BARISAN DAN DERET
Peta konsep berikut untuk lebih mudah mempelajari materi Barisan dan Deret :
Barisan dan Deret
Aritmetika dan Geometri
Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan
Deret
Pengertian
Jumlah n Suku pada Deret
Menuliskan Deret dengan Notasi Sigma
Merancang
TUJUAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : XII/IPA
Semester : II ( Genap )
Standar kompetensi : Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
Kompetensi dasar : Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri.
Indikator : 1. Menjelaskan arti barisan dan deret
2. Menemukan rumus barisan dan deret aritmetika. 3. Menemukan rumus barisan dan deret geometri.
1. Pengertian Barisan
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.Bentuk umum barisan bilangan a1, a2, a3, ...,an.
Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un ( n merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U1.
Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu :
Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya.
Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.
2. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:
3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2 4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2
Secara umum u1, u2, u3, u4, …,un adalah barisan aritmatika apabila u2 - u1 = u3
– u2 = u4 – u3 = ... = un – un-1 = konstanta.konstanta ini disebut beda dan
ditanyakan dengan b. pada setiap barisan aritmatika berlaku sebagai berikut.
Keterangan: un adalah suku ke-n
Un – un-1 =
b
Jadi, cirri barisan aritmatika adalah mempunyai beda yang tetap.
a. Rumus untuk suku ke- n
Jika suatu pertama barisan atritmatika u1 dinamakan a dan bedanya b
maka diperoleh:
U1 = a = a + ( 1 – 1) b
U2–u1 = b u2 = u1 + b = a + b = a + (2-1) b
U3–u2 = b u3 = u2 + b = a + b + b = a + 2b = a +(3-1) b U4–u3 = b u4 = u3 + b = a +2 b + b = a + 3b = a +(4-1) b
dan seterusnya.
Berdasarkan suku ke-n barisan aritmatika dengan melihat pola di atas adalah:
Dengan unadalah besar suku ke-n a adalah suku pertama
b adalah beda
1. Carilah tiga suku berikutnya dari barisan aritmatika 1, 4, 7, 10,….
Jawab :
U1 = 1, U2 = 4
b = u2 –u1 = 4 – 1 = 3
tiga suku berikutnya adalah 10+3= 13, 13 + 3 = 16, 16 + 3 = 19
Un = a + ( n –1)
b
2. Suatu barisan aritmatika diketahui suku kelima adalah 21 dan suku kesepuluh adalah 41, tentukan besarnya suku ke-50
Jawab :
Un = a + ( n-1) b u10 = a + 9b = 41 u5 = a + 4b = 21 5b = 20
5b =4
U50 = a + ( 50 -1) . 4
= 5 + 49 . 4 = 5 + 196
U50 = 201
Jadi, besarnya suku ke-50 adalah 201
b. Rumus Jumlah n suku Deret Aritmatika
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika:
3. Barisan Geometri
Bila kita perhatikan pada barisan 1, 2, 4, 8,…, setiap perbandingan
dua suku yang berurutan adalah tetap harganya, yaitu:
Secara umum u1, u2, u3,…., un adalah barisan geometri bila
konstanta.
Konstanta ini disebut rasio (perbandingan) dan dinyatakan dengan r. pada
setiap barisan geometri berlaku:
= r
Jadi,cirri barisan geometri adalah mempunyai rasio yang tetap
a. ………n
Jika suku pertama barisan geometri dinamakan a dan rasionya atau perbandingannya r maka diperoleh:
u1 = a =
r
r
r dan seterusnya.
Besarnya suku ke-nbarisan geometri dengan melihat pola di atas adalah sebagai berikut.
Dengan adalah besar suku ke-n a adalah suku pertama
r adalah rasio (perbandingan)
1. Tentukan rumus umum suku ke-n barisan 16, 8, 4, 2,……,dan tentukan
suku ke-20.
Jawab:
a = 16, r =
= = arn-1
= 16
= =
Rumus suku ke-n dari barisan 16, 8, 4, 2,….. adalah =
Jadi, =
=
b. Rumus untuk Jumah n Deret Geometri
Bentuk umum barisan adalah a, ar, ar2,….,arn-1 . ku suku-suku dar suatu barisan geometri dijumlahkan, maka terjadilah deret geometri. Adapun rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakan sebagai Sn yang dapat dicari
atau
adalah jumlah n suku pertama deret geometri
adalah suku pertama
r adalah rasio
geometri tak higga yang dituliskan:
Dengan a = adalah suku pertama
r adalah rasio
Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :
Sn = a + ar + ar
( 1 – r ) Sn = a - arn
deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah jika -1< r < 1.
