• Tidak ada hasil yang ditemukan

STK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "STK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak"

Copied!
53
0
0

Teks penuh

(1)

Materi 3 Sebaran Peubah Acak

(2)
(3)

Peluang

Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan

terjadinya suatu kejadian

Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman terhadap

operasi himpunan

(4)

Istilah dan Operasi Himpunan

Ruang Semesta (S)

Ruang nol (

)

Irisan (

)

Paduan (

)

Komplemen (A

c

)

(5)

Ruang Semesta (S)

Merupakan himpunan yang mengandung semua kemungkinan

anggota.

Teladan: Percobaan pelemparan dadu

S = {1,2,3,4,5,6}

(6)

Ruang nol (

)

Suatu anak gugus dari ruang semesta yang tidak mengandung

satu pun anggota.

 Pada percobaan pelemparan dadu bersisi enam apabila

(7)

Irisan (

)

A

B

Irisan himpunan A dan B

 merupakan himpunan yang mengandung semua titik contoh yang terdapat di himpunan A maupun B.

 Teladan

A={2, 4, 6} B={2, 3, 5}

(8)

Paduan (

)

A

B

Paduan himpunan A dan B

 merupakan himpunan yang mencakup semua titik contoh pada

himpunan A dan B.

 Teladan:

A={2, 4, 6} B={2, 3, 5}

(9)

Komplemen (A

c

)

A

c

komplemen himpunan A

A

c

merupakan himpunan yang mencakup semua angggota

S yang bukan anggota A.

Teladan:

S: {1,2,3,4,5,6} A ={2, 4, 6} Ac ={1, 3, 5}

(10)

Ruang Contoh dan Kejadian

Percobaan

merupakan sembarang proses yang akan membangkitkan data.

Misalnya:

 Pelemparan sekeping mata uang

(11)

Ruang Contoh

adalah suatu gugus yang memuat semua

hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu

percobaan.

 Notasi dari ruang contoh adalah sebagai berikut:  S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil

 n bisa terhingga atau tak terhingga  Contoh:

 Melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6}  Melempar mata uang : S={A,G}

 Jenis kelamin bayi : S={L,W}  Banyaknya lemparan dadu

(12)

Ruang kejadian

adalah anak gugus dari ruang contoh,

yang memiliki karakteristik tertentu.

 Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B,

…).

Contoh:

 Sisi Angka muncul dari pelemparan dua buah mata uang:

A = {AA, AG, GA}

 Munculnya sisi ganjil pada dadu pertama dari pelemparan dua buah dadu:

(13)

 Apabila AB= , maka A dan B merupakan kejadian yang

saling terpisah/menyisihkan (disjoint/mutually exclusive)

 A: kejadian munculnya bilangan genap

A={2, 4, 6}

 B: kejadian munculnya bilangan ganjil

B={1, 3, 5}

(14)

Peluang Kejadian

Peluang suatu kejadian adalah rasio antara banyaknya kejadian

yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut dilakukan pada kondisi yang sama. Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) peluang kejadian A.

 Beberapa kaidah sebaran peluang (aksioma), yaitu:

1. 0  p(xi)  1, untuk i=1,2, …, n

2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,

3. p(A1 U A2 U …U Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …,

Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.

1 ) ( 1 

n i i x p

(15)

Teladan:

1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6

jika setiap sisi seimbang maka peluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6

2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang

atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya: A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4

Maka peluang kejadian A adalah: P(A) = 4/6 = 2/3

(16)

Kejadian Saling Bebas

Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak

saling mempengaruhi.

Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(A

B)=P(A).P(B)

Teladan:

 Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis

kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36

(17)

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika

kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A|B), dimana:

P(A|B) = P(A

B) / P(B)

Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,

P(A|B)=P(A)

(18)

Contoh:

Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru.

Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah

peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada

pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).

P(A|B) = P(A

B)/P(B)

(19)
(20)

Pendahuluan

Soal ujian masuk PT diselenggarakan dengan sistem pilihan

berganda. Jika jawaban benar diberi nilai 4, salah dikurangi 1

dan tidak menjawab diberi nilai nol. Bagaimana jika pada satu

soal kita tidak tahu jawaban atau tahu ada 2 pilihan yang salah,

apakah perlu dijawab?

