PROPOSAL
PENELITIAN DOSEN PEMULA UNIVERSITAS LAMPUNG
VARIASI PELABELAN GRACEFUL PADA SUBGRAF GRAF KAKI SERIBU
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
2021
ii DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL………...……….i
DAFTAR ISI………...…………ii
DAFTAR TABEL……….………iii
DAFTAR GAMBAR……….…………iv
RINGKASAN……….v
BAB 1. PENDAHULUAN………..…………1
1.1 Latar Belakang………..….……1
1.2 Tujuan……….…...…..3
1.3 Keutamaan Penelitian………...….3
1.4 Target Temuan dan Kontribusi terhadap Ilmu Pengetahuan……..….3
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA………...……….4
2.1 State of the Art………...………4
2.2 Teori Graf………...….5
2.3 Variasi Pelabelan Graceful……….………….10
2.4 Hasil yang Sudah Dicapai……….…...……12
2.5 Road Map……….………..…13
BAB 3. METODE PENELITIAN………..…….……14
3.1 Kerangka Penelitian………...……14
3.2 Luaran Penelitian……….…15
3.3 Tempat dan Waktu Penelitian………...….…………15
3.4 Indikator Capaian……….…...…15
BAB 4. RENCANA ANGGARAN BIAYA DAN JADWAL PENELITIAN..16
4.1 Anggaran Biaya………...…16
4.2 Jadwal Penelitian……….….………16
REFERENSI……….……17
iii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Luaran dan indikator capaian penelitian………..…………15 Tabel 3.2 Anggaran biaya penelitian………..………16
iv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh graf 𝐺 dengan tujuh simpul dan sembilan busur………...…5
Gambar 2.2 Contoh graf terhubung dan tidak terhubung……….6
Gambar 2.3 Contoh graf sederhana dan tak sederhana………7
Gambar 2.4 Contoh graf lintasan 𝑃# dan graf lengkap 𝐶%………..……..8
Gambar 2.5 Contoh graf 𝐺 dan komplemen graf 𝐺………..8
Gambar 2.6 Contoh graf hasil kali kartesian dari dua graf………..9
Gambar 2.7 Contoh graf tangga 𝐿#………..9
Gambar 2.8 Contoh graf kaki seribu 𝐿' 𝐾)………..…………..10
Gambar 2.9 Contoh pelabelan graceful pada 𝐶*………...………..11
Gambar 2.10 Contoh pelabelan 𝜌 pada graf 𝐶#………..……..11
Gambar 2.11 Contoh pelabelan graceful ganjil-genap pada 𝐶#…………..……..12
Gambar 2.12 Graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾)………..12
Gambar 2.13 Contoh pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾)………..……..12
Gambar 2.14 Road map penelitian……….…………..13
Gambar 3.1 Alur penelitian………..………..14
Gambar 4.1 Diagram Jadwal Kegiatan Penelitian………..16
v
VARIASI PELABELAN GRACEFUL PADA SUBGRAF GRAF KAKI SERIBU
RINGKASAN
Penelitian ini bertujuan untuk menemukan variasi pelabelan graceful pada subgraf graf kaki seribu. Subgraf graf kaki seribu yang digunakan dalam penelitian ini yaitu graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾). Variasi pelabelan graceful yang dilakukan pada penelitian ini yaitu pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, dan pelabelan graceful ganjil- genap. Penelitian ini dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku dan makalah yang relevan dengan topik pembahasan.
Selanjutnya pengkajian dilakukan dengan mengkonstruksi variasi pelabelan graceful secara manual pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾). Hasil penelitian ini diharapkan mampu menambah kekayaan ilmu pengetahuan pada bidang pelabelan graceful serta diharapkan dapat menjadi acuan untuk menemukan pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf kaki seribu 𝐿'ʘ𝐾) dan dapat bermanfaat bagi peneliti yang melakukan penelitian mengenai pelabelan graceful khususnya pada graf kaki seribu. Luaran dari penelitian ini nantinya akan diseminarkan pada seminar internasional dan dipublikasikan pada prosiding internasional terakreditasi.