1. Hitung limit jumlah dari deret geometri tak hingga:
Jawab:
Suatu cara singkat untuk menyatakan bentuk penjumlahan adalah dengan menggunakan notasi ∑ ( dibaca: sigma), yaitu merupakan huruf besar
Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari “SUM” yang berarti
jumlah.
Bila merupakan jumlah bilangan-bilangan maka jumlah tersebut dapat dinyatakan sebagai:
∑
Contoh:
Indeks penjumlahan yang digunakan pada notasi sigma adalah sembarang huruf kecil dan daerah penjumlahan dapat terhingga(terbatas) dan dapat pula tak terhingga.
Bila batas bawahnya a, batas atasnya b maka a dan b harus bilangan bulat dengan batas bawah penjumlahan tidak harus dimulai dengan 1( angka satu)
Bila batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan itu terdiri atas n suku, sedangkan bila batas bawah penjumlahan r dan batas atasnya nmaka penjumlahan terdiri atas n-r+1 suku .
Suatu deret tertentu dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma dengan cara mencari rumus suku ke-n dari deret tersebut.
1. Tuliskan dalam bentuk notasi sigma. a. 1+3+5+7+9+11+13+15
Jawab:
1+3+5+7+9+11+13+15 merupakan deret aritmatika dengan maka b = 2
maka = 2n-1
∑
Masalah dalam kehidupan sehari yang sehari-hari banyak dijumpai yang penyelesainya menggunakan rumus deret aritmatika atau geometri.
1. Cecep meyimpan uang di koperasi sebesar Rp.5.000.000,00. Koperasi memeberi bunga tetap sebesar 1% setiap bulannya. Berapakah jumlah uang cecep setelah 10 bulan
Jawab:
Langkah-langkah penyelesainya adalah sebagai berikut: a.Menjelaskan karakteristik masalah.
Oleh karena masalah diatas bunganya tetap, maka model matematikanya berbentuk deret aritmatika.
b.Merumuskan model matematika.
Uang cecep mula-mula M1= Rp.5000.000,00.
Bunga =
Setelah satu bulan = M1 = M1+ b
Setelah 10 bulan = M11 =M1 + 10b.
Apabila uang semula ditulis sebagai u1= a dan uang setelah 10
bulan di tulis sebagai u11 maka:
atau
Jadi rumus yang digunakan adalah D. Merancang dan Menyelesaikan Serta Menafsirkan Solusi Model
Matematika dari Masalah yang Berkaitan dengan Deret
c.Menentukan penyelesaian dari model matematikanya. Dari contoh diatas diperole
d. Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.jadi, uang cecep setelah disimpan dikoperasi selama 10 bulan dengan bunga tetap menjadi Rp.5.500.000,00.
1. Budi menyimpan uang di bank sebesar Rp. 5.000.000.00. Jika bank memberi bunga 6% setahun, tentukan besarnya uang Budi pada akhir tahun ke-3 !
Jawab :
Andaikan pada contoh di atas Budi menabung dan bunganya ditambahkan pada modalnya, kemudian pada tahun berikutnya dihitung menurut modal yang baru, maka bunga yang demikian dinamakan bunga majemuk. Rumus bunga majemuk dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
Misal modal semula = M dan bunganya setiap tahun adalah i, dengan i = p% maka diperoleh hubungan sebagai berikut:
Bunga setelah 1 tahun = Mi
E.Menjelaskan Rumus-rumus dalam Hitung Keuangan
dengan Deret Aritmetika atau Deret Geometri (Pengayaan)
Modal setelah 1 tahun = M + Mi = (1 + i)
Dari soal di atas kita dapat menghitung sebagai berikut: Mn= M (1 + i)n
= 5.000.000.00 (1 + 0,06)3 = 5.000.000.00 (1,06)3 = 5.000.000.00 . 1,191016 = 5.955.080
2. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp. 12.000.000.00. Jika setiap tahun harganya menyusutb 10% dari harga pada tahun sebelumnya, tentukan harga sepeda motor itu setelah 4 tahun !
