MODIFIKASI METODE GOLBABAI-JAVIDI TANPA TURUNAN KEDUA UNTUK MENCARI AKAR PADA
PERSAMAAN NONLINEAR DAN ASPEK DINAMIKANYA
KARYA ILMIAH
OLEH
EVA PHILIA MANALU NIM. 1703122017
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2022
MODIFIKASI METODE GOLBABAI-JAVIDI TANPA TURUNAN KEDUA UNTUK MENCARI AKAR PADA PERSAMAAN
NONLINEAR DAN ASPEK DINAMIKANYA Eva Philia Manalu
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the modification of Golbabai-Javidi method by approximating the second derivative with a cubic polynomial to solve nonlinear equations. Analyt- ically, using Taylor expansion and geometric series, the proposed method is proven to have a sixth order of convergence and it has efficiency index 1.565. Numerical computation of several examples with some other mentioned methods shows that the proposed method in general has the smallest error in its approximation to the root of the nonlinear equations. Next, the dynamic of proposed method is displayed using basin of attraction.
Keywords: Iterative methods, nonlinear equation, order convergence, Golbabai- Javidi method, dynamic.
ABSTRAK
Artikel ini membahas modifikasi metode Golbabai-Javidi dengan mengaproksimasi turunan kedua menggunakan polinomial kubik untuk menyelesaikan persamaan non- linear. Secara analitik, dengan menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri metode yang diusulkan terbukti memiliki orde konvergensi enam dan memiliki in- deks efisiensi 1.565. Komputasi numerik dari beberapa contoh dengan beberapa metode yang disebutkan lainnya menunjukkan bahwa secara umum metode yang diusulkan memiliki selisih eror akar pendekatan paling kecil dari persamaan nonlin- ear. Selanjutnya dinamika dari metode yang diusulkan ditampilkan menggunakan basin of attraction.
Kata kunci: Metode iterasi, persamaan nonlinear, orde konvergensi, metode Gol- babai dan Javidi, dinamika.
1. PENDAHULUAN
Permasalahan matematika dapat diselesaikan dengan berbagai macam cara biasanya disebut dengan istilah metode. Salah satu permasalahan yang dapat diselesaikan dengan berbagai metode adalah persamaan nonlinear f (x) = 0. Mencari akar per- samaan nonlinear adalah menemukan nilai-nilai dari x, yang bila disubstitusikan ke dalam fungsi f akan menghasilkan nilai nol. Persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan cara numerik. Metode numerik yang sering dipakai adalah metode iterasi dan yang sangat dikenal untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton yang memiliki orde konvergensi dua [1, h. 58] dengan bentuk formula seba- gai berikut
xn+1 = xn− f (xn)
f′(xn), dengan f′(xn) 6= 0 dan n = 0, 1, 2, . . . .
Untuk melihat seberapa efisien metode iterasi dipakai untuk menyelesaikan per- samaan nonlinear dapat dilihat dari indeks efisiensi (EFF) [10]. Beberapa tahun terakhir, banyak peneliti yang telah menemukan pengembangan dengan memodi- fikasi metode iterasi yang ada. Noor et al. [5] mempresentasikan metode iterasi dua langkah tanpa turunan kedua dengan mengaproksimasi beda terbagi dan memiliki orde konvergensi lima. Selain itu, Noor dan Noor [8] juga membuat metode iterasi dua langkah menggunakan prediktor korektor Halley dan memiliki orde konvergensi enam. Selain Noor et al, Golbabai-Javidi [3] membuat metode iterasi baru dengan orde konvergensi tiga untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berbentuk
xn+1 = xn− f (xn)
f′(xn) − f2(xn)f′′(xn)
2((f′(xn))3− f (xn)f′(xn)f′′(xn)).