Kata Kunci: Pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, pelabelan graceful ganjil-genap, subgraf graf kaki seribu
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Salah satu topik yang sangat berkembang pada teori graf yaitu pelabelan.
Menurut Lopez dan Muntaner-Batle (2016) pelabelan graf merupakan topik yang menarik pada bidang teori graf yang telah mendapatkan banyak perhatian dan popularitas dalam beberapa tahun terakhir yang dapat dilihat dari banyaknya makalah baru yang muncul setiap hari. Pelabelan graf terkenal karena topik ini memiliki survei dinamis yang diperbarui setiap tahun. Menurut Gallian (2019) Dalam selang waktu 50 tahun terakhir, terdapat lebih dari 200 teknik pelabelan graf yang dipelajari di lebih dari 3000 makalah.
Pelabelan graf atau yang biasa juga disebut sebagai pemberian nilai pada graf merupakan suatu pemetaan elemen-elemen pada graf yaitu simpul, busur, atau bahkan keduanya (simpul dan busur) ke bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif ini kemudian disebut label yang memenuhi beberapa syarat tergantung dari jenis pelabelan yang dilakukan (Lopez, & Muntaner-Batle, 2016).
Teori mengenai pelabelan diperkenalkan pertama kali oleh Alex Rosa pada tahun 1967. Alex Rosa memperkenalkan pelabelan 𝛽 yang kemudian oleh Golomb disebut sebagai pelabelan graceful. Misalkan 𝐺 merupakan graf dengan |𝐸| busur, dan 𝑓 : 𝑉 𝐺 → {0, 1, … , |𝐸|} merupakan fungsi injektif maka fungsi 𝑓 disebut pelabelan graceful jika untuk setiap busur 𝑢𝑣 diberi label dengan |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 | dan label setiap busur memiliki nilai yang berbeda (Gallian, 2019). Suatu graf disebut graf graceful jika memiliki pelabelan graceful.
Variasi dari pelabelan graceful yaitu pelabelan 𝜌 yang merupakan modifikasi dari pelabelan graceful. Suatu graf dengan |𝐸| busur dikatakan memiliki pelabelan 𝜌 jika 𝑓 : 𝑉 𝐺 → {0, 1, … , |𝐸| + 1} merupakan fungsi injektif dan menginduksi fungsi bijektif dari pelabelan busur 𝑓∗ : 𝐸 𝐺 → {1, 2, … , |𝐸|} atau 𝑓∗ : 𝑉 𝐸 → {1, 2, … , |𝐸| − 1, |𝐸| + 1} dimana untuk setiap busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 dengan simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku 𝑓∗ = |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 | (Gallian, 2017).
Modifikasi lain dari pelabelan graceful yaitu pelabelan graceful ganjil- genap. Suatu graf 𝐺dengan |𝐸| busur disebut memiliki pelabelan graceful ganjil- genap jika𝑓 : 𝑉 𝐺 → {1, 3, 5, … , 2|𝐸| + 1} merupakan fungsi injektif dimana
2
ketika setiap busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 diberikan label |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 |, label busur yang diperoleh yaitu {2, 4, 6, … , 2|𝐸|}. Suatu graf yang memiliki pelabelan graceful ganjil-genap disebut sebagai graf graceful ganjil-genap (Sridevi, Navaneethakrishnan, Nagarajan & Nagarajan, 2012).
Sugeng, Slamet, & Silaban (2014) mendefinisikan graf kaki seribu sebagai graf yang dibangun oleh hasil produk korona antara graf tangga 𝐿' dan komplemen graf lengkap dengan 𝑟 simpul 𝐾) yang kemudian dinotasikan dengan 𝐿'ʘ𝐾). Graf kaki seribu merupakan modifikasi dari graf tangga dengan menambahkan sebanyak 𝑛 buah graf lintasan 𝑃, di masing-masing simpul pada graf tangga sehingga menyerupai hewan kaki seribu. Haryono (2012) melakukan penelitian mengenai pelabelan jumlah eksklusif pada graf tangga, gabungan graf tangga, dan graf kaki seribu.