Suatu permainan menebak 4 angka dengan tepat akan

mendapatkan uang sebanyak Rp. 5jt, jika kalah harus

membayar sebanyak Rp. 10rb, dan jika tidak ikut tidak dapat

apa-apa. Keuntungan jika menang adalah 500 x lipatnya.

(21)

Pendahuluan

Seringkali kita tidak tertarik dengan keterangan rinci hasil

percobaan tetapi tertarik pada keterangan numeriknya.

Sebagai teladan perhatikan percobaan melempar mata uang

logam setimbang sebanyak tiga kali.

Kemungkinan hasil pelemparan:

AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG,

yang masing-masing memiliki peluang yang sama untuk

muncul atau sebesar 1/8.

(22)

Pendahuluan

 Misalkan didefinisikan suatu peubah X di mana X adalah banyaknya

sisi Angka yang muncul pada ketiga lemparan, maka peubah X ini mungkin bernilai 0, 1, 2, 3. Perhatikan tabel di bawah

(23)

Pendahuluan

Perhatikan bahwa peubah X memetakan setiap titik contoh ke

suatu nilai tertentu.

Peubah X tersebut selanjutnya disebut sebagai PEUBAH

ACAK

Setiap nilai yang mungkin diambil oleh P.A X ini memiliki

peluang tertentu untuk muncul yang dapat diringkas dalam

suatu fungsi yang disebut FUNGSI PELUANG atau

(24)

Konsep Peubah Acak

Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang

kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah

fungsi).

Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam

statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.

Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan

(25)

Teladan dalam percobaan pelemparan sebuah dadu

bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat

disenaraikan sebagai berikut:

S = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Misal kita hanya tertarik pada peubah acak:

X = munculnya sisi dadu dengan angka genap

(26)

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi

Wilayah fungsi

S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6. X . 0 . 1

(27)

Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: p(X=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(X=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

Sisi yang muncul

Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6 Peluang kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X 0 1 0 1 0 1

(28)

 Berdasarkan nilai yang mungkin diambil, peubah acak dibagi

menjadi dua, yaitu P.A Diskret dan P.A Kontinu

 P.A DISKRET, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupa

bilangan bulat

 P.A KONTINU, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupa

bilangan real pada suatu selang nilai tertentu.

 Beberapa P.A yang tergolong diskret diantaranya sebaran

Bernoulli, Binom, Hipergeometrik, Poisson, Geometrik, seragam diskret, dll.

(29)

Nilai Harapan Peubah Acak

Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari

nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara

berulang-ulang sampai tak berhingga kali.

Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai

berikut:

      

  diskret p.a X jika ), ( ) ( 1 x p x X n i i i

(30)

Sifat-sifat nilai harapan:

Jika c konstanta maka E(c ) = c

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c

E(X)

(31)

Teladan:

 Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti

tabel di bawah

 Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak X

x 0 1 2 3 4 5

(32)

Ragam Peubah Acak

Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))

2

= E(X

2

) - E

2

(X)

Sifat-sifat dari ragam

 Jika c konstanta makaV(c ) = 0

 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2V(X)  Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XY) = V(X) + V(Y)  Cov(X,Y)

(33)

Teladan (lanjutan dari sebelumnya)

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2

(34)
(35)

Sebaran Peluang PA

Sebaran Peluang PA Diskret

 Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya

diperoleh dengan cara mencacah (counting)

 Beberapa sebaran peluang PA diskret, antara lain:  Bernoulli

 Binomial  Poisson

(36)

Sebaran Peluang PA Kontinu

 Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya

diperoleh dengan menggunakan alat ukur

 Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acak

kontinu antara lain:

 Normal  Weibull  Gamma  Beta

(37)

Sebaran Peluang Peubah Acak

Diskret

(38)

Sebaran Peluang PA Diskret

Bernoulli

Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu

sukses atau gagal

Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan

0 jika kejadian gagal

Misal, p=p(sukses) dan q=1-p(sukses) maka fungsi

peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(X=x) = pxq(1-x), x=0,1

(39)

Binomial

 Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

 Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses,

X=0,1,2,….,n

 Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(X=x) = C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

 Fungsi peluang ini dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu n dan

p. Sehingga peubah acak X yang menyebar binom dituliskan X

(40)

Teladan

Dari suatu hasil survei diketahui bahwa suatu produk minuman suplemen digunakan oleh 6 dari 10 orang. Dari 15 orang

konsumen yang kita temui, berapakah peluang

 paling sedikit 10 orang diantaranya menggunakan produk tersebut  ada 3 sampai 8 orang yang menggunakan produk tersebut

(41)

Poisson

 Kejadian binom pada selang waktu atau luasan tertentu

 Jika rataan banyaknya kejadian sukses dalam selang tersebut

adalah µ, maka:

P(X=x) =

x = {0,1,2,…,∞} , e=2.71828….

