)

y(n):

• Gunakan

sum(x(n1:n2));

dalam MATLAB;

Operasi Deret:

7-Perkalian cuplikan

• Operasi ini berbeda dengan perkalian sinyal,

karena yang dikalikan adalah tiap-tiap elemen

dalam x(n) (semuanya)

y(n):

• Gunakan

prod(x(n1:n2));

dalam MATLAB;

Operasi Deret:

8-Energi Sinyal

• Tanda bintang pada x(n) merupakan tanda konjugasi

kompleks

perhatikan penempatan tandanya…

x

*

_(n)

konjugasi (

superscript

), MATLAB-nya:

(9)

Operasi Deret:

9-Daya Sinyal

• Daya rerata dari suatu sinyal periodik dengan

periode dasar N…

Contoh 2.1: Pertanyaan

Contoh 2.1: Jawaban (a)

n = [-5:5];

**x = 2*impseq(-2,-5,5)-impseq(4,-5,5);**

stem(n,x);

title('Sequence in Example 2.1a');

xlabel('n');

(10)

Contoh 2.1: Jawaban (a)

Contoh 2.1: Jawaban (b)

n = [0:20];

**x1 = n.*(stepseq(0,0,20)-stepseq(10,0,20));**

x2 =

**10exp(-0.3(n-10)).*(stepseq(10,0,20)-stepseq(20,0,20));**

x = x1+x2;

stem(n,x);

title('Sequence in Example 2.1b');

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

axis([0,20,-1,11])

(11)

Contoh 2.1: Jawaban (c)

n = [0:50];

**x = cos(0.04pin)+0.2*randn(size(n));**

stem(n,x);

title('Sequence in Example 2.1c');

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

axis([0,50,-1.4,1.4])

Contoh 2.1: Jawaban (c)

Contoh 2.1: Jawaban (d)

n=[-10:9];

x=[5,4,3,2,1];

**xtilde=x' * ones(1,4);**

xtilde=(xtilde(:))';

stem(n,xtilde);

(12)

Contoh 2.1: Jawaban (d)

Contoh 2.1: Jawaban (a,b,c dan d)

(13)

Contoh 2.2: Jawaban (a)

[x11,n11] = sigshift(x,n,5);

[x12,n12] = sigshift(x,n,-4);

**[x1,n1] = sigadd(2x11,n11,-3x12,n12);**

stem(n1,x1);

title('Sequence in Example 2.2a')

xlabel('n');

ylabel('x1(n)');

axis([min(n1)-1,max(n1)+1,min(x1)-1,max(x1)+1])

set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[min(n1),0,max(

n1)])

Contoh 2.2: Jawaban (a)

Contoh 2.2: Jawaban (b)

[x21,n21] = sigfold(x,n);

[x21,n21] = sigshift(x21,n21,3);

[x22,n22] = sigshift(x,n,2);

[x22,n22] = sigmult(x,n,x22,n22);

[x2,n2] = sigadd(x21,n21,x22,n22);

stem(n2,x2);

title('Sequence in Example 2.2b')

xlabel('n'); ylabel('x2(n)');

axis([min(n2)-1,max(n2)+1,0,40])

(14)

Contoh 2.2: Jawaban (b)

Contoh 2.2: Jawaban (a dan b)

(15)

Contoh 2.3: Jawaban

n = [-10:1:10]; alpha = -0.1+0.3j;

**x = exp(alpha*n);**

subplot(2,2,1); stem(n,real(x));

title('real part');xlabel('n')

subplot(2,2,2); stem(n,imag(x));

title('imaginary part');xlabel('n')

subplot(2,2,3); stem(n,abs(x));

title('magnitude part');xlabel('n')

**subplot(2,2,4); stem(n,(180/pi)*angle(x));**

title('phase part');xlabel('n')