Penelitian lainnya mengenai pelabelan graceful pada graf hasil modifikasi dari graf tangga yaitu penelitian yang telah dilakukan oleh Jesintha, Subashini dan Beula pada tahun 2019 yang menemukan bahwa rangkaian salinan isomorfik dari graf bintang yang dihubungkan di antara dua graf tangga adalah graf graceful. Pada tahun 2019 Jesintha, Subashini dan Sabu juga menemukan bahwa graf yang diperoleh dari gabungan dua graf bipartit lengkap dan gabungan dua graf tangga dengan lintasan yang memiliki panjang sembarang adalah graf graceful.
Dari pengkajian pelabelan graceful terhadap graf hasil modifikasi dari graf tangga timbul motivasi untuk mengkonstruksi pelabelan khususnya variasi pelabelan graceful pada subgraf graf kaki seribu. Subgraf graf kaki seribu yang digunakan dalam penelitian ini yaitu graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾). Variasi pelabelan graceful yang akan dikonstruksi pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yaitu pelabelan graceful, pelabelan 𝜌, dan pelabelan graceful ganjil-genap yang belum ada pada rangkuman yang dilakukan oleh Gallian (2019)
Berdasarkan pemaparan di atas, maka akan dicari pelabelan graceful, pelabelan 𝜌, dan pelabelan graceful ganjil-genap secara manual pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾).
1.2 Tujuan
Adapun tujuan dari penelitian ini yaitu untuk mengkonstruksi dan menemukan pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾).
1.3 Keutamaan Penelitian
Keutamaan dalam penelitian ini antara lain:
1. Menemukan pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil- genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾).
2. Pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yang diperoleh diharapkan dapat menjadi acuan untuk menemukan variasi pelabelan graceful, khususnya pelabelan graceful , pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf kaki seribu 𝐿'ʘ𝐾).
1.4 Target Temuan dan Kontribusi terhadap Ilmu Pengetahuan
Target temuan utama dari penelitian ini yaitu menemukan pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾). Hasil dari penelitian ini diharapkan mampu menambah kekayaan ilmu pengetahuan pada bidang pelabelan graceful dan dapat bermanfaat bagi peneliti yang melakukan penelitian mengenai pelabelan graceful khususnya pada graf kaki seribu.
4
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 State of the Art
Pada tahun 2012 Haryono mengkonstruksi graf kaki seribu sebagai graf yang menyerupai hewan kaki seribu. Graf kaki seribu dibangun oleh hasil produk korona antara graf tangga 𝐿' dan komplemen graf lengkap dengan 𝑟 simpul 𝐾) yang kemudian dinotasikan dengan 𝐿'ʘ𝐾) (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014).
Graf kaki seribu merupakan modifikasi dari graf tangga dengan menambahkan sebanyak 𝑛 buah graf lintasan 𝑃, di masing-masing simpul pada graf tangga.
Haryono pada tahun 2012 melakukan penelitian mengenai pelabelan jumlah eksklusif pada graf tangga, gabungan graf tangga, dan graf kaki seribu.
Penelitian lainnya mengenai pelabelan graceful pada graf hasil modifikasi dari graf tangga yaitu penelitian yang dilakukan oleh Jesintha, Subashini dan Beula pada tahun 2019. Jesintha, Subashini dan Beula (2019) mengkonstruksi pelabelan graceful pada graf dari rangkaian salinan isomorfik graf bintang yang dihubungkan di antara dua graf tangga, dan kemudian diperoleh bahwa graf dari rangkaian salinan isomorfik graf bintang yang dihubungkan di antara dua graf tangga adalah graf graceful. Jesintha, Subashini dan Sabu (2019) juga mengkonstruksi pelabelan graceful pada graf yang diperoleh dari gabungan dua graf bipartit lengkap dan gabungan dua graf tangga dengan lintasan yang memiliki panjang sembarang dan menemukan bahwa graf yang diperoleh dari gabungan dua graf bipartit lengkap dan gabungan dua graf tangga dengan lintasan yang memiliki panjang sembarang adalah graf graceful.
