1.1. Latar Belakang Masalah
Ruang vektor merupakan suatu sistem di aljabar linier yang sangat sering dipelajari karena banyak penerapannya di berbagai cabang ilmu sains. Seiring de- ngan perkembangannya, ruang vektor telah di generalisasi menjadi modul, yaitu dengan memperumum lapangan menjadi ring dengan elemen satuan. Oleh karena itu, sifat-sifat yang ada pada ruang vektor belum tentu berlaku pada modul. Sebagai contoh, pada ruang vektor selalu mempunyai basis, namun pada modul tidak se- lalu punya basis. Walaupun demikian, kemungkinan sifat-sifat yang tidak berlaku tersebut masih dapat dimodifikasi agar masih berlaku di modul yaitu dengan mem- berikan syarat tambahan pada sifat tersebut. Hal ini merupakan salah satu contoh penelitian yang dilakukan di bidang matematika, yaitu jika diketahui suatu sistem yang khusus, maka perlu dipelajari bentuk yang lebih umum dan perlu diselidiki sifat-sifat dari sistem yang khusus tersebut apakah masih berlaku di sistem yang lebih umum. Jika sifat tersebut tidak berlaku, maka perlu diselidiki syarat apa yang harus ditambah sehingga sifat tersebut berlaku pada sistem yang lebih umum. Selain itu, terdapat pula jenis penelitian yang dilakukan di bidang matematika, yaitu jika diketahui suatu sistem umum, maka perlu dipelajari lagi bentuk yang khusus dengan menambahkan syarat-syarat tertentu pada sistem umum dan kemudian menyelidiki apa kelebihan sistem khusus dari sistem yang umum.
Pada teori ring, dikenal beberapa jenis ring seperti ring komutatif, ring de- ngan elemen satuan, daerah integral dan lapangan. Di antara jenis ring komutatif dengan elemen satuan, dikenal istilah ring lokal, ring penilaian diskrit dan daerah Dedekind. Ring lokal adalah suatu ring dengan ideal maksimal tunggal (Matsumu- ra, 1980). Ring penilaian diskrit adalah daerah ideal utama dengan ideal maksimal taknolnya tunggal (Lang, 1974); sedangkan daerah Dedekind adalah daerah integral
1
yang bukan lapangan yang Noetherian dan lokalisasi di masing-masing ideal mak- simal merupakan ring penilaian diskrit (Koster, 2004). Karena ring lokal dan daerah Dedekind merupakan bentuk khusus dari ring dengan elemen satuan, maka modul atas ring lokal dan atas daerah Dedekind merupakan bentuk khusus dari modul atas ring dengan elemen satuan.
Pada modul atas ring, dikenal beberapa modul khusus yaitu, modul bebas (modul yang mempunyai basis), modul bebas torsi (modul yang tidak mempunyai elemen torsi taknol), modul proyektif ( yaitu suatu R-modul M dengan sifat untuk semua epimorfisma ρ : N −→ N0 dan homomorfisma f : M −→ N0 terdapat homomorfisma g : M −→ N sedemikian hingga ρ ◦ g = f ) dan modul flat (yaitu R-modul M dengan sifat, jika {0} → N1 → N2 barisan eksak R-modul maka {0} → N1⊗ M → N2⊗ M juga barisan eksak).
Pada modul atas ring, modul proyektif memiliki hubungan dengan modul bebas dan modul flat yaitu, setiap modul bebas merupakan modul proyektif (Ad- kins,1992) dan setiap modul proyektif merupakan modul flat (Dummit, 2004). Dan pada modul atas daerah integral dijamin bahwa setiap modul proyektif merupakan modul bebas torsi (Adkins,1992). Namun untuk sebaliknya, semua sifat tersebut belum tentu berlaku. Tetapi, jika ring diganti dengan ring lokal, maka setiap modul proyektif merupakan modul bebas (Koster, 2010). Selain itu, pada modul atas ring lokal juga berlaku setiap modul flat merupakan modul proyektif (Koster, 2010).
Muncul pertanyaan, apakah sifat-sifat tersebut masih berlaku jika ring diganti men- jadi daerah Dedekind? Untuk menjawab hal ini, maka perlu diselidiki apakah sifat tersebut masih berlaku pada modul atas daerah Dedekind dan apakah terdapat sifat baru yang tidak berlaku pada modul atas ring dan atas ring lokal.
1.2. Tujuan Penelitian
Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-2 (S2) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan tesis ini bertujuan un- tuk menyelidiki karakteristik dari modul proyektif atas daerah Dedekind dengan mempelajari secara spesifik bagaimana hubungan modul proyektif dengan jenis
modul tertentu, yaitu modul bebas, modul bebas torsi dan modul flat atas dae- rah Dedekind. Namun, untuk mempelajari hal tersebut, terlebih dahulu dipelajari bagaimana karakteristik modul proyektif atas ring dengan elemen satuan dan atas ring lokal. Karakteristik yang dimiliki oleh modul proyektif atas ring dengan ele- men satuan dan atas ring lokal tersebut kemudian dibandingkan dengan karakteristik modul proyektif atas daerah Dedekind.
1.3. Tinjauan Pustaka
Dalam penelitian ini diperlukan beberapa buku dan jurnal sebagai bahan re-ferensi. Untuk mempelajari teori modul, penulis menggunakan buku karangan Adkins (1992) dan Dummit (2004) sebagai referensi utama, selanjutnya buku An- derson dan Fuller (1992), T.Y. Lam (1998), Hungerford (1974), Arifin (1992), Atiyah (1969), Brown (1993), Hilton (1971) dan Lang (1974) sebagai referensi pendukungnya. Untuk mempelajari teori modul atas ring juga perlu mempelajari struktur aljabar abstrak, sehingga penulis merujuk ke buku karangan Malik (1997), Matsumura (1980) dan Musili (1991). Untuk mempelajari modul bebas, modul bebas torsi, modul proyektif dan modul flat atas ring dengan elemen satuan serta karakteristiknya penulis menggunakan buku karangan Adkins (1992) dan Dummit (2004). Sedangkan untuk mempelajari karakteristik modul proyektif atas ring lokal dan atas daerah Dedekind menggunakan jurnal Kosters (2010).
1.4. Metode Penelitian
Dalam penelitian ini dibahas mengenai beberapa jenis modul serta sifat-sifat yang dimilikinya. Konsep-konsep mendasar yang terlebih dahulu dipelajari adalah konsep ring dan modul yang meliputi definisi ring, subring, homomorfisma ring, ideal dan jenis-jenisnya seperti ideal prima dan ideal maksimal, lokalisasi pada ring, ring lokal, ring fraksi, daerah integral, daerah ideal utama, ring penilaian diskrit, daerah Dedekind, submodul, homomorfisma modul, lokalisasi pada modul, modul bebas, modul bebas torsi, modul proyektif, barisan eksak, jumlah langsung, hasil kali tensor dan modul flat.
Adapun metode atau langkah-langkah yang dipelajari dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mempelajari teori ring, khususnya yang berkaitan dengan beberapa penger- tian dan sifat-sifat ring dengan elemen satuan, ring lokal dan daerah Dedekind.
2. Mempelajari teori modul, khususnya yang berkaitan dengan modul bebas, modul bebas torsi, modul proyektif dan modul flat. Namun, untuk mempela- jari hal tersebut diperlukan pemahaman materi tentang pengertian homomor- fisma modul, barisan eksak, jumlahan langsung dan hasil kali tensor.
3. Mempelajari karakteristik modul proyektif atas ring dengan elemen satuan dengan melihat hubungannya dengan modul bebas, modul bebas torsi dan modul flat.
4. Mempelajari karakteristik modul proyektif atas ring lokal dengan melihat hubungannya dengan modul bebas, modul bebas torsi dan modul flat.
5. Mempelajari karakteristik modul proyektif atas daerah Dedekind dengan meli- hat hubungannya dengan modul bebas, modul bebas torsi dan modul flat.
6. Membandingkan sifat-sifat modul proyektif yang berlaku pada modul atas daerah Dedekind dengan modul proyektif atas ring dengan elemen satuan dan atas ring lokal.
1.5. Sistematika Penulisan
Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, tujuan dan manfaat penulisan, tin- jauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan mengenai definisi ring, ideal dan jenis-jenisnya, daerah integral, lokalisasi pada ring, ring lokal, daerah ideal utama, ring Noetherian, ring
penilaian diskrit, daerah Dedekind, definisi modul dan jenis-jenisnya (yaitu modul bebas, modul bebas torsi, modul proyektif dan modul flat), homomorfisma modul, jumlah langsung, lokalisasi pada modul, barisan eksak, hasil kali tensor, dan seba- gainya yang akan digunakan dalam membahas sifat-sifat dari modul bebas, modul bebas torsi, modul proyektif dan modul flat.
BAB III PEMBAHASAN
Bab ini berisi inti dari penelitian yang dilakukan yaitu membahas karakteristik mo- dul proyektif atas daerah Dedekind dengan melihat hubungannya dengan modul be- bas, modul bebas torsi dan modul flat. Namun, terlebih dahulu dibahas bagaimana karakteristik modul proyektif atas ring lokal. Selanjutnya membandingkan bagaima- na karakteristik modul proyektif atas daerah Dedekind dibanding dengan karakte- ristik modul proyektif atas ring dan atas ring lokal.
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan yang menyajikan secara ringkas dari keseluruhan pemba- hasan dan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