Contoh 2.3: Jawaban

Beberapa hasil Penting…

• Sintesa cuplikan satuan (

unit

sample synthesis

)

sembarang deret x(n) dapat

disintesa sebagai jumlahan

deret cuplik satuan berbobot,

tertunda dan terskala

• Sintesa ganjil & genap (

even

& odd synthesis

)

deret

bilangan-nyata x(n) dinamakan

genap (even) jika:

x

e

(-n) = x

e

(n)

• Dinamakan ganjil (odd) jika:

(16)

Beberapa hasil Penting…

• Dengan demikian sembarang deret

x(n)

dapat di-dekomposisi menjadi komponen

genap dan ganjil:

x(n) = x

_e

(n) + x

_o

(n)

• dengan bagian genap dan ganjilnya:

x

_e

(n) = ½ [x(n)+x(-n)]

x

o

(n) = ½ [x(n)-x(-n)]

• Matlabnya…

Beberapa hasil Penting…

function [xe, xo, m] = evenodd(x,n)

% Real signal decomposition into even and odd parts

%

---% [xe, xo, m] = evenodd(x,n)

%

if any(imag(x) ~= 0)

error('x is not a real sequence')

end

m = -fliplr(n);

m1 = min([m,n]); m2 = max([m,n]); m = m1:m2;

nm = n(1)-m(1); n1 = 1:length(n);

x1 = zeros(1,length(m));

x1(n1+nm) = x; x = x1;

**xe = 0.5*(x + fliplr(x));**

**xo = 0.5*(x - fliplr(x));**

(17)

Contoh 2.4: Jawaban

n = [0:10];

x = stepseq(0,0,10)-stepseq(10,0,10);

[xe,xo,m] = evenodd(x,n);

subplot(1,1,1)

subplot(2,2,1); stem(n,x);

title('Rectangular pulse')

xlabel('n'); ylabel('x(n)'); axis([-10,10,0,1.2])

subplot(2,2,2); stem(m,xe); title('Even Part')

xlabel('n'); ylabel('xe(n)'); axis([-10,10,0,1.2])

subplot(2,2,4); stem(m,xo); title('Odd Part')

xlabel('n'); ylabel('xe(n)');

axis([-10,10,-0.6,0.6])

Contoh 2.4: Jawaban

Beberapa hasil Penting…

• Deret Geometrik

(

Geometric Series

)

deret eksponensial

satu-sisi dalam

bentuk {

J

n

_{, n}

_K

_0},

dengan

J

merupakan

konstanta

sembarang;

(18)

Beberapa hasil Penting…

• Korelasi Deret

(

correlations of

sequences

)

mengukur derajat

kesamaan dua deret;

• Definisi

kroskorelasi…

• Definisi

autokorelasi…

• Akan dibahas nanti…

Bersambung...

• Berikutnya...

(19)

Bab 2b

Sistem-sistem Waktu Diskrit,

Konvolusi dan Persamaan Beda

Kuliah PSD 01 (MFS4617)

agfi@ugm.ac.id

agfi@ugm.ac.id II.B. Sistem Waktu Diskrit, Konvolusi dan PB

2

Pendahuluan

• Sistem diskrit

dinyatakan dengan

operator T[.] yang membawa deret x(n)

(eksitasi) menjadi deret lain y(n) (tanggap

atau

response

)

y(n) = T[x(n)];

• Sistem diskrit

sinyal masukan menjadi

sinyal keluaran;

• Sistem diskrit:

– Linear, dan

– Non-inear

agfi@ugm.ac.id II.B. Sistem Waktu Diskrit, 3

Sistem Linear

prinsip

superposisi

(20)

4

Sistem Linear

Time-Invariant

• Linear Time-Invariant

(LTI)

sistem yang pasangan masukan dan

keluarannya, x(n) dan y(n), tidak berubah terhadap penggeseran n:

• Bisa juga dituliskan sebagai:

• Tanggap impuls sistem dinyatakan oleh h(n)

penjumlahan

konvolusi linear:

•

5

Linear

Time-Invariant

• Dengan demikian

sistem LTI dinyatakan dalam ranah waktu

melalui tanggap impuls-nya h(n):