Handayani dan Sugeng (2014) mengkonstruksi graf baru yang merupakan hasil modifikasi dari graf tangga yaitu graf kelelawar. Graf kelelawar merupakan kombinasi dari graf tangga, graf bintang, dan graf lingkaran sehingga graf yang dibentuk menyerupai kelelawar dan dinotasikan dengan 𝐵L 𝑛, 𝑟, 𝑠 . Handayani dan Sugeng (2014) mengkonstruksi pelabelan graceful pada graf kelelawar dan menemukan bahwa graf kelelawar merupakan graf graceful.
Berdasarkan pemaparan di atas yang mengemukakan bahwa pada beberapa graf hasil modifikasi dari graf tangga yaitu graf kelelawar, graf dari rangkaian salinan isomorfik graf bintang yang dihubungkan di antara dua graf tangga, serta graf yang diperoleh dari gabungan dua graf bipartit lengkap dan gabungan dua graf
tangga dengan lintasan yang memiliki panjang sembarang merupakan graf graceful, maka timbul motivasi untuk mengkonstruksi dan menemukan pelabelan graceful dan variasinya yaitu pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada subgraf graf kaki seribu yaitu graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yang juga merupakan hasil modifikasi dari graf tangga.
2.2 Teori Graf
Suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) terdiri dari himpunan tak kosong 𝑉 = {𝑣P, 𝑣,, … , 𝑣'} yang disebut sebagai himpunan simpul, dan himpunan 𝐸 = {𝑒P, 𝑒,, … , 𝑒R} yang disebut sebagai himpunan busur. Busur pada graf dapat dinyatakan sebagai pasangan tak terurut dari dua simpul pada himpunan 𝑉, contohnya 𝑒P = (𝑣L𝑣S) = (𝑣S, 𝑣L) (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014).
Graf 𝐺 dapat direpresentasikan dengan gambar yang terdiri dari kumpulan simpul yang direpresentasikan dengan titik, dan busur yang direpresentasikan dengan garis (Lopez, & Muntaner-Batle, 2016). Banyak simpul pada graf 𝐺 disebut juga sebagai order dan dinotasikan dengan |𝑉|, sedangkan banyak busur pada graf 𝐺 atau yang biasa disebut sebagai ukuran (size) dinotasikan dengan |𝐸| (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014). Berikut adalah contoh graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) dengan himpunan simpul pada graf 𝐺 yaitu 𝑉 𝐺 = {𝑣P, 𝑣,, 𝑣*, 𝑣#, 𝑣T, 𝑣%, 𝑣U} dan himpunan busur pada graf 𝐺 yaitu 𝐸 𝐺 = {𝑒P, 𝑒,, 𝑒*, 𝑒#, 𝑒T, 𝑒%, 𝑒U, 𝑒V, 𝑒W}.
Gambar 2.1 Contoh graf 𝐺 dengan tujuh simpul dan sembilan busur
6
Lintasan 𝑃 dengan panjang 𝑝 pada graf 𝐺 adalah suatu barisan dari simpul- simpul yang berbeda yaitu 𝑣Y, 𝑣P, … , 𝑣Z pada graf 𝐺, dimana 𝑣L𝑣L[P merupakan busur pada graf 𝐺 untuk setiap 𝑖 = 0, 1, … , 𝑝 − 1. Lintasan 𝑃 biasa juga dinotasikan dengan lintasan-𝑣Y𝑣Z (Lopez, & Muntaner-Batle, 2016).
Dua simpul 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 dikatakan terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan 𝑢 dan 𝑣, jika tidak terdapat lintasan yang menghubungkan dua simpul 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺, maka simpul 𝑢 dan 𝑣 dikatakan tidak terhubung.
