Penerapan Transformasi Laplace Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear Pada Rangkaian Seri RLC.

17  303  Download (5)

Teks penuh

(1)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen , suatu variabel dependen , dan satu atau lebih turunan dari terhadap (K.A. Stroud. 2003).

Secara umum persamaan diferensial linear orde koefisien konstan dituliskan sebagai:

(2)

2.1.2 Persamaan Diferensial Orde Satu

Bentuk standar dari persamaan diferensial orde satu dalam fungsi adalah

Persamaan diferensial orde satu diklasifikasikan berdasarkan cara penyelesaiannya menjadi tiga macam:

(3)

Persamaan yang dihasilkan dalam variable dan dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel dan mengintegrasi pada kedua sisi persamaan yang terpisah,

(4)

Yang bergantung pada dan independen terhadap . sehingga dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi diperoleh

Yang menghasikan persamaan eksak sehingga dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel. Prosedur selanjutnya untuk persamaan dapat ditulis

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan melakukan integrasi pada kedua sisi, dan kemudian menyelesaikannya untuk memperoleh persamaan untuk .

Contoh

solusi

∫ ∫

{ }

2.1.3 Persamaan Diferensial Orde Dua

persamaan diferensial orde dua dapat ditulis dalam bentuk

(5)

Yang diperoleh dengan menuliskan

Persamaan kuadrat disebut juga persamaan karakteristik. Berdasarkan akar – akar dari persamaan kuadrat, penyelesaiannya dibedakan atas tiga tipe yaitu:

1. Akar – akar Real yang Tidak Sama

Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan berbeda dimana:

Maka solusinya diperoleh dalam bentuk

(2.3) Dimana dan adalah konstanta sembarang dan dan adalah akar – akar persamaan kuadrat.

2. Akar – akar Real yang Sama

Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk real dan sama dimana:

Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk

3. Akar – akar Kompleks

Apabila akar – akar dari persamaan kuadrat diperoleh dalam bentuk kompleks dimana:

Maka Solusinya diperoleh dalam bentuk

(6)

2.2 Rangkaian Listrik

Rangkaian listrik adalah suatu kumpulan elemen atau komponen listrik yang saling dihubungkan dengan cara – cara tertentu dan paling sedikit mempunyai satu lintasan tertutup. Adapun komponen listrik terdiri dari tiga macam yaitu:

1. Resistor (R) yang berfungsi sebagai penghambat arus dalam rangkaian. 2. Induktor (L) dapat menyimpan energi dalam bentuk medan magnet. 3. Kapasitor (C) menyimpan energi dalam bentuk medan listrik.

2.2.1 Rangkaian Transien

Dalam analisis transien terdapat tiga macam komponen listrik beserta sifatnya yang akan menimbulkan karakteristik baru dalam rangkaian. Resistor yang bersifat membuang energi dalam bentuk panas, induktor yang bersifat menyimpan arus bolak-balik atau alternating current (ac), dan kapasitor yang bersifat menyimpan tegangan searah atau direct current (dc), akan menimbulkan adanya sifat sementara (transien) dalam rangkaian. Dalam kondisi sementara ini, sebelum diterapkan sumber-sumber bebas dari luar, tanggapan rangkaian disebut dengan tanggapan sementara. Setelah lenyapnya tanggapan sementara, rangkaian dikatakan dalam keadaan mantap (steady state). Tanggapan yang diakibatkan oleh sumber-sumber bebas dari luar dinamakan dengan tanggapan paksa. Kombinasi dari tanggapan transien dengan tanggapan paksa merupakan tanggapan lengkap rangkaian.

2.2.2 Hukum – Hukum Rangkaian listrik

1. Hukum Arus Kirchhoff (HAK)

(7)

Gambar 2.1 Simpul Arus Sederhana

Berdasarkan hukum arus Kirchhoff pada rangkaian diperoleh persamaan =0

Atau

2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK)

Hukum tegangan Kirchhoff menyatakan bahwa penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan tertutup sama dengan nol (William H, 2005).

3. Hukum Ohm

Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan V yang melewati suatu penghantar berbanding lurus degan arus I dari elemen rangkaian yang ditulis sebagai

(8)

2.2.3 Elemen Resistor, Induktor, dan Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel

1. Resistor dalam Hubungan Seri dan Parallel

Gambar 2. 2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor

Gambar 2.3 Rangkaian Ekivalen Resistor

Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor yang terlalu rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Kombinasi dari N buah resistor yang terhubung seri dapat disederhanakan dengan mengantikan N buah resistor dengan sebuah resistor ekivalen (Req). Resistansi ekivalen untuk N buah resistor yang terhubung seri adalah:

(9)

Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor dalam hubungan paralel adalah.