• Stabilitas

dikatakan stabil BIBO (input

Bounded-output):

• atau jika tanggap impuls-nya dapat dijumlah secara absolut:

• Kausalitas

untuk memastikan sistem dapat dibuat:

(21)

7

Solusi Contoh 2.5

8

Solusi Contoh 2.5

n = -5:50;

u1 = stepseq(0,-5,50); u2=stepseq(10,-5,50); % input x(n)

x = u1-u2;

% impulse response h(n) h = ((0.9).^n).*u1; subplot(1,1,1)

subplot(2,1,1); stem(n,x); axis([-5,50,0,2]) title('Input Sequence')

xlabel('n'), ylabel('x(n)')

subplot(2,1,2); stem(n,h); axis([-5,50,0,2]) title('Impulse Response')

xlabel('n'), ylabel('h(n)'); pause % output response

y = (10*(1-(0.9).^(n+1))).*(u1-u2)+(10*(1-(0.9)^10)*(0.9).^(n-9)).*u2; subplot(1,1,1)

subplot(2,1,2); stem(n,y); axis([-5,50,0,8]) title('Output Sequence')

(22)

10

Solusi Contoh 2.5

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

11

Solusi Contoh 2.5

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

(23)

13

Konvolusi Grafis

% input x(n)

x = [3,11,7,0,-1,4,2]; nx = [-3:3];

% impulse response h(n)

h = [2,3,0,-5,2,1]; nh = [-1:4];

subplot(1,1,1)

% plot x(k) and h(k)

subplot(2,2,1); stem(nx-0.05,x); axis([-5,5,-6,12]);

hold on; stem(nh+0.05,h,':')

title('x(k) and h(k)');xlabel('k');

text(-0.5,11,'solid: x dashed: h'); hold off

% plot x(k) and h(-k)

subplot(2,2,2); stem(nx-0.05,x); axis([-5,5,-6,12]);

hold on; stem(-fliplr(nh)+0.05,fliplr(h),':')

title('x(k) and h(-k)');xlabel('k');

text(-0.5,-1,'n=0')

text(-0.5,11,'solid: x dashed: h'); hold off

14

Konvolusi Grafis

% plot x(k) and h(-1-k)

subplot(2,2,3); stem(nx-0.05,x); axis([-5,5,-6,12]);

hold on; stem(-fliplr(nh)+0.05-1,fliplr(h),':')

title('x(k) and h(-1-k)');xlabel('k');

text(-1.5,-1,'n=-1')

text(-0.5,11,'solid: x dashed: h'); hold off

% plot x(k) and h(2-k)

subplot(2,2,4); stem(nx-0.05,x); axis([-5,5,-6,12]);

hold on; stem(-fliplr(nh)+0.05+2,fliplr(h),':')

title('x(k) and h(2-k)');xlabel('k');

text(2-0.5,-1,'n=2')

text(-0.5,11,'solid: x dashed: h'); hold off

Solusi Contoh 2.6

(24)

16

Konvolusi: Implementasi MATLAB

• Menggunakan fungsi

conv()

;

• y = conv(x,h);

• Merujuk contoh 2.3:

– x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2];

– h = [2, 3, 0, -5, 2, 1];

– y = conv(x,h);

• Perhatikan hasilnya…!

• Agar diperoleh informasi waktu (diskrit):

• Sehingga:

17

Konvolusi: Implementasi MATLAB

function [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)

% Modified convolution routine for signal processing

%

---% [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)

%

y = convolution result

% ny = support of y

%

x = first signal on support nx

% nx = support of x

%

h = second signal on support nh

% nh = support of h

%

nyb = nx(1)+nh(1); nye = nx(length(x)) + nh(length(h));

ny = [nyb:nye];

y = conv(x,h);

Contoh 2.7: Penggunaan conv_m()

untuk contoh 2.6

>> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]; nx = [-3:

3];

>> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1]; nh = [-1: 4];