Pada artikel ini, penulis tertarik untuk membahas modifikasi metode Golbabai- Javidi tanpa turunan kedua yang merupakan review dari artikel yang dikembangkan oleh Naseem et al. [6]. Untuk menjelaskan hal ini pada bagian kedua diberikan penurunan modifikasi metode Golbabai dan Javidi tanpa turunan kedua, kemudian dilanjutkan pada bagian ketiga dengan analisis kekonvergenan metode iterasi yang dibahas serta dinamikanya dan pada bagian keempat merupakan perbandingan nu- merik dengan lima metode dan lima fungsi uji yang berbeda.
2. MODIFIKASI METODE GOLBABAI-JAVIDI TANPA TURUNAN KEDUA
Diberikan modifikasi metode Golbabai-Javidi dengan kekonvergenan orde enam [6]
yang memiliki bentuk
yn = xn− f(xn) f′(xn), xn+1 = yn− f(yn)
f′(yn) −f(yn)2f′′(yn)(−2f′(yn)2+ f (yn)f′′(yn))2 8f′(yn)3(−f′(yn)2+ f (yn)f′′(yn))2 .
(1)
dengan f′(yn) 6= 0 atau (8f′(yn)3(−f′(yn)2+ f (yn)f′′(yn))2) 6= 0.
Modifikasi metode Golbabai-Javidi ini masih membutuhkan perhitungan nilai turunan kedua pada setiap iterasinya. Hal ini dikarenakan menemukan turunan ke- dua tidak selalu mudah dan membutuhkan biaya komputasi yang lebih mahal, maka akan dilakukan aproksimasi untuk f′′(yn)menggunakan polinomial kubik berbentuk
P3(s) = a + b(s − yn) + c(s − yn)2+ d(s − yn)3,
dan memenuhi f (xn) = P3(xn), f (yn) = P3(yn), f′(xn) = P3′(xn), f′(yn) = P3′(yn), dan f′′(yn) = P3′′(yn). Dari sini diperoleh
f(xn) = a + b(xn− yn) + c(xn− yn)2+ d(xn− yn)3, (2)
f(yn) = a, (3)
f′(xn) = b + 2c(xn− yn) + 3d(xn− yn)2, (4)
f′(yn) = b, (5)
f′′(yn) = 2c. (6)
Dengan menggunakan persamaan (2), (3), (4), dan (5) untuk menentukan nilai a, b, c, d, persamaan (6) dapat ditulis ulang menjadi
f′′(yn) = 6(f (xn) − f (yn)) − 2(xn− yn)(2f′(yn) + f′(xn))
(xn− yn)2 ,
atau
m= 6(f (xn) − f (yn)) − 2(xn− yn)(2f′(yn) + f′(xn))
(xn− yn)2 , (7)
Kemudian dengan mensubstitusikan nilai m pada persamaan (7) ke persamaan (1), diperoleh modifikasi metode Golbabai-Javidi tanpa turunan kedua sebagai berikut
yn = xn− f(xn) f′(xn), xn+1 = yn− f(yn)
f′(yn)−f(yn)2m(−2f′(yn)2+ f (yn)m)2 8f′(yn)3(−f′(yn)2+ f (yn)m)2 .
(8)
dengan f′(yn) 6= 0 atau (8f′(yn)3(−f′(yn)2+ f (yn)m)2) 6= 0.
Selanjutnya akan dilakukan kajian untuk mengetahui orde konvergensi dari mod- ifikasi metode Golbabai-Javidi tanpa turunan kedua pada persamaan (8).
3. ANALISIS KONVERGENSI
Teorema 1 Misalkan f : R → R, dan α adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear f (x) = 0. Jika f (x) punya turunan yang kontinu secukupnya disekitar α dan xn cukup dekat ke α maka orde konvergensi dari modifikasi metode Golbabai- Javidi tanpa turunan kedua adalah enam.
Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0 dan en adalah eror iterasi ke-n, maka en= xn−α. Dengan menggunakan ekspansi Taylor [2, h.189]
dari fungsi f (x) disekitar titik x = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh
f(x) = f (α) + f′(α)(x − α) + f′′(α)
2! (x − α)2+ f′′′(α)
3! (x − α)3 +f(4)(α)
4! (x − α)4+f(5)(α)
5! (x − α)5+f(6)(α)
6! (x − α)6
+ O(x − α)7. (9)
Dengan mengevaluasi x = xn kemudian mensubstitusikan f (α) = 0, en = xn− α dan memisalkan cn= f(n)(α)/(n!f′(α)) dengan n = 2, 3, 4, 5, 6, maka persamaan (9) dapat ditulis
f (xn) = f′(α)(en+ c2e2n+ c3e3n+ c4e4n+ c5e5n+ c6e6n+ O(e7n)). (10) Kemudian, dengan menurunkan persamaan (9) dan dengan cara yang sama untuk mendapatkan persamaan (10) diperoleh
f′(xn) = f′(α)(1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+ 5c5e4n+ 6c6e5n+ O(e7n)). (11) Selanjutnya dengan membagi persamaan (10) dan (11), serta menggunakan deret geometri [9, h.750] diperoleh
f(xn)
f′(xn) = en− c2e2n+ (2c22− 2c3)e3n+ (−4c32+ 7c3c2− 3c4)e4n+ (6c23 + 10c4c2+ 8c42− 4c5− 20c3c22)e5n+ (−33c23c2+ 13c5c2− 5c6
+ 13c5c2+ 17c4c3− 28c4c22+ 52c3c32− 16c52)e6n+ O(e7n). (12)
Kemudian untuk memperoleh yn, persamaan (12) dan xn = en+ α disubstitusikan ke persamaan (8) sehingga diperoleh
yn= α + c2e2n+ (2c3− 2c22)e3n+ (4c32− 7c3c2+ 3c4)e4n+ (20c3c22− 8c42 + 4c5− 10c4c2− 6c23)e5n+ (33c23c2− 13c5c2− 5c6− 17c4c3
+ 28c4c22− 52c3c32 + 16c52)e6n+ O(e7n). (13) Dengan cara yang sama, untuk memperoleh nilai f (yn) substitusikan yn ke f (x), kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (13) diperoleh
f (yn) = f′(α)(c2e2n+ (2c3− 2c22)e3n+ (5c32− 7c3c2+ 3c4)e4n+ (24c3c22 + 4c5− 12c42− 10c4c2− 6c23)e5n+ (37c23c2− 13c5c2
+ 5c6− 17c4c3+ 34c4c22− 73c3c32+ 28c52)e6n+ O(e7n)). (14) Kemudian dengan menurunkan persamaan (9) dan mesubstitusikan x = yn yang ada dipersamaan (13) diperoleh
f′(yn) = f′(α)(1 + 2c22e2n+ 4(c3c2− c32)e3n+ (6c2c4− 11c3c22+ 8c42)e4n
+ (8c2c5+ 28c3c32− 20c4c22− 16c52)e5n+ (−16c3c2c4
+ 12c33+ 60c32c4− 26c5c22+ 10c2c6+ 32c62)e6n+ O(e7n))
+ O(en)7). (15)
Untuk mancari nilai m, persamaan (10), (11), (13), (14) dan (15) disubstitusikan ke dalam persamaan (7) sehingga
