BAB 9 PENGGUNAAN TRIGONOMETRI

74 Standar Kompetensi:

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa mampu menghitung luas segitiga

2. Mahasiswa mampu menentukan unsur-unsur sebuh segitiga

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan matematika yang berkaitan dengan perbandingan trigonometri , garis tinggi,garis bagi dan garis berat Aturan Sinus dan Cosinus

Perhatkanlah Segitika sebarang dengan sudut masing-masing

, , dan .

Pertama perhatikan terlebih dahulu segitiga siku-siku yang siku-siku di T. akan diperoleh bahwa:

Sehingga

Kedua perhatikan segitiga siku-siku BTC yang siku-siku di T. Kita dapat menuliskan bahwa:

BAB 9

PENGGUNAAN TRIGONOMETRI

75 Sehingga diperoleh hubungan bahwa:

Atau

Selanjutnya apabila segitiga diletakkan berbeda dari sebelumnya, yaitu menghimpitkan titik sudut C dengan pusat koordinat, sehigga diperoleh:

Perhatikan CTB diperoleh nilai

Sehingga:

Selanjutnya perhatikan ATB akan diperoleh nilai

Atau

Akibatnya adalah jika dan sehingga diperoleh

Atau

Dalam sebarang segutiga ABC, jika R: jari-jari lingkaran luar . A , B,C adalah sudut sudut , dan a,b, c berturut turut adalah sisi di hadapan sudut A, B,C, maka akan berlaku hubungan yang dikenal sebagai aturan sinus.

= 2R

76 C

Dari lingkaran dengan jari jari R di atas. Pertama buatlah garis tengah AA’ = 2R.

Perhatikan segitiga ABA’, sudut B = 90⁰ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur setengah lingkaran. Besar sudut A’ = C, karena sudut keliling tersebut menghadap busur yang sama ( busur AB).

Yang berarti :

Dengan cara yang sama, kita peroleh : Dan

Sehingga berlaku :

= 2R

Dari aturan sinus tersebut, kita dapat menurunkan beberapa pembuktian teorema /rumus berikut :

1. Rumus Napler : Dalam sebarang A

A’

A

B a

2R

c b

77 Dengan rumus aturan sinus, = 2R

a = 2R sin a

2. Rumus De Lambre-Mollweide Dalam sebarang

Bukti dengan menggunakan aturan sinus, kita peroleh :

Begitupun untuk rumus Delambe Mollweide yang ke dua.

78

Aturan Cosinus

Selanjutnya dengan memanfaatkan aturan Pythagoras dari segitiga ABC sebarang yang kita tarik garis tinggi dari masing-masing sudut kita akan peroleh:

Dari gambar (i), lihat AT1C dan BT1C terdapat hubungan bahwa:

Dimana

dan , maka Sehingga

(i) (ii)

(iii)

79 10

 

   

 

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

sin cos

sin 2 cos cos

sin cos 2 cos

2 cos

b t AT

a c a

a c ac a

a c ac

a c ac

 

  

  



 

  

   

   

   jadi

Dengan cara analog diterapkan pada gambar (ii) dan (iii) akan diperoleh hubungan bahwa

dan

Ketiga hal yang tersebut di atas dikenal dengan aturan cosinus. Jadi aturan cosinus adalah

Aplikasi Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan sinus digunakan untuk menghitung panjang sisi atau besar sudut sebuah segitiga.

Contoh:

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AC=10 cm, AB=12 cm dan ACB=60⁰ Tentukan panjang sisi-sisi dan besar sudut-sudut yang lain!

Jawab:

Pada segitiga ABC berlaku bahwa:

80 Pada ABC berlaku aturan sinus:

Sehingga:

0

1 2 1

2

10 12

sin sin 60

10 12

sin

10 12 sin sin 5

12













 



Sehingga

Jadi besar sudut

Panjang sisi a dihitung dengan:

 

0 5

12

0

10 sin sin

10 sin 97, 37

10 sin 97, 37 12 5 10 0, 99 12

5 23, 76

a

a

a

a a

 ^ 



 

  



Contoh:

Diketahui ABC dengan dan AC = ,  CAB = 30⁰ Tentukan panjang BC?

Jawab:

Berdasarkan aturan cosinus:

81

   

 

 

 

2 2 2

2 4 0

2 cos

2 2 4 2 2 2 4 cos 30 8 16 2 2 2 4 1 3

2 24 8 6

8 3 6

8 3 6

a b c bc

a



  

  

 

    

 

 

 

Jadi panjang sisi BC =

Rumus Luas Segitiga

Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus menentukan tinggi segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan rumus bahwa

L=

Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan cosinus untuk menghitung luas segitiga.

Perhatikan

Luas ABC=

Dengan mengganti nilai t dengan diperoleh

Dan jika t diganti dengan diperoleh

Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut A dan tegak lurus terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain yaitu

A B

C a 4

30⁰

82 Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang diketahui besarnya salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut.

Selanjutnya kita akan memanfatkan aturan cosinus untuk menghitung luas segitiga.

