Materi 3 Sebaran Peubah Acak
Peluang
Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan
terjadinya suatu kejadian
Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman terhadap
operasi himpunan
Istilah dan Operasi Himpunan
Ruang Semesta (S)
Ruang nol (
)
Irisan (
)
Paduan (
)
Komplemen (A
c)
Ruang Semesta (S)
Merupakan himpunan yang mengandung semua kemungkinan
anggota.
Teladan: Percobaan pelemparan dadu
S = {1,2,3,4,5,6}
Ruang nol (
)
Suatu anak gugus dari ruang semesta yang tidak mengandung
satu pun anggota.
Pada percobaan pelemparan dadu bersisi enam apabila
Irisan (
)
A
B
Irisan himpunan A dan B
merupakan himpunan yang mengandung semua titik contoh yang terdapat di himpunan A maupun B.
Teladan
A={2, 4, 6} B={2, 3, 5}
Paduan (
)
A
B
Paduan himpunan A dan B
merupakan himpunan yang mencakup semua titik contoh pada
himpunan A dan B.
Teladan:
A={2, 4, 6} B={2, 3, 5}
Komplemen (A
c
)
A
c
komplemen himpunan A
A
c
merupakan himpunan yang mencakup semua angggota
S yang bukan anggota A.
Teladan:
S: {1,2,3,4,5,6} A ={2, 4, 6} Ac ={1, 3, 5}
Ruang Contoh dan Kejadian
Percobaan
merupakan sembarang proses yang akan membangkitkan data.
Misalnya:
Pelemparan sekeping mata uang
Ruang Contoh
adalah suatu gugus yang memuat semua
hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu
percobaan.
Notasi dari ruang contoh adalah sebagai berikut: S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil
n bisa terhingga atau tak terhingga Contoh:
Melempar sebuah dadu : S={1,2,3,4,5,6} Melempar mata uang : S={A,G}
Jenis kelamin bayi : S={L,W} Banyaknya lemparan dadu
Ruang kejadian
adalah anak gugus dari ruang contoh,
yang memiliki karakteristik tertentu.
Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B,
…).
Contoh:
Sisi Angka muncul dari pelemparan dua buah mata uang:
A = {AA, AG, GA}
Munculnya sisi ganjil pada dadu pertama dari pelemparan dua buah dadu:
Apabila AB= , maka A dan B merupakan kejadian yang
saling terpisah/menyisihkan (disjoint/mutually exclusive)
A: kejadian munculnya bilangan genap
A={2, 4, 6}
B: kejadian munculnya bilangan ganjil
B={1, 3, 5}
Peluang Kejadian
Peluang suatu kejadian adalah rasio antara banyaknya kejadian
yang diharapkan dari suatu percobaan jika percobaan tersebut dilakukan pada kondisi yang sama. Peluang biasanya dinotasikan dengan P, misal P(A) peluang kejadian A.
Beberapa kaidah sebaran peluang (aksioma), yaitu:
1. 0 p(xi) 1, untuk i=1,2, …, n
2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,
3. p(A1 U A2 U …U Am) = p(A1)+p(A2)+…+p(Am), jika A1, A2, …,
Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.
1 ) ( 1
n i i x pTeladan:
1. Sebuah dadu dilempar, maka ruang contohnya:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S)=6
jika setiap sisi seimbang maka peluangnya p(1)=p(2)=….=p(6)=1/6
2. Sebuah kejadian yang diharapkan adalah sisi yang muncul kurang
atau sama dengan empat maka ruang kejadiannya: A = {1, 2, 3, 4}, n(A) = 4
Maka peluang kejadian A adalah: P(A) = 4/6 = 2/3
Kejadian Saling Bebas
Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak
saling mempengaruhi.
Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:
P(A
B)=P(A).P(B)
Teladan:
Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis
kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki? P(A B)= P(A).P(B)=0.6*0.6=0.36
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika
kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.
Peluang A bersyarat B dinotasikan P(A|B), dimana:
P(A|B) = P(A
B) / P(B)
Jika kejadian A dengan B saling bebas maka,
P(A|B)=P(A)
Contoh:
Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru.
Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah
peluang bola kedua berwarna merah (A) jika pada
pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).
P(A|B) = P(A
B)/P(B)
Pendahuluan
Soal ujian masuk PT diselenggarakan dengan sistem pilihan
berganda. Jika jawaban benar diberi nilai 4, salah dikurangi 1
dan tidak menjawab diberi nilai nol. Bagaimana jika pada satu
soal kita tidak tahu jawaban atau tahu ada 2 pilihan yang salah,
apakah perlu dijawab?
Suatu permainan menebak 4 angka dengan tepat akan
mendapatkan uang sebanyak Rp. 5jt, jika kalah harus
membayar sebanyak Rp. 10rb, dan jika tidak ikut tidak dapat
apa-apa. Keuntungan jika menang adalah 500 x lipatnya.
Pendahuluan
Seringkali kita tidak tertarik dengan keterangan rinci hasil
percobaan tetapi tertarik pada keterangan numeriknya.
Sebagai teladan perhatikan percobaan melempar mata uang
logam setimbang sebanyak tiga kali.
Kemungkinan hasil pelemparan:
AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG,
yang masing-masing memiliki peluang yang sama untuk
muncul atau sebesar 1/8.
Pendahuluan
Misalkan didefinisikan suatu peubah X di mana X adalah banyaknya
sisi Angka yang muncul pada ketiga lemparan, maka peubah X ini mungkin bernilai 0, 1, 2, 3. Perhatikan tabel di bawah
Pendahuluan
Perhatikan bahwa peubah X memetakan setiap titik contoh ke
suatu nilai tertentu.
Peubah X tersebut selanjutnya disebut sebagai PEUBAH
ACAK
Setiap nilai yang mungkin diambil oleh P.A X ini memiliki
peluang tertentu untuk muncul yang dapat diringkas dalam
suatu fungsi yang disebut FUNGSI PELUANG atau
Konsep Peubah Acak
Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang
kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah
fungsi).
Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam
statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.
Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan
Teladan dalam percobaan pelemparan sebuah dadu
bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat
disenaraikan sebagai berikut:
S = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Misal kita hanya tertarik pada peubah acak:
X = munculnya sisi dadu dengan angka genap
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:
Daerah fungsi
Wilayah fungsi
S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6. X . 0 . 1
Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.
Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: p(X=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(X=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
Sisi yang muncul
Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6 Peluang kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 X 0 1 0 1 0 1
Berdasarkan nilai yang mungkin diambil, peubah acak dibagi
menjadi dua, yaitu P.A Diskret dan P.A Kontinu
P.A DISKRET, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupa
bilangan bulat
P.A KONTINU, yaitu apabila nilai yang mungkin diambil berupa
bilangan real pada suatu selang nilai tertentu.
Beberapa P.A yang tergolong diskret diantaranya sebaran
Bernoulli, Binom, Hipergeometrik, Poisson, Geometrik, seragam diskret, dll.
Nilai Harapan Peubah Acak
Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari
nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara
berulang-ulang sampai tak berhingga kali.
Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai
berikut:
diskret p.a X jika ), ( ) ( 1 x p x X n i i iSifat-sifat nilai harapan:
Jika c konstanta maka E(c ) = c
Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c
E(X)
Teladan:
Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti
tabel di bawah
Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Nilai peubah Acak X
x 0 1 2 3 4 5
Ragam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(X-E(X))
2= E(X
2) - E
2(X)
Sifat-sifat dari ragam
Jika c konstanta makaV(c ) = 0
Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c2V(X) Jika X dan Y peubah acak maka,
V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)
Teladan (lanjutan dari sebelumnya)
V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2
Sebaran Peluang PA
Sebaran Peluang PA Diskret
Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya
diperoleh dengan cara mencacah (counting)
Beberapa sebaran peluang PA diskret, antara lain: Bernoulli
Binomial Poisson
Sebaran Peluang PA Kontinu
Merupakan sebaran peluang bagi peubah acak yang nilai-nilainya
diperoleh dengan menggunakan alat ukur
Beberapa sebaran yang tergolong dalam sebaran peubah acak
kontinu antara lain:
Normal Weibull Gamma Beta
Sebaran Peluang Peubah Acak
Diskret
Sebaran Peluang PA Diskret
Bernoulli
Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu
sukses atau gagal
Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan
0 jika kejadian gagal
Misal, p=p(sukses) dan q=1-p(sukses) maka fungsi
peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:
P(X=x) = pxq(1-x), x=0,1
Binomial
Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas
Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses,
X=0,1,2,….,n
Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:
P(X=x) = C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!
Fungsi peluang ini dipengaruhi oleh dua parameter, yaitu n dan
p. Sehingga peubah acak X yang menyebar binom dituliskan X
Teladan
Dari suatu hasil survei diketahui bahwa suatu produk minuman suplemen digunakan oleh 6 dari 10 orang. Dari 15 orang
konsumen yang kita temui, berapakah peluang
paling sedikit 10 orang diantaranya menggunakan produk tersebut ada 3 sampai 8 orang yang menggunakan produk tersebut
Poisson
Kejadian binom pada selang waktu atau luasan tertentu
Jika rataan banyaknya kejadian sukses dalam selang tersebut
adalah µ, maka:
P(X=x) =
x = {0,1,2,…,∞} , e=2.71828….
Teladan
Rata-rata kecelakaan di jalan tol diketahui terjadi 4 kali dalam
sebulan. Berapa peluang bahwa terjadi kecelakaan sebanyak 6 kali dalam suatu bulan.?
Sebaran Peluang Peubah Acak
Kontinu
Sebaran Peluang PA Kontinu
Sebaran Normal
Bentuk sebaran simetrik
Mean, median dan modus berada dalam
satu titik
Peluang merupakan luasan dibawah
kurva kepekatan normal
2 1 1 x
Merupakan P.A kontinu yang menjadi dasar bagi sebagian
besar inferensia statistika
Persamaan matematis bagi sebaran ini dipengaruhi oleh
dua parameter, yaitu
dan
, yang masing-masing
merupakan rataan dan simpangan bakunya.
Sehingga peubah acak X yang menyebar normal
dituliskan
Setiap P.A Normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda
perhitungan peluang akan sulit
Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi peubah acak
normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi
Distribusi peluang dari peubah acak normal baku
X
Cara penggunaan tabel normal baku
Nilai z, disajikan pada kolom
pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)
Nilai peluang didalam tabel
normal baku adalah peluang
peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).
Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03 -2.6 0.005 0.005 0.004 0.004 -2.5 0.006 0.006 0.006 0.006 -2.4 0.008 0.008 0.008 0.008
Teladan:
Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal
dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25
mm
2. Hitunglah peluang:
1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?
2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm? 3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?
Teladan
Untuk sebaran normal dengan = 300 dan = 50, hitunglah
peluang bahwa peubah acak X mengambil suatu nilai yang lebih besar dari 362.
Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang
umurnya menyebar normal dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan baku 40 jam.
Hitunglah peluang sebuah bohlam hasil produksinya akan
Pendekatan Normal terhadap Peubah Binomial
Untuk ulangan n yang besar dan peluang sukses p sekitar 0.5 µ = np dan σ = √ np(1-p)
Untuk menghitung peluang digunakan angka koreksi
kekontinuan sebesar 0.5
Teladan:
Dalam suatu populasi lalat buah diketahui 25% diantaranya
memiliki mata merah. Jika dipilih secara acak 500 ekor lalat buah, berapakah peluang didapatnya lalat buah yang bermata merah:
Kurang dari 100 ekor? Lebih dari 150 ekor?