m = f′(α)(2c2+ (6c3c2− 2c4)e2n+ (12c23− 12c3c22+ 4c2c4− 4c5)e3n
+ (2c2c5+ 26c4c3− 42c2c23+ 24c3c32+ 2c4c22− 6c6)e4n
+ (−40c32c4− 300c22c23− 16c3c5− 12c2c6+ 24c22c5
+ 48c33+ 140c2c3c4− 12c24 + 180c24c3)e5n+ (−24c6c3 + 96c2c5c3− 72c52c3 + 52c2c24− 266c3c4c22+ 6c6c22 + 208c23c4− 40c5c4− 10c32c5+ 14c42c4− 384c2c33)e6n
+ 438c32c23+ O(e7n)), (16)
Selanjutnya, untuk mencari nilai f (yn)/f′(yn) pada persamaan (8) digunakan persamaan (14) dan (15) serta dihitung dengan menerapkan langkah yang sama untuk mendapatkan persamaan (12) sehingga diperoleh
f (yn)
f′(yn) = c2e2n+ (2c3− 2c22)e3n+ (3c4− 7c2c3+ 3c32)e4n+ (4c5− 6c23 + 16c22c3− 4c42− 10c2c4)e5n+ (5c6− 13c2c5− 32c32c3)
+ 22c22− 17c3c4+ 29c2c23+ 6c52)e6n+ O(e7n). (17) Kemudian dengan memisalkan
z= f(yn)2m(−2f′(yn)2+ f (yn)m)2 8f′(yn)3(−f′(yn)2+ f (yn)m)2 ,
pada persamaan (8) dan dengan menggunakan persamaan (14), (15), dan (16) serta dilanjutkan dengan menerapkan langkah yang sama untuk memperoleh persamaan (12) sehingga
z = c32e4n+ (−4c42+ 4c22c3)e5n+ (4c2c23− 19c32c3+ 10c52+ 5c22c4)e6n
+ O(e7n). (18)
Lalu dengan mensubstitusikan persamaan (13), (17), dan (18) ke persamaan (8) diperoleh
xn+1= α + (c22c4− c32c3)e6n+ O(e7n). (19)
Karena en= xn− α, persamaan (19) menjadi
en+1 = (−c32c3+ c22c4)e6n+ O(e7n),
Berdasarkan definisi persamaan eror disimpulkan bahwa metode pada persamaan
(8) memiliki orde konvergensi enam. ✷
4. PERBANDINGAN NUMERIK
Pada bagian ini, akan dilakukan perbandingan komputasi oleh beberapa metode it- erasi, yaitu metode Golbabai-Javidi (MGJ) [3], modifikasi metode Golbabai-Javidi (MMGJ) [6], metode Noor (MNR) [8], dan modifikasi metode Golbabai-Javidi tanpa turunan kedua (MMGJT) pada persamaan (8) untuk menyelesaikan persamaan non- linear berikut:
f1(x) = xex− 1, f2(x) = x3+ 4x2− 10, f3(x) = x2+ sin x5 −14, f4(x) = cos(x) − x, f5(x) = x3− 10.
Perbandingan komputasi untuk kelima fungsi di atas menggunakan program Maple13 dengan kriteria pemberhentian jalannya komputasi sebagai berikut
(1) Jika nilai fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan.
(2) Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi akar berdekatan lebih kecil dari toleransi yang diberikan.