Pandang sebuah aturan cosinus pada sebuah segitiga ABC

Sehingga

karena:

2 2

sin cos  1 sehingga sin²  1 cos² atau sin² 1 cos1 cos  dengan menggantikan nilai cos akan diperoleh

 

 

 

 

 

 

 

  

^{ }

^{ } 

 

  

 

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

sin 1 1

2 2

1 2

4

4 4

4

4

1 2

4

1 2 2

4

1 2 2

4 1 4

b c a b c a

bc bc

b c a

bc

b c a

b c

b c b c

b c b c a

b c

bc b c a

b c

bc b c a bc b c a

b c

bc b c a bc b c a b c

b

       

    

  

   

   

 

 

 

  



   

      

      



 

 

 

^{ }

 

 

   

 

^{    }

 

    

2 2 2 2

2

2 2

2 2

1 4

1 4

b c a a b c

c

b c a b c a a b c a b c

b c

b c a b c a a b c a c b b c

   

        

        

Misal s adalah bilangan real yang merupakan setengah Keliling segitiga sehingga

83 , maka

 

   

   

   

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c s

b c a s a s a

a c b s b s b

a b c s c s c

  

     

     

     

Jadi

    

       

2

2 2

2 2

sin 1

4

1 2 2 2 2

4

b c a b c a a b c a c b b c

s s a s c s b

b c

         

   

dan

       

    

    

2 2

2 2

sin 1 2 2 2 2

4 4

2

s s a s c s b

b c

s s a s c s b b c

s s a s c s b bc

    

   

   

Luas segitiga yang dicari adalah

Jadi

Contoh:

Tentukan Luas ABC di samping!

Jawab:

A B

C

18

12

20

84 Jadi :

GARIS TINGGI

Garis yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus sisi dihadapannya

Garis Tinggi adalah garis yang tegak lurus dari salah satu titik sudut segitiga terhadap sisi yang di depannya.

Perhatikan segitiga ABC. Dari gambar di atas, CD merupakan garis tinggi dengan alasnya adalah garis AB. Namun, titik D tidak selalu berada pada garis AB. Bisa saja terletak pada perpanjangan AB, seperti pada segitiga tumpul (obtuse), seperti pada gambar di bawah

Dalam sebarang berlaku :

dalam

D

85 t =

dengan cara yang sama dapat dibuktikan : t =

t =

dan karena Luas segitiga = Luas ABC= , maka :

Garis Berat

Garis berat adalah garis yang terhubung dari titik sudut suatu segitiga ke titik tengah sisi yang berlawanan. Hal ini mengakibatkan daerah yang terbagi oleh garis berat menjadi sama luasnya. Lihat gambar di bawah.. Luas segitiga ACD akan sama dengan BCD karena panjang alas dan tingginya sama.

Ketiga garis berat akan berpotongan di satu titik, yang namanya centroid/center of gravity/titik pusat massa. Di titik inilah

86 benda tersebut dapat setimbang.

Garis berat memiliki keistimewaan: garis berat-garis berat sebuah segitiga selalu saling berpotongan menurut perbandingan 2:1.

Kita perpanjang CF sehingga FC’ = CF

b

Perhatikan Segitiga CBC’

CC’ = 2 bc

Sudut CBC’ = A+B = C Menurut dalil cosinus:

Sehingga

Dengan cara yang sama , akan diperoleh : A

C’’

B F

C

bc

a

b c

87 Garis Bagi Dalam Segitiga

Garis bagi dalam adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan membagi kedua sudut di sebelahnya sama besar. Garis ini terletak dalam segitiga.

Garis bagi juga memiliki keistimewaan. Lihat gambar di atas. : = b:a. Perbandingan ini selalu berlaku untuk garis bagi dalam. Selain itu, perbandingan : ( + ) = b: (b+a) juga berlaku.

Garis bagi dalam ini berpotongan di satu titik (namanya incenter), dan titik ini

merupakan pusat dari lingkaran dalam segitiga (incircle). Lihat gambar di bawah. Jari- jarinya dapat dicari dengan menggunakan prinsip Luas segitiga = Luas 3 segitiga dalam.

A

C

B D C D

88 LATIHAN

Pada gambar di samping ini KL dan KN masing-masing garis singgung.  LMN = 75⁰, maka  LKN = …

A. 75⁰ K N

B. 60⁰ C. 37,5⁰

D. 30⁰ O M

E. 15⁰

L

Di bawah ini adalah gambarpenampang sebuah pipa. Jika jari jari pipa 13 cm dan AB = 10 cm (AB adalah permuka an air dalam pipa), maka tinggi air yang paling dalam adalah

…

A. 5 cm A B

B. 12 cm C. 18 cm D. 20 cm E. 25 cm

Ditentukan segitiga PQR dengan panjang sisi PQ = 10 cm dan sin  PRQ = 2

4

1 . Jari-jari lingkaran luar segi tiga tersebut adalah …

A. 402 cm B. 202 cm C. 20 cm D. 102 cm E. 10 cm

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 6 cm, besar A = 30^o dan C = 120^o. Luas segitiga ABC adalah …

A. 18 cm² B. 9 cm² C. 63 cm² D. 33 cm² E. 23 cm²

Segi empat ABCD siku-siku di A dan di C,  ABD =   DBC = . Jika AD = p, maka panjang BC = …

A. p cos  cos  D B. p sin  cos 

89 C. p ^cos

sin



 C

D. p ^sin

sin



 p  E. p ^sin

cos



 A  B

DAFTAR PUSTAKA

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika

.

Hyatt, H.R. & Small,L. (1982). Trigonometry a Calculator Approach. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Kenneth S. Miller & John B. Walsh. (1962). Elementary and Advanced Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publisher.

Edwin J Purcell , Dale Varberg, Steven Ridgon, Calculus, Ninth edition (2007). USA : Pearson Prentice Hall

Richard G. Brown. (1994). Advanced Mathematics . California: Houghton Mifflin Company.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno& Al. Krismanto. (2001). Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta:

PPPG Matematika.

Trigonometry, matxtc.com

Tedy Setiawan, Trigonometri 123+ 45. (2009). Bandung : Yaama Widya Wijdenes, Goniometrie Trigonometri (1950). Amsterdam

’