ANALISIS METRIK FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER DALAM MENENTUKAN MODEL-MODEL KOSMOLOGI. Mhd Yasir 1, Erwin Amirudin 2

ANALISIS METRIK FRIEDMANN-ROBERTSON-WALKER DALAM MENENTUKAN MODEL-MODEL KOSMOLOGI Mhd Yasir 1, Erwin Amirudin2 1. 2. Mahasiswa Program S1 Fisika Dosen Bidang Instrumentasi dan Kemagnetan Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Kampus Bina Widya Pekanbaru, 28293, Indonesia mhdyasir46@gmail.com. Abstrack In this paper, the Friedmann-Robertson-Walker metric for spherical coordinates and adition time coordinates has been explored. The method used in this research was driving the equations obtained from Einstein’s equations by ignoring the presure and cosmological costant known as the Friedmann model. Then determine the final solution of the equation obtained from the Friedmann model by reviewing each case, for case k  1 , case k  0 , and case k  1 . The final solution obtained from each case is simulated in graphical form. Keywords: Friedmann-Robertson-Walker metric, Einstein equation, Friedmann model.. Abstrak Dalam makalah ini, ditinjau metrik Friedman-Robertson-Walker untuk koordinat bola ditambah koordinat waktu. Metode yang digunakan adalah metode analisis dengan memecahkan persamaan yang diperoleh dari persamaan Einstein dengan cara mengabaikan tekanan dan konstanta kosmologi yang dikenal sebagai model Friedmann. Kemudian menetukan solusi akhir persamaan yang diperoleh dari model Friedmann dengan meninjau masing-masing kasus, untuk kasus k  1 , kasus k  0 , kasus k  1 . Solusi akhir yang diperoleh dari maisng-masing kasus disimulasikan dalam bentuk grafik. Kata kunci : Metrik Friedmann-Robertson-Walker, persamaan Einstein, model Friedmann.. 1.

setiap. PENDAHULUAN Persamaan gravitasi Einstein berguna. untuk. persamaan. menentukan. ruang-waktu. alam. posisi. di. alam. semesta,. misalnya (pada skala yang cukup besar) secara lokal pada keadaan diam.. semesta. Solusi persamaan Einstein. Einstein. mempostulatkan. menggambarkan. seluruh. alam. bahwa alam semesta merupakan. semesta. menggambarkan. homogen dan isotropik pada setiap. seluruh ruang-waktu (Cheng Ta-Pei,. saat evolusinya (Kachelrieb, 2015).. 2005).. digunakan. Sifat homogen dan isotropik alam. dalam menafsirkan geometri alam. semesta dapat didekati menggunakan. semesta. metrik.. karena. Metrik. dapat. secara. sepenuhnya. benar. dalam. dan. Akhirnya. diperkenalkan. memahami. metrik Friedmann-Robertson-Walker. gagasan luminositas dan jarak dalam. untuk alam semesta homogen dan. kosmologi (Liddle, 2003, Ryden,. isotropik (Kachelrieb, 2015).. 2006). Menurut prinsip kosmologi. Metrik. FRW. (Friedmann-. alam semesta bersifat homogen dan. Robertson-Walker) dalam penelitian. isotropik. ini digunakan untuk mengkontruksi. (Hamilton,. 2014,. Lambourne, 2010).. persamaan. Pernyataan. bahwa. alam. evolusi. dalam. memodelkan kosmologi. Kemudian,. semesta merupaka homogen dan. menggunakan. isotropik bukan berarti metrik juga. Lagrangian. homogen. namun. persamaan masing-masing koordinat. maksudnya bahwa memungkinkan. bola (r ,  ,  ) ditambah koordinat. untuk menentukan kerangka acuan. waktu (t ) pada elemen garis metrik. seperti. FRW.. dan. isotropik,. metrik,. yang. merupakan. fungsi koordinat, tidak bergantung pada lokasi asal dan orientasi sumbu (Blote, 2016). Jadi tugasnya memilih kondisi koordinat yang sesuai. Wajar bahwa sedemikian. memilih rupa. koordinat. sehingga. pada. persamaan untuk. Euler-. menghasilkan. Alam semesta dimodelkan sebagai. model. Friedman. dalam. menganalisis metrik FRW, di dalam metrik FRW terdapat konstanta k yang. dikenal. sebagai. parameter. kelengkungan ruang-waktu. Nilai k 2.

terbagi menjadi tiga kategori, yaitu. dalam. penelitian. ini. adalah. nilai k  0 , k  0 , dan k  0 . Agar. parameter kelengkungan (k).. perhitungan lebih sederhana, maka. Model-model. kosmologi. nilai k  0 diplih k  1 , sedangkan. diperleh dari pembuatan program. k  0 dipilih k  1 . Ketiga nilai k. grafik. yang ditetapkan ini nantinya akan. software matlab R2014a. Progam. dihasilkan fungsi persamaan dan. yang ditulis yaitu program umata dan. bentuk grafik yang berbeda-beda,. program. dari fungsi persamaan dan bentuk. digunakan untuk mengimput data. grafik. yang dihasilkan dari perhitungan dan. inilah. gambaran. akan. diperoleh. model-model. alam. semesta.. dengan. menu,. program. menggunakan. program. menu. utama. berguna. untuk. menampilkan grafik model-model kosmologi.. METODE PENELITIAN Metode. yang. digunakan. dalam penelitian ini adalah metode teoritis untuk menentukan model-. METRIK FRIEDMANNROBERTSON-WALKER Metrik Friedmann-Robertson-. model kosmologi melalui metrik. Walker. Friedmann-Robertson-Walker.. fundamental. di. Bahan dalam penlitian diperoleh dari. kosmologi. standar.. buku-buku-buku dan jurnal-jurnal. Friedmann-Robertson-Walker. yang. dibangun menggunakan pendekatan. berkaitan. dengan. Teori. Relativitas Umum (TRU). Penelitian ini menggunakan persamaan memperoleh. merupakan. kuantitas. dalam. model Metrik. pemikiran.. Tinjau. metrik. pada. selembar. kertas. datar. yang. Einstein. untuk. dispesifikasi oleh dua koordinat x1. solusi. akhir. dan x2 . Jarak s dua titik pada. perhitungan, serta memodelkan alam. kertas. semesta sebagai model alam semesta. Phytagoras.. diberikan. oleh. teorema. Friedmann, model dimana tekanan dan konstanta kosmologi diabaikan. Sehingga. yang. paling. s 2  x12  x2 2. (1). berperan 3.

Ganti lembaran kertas dengan lembaran. karet. yang. dapat. disini a(t ) merupakan ukuran laju perluasan atau ekspansi.. berkembang. Lembaran karet dengan. s hanya merujuk pada jarak. koordinat x1  x2 meluas maka jarak. spasial antar titik. Didalam relativitas. antara titik juga berubah membesar. umum hal menarik terletak pada. dengan waktu, dan apabila perluasan. jarak titik-titik dalam ruang waktu. serba sama (tidak bergantung pada. empat dimensi. Selain itu, juga harus. posisi) jarak s dua titik dapat. mengantisipasi kemungkinan ruang. diungkapkan.. waktu yang melengkung. Elemen. . s 2  a 2 (t ) x12  x2 2. . (2). garis relativistik empat dimensional mempunyai bentuk umum:. . s 2  c 2 t 2  a 2 ( x) x12  x2 2  x32. . (3). Secara umum metrik Friedmann-Robertson-Walker dalam koordinat bola dan waktu dapat ditulis sebagai berikut:.  dr 2  d  dt  R (t )   r 2 (d 2  sin 2  d 2 )  2  1  kr  2. 2. 2. (4). prinsip kosmologi dapat membantu dan menentukan perumusan metrik tersebut. HASIL ANALISIS METRIK FRIEDMANN –ROBERTSON-WALKER Beritkut metrik atau elemen garis sederhana d 2  dx12  dx2 2  dx32. (5). mengacu pada metrik Friedmann-Robertson-Walker yang mempunyai bentuk:.  dr 2  d 2  dt 2  R 2 (t )   r 2 (d 2  sin 2  d 2 )  2  1  kr . (6). dengan R (t )  R merupakan kelengkungan sklar/ skalar Ricci.. 4.

Persamaan Einstein yang digunakan dalam menentukan solusi akhir dari metrik Friedmann-Robertson-Walker sebagai berikut: G00  R00 . 1 g 00 R  8 GT00 2. (7). atau,.  1  dR 2 1 d 2 R k  3 d 2R 1   (6)  2     8 GT00  R  dt  R dt 2 R 2  R dt 2 2  . (8). atau,. 1  dR  k 8 G T00   2  2  R  dt  R 3. (9). 2. Evolusi. R (t ). harus. (dan. juga. konstanta. kosmologi. mengasumsikan bentuk T  untuk. diabaikan). distribusi. semesta.. model Friedmann (alam semesta). Asumsikan bahwa alam semesta. dan persamaan dalam kasus ini. terdiri dari gas partikel (galaksi) dan. menjadi:. materi. alam. pada skala besar kecepatan gas ini sama dengan kecepatan berkembang. Pendekatan. dilakukan. dengan. mengabaikan. konstribusi. tekanan. untuk tensor tegang (stress) T  dari sistem. Dalam kasus ini, dapat ditulis T 00  T00  . dimana. . merupakan. (10). yang dikenal sebagai. 1  dR  k 8 G    2  2  R  dt  R 3 2. (11). disini dipelajari tiga kasus secara terpisah yaitu: k  1 , k  0 , dan. k  1 Kasus Kelengkungan Positif ( k  1 ) Variasi. densitas. materi. secara berlawanan (invers) sebagai volume sehingga dapat kita tulis. densitas. materi (energi) di alam semesta. Model dimana tekanan diabaikan. (faktor tak-familiar dalam volume berasal dari metrik nontrivial). . M 2 2 R 3. (12). 5.

dimana M adalah massa total alam. Persamaan. evolusi. dalam. semesta. Persamaan evolusi dalam. kasus ini diambil dalam bentuk. kasus ini memiliki bentuk sebagai. berikut:. berikut:. 1  dR  1 4GM   2  2  R  dt  R 3 R 3. 2. 2. 1  dR  1 4GM   2  2  R  dt  R 3 R 3. (13). diperoleh. kelengkungan persamaan. persamaan. d 1  dt R. hasil. (14). untuk. konstanta. model. kosmologinya. sebagai berikut:. R  cosh(6t )1 3  1. untuk. (19). konstanta. k  1 , solusi akhir. model. hasil. kelengkungan k  1 , solusi akhir. maka didefinisikan, dt  Rd ,. diperoleh. (18). HASIL DAN PEMBAHASAN Berikut. kosmologinya. ini. akan dibahas. model-model kosmologi dengan tiga. sebagai berikut:. R  (1  cos(6t )1 3 ). (15). kasus parameter kelengkungan, yaitu kasus k  1 , kasus k  0 , dan kasus. Kasus Kelengkungan Nol ( k  0 ) Persaman. evolusi. dalam. 1  dR  4GM   2  R  dt  3 R 3. hasil. kelengkungan. kelengkungan. merupakan parameter ruang-waktu,. Robertson-Walker. 2. persamaan. Perameter. yang mana dalam metrik Friedmann-. kasus ini dapat ditulis menjadi:. diperoleh. k  1 .. (16). menyatakan. konstanta. Tiga kasus parameter kelengkungan tersebut dinyatakan. untuk. konstanta. k  0 , solusi akhir. model. kosmologinya. Grafik Kelengkungan Positif (k  1). sebagai berikut: R  3t 2 3. sebagai berikut:. (17). Grafik yang dihasilakn dari solusi akhir model kosmologi R. Kasus Kelengkungan Negatif ( k  1 ). fungsi waktu t cosinus, dengan. 6.

persamaan. R  (1  cos(6t )1 3 ) ,. diperoleh sebagai berikut :. (d) (a). Gambar Komputer. 4.1. Keluaran. Untuk. Simulasi. Kelengkungan. Positif ( k  1 ) dari Alam Semesta Tertutup. dan. Berevolusi. Secara. Periodik. (a) Nilai t = 0 hingga t = 0.2 dengan range 0.1. (b) Nilai t = 0 hingga t = 10 dengan range 0.1. (c) Nilai t = 0 hingga t = 360 dengan (b). range 0.1. (d) Nilai t = 0 hingga t = 18000 dengan range 0.1. Bentuk. grafik. yang. dihasilkan berosilasi, terlihat jelas pada gambar 4.1 bagian (c) dan (d) untuk nilai batas t masing-masing 360 dan 18000, sedangkan pada (c). gambar. bagian. (a). dan. (b). memperlihatkan bahwa pada waktu awal terbentuknya alam semesta mulai mengembang untuk nilai batas t masing-masing 0.2 dan 10 dengan nilai range yang sama untuk semua grafik, yaitu 0.1. Osilasi dari grafik 7.

tersebut menunjukkan alam semesta tertutup. dan. berevolusi. secara. periodik. Terlihat dari grafik bahwa usia alam semesta yang dihasilkan tidak tetap setiap evolusinya, pada grafik dimulai dari t  0 hingga. t  18000 lama evolusinya selalu bertambah besar hingga nilai. t. (b). semakin meningkat (dalam skala waktu kosmik). Grafik Kelengkungan Nol ( k  0 ) Grafik yang dihasilkan dari solusi. akhir. persamaan. model. kosmologi R fungsi waktu t, dengan persamaan. R  3t 2 3 ,. diperoleh. sebagai berikut :. (c). (d). (a) Gambar. 4.2. Keluaran. Simulasi. Komputer untuk Kelengkungan Nol (. k  0 ) dari Alam Semesta Datar dan Terbuka. (a) Nilai t = 0 hingga t = 0.2 dengan range 0.1. (b) Nilai t = 0 hingga t = 10 dengan range 0.1. (c) 8.

Nilai t = 0 hingga t = 360 dengan range 0.1. (d) Nilai t = 0 hingga t = 18000 dengan range 0.1. Bentuk dihasilkan. grafik. yaitu. yang. mengembang. dimulai dari t  0 hingga mencapai waktu tertentu (dalam gambar pada kisaran. 1. grafiknya. detik mulai. skala. kosmik). mendatar. (a). dan. terbuka untuk nilai t yang semakin besar, terlihat pada gambar 4.1 bagian (a), (b), (c), dan (d). Jadi, bentuk grafik ini menggambarkan alam semesta datar dan terbuka. Grafik diatas sesuai dengan yang didapatkan oleh Einstein dan de-Sitter pada tahun 1932. Hasil dari. (b). perhitungan mereka yaitu R  t 2 3 , untuk alam semesta yang didominasi oleh materi (Djorgovski, 2017). Grafik Kelengkungan Negatif (k  1). Grafik yang dihasilka dari solusi. akhir. persamaan. model. (c). kosmologi R fungsi waktu t cosinus hiperbolik,. dengan. persamaan. R  cosh(6t )1 3  1, sebagai berikut :. 9.

mengembang. disebabkan. pangkat 1/3 pada fungsinya.. oleh Jadi,. bentuk grafik ini menggambarkan alam semesta terbuka. Model alam semesta terbuka, akan. memuai. pemuain. selamanya.. tidak. akan. Laju pernah. mendekati nol dan apabila t   , (d) Gambar. 4.3. alam semesta menjadi datar (Das,. Keluaran. Komputer untuk. Simulasi. 2011).. Kelengkungan. Negatif ( k  1 ) dari Alam Semesta. KESIMPULAN. Terbuka. (a) Nilai t = 0 hingga t =. Berdasarkan hasil penelitian. 0.2 dengan range 0.1. (b) Nilai t = 0. yang telah dilakukan, diperoleh 3. hingga t = 10 dengan range 0.1. (c) Nilai t = 0 hingga t = 360 dengan. (tiga). model. kosmologi. dari. range 0.1. (d) Nilai t = 0 hingga t =. parameter kelengkungan (k) yang. 18000 dengan range 0.1. dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :. Bentuk. grafik. yang. dihasilkan yaitu mengembang pada waktu. awal. terbentuknya. Nilai k = 1 menyatakan alam 1.. alam. semesta. yang. semesta, terlihat pada gambar 4.3. kelengkungan. bagian (a), hingga mencapai waktu. alam semesta yang dihasilkan. tertentu grafiknya langsung terbuka. positif.. memiliki Bentuk. tertutup dan berevolusi secara. untuk waktu yang semakin besar, periodik.. terlihat pada bagian 4.3 bagian (b),. Nilai k = 0 menyatakan alam. (c), dan (d). Bentuk grafik terbuka disebabkan hiperbolik,. oleh. fungsi. sedangkan. cosinus bentuk. 2.. semesta. yang. memiliki. kelengkungan nol. Bentuk alam. 10.

semesta yang dihasilkan datar. Modern Cosmology 2th Edition.. dan terbuka.. University of Sussex: United. Nilai k = -1 menyatakan alam 3.. Liddle, A. 2003. An Introduction To. semesta. yang. kelengkungan. memiliki. negatif.. Bentuk. alam semesta yang dihasilkan. Kingdom. Kachelrieb. 2015. Lecture Notes for FY3452. Gravitation. and. Cosmology. Institut for fysikk NTNU: Trondheim Norway.. terbuka.. Lambourne, R. 2010. Relativity,. DAFTAR PUSTAKA. Gravitation and Cosmology.. Blote, H. 2016. Introduction to. Cambridge: United Kingdom.. General. Relativity.. Institute. for. Lorentz. Theoretical. Ta-Pei.. 2005.. Cosmology.. Depertment. of. Astronomy The Ohio State. Physics: Netherlands. Cheng. Ryden, B. 2006. Introduction to. Relativity,. University: United States.. Gravitation and Cosmology A Basic. Introduction.. University. Oxford. Press:. United. Kingdom. Das,. A.. 2011.. Lectures. on. Gravitation. World Scientific Co. Pte. Ltd: USA. Djorgovski.. 2017.. Relativistic. Cosmology and Cosmological Model. California Institute of Technology: United States. Hamilton,. A.. 2014-15.. General. Relativity, Black Holes, and Cosmology.. University. of. Colorado: United States.. 11.