(3) Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi yang diberikan
Dalam hal ini maksimum iterasi adalah 100 dan toleransi yang diberikan adalah 1.0e−150. Hasil perbandingan komputasi dari beberapa metode iterasi ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi Fungsi x0 Metode n + 1 |f (xn+1)| |xn+1− xn| ACOC
f1(x) 1.0
MGJ 6 2.59e−437 2.91e−146 3.00 MNR 4 3.42e−760 3.03e−127 6.00 MMGJ 4 1.44e−715 7.94e−120 6.00 MMGJT 4 6.65e−764 7.58e−128 6.00
Fungsi x0 Metode n + 1 |f (xn+1)| |xn+1− xn| ACOC
f1(x) 0.6
MGJ 5 3.09e−412 6.66e−138 3.00
MNR 3 5.43e−356 7.05e−60 6.00
MMGJ 3 4.74e−351 4.49e−59 6.00 MMGJT 3 3.65e−360 1.48e−60 6.00
0.1
MGJ 6 1.80e−365 2.58e−122 3.00
MNR 4 6.44e−538 3.37e−90 6.00
MMGJ 4 3.61e−476 6.30e−80 6.00 MMGJT 4 2.99e−562 3.08e−94 6.00
f2(x) 0.6
MGJ 6 2.33e−370 6.15e−124 3.00
MNR 4 1.13e−407 1.78e−68 6.00
MMGJ 4 1.67e−507 4.92e−85 6.00 MMGJT 4 1.67e−507 4.92e−85 6.00
1.4
MGJ 4 3.53e−167 3.28e−56 3.00
MNR 3 8.84e−388 3.69e−65 6.00
MMGJ 3 4.30e−408 1.82e−68 6.00 MMGJT 3 4.30e−408 1.82e−68 6.00
3.0
MGJ 5 3.97e−210 1.58e−70 3.00
MNR 4 2.70e−429 4.45e−72 6.00
MMGJ 4 1.63e−529 1.06e−88 6.00 MMGJT 4 1.63e−529 1.06e−88 6.00
f3(x) 6.0
MGJ 6 2.90e−163 6.02e−54 3.00
MNR 5 8.54e−570 1.45e−95 6.00
MMGJ 4 1.78e−245 4.92e−41 6.00 MMGJT 4 3.97e−245 5.62e−41 6.00
0.7
MGJ 5 2.52e−315 1.24e−104 3.00 MNR 4 7.49e−850 3.06e−142 6.00 MMGJ 3 5.84e−242 1.90e−40 6.00 MMGJT 3 6.36e−242 1.92e−40 6.00
0.1
MGJ 5 4.16e−193 6.79e−64 3.00
MNR 4 1.89e−467 1.66e−78 6.00
MMGJ 4 5.20e−850 8.64e−142 6.00 MMGJT 4 6.51e−850 8.97e−142 6.00
f4(x) 3.4
MGJ 6 2.05e−297 2.63e−99 3.00
MNR 13 4.41e−549 1.13e−91 6.00 MMGJ 5 1.05e−532 6.65e−89 6.00 MMGJT 5 2.21e−566 2.06e−94 6.00
0.6
MGJ 4 7.74e−119 8.73e−40 3.00
MNR 3 9.94e−304 8.83e−51 6.03
MMGJ 3 8.00e−314 2.01e−52 6.03 MMGJT 3 3.76e−343 3.29e−57 6.01
Fungsi x0 Metode n + 1 |f (xn+1)| |xn+1− xn| ACOC
f4(x) 2.6
MGJ 6 1.01e−295 9.67e−99 3.00
MNR 4 1.51e−547 2.04e−91 6.00
MMGJ 4 5.91e−672 4.12e−112 6.00 MMGJT 4 2.89e−594 4.63e−99 6.00
f5(x)
-1.0
MGJ 8 2.54e−274 6.33e−92 3.00
MNR 4 6.37e−483 5.63e−81 6.00
MMGJ 4 8.63e−544 4.53e−91 6.00 MMGJT 4 8.63e−544 4.53e−91 6.00
2.2
MGJ 4 9.89e−155 4.62e−52 3.00
MNR 3 7.14e−370 3.91e−62 6.00
MMGJ 3 8.30e−383 3.07e−64 6.00 MMGJT 3 8.30e−383 3.07e−64 6.00
1.3
MGJ 6 6.46e−350 4.01e−117 3.00
MNR 4 1.21e−412 2.91e−69 6.00
MMGJ 4 5.34e−472 4.18e−79 6.00 MMGJT 4 5.34e−472 4.18e−79 6.00
Pada Tabel 1 fi(x) menyatakan fungsi yang digunakan, n+1 menyatakan jumlah iterasi, xn+1 merupakan akar pendekatan yang diperoleh setiap metode, |f (xn+1)|
merupakan nilai mutlak fungsi dari akar pendekatan ke−n+1, |xn+1−xn| merupakan selisih nilai mutlak antara dua akar pendekatan yang saling berdekatan, dan ACOC [4] merupakan nilai orde konvergensi.