>> [y,ny] = conv_m(x,nx,h,nh)

y =

6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2

ny =

(25)

19

Korelasi: ditinjau kembali

• Kroskorelasi

r

_yx

(l)

menggunakan

persamaan:

r

xy

(l) = y(l) x(-l)*

• Sedangkan

autokorelasi

r

_xx

(l)

menggunakan persamaan:

r

xx

(l) = x(l) x(-l)*

• Perhatikan contoh 2.8 berikut…

20

Contoh 2.8

Solusi Contoh 2.8

>> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]'; >> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1]'; >> [y,H] = conv_tp(h,x)

(26)

22

Solusi Contoh 2.8

H =

23

Persamaan Beda

• Sebuah sistem LTI bisa dinyatakan melalui persamaan

beda:

• Jika

a

_n

#

0 maka persamaan bedanya ordenya N;

• Praktisnya dihitung secara maju (dari n=-

T

_{hingga +}

T

_),

sehingga:

• Penyelesaian persamaan ini dalam bentuk:

Persamaan Beda

• Bagian homogen dinyatakan dengan:

• Dengan z

k

, k=1,…,N merupakan N akar dari persamaan

karakteristik:

(27)

25

Pers. Beda: Implementasi MATLAB

• Menggunakan fungsi

filter()

;

– y = filter(b,a,x);

• dengan

– b = [ b0, b1, …, bM];

– a = [a0, a1, …, aN];

26

Contoh 2.9

Solusi Contoh 2.9

% noise sequence 1

x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]; nx=[-3:3]; % given signal x(n) [y,ny] = sigshift(x,nx,2); % obtain x(n-2) w = randn(1,length(y)); nw = ny; % generate w(n) [y,ny] = sigadd(y,ny,w,nw); % obtain y(n)=x(n-2)+w(n) [x,nx] = sigfold(x,nx); % obtain x(-n) [rxy,nrxy] = conv_m(y,ny,x,nx); % cross-corrlation subplot(1,1,1)

subplot(2,1,1);stem(nrxy,rxy)

axis([-4,8,-50,250]);xlabel('lag variable l')

(28)

28

Solusi Contoh 2.9

% noise sequence 2

x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2]; nx=[-3:3]; % given signal x(n)

axis([-4,8,-50,250]);xlabel('lag variable l')

ylabel('rxy');title('Crosscorrelation: noise sequence 2')

29

Solusi Contoh 2.9

-4 -2 0 2 4 6 8

lag variable l

rx

y

Crosscorrelation: noise sequence 1 Maximum

lag variable l

rx

y

Crosscorrelation: noise sequence 2

(29)

31

Contoh 2.10

32

Solusi Contoh 2.10

a=[1,-1,0.9];b=1;

%print -deps2 ex021000.eps %

Solusi Contoh 2.10

(30)

34

Solusi Contoh 2.10

ans =

14.8785

magz =

0.9487

35

Tanggap Masukan-Nol dan

Kondisi-Nol

• Karena penyelesaian persamaan beda mulai dari n=0

(

forward

), maka diperlukan kondisi awal untuk x(n) dan

y(n) untuk menentukan keluaran untuk n

K

_{0, sehingga}

persamaan beda dituliskan menjadi:

• dengan kondisi awal:

• Solusi persamaan (2.21) diperoleh dalam bentuk:

Zero-Input

solution Zero-State

solution x(n)

Penapis Digital

• Penapis FIR (

Finite Impulse Response

) juga dinamakan

non-rekursif atau

moving average

(MA)

jika tanggap

impuls-nya berhingga, atau h(n)=0 untuk n < n

1

dan n>

n

2

(filter(b,1,x)):

• Penapis IIR (

Infinite Impulse Response

) juga dinamakan

rekursif (menggunakan keluaran sebelumnya) atau

(31)

37

Terima Kasih!

• Sinyal-Sinyal dan Sistem-sistem Diskrit

selesai...

• Berikutnya: