Hiperbola. Minggu 17

Hiperbola

Minggu 17

Definisi Alternatif

• Hiperbola adalah set semua titik pada satah dengan syarat perbezaan antara jarak titik kepada dua titik tetap (fokus) adalah suatu pemalar.

• Bentuk piawai hiperbola berpusat pada asalan:

• Bercabang kiri & kanan

• Bercabang atas & bawah 1 1

2 2 2

2

2 2 2

2

=

−

=

− b

x a

y

b y a

x

r₁

r₂

Bentuk Asas Hiperbola: Dua Parabola

Hiperbola

Bagi sebarang titik P yang berada pada hiperbola, d

₂

– d

₁

adalah pemalar

Dalam contoh ini, titik asalan adalah pusat

hiperbola. Pusat ialah titik tengah antara titik-titik

fokus.

F₁ F₂

d₁ d₂

P

1. Garis melalui titik-titik fokus bersilang dengan hiperbola pada bucu-bucu (V)

2. Segmen yang

menyambungkan bucu-bucu ialah paksi merentas lintang hiperbola.

3. Pusat hiperbola terletak pada titik tengah paksi merentas lintang.

F F

V V

C

Hiperbola

F F

V V

C

4. Garis-garis berputus adalah asimptot (asymptote)

hiperbola.

5. Asimptot melalui pusat hiperbola.

Hiperbola

(c, 0) (-c, 0)

F₁ ^{(-a, 0) (a, 0)} F₂

A₁ A₂

B (0, b)

B (0, -b)

Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola Berpusat di (0, 0) & Fokus pada paksi x

Persamaan hiperbola berpusatkan (0, 0) dgn fokus pada paksi-x :

x

²

a

²

− y

²

b

²

= 1

Panjang paksi merentas lintang ialah 2a.

Panjang paksikonjugat ialah 2b.

Bucu-bucu ialah (a, 0) dan (-a, 0).

Fokus ialah (c, 0) and (-c, 0).

Persamaan asimptot:

Titik fokus terletak pada paksi y

F₁(0, c)

F₂(0, -c) A₁(0, a)

A₂(0, -a)

B₂(b, 0) B₁(-b, 0)

Persamaan hiperbola

berpusat di (0, 0) dan fokus pada paksi y :

y

²

a

²

− x

²

b

²

= 1

Panjang paksi merentas lintang = 2a.

Panjang paksi konjugat = 2b.

Bucu-bucu (0, a) & ( 0, -a).

Fokus (0, c) & (0, -c).

Persamaan asimptot:

y = a/b x ; y = - a/b x

Nyatakan kordinat bucu-bucu, titik-titik fokus , panjang paksi

merentas lintang dan konjugat, serta persamaan asimptot hiperbola.

x

²

4 − y

²

16 = 1

a = 2 and b = 4.

Panjang paksi merentas lintang, 2a = 4; a=2.

Panjang paksi konjugat, 2b = 8; b=4.

Bucu ialah (2, 0) dan (-2, 0):

c² = a² + b² [ b² = c² - a²]

= 4 + 16

= 20

c = 20 c = 2 5

Kordinat titik-titik fokus

(2 5,0) and (−2 5,0).

Persamaan asimptot

2 2

.

1 1

y = x and y = − x

y

²

25 − x

²

9 = 1

c² = a² + b²

= 25 + 9

= 34

c = 34

Kordinat titik-titik fokus

(0, 34) and (0,− 34).

Persamaan asimptot ialah

5 5

.

3 3

y = x and y = − x

a = 5 and b = 3.

Panjang paksi merentas lintang 2a = 10; a=5

Panjang paksi konjugat 2b = 6; b=3.

Bucu-bucu ialah (0, 5) and (0, -5):

(h, k)

Pusat ialah (h, k).

Bila paksi merentas lintang menegak,

tidak berpusat di (0, 0). Persamaan umum

(y − k)

²

a

²

− (x − h)

²

b

²

= 1

Paksi merentas lintang selari dengan paksi y dan panjangnya 2a unit.

Paksi konjugat selari dengan paksi x dan panjangnya 2b unit.

Kecerunan asimptot

a and a .

b − b

Jika paksi merentas lintang mendatar:

(x − h)

²

a

²

− (y − k)

²

b

²

= 1

Paksi merentas lintang selari dengan paksi x dan panjangnya 2a unit.

Paksi konjugat selari dengan paksi y dan panjangnya 2b unit.

Kecerunan asimptot b and b.

a − a

Huraikan hiperbola berikut

• Paksi merentas lintang axis adalah menegak

• Pusat ialah (-1, 3)

• a = 2 unit, bucu terletak di (-1, 5) & (-1, 1)

• Asimptot melalui titik (-1, 3), kecerunan = 2/3, -2/3

• Fokus terletak unit di atas dan di bawah pusat,

• Kordinat titik-titik fokus diberikan oleh

36 )

1 (

4 )

3 (

9 y −

²

− x +

²

=

13

) 13 3

, 1 ( ), 13 3

, 1

( − + − −

Mencari Persamaan Hiperbola

Pusat ialah (-2, 3), maka h = -2 and k = 3.

Paksi merentas lintang selari dengan paksi y, panjangnya 10 unit, maka a = 5.

Paksi konjugat selari dengan paksi x, panjangnya 6 unit, maka b = 3.

Bucu-bucu ialah (-2, 8) and (-2, -2).

(y − k)

²

a

²

− (x − h)

²

b

²

= 1

Bentuk Piawai c² = a² + b²

= 25 + 9

= 34

c = 34

Kordinat titiki-titik fokus

(−2, 3 + 34 ) and (−2, 3 − 34).

( ) ( )

9 1 2 25

3

²

+

²

=

− − x

y

Mengungkapkan Persamaan dalam Bentuk Am

9(y - 3)

²

- 25(x +2)

²

= 225 9(y

²

- 6y + 9) - 25(x

²

+ 4x + 4) = 225 9y

²

- 54y + 81 - 25x

²

- 100x - 100 = 225 -25x

²

+ 9y

²

- 100x - 54y + 81 - 100 = 225

-25x

²

+ 9y

²

- 100x - 54y - 244 = 0 Persamaan dalam bentuk am

( ) ( )

9 1 2 25

3

²

− +

²

=

− x

y

Mencari Persamaan Hiperbola

• Cari persamaan hiperbola yang berpusat di

titik (2, -3) jika salah satu bucunya terletak

pada titik (6, -3) dan salah satu titik fokusnya

ialah titik (-3, -3).

Hiperbola berpusat di titik (2, -3). Salah satu bucunya ialah titik (6, -3), salah satu titik fokus ialah titik (-3, -3).

Pusat ialah (2, -3), h = 2, k = -3.

Jarak pusat ke bucu ialah 4 unit, a = 4.

Jarak pusat ke titik fokus ialah 5 unit, c = 5.

Gunakan Teorem Pythagoras untuk mencari b b² = c² - a²

= 25 - 16 b = ± 3= 9

(x − h)

²

a

²

− (y − k)

²

b

²

= 1 (x − 2)

²

4

²

− (y + 3)

²

3

²

= 1

(x − 2)

²

16 − (y + 3)

²

9 = 1

Bentuk Piawai

Contoh Latihan

• Nyatakan kordinat titik-titik bucu, fokus,

panjang paksi merentas lintang, paksi konjugat serta persamaan asimptot bagi hiperbola yang mempunyai persamaan

4x ² - 9y ² + 32x + 18y + 91 = 0.

4x

²

- 9y

²

+ 32x + 18y + 91 = 0 (4x

²

+ 32x ) + (- 9y

²

+ 18y) + 91 = 0

4(x

²

+ 8x + ____) - 9(y

^{16 2}

- 2y + _____) = -91 + _____ + _____

^{1 64 -9}

4(x + 4)

²

- 9(y - 1)

²

= -36

−(x + 4)

²

9 + ( y −1)

²

4 = 1 (y − 1)

²

4 − (x + 4)

²

9 = 1

4x ² - 9y ² + 32x + 18y + 91 = 0

(y − 1)

²

4 − (x + 4)

²

9 = 1

) 13 1

(-4, ialah fokus

titik -

Titik

13 9

4 c

1) - (-4, dan 3)

(-4, ialah bucu

titik -

Titik

1 k

-4, h

kerana 1)

(-4, titik pada

berada Pusat

6 konjugat paksi

Panjang

4 lintang

merentas paksi

Panjang 3 b

2, a

±

= +

=

=

=

=

=

=

=

Persamaam Asimptot : y -1 = ± 2/3 (x +4)

Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)

– Kedua-dua sebutan x dan y dikuasaduakan – Sebutan pemalar ialah 1

– Persamaan sentiasa melibatkan operasi (-)

– a

²

adalah penyebut (denominator) yang pertama – c

²

= a

²

+ b

²

– c = jarak dari pusat ke titik fokus

– a = jarak dari pusat ke bucu (pada paksi

merentas lintang)

Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)

– b = jarak dari pusat titik tengah sisi segiempat tepat yang digunakan untuk melakarkan

asimptot.