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa modifikasi metode Golbabai-Javidi tanpa turunan kedua (MMGJT) memiliki jumlah iterasi yang lebih cepat untuk memper- oleh akar hampiran daripada modifikasi metode Golbabai-Javidi (MMGJ), metode Golbabai-Javidi (MGJ) dan metode Noor (MNR). Secara keseluruhan dapat dilihat bahwa MMGJT memberikan hasil lebih akurat karena nilai selisih antara dua akar hampiran yang berdekatan lebih kecil.
Kemudian untuk contoh kedua dan kelima MMGJT memiliki jumlah iterasi dan nilai selisih dua akar yang sama dengan MMGJ. Namun dalam melakukan iterasi MMGJ perlu menghitung turunan kedua sehingga MMGJT lebih baik di- pakai karena menghitung turunan kedua tidak selalu mudah dan dapat menghemat biaya komputasi. Oleh karena itu MMGJT yang digunakan pada artikel ini selain cepat juga tidak perlu menghitung turunan kedua dalam proses iterasinya daripada metode pembanding yang telah disebutkan pada artikel ini.
4. ANALISIS DINAMIK
Pada subbab ini ditunjukan basin of attraction terhadap metode-metode yang telah dijelaskan sebelumnya untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Proses iterasi dilakukan dengan menggunakan program Maple13 untuk tebakan awal titik pada bidang kompleks yang diwakili oleh setiap titik pada wilayah segi empat R pada
[−2, 2] × [−2, 2] yang dibagi menjadi grid berukuran 250 × 250 [7]. Proses iterasi akan berhenti jika |g(zn+1)| < 1.0e−3 dengan maksimum iterasi 15. Beberapa fungsi bernilai kompleks yang digunakan untuk membandingkan metode-metode yang telah dijelaskan adalah
(i) g1(z) = z2− 1, (ii) g2(z) = z3− 1.
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 1: Basin of attraction untuk g1(z) menggunakan (a) MGJ (b) MMGJ (c) MNR dan (d) MMGJT
(a) (b)
(c) (d)
Gambar 2: Basin of attraction untuk g2(z) menggunakan (a) MGJ (b) MMGJ (c) MNR dan (d) MMGJT
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. dan anonymous reviewer yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] K. Atkinson dan W. Han, Elementary Numerical Analysis, Third Edition. John Wiley & Sons, New York, 2010.
[2] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition.
Jhon Wiley & Sons, New York, 2010.
[3] A. Golbabai dan M. Javidi, A third-order Newton type method for nonlinear equations based on modified homotopy pertubation method, Applied Mathemat- ics and Computation, 191 (2007), 199–205.
[4] M. Grau-Sanchez, M. Noguera dan J.M Gutierrez, On some computational or- ders of convergence, Applied Mathematics Letters, 23 (2010), 472–478.
[5] A. Hussain, M. A. Noor, dan W. A. Khan, A new modified Halley method without second derivatives for nonlinear equation, Apllied Mathematics and Computation, 189 (2007), 1268–1273.
[6] A. Naseem, M. A. Rehman, dan T. Abdeljawad, Numerical algorithms for find- ing zeros of nonlinear equations and their dynamical aspects, Journal of Math- ematics, 2020 (2020), 11.
[7] A. Naseem, M. A. Rehman, dan T. Abdeljawad, Numerical methods with en- gineering applications and their visual analysis by polynomiography, IEEE AC- CESS, 9 (2021), 99288–99298
[8] M. A. Noor, dan K. I. Noor, Predictor-corrector Halley methods for nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 188 (2007), 1587–1591.
[9] J. Stewart, Calculus, Eight Edition, Brooks/Cole Publishing, Belmont, 2012.
[10] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, New Jersey, 1964.