Suatu graf 𝐺 disebut sebagai graf terhubung jika terdapat suatu lintasan yang menghubungkan setiap pasang simpul di 𝐺. Jika terdapat satu pasang atau lebih simpul di 𝐺 yang tidak terhubung, maka graf 𝐺 disebut sebagai graf tidak terhubung (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014). Berikut adalah contoh graf terhubung dan graf tidak terhubung.
a) Graf terhubung b) Graf tidak terhubung
Gambar 2.2 Contoh graf terhubung dan tidak terhubung
Pada suatu graf, dua simpul disebut bertetangga jika terdapat satu atau lebih busur yang mengaitkan keduanya. Dua busur disebut bertetangga jika kedua busur tersebut terhubung oleh satu simpul. Pada Gambar 2.2 (a) dapat dilihat jika simpul 𝑣* dan 𝑣, bertetangga, namun simpul 𝑣* dan 𝑣# tidak bertetangga, kemudian terlihat pula bahwa busur 𝑒P dan 𝑒, bertetangga sedangkan busur 𝑒P dan 𝑒* tidak bertetangga. Suatu busur dikatakan hadir pada suatu simpul, jika simpul tersebut merupakan salah satu ujung dari busur tersebut. Banyak busur yang hadir pada suatu simpul 𝑣 disebut sebagai derajat dari simpul 𝑣 dan biasanya dinotasikan
𝑒P 𝑒,
𝑒*
𝑒P 𝑒,
dengan 𝑑(𝑣) (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014). Pada Gambar 2.2 (a) dapat dilihat bahwa simpul 𝑣, memiliki derajat 2, sedangkan simpul 𝑣P, 𝑣*, dan 𝑣# masing- masing memiliki derajat satu.
Suatu busur pada graf 𝐺 yang memiliki simpul ujung yang sama disebut sebagai gelang (loop). Pada suatu graf yang memiliki dua atau lebih busur dimana simpul ujungnya sama maka busur tersebut disebut sebagai busur ganda (multiple edges). Jika suatu graf tidak memiliki gelang dan busur ganda, maka graf tersebut disebut sebagai graf sederhana. Sebaliknya, jika suatu graf memiliki gelang atau busur ganda maka graf tersebut disebut sebagai graf tak sederhana (Sugeng, Slamet,
& Silaban, 2014). Berikut adalah contoh graf sederhana dan graf tak sederhana.
a) Graf sederhana b) Graf tak sederhana
Gambar 2.3 Contoh graf sederhana dan tak sederhana
Suatu graf 𝐻 disebut subgraf dari graf 𝐺 jika 𝑉 𝐻 ⊆ 𝑉 𝐺 dan 𝐸 𝐻 ⊆ 𝐸 𝐺 yang kemudian dinotasikan dengan 𝐻 ⊆ 𝐺. Pada Gambar 2.3 (a) terlihat bahwa graf tersebut merupakan subgraf dari graf pada Gambar 2.3 (b).
Suatu graf terhubung yang setiap simpulnya berderajat dua, kecuali dua simpul ujung yang berderajat satu disebut sebagai graf lintasan. Graf lintasan dengan 𝑛 simpul dinyatakan dengan 𝑃'. Graf lengkap yaitu graf sederhana dimana setiap pasang simpulnya merupakan simpul-simpul bertetangga. Suatu graf terhubung yang teratur dan berderajat dua disebut graf lingkaran dan dinotasikan dengan 𝐶' dengan 𝑛 merupakan banyaknya simpul dan 𝑛 ≥ 3 (Sugeng, Slamet, &
Silaban, 2014).
8
Berikut adalah contoh dari graf lintasan dan graf lengkap.
Gambar 2.4 Contoh graf lintasan 𝑃# dan graf lengkap 𝐶%
Komplemen dari graf sederhana 𝐺 adalah suatu graf sederhana yang dinotasikan dengan 𝐺 dan memiliki simpul yang sama dengan graf 𝐺. Dua simpul bertetangga di 𝐺 jika dan hanya jika simpul tersebut tidak bertetangga di graf 𝐺 (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014). Berikut adalah contoh graf 𝐺 dan komplemen graf 𝐺.
Gambar 2.5 Contoh graf 𝐺 dan komplemen graf 𝐺
Sugeng, Slamet, & Silaban (2014) menyatakan bahwa hasil kali Kartesian dari graf 𝐺 dan graf 𝐻 yang dinotasikan dengan 𝐺 × 𝐻 merupakan graf dengan himpunan simpul 𝑉 𝐺 × 𝑉 𝐻 dimana simpul 𝑢, 𝑣 bertetangga dengan simpul
𝑢b, 𝑣b jika dan hanya jika
(i) 𝑢 = 𝑢′ dan 𝑣𝑣′ ∈ 𝐸 𝐻 atau (ii) 𝑣 = 𝑣′ dan 𝑢𝑢′ ∈ 𝐸(𝐺).
a) Graf lintasan 𝑃# b) Graf lengkap 𝐶%
Berikut merupakan contoh graf hasil kali Kartesian dari dua graf.
Gambar 2.6 Contoh graf hasil kali kartesian dari dua graf
Graf tangga yang dinotasikan dengan 𝐿' merupakan graf hasil kali Kartesian dari graf lintasan 𝑃' dan graf lintasan 𝑃, . Graf tangga merupakan bentuk khusus dari graf 𝑃' × 𝑃R dengan 𝑚 = 2 (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014).
Berikut merupakan contoh graf tangga.
Gambar 2.7 Contoh graf tangga 𝐿#
Graf kaki seribu adalah graf hasil produk korona antara graf tangga 𝐿' dan komplemen graf lengkap dengan 𝑟 simpul 𝐾) dan dinotasikan dengan 𝐿' 𝐾) (Sugeng, Slamet, & Silaban, 2014).
10
Graf kaki seribu 𝐿' 𝐾) ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 2.8 Contoh graf kaki seribu 𝐿' 𝐾)
2.3 Variasi Pelabelan Graceful
Salah satu jenis pelabaelan pada graf yaitu pelabelan graceful. Pelabelan graceful memiliki beragam variasi, yaitu pelabelan 𝜌 yang merupakan modifikasi dari pelabelan graceful, serta pelabelan graceful ganjil-genap yang juga merupakan modifikasi dari pelabelan graceful. Pelabelan graceful pertama kali diperkenalkan oleh Alex Rosa pada tahun 1967. Pada saat itu Alex Rosa memperkenalkan pelabelan 𝛽 yang kemudian oleh Golomb disebut sebagai pelabelan graceful (Gallian, 2017).
Misalkan 𝐺 merupakan graf dengan |𝐸| busur, dan 𝑓 : 𝑉 𝐺 → {0, 1, … , |𝐸|}
merupakan fungsi injektif maka fungsi 𝑓 disebut pelabelan graceful jika untuk setiap busur 𝑢𝑣 diberi label dengan |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 | dan label setiap busur memiliki nilai yang berbeda (Gallian, 2017). Suatu graf disebut graf graceful jika memiliki pelabelan graceful.
Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful pada graf graf 𝐶*.
Gambar 2.9 Contoh pelabelan graceful pada 𝐶*
Selain pelabelan graceful, terdapat pula pelabelan 𝜌 yang merupakan modifikasi dari pelabelan graceful. Suatu graf dengan |𝐸| busur dikatakan memiliki pelabelan 𝜌 jika 𝑓 : 𝑉 𝐺 → {0, 1, … , |𝐸| + 1} merupakan fungsi injektif dan menginduksi fungsi bijektif dari pelabelan busur 𝑓∗ : 𝑉 𝐸 → {1, 2, … , |𝐸|} atau 𝑓∗ : 𝑉 𝐸 → {1, 2, … , |𝐸| − 1, |𝐸| + 1} dimana untuk setiap busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 dengan simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku 𝑓∗= |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 | (Gallian, 2017). Berikut ini diberikan contoh pelabelan 𝜌 graf 𝐶#.