Yang dapat ditulis sebagai

Untuk kasus dimana hanya terdapat dua buah resistor yang terhubung paralel. Persamaannya dapat di rumuskan sebagai:

2. Induktor dalam Hubungan Seri dan Paralel

Kombinasi dari N buah induktor yang terhubung seri pada gambar dapat diganti denga sebuah rangkaian induktor ekivalen, dengan induktansi Leq untuk menggantikan kombinasi seri tersebut. Dengan menerapakan HTK (hukum tegangan Kirchhoof atau Kirchoof voltage law) pada rangkaian aslinya.

(10)

Gambar 4.5 Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor

untuk rangkaian ekivalen, KVL (kirchooff voltage law) menghasilkan

Untuk kasus dua induktor yang terhubung paralel

(2.8)

3. Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel

(11)

Untuk rangkaian N buah kapasitor yang terhubung paralel yaitu

(2.10)

2.2.4 Tanggapan Rangkaian RLC Seri

Pada rangkaian listrik, terdapat 3 respon yang dikenal, yaitu respon alami yang kurang teredam (underdamped), teredam kritis (crititically damped), dan sangat teredam (overdamped), karena yang akan dibicarakan adalah arus, maka, respon yang dimaksud adalah respon arus. Secara matematis dalam ilmu rangkaian listrik dapat dijelaskan 3 respon ini. Suatu rangkaian listrik sederhana yang terdiri dari komponen aktif R, juga komponen pasif L dan C dirangkai secara seri pada gambar dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada gambar maka diperoleh persamaan arus, sebagai:

Gambar 2.6 Rangkaian RCL Seri

(12)

Persamaan terakhir yang diperoleh dikenal sebagai persamaan karakteristik atau persamaan pelengkap (auxiliary). Karena persamaan ini adalah sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki dua buah pemecahan yang diidentifikasikan sebagai dan

√( )

Dengan sebagai parameter frekuensi resonansi

(13)

bentuk umum tanggapan teredam berlebih

(14)

Eksis. Jika limit ini tidak eksis, integral tak wajar tersebut divergen dan tidak memiliki transformasi laplace.

2.4.1 Transformasi Laplace Dari Turunan

1. Turunan Pertama

{ } ∫

Bukti:

{ } ∫

Dengan menggunakan integral parsial diperoleh

{ } ∫

[ ] ∫

[ ]

( )

(15)

2. Turunan Kedua

{ } ∫

Bukti:

Dengan menggunakan integral parsial dan hasil dari turunan pertama diperoleh { } ∫

Sifat – sifat transformasi Laplace invers adalah sebagai berikut

1. Transformasi invers dari suatu jumlah atau selisih dari pernyataan adalah jumlah atau selisih dari masing – masing transformasi invers itu sendiri. yang ditulis sebagai:

{ } { } { }

2. Transformasi invers dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi invers dari pernyataan tersebut, dengan kata lain:

(16)

2.4.3 Transformasi Laplace dalam Ekpansi Pecahan Parsial

Di dalam penggunaannya, transformasi Laplace sering kali melibatkan bentuk

dengan banyak fraksi, di mana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Solusinya ialah dengan cara mengetahui bagaimana fraksi – fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah dalam bentuk fraksi pecahan (parcial fraction). Jika

dengan penyebut

Maka, terdapat tiga penyelesaiannya.

1. Akar – akar Real yang Tidak Sama

Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk

dan

diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai

(2.25)

(17)

2. Akar – akar Real yang Sama

Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk

diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai

Dengan , , , dan adalah konstanta yang belum diketahui nilainya.

3. Akar – akar Kompleks

Untuk setiap faktor dari P(s) dalam bentuk

Maka, pecahan parsialnya dapat ditulis dalam bentuk

2.5 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)

Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial order

( ) yaitu menentukan solusi persamaan diferensial pada interval I yang memenuhi syarat awal di subset dari real

Figur

Gambar 2.1  Simpul Arus Sederhana

Gambar 2.1

Simpul Arus Sederhana p.7
Gambar 2. 2  Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor

Gambar 2.

2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor p.8
Gambar 2.3  Rangkaian Ekivalen Resistor

Gambar 2.3

Rangkaian Ekivalen Resistor p.8
Gambar  2.4 Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor

Gambar 2.4

Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor p.9
Gambar 4.5  Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor

Gambar 4.5

Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor p.10
Gambar 2.6  Rangkaian RCL Seri

Gambar 2.6

Rangkaian RCL Seri p.11

Referensi

Memperbarui...