KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI MONOTON OPERATOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika
oleh
HANIF TSUROIYAH 0905608
PROGRAM STUDI METEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUANALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG
KAITAN FUNGSI RATA-RATA
PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
Oleh Hanif Tsuroiyah
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Hanif Tsuroiyah 2013 Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
HANIF TSUROIYAH
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI MONOTON OPERATOR
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING
PEMBIMBING I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001
PEMBIMBING II
Dr. Sumanang Muhtar Gozali, S.Si., M.Si. NIP. 197411242005011001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,
ABSTRAK
Sebuah fungsi dikatakan monoton matriks order jika untuk setiap yang nilai eigennya pada dan maka . Jika fungsi monoton matriks order untuk semua maka fungsi disebut fungsi monoton operator, dengan kata lain ⋂ .Tidak semua fungsi monoton merupakan fungsi monoton operator. Hiroshi Hasegawa dan Denes Petz memperkenalkan fungsi yang memiliki parameter, selanjutnya dengan menggunakan konsep fungsi rata-rata dibuktikan bahwa fungsi yang memiliki parameter ini adalah fungsi monoton operator.
DAFTAR ISI
1.5Sistematika Penulisan ... 4
BAB 2 FUNGSI MONOTON OPERATOR ... 5
2.1Kemonotonan ...5
2.2KekonvekandanKekonkavan ... 6
2.3FungsiMonotonOperator ... 11
BAB 3 FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA ... 22
3.1 Fungsi Rata-Rata ...22
3.2 Sifat-sifat Rata-Rata ... 24
3.2.1 Simetris ...24
3.2.2 Homogen ...24
3.2.3 Simetris-Homogen ...26
3.2.4 Kuat ...26
3.3 FungsiPetz-Hasegawa ...27
3.4 Fungsi Rata-rata Petz-Hasegawa ... 28
3.5 SifatInternalitas ...31
BAB 4 PENUTUP ...43
4.1 Kesimpulan ...43 4.2 Rekomendasi ...43
DAFTAR PUSTAKA
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan. Untuk pertidaksamaan yang sederhana dapat digunakan metode kuadrat, yaitu menyelesaikan pertidaksamaan dengan memanfaatkan sifat bahwa untuk setiap bilangan real berlaku , ketaksamaan ini membantu dalam membuktikan kataksamaan lain. Ketaksamaan segitiga juga dapat dimanfaatkan unutk menyelesaikan soal pertidaksamaan. Soal pertidaksamaan yang lebih rumit dapat diselesaikan dengan memanfaatkan ketaksamaan fungsi rata-rata geometri dan rata-rata aritmatika atau dengan kataksamaan fungsi rata-rata lainnya.
Terdapat beberapa macam fungsi rata-rata misalnya fungsi rata-rata aritmatika, fungsi rata-rata harmonik dan fungsi rata-rata geometrik. Ketiga fungsi rata-rata dengan dua variabel tersebut adalah ,
, dan √ .
Salah satu sifat yang dipenuhi oleh fungsi rata-rata adalah sifat keinternalan. Rata-rata dari dua variabel selalu berada pada interval nilai minimum dan nilai maksimum dari kedua nilai itu, yaitu:
2
Selanjutnya Adam Besenyei (2012) memperkenalkan sebuah konsep fungsi rata-rata baru dengan menggunakan fungsi Petz-Hasegawa. Konsep ini selanjutnya disebut fungsi rata-rata Petz-Hasegawa yang didefinisikan sebagai berikut:
Fungsi rata-rata Petz-Hasegawa tidak seperti fungsi rata-rata aritmatika, fungsi rata-rata harmonik maupun fungsi rata-rata geometrik. Perbedaan yang paling mencolok adalah fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki nilai parameter antara sampai dengan . Walaupun ada fungsi rata-rata lain yang memiliki parameter, namun fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki keunikan yang tidak dimiliki oleh fungsi rata-rata lain. Diantara keunikan fungsi rata-rata Hasegawa adalah memiliki titik yang mengakibatkan fungsi rata-rata Petz-Hasegawa simetris yaitu pada saat nilai parameter , sehingga
3
Pada skripsi ini akan dibahas sifat-sifat khusus yang dimiliki oleh fungsi Petz-Hasegawa dan kaitannya dengan fungsi monoton operator, yaitu sebuah fungsi kontinu yang mempertahankan urutan matriks.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana konstruksi fungsi Petz-Hasegawa? 2. Bagaimana sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa?