(42)

Teladan

 Rata-rata kecelakaan di jalan tol diketahui terjadi 4 kali dalam

sebulan. Berapa peluang bahwa terjadi kecelakaan sebanyak 6 kali dalam suatu bulan.?

(43)

Sebaran Peluang Peubah Acak

Kontinu

(44)

Sebaran Peluang PA Kontinu

Sebaran Normal

 Bentuk sebaran simetrik

 Mean, median dan modus berada dalam

satu titik

 Peluang merupakan luasan dibawah

kurva kepekatan normal

2 1 1          x

(45)

Merupakan P.A kontinu yang menjadi dasar bagi sebagian

besar inferensia statistika

Persamaan matematis bagi sebaran ini dipengaruhi oleh

dua parameter, yaitu

dan

, yang masing-masing

merupakan rataan dan simpangan bakunya.

Sehingga peubah acak X yang menyebar normal

dituliskan

(46)
(47)

 Setiap P.A Normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda

perhitungan peluang akan sulit

 Lakukan transformasi dari X  N( , 2) menjadi peubah acak

normal baku Z  N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi

 Distribusi peluang dari peubah acak normal baku 

X

(48)

Cara penggunaan tabel normal baku

 Nilai z, disajikan pada kolom

pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

 Nilai peluang didalam tabel

normal baku adalah peluang

peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03 -2.6 0.005 0.005 0.004 0.004 -2.5 0.006 0.006 0.006 0.006 -2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

(49)

Teladan:

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal

dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25

mm

2

. Hitunglah peluang:

1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm? 3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

(50)

 Teladan

 Untuk sebaran normal dengan  = 300 dan  = 50, hitunglah

peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362.

 Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang

umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam.

 Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan

(51)

Pendekatan Normal terhadap Peubah Binomial

 Untuk ulangan n yang besar dan peluang sukses p sekitar 0.5  µ = np dan σ = √ np(1-p)

 Untuk menghitung peluang digunakan angka koreksi

kekontinuan sebesar 0.5

(52)

Teladan:

 Dalam suatu populasi lalat buah diketahui 25% diantaranya

memiliki mata merah. Jika dipilih secara acak 500 ekor lalat buah, berapakah peluang didapatnya lalat buah yang bermata merah:

 Kurang dari 100 ekor?  Lebih dari 150 ekor?

(53)

Gambar

tabel di bawah

Referensi

Dokumen terkait

Pengamatan peneliti terhadap guru di Sekolah Dasar (SD) Negeri 23 Indralaya terdapat beberapa hal yang sangat mendasar dan perlu mendapat perhatian khusus, hal

Dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat membantu instansi terkait dalam mendesign kapal katamaran wisata yang lebih optimal dan efisien pada rute pelayaran tersebut

Metode penelitian yang digunakan dalam pembuatan game ini, antara lain : metode analisis yang terdiri dari kuesioner untuk mendapatkan permasalahan yang akan dihadapi dan

Telah dilunasinya sebagian dari utang yang dijamin tidak berarti terbebasnya sebagian obyek hak tanggungan dari beban hak tanggungan, melainkan hak tanggungan itu

No. Jenis Binatang/Tumbuhan Ciri-ciri Khas yang Dimiliki 1. Buahnya kecil tetapi sangat lebat. Pohonnya besar dan kuat. Buah cukup besar, cukup lebat. Daging buah manis,

REKOMENDASI RAMBU GROUND FLOOR BASEMENT LOBBY BASEMENT EXIT OUT IN.. BRAGA

Akan tetapi, beban kerja yang diterima karyawan juga tetap perlu diperhatikan meskipun tidak berpengaruh terhadap kinerja mereka agar tidak terjadi beban kerja

M elalui segmentasi pasar, perusahaan membagi pasar yang besar dan heterogen ke dalam segmen-segmen yang kecil, sehingga dapat dijangkau oleh perusahaan secara lebih efisien dan