– Jika sebutan x

²

ialah sebutan pertama, hiperbola adalah melintang

– Jika sebutan y

²

ialah sebutan pertama, hiperbola

adalah menegak.

Rumusan Sifat-Sifat Penting Hiperbola

Persamaan Pusat Titik-titik Fokus Persamaan

Asimptot Bucu-bucu Arah paksi merentas

lintang (x – h)² _ (y – k)²

a2 b²

(h, k) (h – c, k) &

(h + c, k) y – k = +/- (b/a)

(x – h) (h +a, k) &

(h – a, k) Melintang

(y – k)² _ (x – h)² a2 b²

(h, k) (h, k – c) &

(h, k + c) (c = a²+ b²)

y – k = +/- (a/b)

(x – h) (h, k + a) &

(h, k – a)

Menegak

= 1

= 1

Latihan 1

Tuliskan persamaan bentuk piawai bagi hiperbola

144y

²

– 25x

²

– 576y – 150x = 3249.

Seterusnya, cari kordinat pusat, bucu-bucu, titik-titik fokus dan persamaan asimptot. Lukiskan graf

hiperbola tersebut dan asimptot-asimptotnya.

Practice Example 1

Write the standard form of the equation of the hiperbola

144y² – 25x² – 576y – 150x = 3249. Then find the coordinates of the center, the vertices, the foci, and the equation of the asymptotes. Graph the hiperbola and the asymptotes.

144(y² – 4y + ) – 25(x² + 6x + ) = 3249 + 144() - 25() 144(y² – 4y + 4) – 25(x² + 6x + 9) = 3249 + 144(4) - 25(9)

144(y – 2)² – 25(x + 3)² = 3600 (y-2)² _ (x + 3)²

25 144 = 1

Center: (-3, 2) a = 5 so the vertices are (-3, 7) and (-3, -3) a² + b² = c²

25 + 144 = c² c = 13

The foci are (-3, 15) and (-3, -11).

Practice Example 1 (cont.)

Asymptotes have the formula y = ± a/b x and we have center (-3, 2) and slopes ± 5/12.

y – 2 = 5/12 (x + 3) y – 2 = -5/12 (x + 3)

y – 2 = (5/12) x + 15/12 y – 2 = (-5/12) x + -15/12 y = (5/12) x + 13/4 y = (-5/12) x + 3/4

Latihan 2

Cari kordinat bagi bucu-bucu dan titik-titik fokus serta kecerunan asimptot setiap hiperbola berikut. Seterusnya, lakarkan

hiperbola tersebut.

1) x

²

_ y

²

9 49

2) 25x

²

– 4y

²

= 100

= 1

1) Ver tic es: ( -3, 0) (3,

0) F oci:

(- 58, 0) (

58, 0) S lope

= + /- 7/3

2) Ver tic es: ( -2, 0) ( 2, 0)

Foc i:

( 29, 0) (

- 29, 0)

S lope = +/-

5/2

1) 2)

Further Problems

Identify 9x

²

+ 16y

²

– 54x + 64y + 1 = 0 as one of the four conic sections. Then graph the conic section.

9x² + 16y² – 54x + 64y = -1

9 (x² – 6x + ) + 16(y² + 4y + ) = -1 + 9() + 16() 9 (x² – 6x + 9) + 16(y² + 4y + 4) = -1 + 9(9) + 16(4)

9(x – 3)² + 16(y + 2)² = 144 (x – 3)² (y + 2)²

16 9

This conic section is an ellipse.

+ = 1

Further Problems

Identify 9x

²

+ 16y

²

– 54x + 64y + 1 = 0 as one of the four conic

sections. Then graph the conic section.

Further Problems

Write the equation in standard form and decide if the conic section is a parabola, a circle, an ellipse, or a

hiperbola. Then graph the equation.

1) x

²

+ y

²

+ 6x = 7

2) 5x

²

– 6y

²

– 30x – 12y + 9 = 0

1) (x + 3) + ( 2 2 y)

= 1 6 c irc le 2) (x –3

2 ) _ (y + 1

2 ) hipe

rbo la

6 5

= 1 2) 1)