Jawab:
Andaikan harga semula = M, setiap tahun menyusut sebesar i= p% maka diperoleh:
Penyusutan setelah 1 tahun = Mi
Setelah n tahun harganya menjadi : Mn = M (1 – i) n
Sehingga: M4 = M (1 – i)
4
= 12.000.000 (1 – 10%)4 = 12.000.000 (0,4)4 = 12.000.000 (0,6561) = 7.873.200
Jadi harga sepeda motor setelah 4 tahun adalah Rp. 7.873.200.00
Dari kedua contoh di atas dapat di tarik kesimpulan bahwa hitung keuangan untuk pertumbuhan di rumuskan:
Dan untuk penyusutan dirumuskan: Mn = M (1 + i)n
1. Bunga Tunggal
Misalnya kalian meminjam uang di bank sebanyak Rp25.000.000.00 selama 5 tahun. Apakah kamu hanya mengembalikan Rp25.000.00.00 saja? Tentu saja tidak Karen ada bunga yang harus di bayar. Suku bunga adalah rasio antara bunga dengan modal untuk satuan waktu tertentu. Suku bunga dinyatakan dengan %.
1. Seorang tukang kayu meminjam uang kepada seorang pengusaha mebel sebesar Rp1.000.000.00 selama satu tahun suku bunganya sebesar 18%. Tentukan :
a. Besar modal b. Besar bunga
c. Jumlah yang harus dikembalikan d. Jenis bunganya
Jawab:
a. Modal = Rp1.000.000.00
b. Bunga =
× Rp1.000.000.00
= Rp180.000.00
F.Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk (Pengayaan)
c. Jumlah uang yang harus dikembalikan = Rp1.000.000.00 + Rp180.000.00 = Rp1.180.000.00
d. Bunga tersebut termasuk bunga tunggal sebab ia mengembalikan sesuai perjanjian dengan jangka waktu tertentu dan bunga dibayar pada saat mengembalikan.
2. Bu Rina meminjam uang di Koperasi simpan pinjam sebesar Rp500.000.00 dalam jangka waktu 1 tahun ia harus mengembalikan pinjaman itu sebesar Rp600.000.00 berapa % suku bunganya?
Jawab:
Bunga = 600.000 – 500.000 = 100.000
Suku bunga =
× 100% = 20%
Jadi, besar suku bunganya adalah 20%
3. Badrun meminjam uang Rp2.000.000.00 pada Yusuf. Selama jangka waktu 1 bulan badrun di minta untuk mengembalikannya menjadi satu seperempat kali lebih besar. Berapa % suku bunga pinjaman tersebut?
Jawab:
Misal suku bunga = p%
Bunga =
× Rp2.000.000.00 =20.000p
Setelah satu tahun Badrun harus mengembalikan = 1 × Rp2.000.000.00
2.000.000 + 20.000p = 1 × 2.000.000
2.000.000 + 20.000p = 2.500.000 20.000p = 500.000
Jadi, bunga yang ditetapkan Yusuf adalah 25%.
4. Bajuri meminjam uang Rp1.000.000.00 dengan dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Berapa ia harus mengembalikan setelah meminjam 25 bulan? (yaitu bunga yang dibebankan pada pokok/pinjaman.
Jawab:
Modal = M = Rp1.000.000.00 Bunga = 2% (i = 0,02)
Jangka waktu = 25
Modal setelah 1 bulan = M1 = M + b
Modal setelah 2 bulan = M2 = M1 + b = M + 2b
Modal setelah 3 bulan = M3 = M2 + b = M + 3b
Modal setelah 25 bulan = M25 = M + 24b
M25 = 1.000.000 + 24 (
× 1.000.000)
M25 = 1.480.000.00
Jadi, Bajuri harus mengembalikan uang sebesar Rp1.480.000.00.
Dari contoh di atas dapat di simpulkan:
Dengan Mn : Modal setelah n tahun
M0 : Modal mula-mula
n : Jangka waktu b : bunga
Perhitungan bunga tunggal ada dua macam yaitu bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa.
Bunga tunggal eksak berdasar perhitungan setahun ada 365 hari (tahun kabisat 366 hari), sedang bunga tunggal biasa berdasar pada perhitungan setahun ada 360 hari.
Apakah keuntungan 1 tahun dihitung 360 hari?
Keuntungannya ialaha pertama mempermudah perhitungan dan kedua menambah lebih besar bunga bagi yang meminjamkan uang.
Arinda meminjamkan uang Rp1.000.000.00 selama 75 hari dengan suku bunga 2% pada tahun 2008 dan tahun 2009. Hitunglah dengan buka tunggal eksak dan bunga tunggal biasa!
Jawab:
a. Tahun 2008 (Tahun kabisat)
Bunga Tunggal eksak =
× × 1.000.000.00
= Rp4.089,36
Bunga Tunggal biasa =
× × 1.000.000.00
= Rp4.166,67 b. Tahun 2009
Bunga Tunggal eksak =
× × 1.000.000.00
= Rp4.109,59
Bunga Tunggal biasa =
× × 1.000.000.00
= Rp4.166,67
Terkadang dalam meminjam uang, bunga telah dibayar dimka hal tersebut dinamakan diskonto.
2. Bunga Majemuk
Apabila kita meminjam uang dari bank Rp.10.000.000.00 dengan suku bunga 2% per bulan misalya dan jangka pinjamannya 8 bulan. Maka kalian dapat mengetahui bahwa bunga perbulan itu Rp200.000.00.
Bagaimana dengan bunga sebesar Rp200.000.00 itu? Apakah dibayarkannya pada setiap akhir bulan atau pada akhir bulan ke-8 seluruhnya? Tentu saja ini tergantung dari perjanjian. Bila pembayarannya dilakukan tiap akhir bulan, hal ini tentunya tidak asing lagi bagi kita bahwa peminjaman itu menggunakan perjanjian bunga tunggal. Jadi uang yang harus dikembalikan ialah Rp10.000.000.00 + Rp1.600.000.00 = Rp.11.600.000.00. Sebab bunga sebelum bulan ke-8 yang tidak dikembalikan pada waktunya harus dibungakan juga.
Sehingga :
Dengan Mn : modal setelah berjalan n waktu
Mo: modal mula-mula
b: suku bunga p% n: jangka waktu
1. Modal sebesar Rp1.000.000.00 disimpan selama 2 tahun dengan suku bunga 2% perbulan. Tentukan besarnya bunga majemuk!
J = M(1 + b)n
Biasanya ditulis: Mn = Mo(1 + b) n
Jawab:
M = Rp1.000.000.00
b = 2%
n = 2 tahun = 24 Misalkan modal akhir J, maka J = M(1 + b)n
= 1.000.000 (1 +
) 24
= 1.000.000 (1,02)24
Untuk menghitung (1,02)24 dapat dilakukan dengan cara:
a. Dengan daftar bunga b = 2%, n = 24 diperoleh (1,02)24= 1,60843725 (tabel).
b. Dengan kalkulator langsung (1,02)24= 1,608437249. c. Atau dengan logaritma.
Cara yang paling mudah dengan menggunakan kalkulator. J = (1.000.000) (1,608437249)
J = 1.608.437.25
Jadi, bunga majemuk = J – M
Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e sesuaia pilihan yang paling
4. Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke- 1 sama dengan 4 dan beda 2. Jika jumlah n suku pertama adalah 180, maka n = …
10. Suku tengah dari barisan aritmatika yang suku pertamanya = 3, bedanya lima, dan banyaknya suku 99, adalah …
a. 245 d. 248 b. 246 e. 249 c. 247
11. U5 deret aritmatika adalah 21 dan U17 deret tersebut adalah 81, maka jumlah
25 suku pertama adalah ….
a. 1.495 d. 1.520 b. 1.500 e. 1.525 c. 1.515
12. Jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100 adalah … a. 166.833 d. 166.533
b. 166.733 e. 166.433 c. 166.633
13. Diketahui suatu barisan bilangan 5, 9, 13, 17, … suku ke-n barisan bilangan
tersebut adalah …
a. Un = 4 + n d. Un = 1 + 4n
b. Un = 3 + 2n e. Un = -1 + 6n
c. Un = 2 + 3n
14. Perusahaan “ ASIA JAYA” pada tahun pertama mempruduksi sepatu sebanyak
2.000 buah. Jika setiap tahun produksinya bertambah sebanyak 25 buah, jumlah produksi sepatu pada tahun ke-21 adalah …
a. 2.045 buah d. 3.975 buah b. 2.500 buah e. 5.500 buah c. 2.550 buah
15. Pada barisan arit matika suku keempat sama dengan 8 dan suku kedua belas
sama dengan 16. Suku kesepuluh adalah …
a. 34 d. 44
b. 38 e. 48
c. 40
16. Sebuah perusahaan mobil pad tahun ke tiga memproduksi sebanyak 550 unit. Tiap – tiap tahun berikunya meningkat 5 % dari tahun pertama. Jumlah
produksi selama sepuluh tahu adalh :…
a. 700 unit d. 6.125 unit b. 725 unit e. 6.250 unit c. 1.125 unit
17. Suku kedua dan kelima pad barisan geometri berturut – turut adalah 6 dan 162. Jumlah empat suku pertam adalah : …
a. 60 d. 90
b 70 e. 106
18. Jumlah tak hingga deret a + 1 +
a
1+ … = 4a , maka nilai a adalah : …
19. Fitri mendapat gaji Rp 7.500.000,00 tiap tahun berikutnya bertambah Rp 200.000,00 tiap tahun. Total gaji Fitri selama 6 tahun adalah :
a. Rp 49.000.000,00 d. Rp 44.000.000,00 b. Rp 48.000.000,00 e. Rp 43.000.000,00 c. Rp 46.000.000,00
20. Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah 24 dan suku kelima adalah 81, maka jumlah lima suku yang pertama adalah : …
a. 112 d. 224
b. 121 e. 242
c. 211
Kerjakalah soal-soal di bawah ini !
1. Carilah Suku yang diminta dalam setiap barisan geometri di bawah ini!
a. 2,6,18,…,U5 c. , , 1, 2,…, U10
b. 225, 75, 25,…,U6 d. 100, -110, 121,…,U15
2. Carilah jumlah deret 1+1,1+1,12+…+1,110 3. Selesaikanlah soal di bawah ini !
a. Hitunglah S10 dari suatu deret geometri dengan U9 = 128 dan U4= -4
b. Suatu deret geometri rumus suku ke-n di tentukan oleh Un = 2 × 3n-1. Tentukan jumlah 6 suku pertamanya!
4. Sebuah bola tenis di jatuhkan dari ketinggian 3m. setiap kali memantul
mencapai ketinggian dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang
ditempuh bola sampai berhenti memantul?
5. Suatu perusahaan pakaian dapat menghasilkan 5000 buah baju pada awal produksi. Dan selanjutnya produksi dapat ditingkatkan menjadi 5050. Bila kemajuan konstan tentukan jumlah produksi setahun!
6. Hitunglah jumlah deret geometri takhngga berikut!
7. Jika suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya 3 dan suku pertama sama dengan 4, hitunglah besar rasio deret tersebut!
8. Mobil bergerak lurus dengan kecepatan 60 km/jam selama jam pertama. Pada jam kedua kecepetannya berkurang menjadi dua pertiganya.Demikian
seterusnya, setap jam kecepatannya menjadi 3 2
kecepatan sebelumnya.Berapa km jarak trjauh yang dapat dicapai oleh mobil trsebut?
9. Sebuah bola dijatuhkan dari ketnggian 18 m, saat mengenai lantai , bola
memantul mencapai ketinggian 3 2
dari aktinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti
10. Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga:
10
11.Suku ke n suatu deret geometri ialah 4n 1
. Carilah suku pertama, ke dua, rasio dan jumlah sampai tak terhingga
12. Perencanaan sebuah mesin perkakas memerlukan 7 buah roda gigi yang satu sama lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Diameternya merupakan barisan geometri D1, D2, D3, …….D7. Jika putaran roda gigi n1 =
30 put/menit dan n4 = 101,25 put/menit, tentukan putaran roda gigi ke 5 (n3).
13. Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya pemancangan untuk kedalaman 1 meter pertama Rp. 800.000,00, satu meter kedua Rp. 1.000.000,00 demikian seterusnya . Jika pertambahannya tetap menurut barisan aritmatika, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan untuk memancangkan tiang sedalam 7 meter.
DAFTAR PUSTAKA
Retnaningsih, Sri. 2009. Matematika untuk SMA dan MA kelas XII Bahasa . Departemen Pendidikan Nasional.
nn.(2012).Barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada:
http://download.sma1pekalongan.sch.id/umum/file/Media%20Pembelajaran/M
atematika/MATEMATIKA/MTK-35/MATERI%20AJAR%20barisan%20dan%20deret.doc. (22 Oktober 2013) nn.(2012).Barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada:
http://parjono.files.wordpress.com/2008/02/barisan-dan-deret.doc.( 22 Oktober 2013)
nn.(2012).Barisan dan Deret doc.[online].tersedia pada:
Riwayat Penulis
Nama : Anna Rachmadyana Harry
Tempat Tanggal Lahir : Majalengka 18 Januari 1994
Hoby : Traveling
Tugas : Editor
Nama : Nurkhasanah Alfian
Tempat Tanggal Lahir: Indramayu, 22 Mei 1993