3. Bagaimana kaitan fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton operator?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah di muka, maka penelitian ini bertujuan untuk:
1. Mengetahui konstruksi fungsi Petz-Hasegawa. 2. Mengetahui sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa.
3. Mengetahui kaitan antara fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton operator.
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana diuraikan di muka, Bab 1 adalah bab pendahuluan yang berisi Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, dan Sistematika Penulisan.
Berikutnya, Bab 2 menjelaskan teori fungsi monoton operator yang menjadi landasan masalah yang diteliti. Didalamnya dijelaskan Kemonotonan, Kekonveksan dan Kekonkafan, Fungsi Monoton Operator.
Selanjutnya, Bab 3 merupakan inti dari skripsi ini dimana di dalamnya dijelaskan fungsi rata-rata yang di dalamnya dijelaskan pengertian dan sifat-sifat dari fungsi rata-rata, pengertian fungsi Hasegawa, fungsi rata-rata Petz-Hasegawa, dan sifat keinternalan yang kemudian mengarah ke pembuktian Teorema Petz-Hasegawa.
BAB 4
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah disampaikan dan hasil temuan diperoleh kesimpulan bahwa:
1. Fungsi Petz-Hasegawa diperkenalkan oleh Denes Petz dan Hirosi Hasegawa (1996). Fungsi ini melibatkan parameter dan definisi fungsinya dibagi menjadi tiga kasus (persamaan 3.7).
2. Nilai dari fungsi rata Petz-Hasegawa berada diantara nilai fungsi rata-rata aritmatika dan fungsi rata-rata-rata-rata harmonik. Pada nilai parameter tertentu, fungsi rata-rata Petz-Hasegawa sama dengan fungsi rata-rata yang telah kita kenal sebelumnya yaitu fungsi rata-rata harmonik, fungsi logaritmik, dan fungsi rata-rata kuasa.
3. Berdasarkan kajian yang dijelaskan dalam skripsi ini diperoleh kesimpulan bahwa fungsi Petz-Hasegawa merupakan fungsi monoton operator.
4.2 Rekomendasi
DAFTAR PUSTAKA
Barlte, G. R. & Sherbert, R. D.. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Besenyei, A.. (2012). The Hasegawa-Petz Mean: Properties and Inequalities. Hungary: Departement of Applied Analysis, Eotvos Lorand University. Besenyei, A. & Petz, D.. (2011). Completely Positive Mappings and Mean
Matrices. Linear Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Bhatia, R.. (1996). Matrix Analysis. New York: Springer.
. (2008). Article: The Logarithmic Mean. New Delhi: Theoretical Statistics and Mathematics Unit Indian Statistical Institute Delhi Centre 7, SJS Sansanwal Marg.
Churchill, V. R. & Ward B. J. (1990). Complex Variables and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill.
Dedy, E. & Sumiaty, E. (2001). Fungsi Variabel Kompleks. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.
Furuta, T.. (2012 ). Elementary Proof of Petz–Hasegawa Theorem. Springer. Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Polya, G. (1934). Inequalities. London: Cambridge
University Press.
Howard, A. & Rorres, C.. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Horn, A. R. & Johnson, R. C.. 1990. Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.
Szabo, V.E.S.. (2007). A class of Matrix Monotone Function. Linear Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Uchiyama, M.. (2000). Operator Monotone Functions which Are Defined Implicitly and Operator Inequalities. Journal of Functional Analysis,
doi:10.1006_jfan.2000.3617, at http:__www.idealibrary.com.
. (2010). Majorization and Some Operator Monotone Function. Linear Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Concave Function. (2012). Wikipedia: The free Encyclopedia [Online]. Tersedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function [8 Mei 2012].