Gambar 2.10 Contoh pelabelan 𝜌 pada graf 𝐶#
Pelabelan graceful memiliki berbagai varian, salah satunya yaitu pelabelan graceful ganjil-genap. Sridevi, Navaneethakrishnan, Nagarajan dan Nagarajan (2012) mendefinisikan pelabelan graceful ganjil-genap pada graf dengan |𝐸| busur jika jika 𝑓 : 𝑉 𝐺 → {1, 3, 5, … , 2|𝐸| + 1} merupakan fungsi injektif dimana ketika setiap busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 diberikan label |𝑓 𝑢 − 𝑓 𝑣 |, label busur yang diperoleh yaitu {2, 4, 6, … , 2|𝐸|}. Suatu graf yang memiliki pelabelan graceful ganjil-genap disebut sebagai graf graceful ganjil-genap.
12
Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐶#.
Gambar 2.11 Contoh pelabelan graceful ganjil-genap pada 𝐶#
2.4 Hasil yang Sudah Dicapai
Graf yang digunakan dalam penelitian ini yaitu graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yang merupakan subgraf dari graf kaki seribu. Berikut merupakan graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾).
Gambar 2.12 Graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾)
Hasil yang telah diperoleh yaitu pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾P yang ditunjukkan pada Gambar berikut.
Gambar 2.13 Contoh pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾)
a) Graf 𝐿,ʘ𝐾e) b) Graf 𝐿*ʘ𝐾e)
(a) (b) (c)
Gambar (a) merupakan pelabelan graceful pada graf 𝐿,ʘ𝐾P, gambar (b) merupakan pelabelan 𝜌̂ pada graf 𝐿,ʘ𝐾P, dan gambar (c) merupakan pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾P. Label dengan warna hitam merupakan label untuk simpul, sedangkan label berwarna merah merupakan label sisi. Terlihat pada setiap jenis pelabelan bahwa label untuk simpul dan sisi tidak ada yang sama.
2.5 Road Map
Tahun ini merupakan tahap awal pengkonstruksian variasi pelabelan graceful khususnya pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil- genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yang merupakan subgraf graf kaki seribu.
Hasil yang diperoleh nantinya dapat menjadi acuan untuk mengkonstruksi pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada subgraf graf kaki seribu yang lainnya serta graf kaki seribu 𝐿'ʘ𝐾) di penelitian selanjutnya.
Pada tahun berikutnya, akan dilakukan pengkonstruksian variasi pelabelan magic type dan antimagic type yang belum pernah dilakukan pada graf kaki seribu.
Gambar 2.14 Road map penelitian 2021-2026: Variasi
pelabelan graceful pada subgraf graf kaki seribu
2027-2031: Variasi pelabelan graceful pada graf kaki seribu
2032-2036: Variasi pelabelan magic type dan antimagic type pada graf kaki seribu
14
BAB 3. METODE PENELITIAN
3.1 Kerangka Penelitian
Adapun diagram alur penyelesaian masalah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
Gambar 3.1 Alur penelitian
Berikut merupakan penjelasan dari langkah-langkah yang akan dilakukan pada penelitian ini.
1. Studi literatur
Studi literatur dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku dan makalah yang relevan dengan topik pembahasan yaitu mengenai teori graf dan variasi pelabelan graceful yang meliputi pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap.
2. Konstruksi pelabelan pada subgraf graf kaki seribu
Pada tahap ini, akan dilakukan pengkonstruksian pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap secara manual pada graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾). Pembagian tugas dalam penelitian ini dilakukan sebagai berikut:
(i) Ketua peneliti akan mengkonstruksi pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿*ʘ𝐾).
(ii) Anggota peneliti 1 akan mengkonstruksi pelabelan graceful serta pelabelan 𝜌̂ pada graf 𝐿,ʘ𝐾).
(iii) Anggota peneliti 2 yang merupakan mahasiswa akan mengkonstruksi pelabelan graceful ganjil-genap pada graf 𝐿,ʘ𝐾).
Studi literatur
•Teori Graf
•Variasi Pelabelan Graceful (pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil- genap)
Konstruksi pelabelan pada subgraf graf kaki seribu
•Mengkonstruksi pelabelan graceful
•Mengkonstruksi pelabelan 𝜌̂
•Mengkonstruksi pelabelan graceful ganjil-genap
Penarikan kesimpulan
3. Penarikan Kesimpulan
Langkah terakhir yang dilakukan adalah penarikan kesimpulan terhadap graf 𝐿,ʘ𝐾) dan graf 𝐿*ʘ𝐾) yang telah diberikan pelabelan graceful, pelabelan 𝜌̂, serta pelabelan graceful ganjil-genap.
3.2 Luaran Penelitian
Luaran dari penelitian ini nantinya akan diseminarkan pada seminar internasional dan dipublikasikan pada prosiding internasional terakreditasi
3.3 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Matematika dan Statistika Terapan Jurusan Matematika Universitas Lampung. Waktu penelitian ini akan dilakukan pada bulan Maret – Agustus 2021.
3.4 Indikator Capaian
Berikut merupakan detail luaran dan indikator capaian dari penelitian ini.
Tabel 3.1 Luaran dan Indikator Capaian Penelitian No Jenis Luaran Indikator Capaian 1 Pemakalah dalam temu ilmiah Terdaftar pada International
Conference on Mathematics and Sciences 2021
2 Publikasi ilmiah di prosiding internasional terakreditasi
Submited pada prosiding
internasional Journal of Physics:
Conference Series (JPCS) 2021 3 Tingkat Kesiapan Teknologi 3
16
BAB 4. RENCANA ANGGARAN BIAYA DAN JADWAL PENELITIAN
4.1 Anggaran Biaya
Total biaya yang diusulkan pada proposal penelitian ini yaitu sebesar Rp.
15.000.000,-. Adapun rencana anggaran biaya disusun sebagai berikut.
Tabel 4.1 Anggaran Biaya Penelitian
No Komponen Biaya yang diusulkan (Rp) 1 Pengadaan alat dan bahan penelitian 5.390.000
2 Biaya perjalanan penelitian 2.400.000 3 Alat tulis kantor/bahan habis pakai 4.010.000 4 Laporan/Diseminasi/Publikasi 3.200.000
Jumlah 15.000.000
4.2 Jadwal Penelitian
Jadwal kegiatan yang akan dilaksanakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
Gambar 4.1 Diagram Jadwal Kegiatan Penelitian
0 1 2 3 4 5 6
Bulan K
E G I A T A N
Jadwal Penelitian
Studi Literatur
Konstruksi Pelabelan Seminar dan Publikasi
REFERENSI
Gallian, J.A. (2017). A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, #DS6.
Gallian, J.A. (2019). A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, #DS6.
Handayani, A.D., & Sugeng, K.A. (2014). Graceful Labeling on Bat Graph 𝐵L 𝑛, 𝑟, 𝑠 . Mathematics Education And Graph Theory (Proceedings of International Seminar on Mathematics Education and Graph Theory), 491-494.
Haryono, M. (2012). Tesis: Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga, Gabungan Graf Tangga, dan Graf Kaki Seribu. Tesis. Program Studi Magister Matematika FMIPA UI.
Jesintha, J.J., Subashini, K., & Beula J.R.R. (2019). Graceful Labeling of some New Graphs. Bull. Pure Appl. Sci. Sect. E Math. Stat, 38E, 60- 64.
Jesintha, J.J., Subashini, K., & Sabu A.M. (2019). Graceful Labeling on a New Family of Graphs. Bull. Pure Appl. Sci. Sect. E Math. Stat, 38E, 1-6.
Lopez, S.C. & Muntaner-Batle, F.A. (2016). Graceful, Harmonious and Magic Type Labelings Relations and Techniques. Spain: Springer.
Sridevi, R., S. Navaneethakrishnan, A. Nagarajan & K. Nagarajan. (2012).
Odd-Even Graceful Graphs. J. Apl. Math. & Informatics, 30, 5-6.
Sugeng, K.A., Slamet S., & Silaban, D.R. (2014). Teori Graf dan Aplikasinya. Buku Teks. Depok: Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia.
