Ibnu Maja, S.Si.,M.M Staf UP.MPK, Politeknik Negeri Sriwijaya Palembang Abstraks

(1)

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR BIASA TINGKAT- n DENGAN METODE TEKNIK OPERATOR

Ibnu Maja, S.Si.,M.M

Staf UP.MPK , Politeknik Negeri Sriwijaya Palembang ibnumaja76@yahoo.co.id

Abstraks

Sistem persamaan linear biasa tingkat n dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui dapat diselesaikan dengan langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi penyelesaian persamaan diferensial biasa yaitu menentukan persamaan karakteristik dari dua persamaan tersebut, menggantikan persamaan kedalam teknik operator, menentukan nilai x_pyaitu dengan mengeliminasikan nilai y_p dan sebaliknya, kemudian diselesaikan dengan ketentuan metode teknik operator untuk memperoleh hasil, mensubtitusikan hasil x

   

t ,xt dan y

   

t ,yt kedalam persamaan awal untuk menentukan nilai k sehingga diperoleh hasil akhir yaitu x xhxpdan

p h y y y 

Kata Kunci : persamaan diferensial linier biasa , Teknik Operator,

Abstracs

Systems of linear equations outstanding level of n with two equations that consists of two functions of the unknown can be resolved with the steps necessary to determine the solution completion of ordinary differential equations that determine the characteristic equation of the two equations , replacing equation into operator technique , to determine the value xp that is by eliminate the value yp and vice versa , then resolved with the provisions of operator technique method to get results x

   

t ,xt , and

   

t y t

y ,  the results mensubtitusikan into the original equation to determine the value of k so that the final result is xx_hx_p and y y_hy_p

Keywords : linear ordinary differential equations , operator technique

I. LATAR BELAKANG

Persamaan diferensial biasa orde pertama dapat disajikan dalam bentuk berikut:

 

x y atau y f

 

x y f dx dy , ,  

Solusi dari persamaan ini adalah y

 

x

yang memenuhi persamaan

 

x f



x y

 

x



y  , disemua titik pada interval domain

 

a,b . Selanjutnya persamaan diatas merupakan nilai awal bila solusi itu memenuhi nilai awal

(2)

 

a y0

y  sehingga persamaan itu dapat digambarkan sebagai :

 

x,y a x b dan y

 

a y0

f

y   

Kemudian bila persamaan ini terdiri dari lebih dari satu persamaan yang saling terkait maka dikatagorikan sebagai sistem persamaan diferensial. Sistem persamaan diferensial orde

pertama disajikan sebagai berikut:



t y y yn



f y₀  ₁ , ₁, ₂,...,



t y y yn



f y1 2 , 1, 2,..., 



n



n n f t y y y y  , 1, 2,...,

atau dalam bentuk umum dapat disajikan sebagai :



n



i i f t y y y y , 1, 2,..., i = 1, 2, 3, ..., n dan at b

dengan nilai awal:

 

a y

 

a yn

 

a n y₁ ₁. ₂ ₂... 

Seluruh bentuk PDB atau sistem PDB dapat ditransformasikan kedalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu dan kelebihan sistem ini adalah mudah ditentukan solusinya dengan metode apapunbaik analitik kualitatif ataupun metode numerik. Dibawah ini diberikan contoh bagaimana sistem PDB sebarang dapat ditransformasikan kedalam sistem PDB orde satu. (Anton & Rorres, 2004)

Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial linear yaitu persamaan diferensial yang berpangkat satu dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannyayaitu persamaan diferensial yang berbentuk:

 

_{ }

x g y x a y x a y x a_n n  _n n   0  1 1 

dengan a₀,a₁,a₂,,a_n adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas x, serta a. Jika g

 

x 0 maka persamaan

tersebut homogen

b. Jika g

 

x 0 maka persamaan tersebut tak homogen

c. Jika seluruh koefisien

n a a a

a₀, ₁, ₂,, adalah konstanta, maka persamaan tersebut dikatakan memiliki koefisien konstan. (Finizio & Ladas, 1988)

II. LANDASAN TEORI

Persamaan diferensial linear tingkat n berbentuk: (Spehley, 1974)

1.   _       2 2 2 1 1 1 n n n n n n o dt x d P dt x d P dt x d P Q x P dt dx P_n_₁  _n  dimana P_o 0,P1,P2,,P_n Q adalah fungsi x atau konstanta.

2.        2 2 2 1 1 1 n n n n n n o dt x d P dt x d P dt x d P 0 1    _ Px dt dx P_n _n

(3)

disebut homogen untuk menunjukkan bahwa semua suku-sukunya berderajat sama (pertama) dalam y dan demikian juga turunan-turunannya.

Persamaan Linear Homogen dengan koefisien-koefisien konstanta berbentuk: 1.   _     2 2 2 1 1 1 n n n n n n o dt x d P dt x d P dt x d P Q x P dt dx P_n  _n   _₁ dimana P_o 0,P₁,P₂,,P_n adalah konstanta-konstanta.Untuk memudah-kan notasi, tulislah:

x D Dx D dt dx dt d dt x d Dx dt dx 2 2 2 . ,          menjadi 0 ) ( 1 2 2 1 1          x P D P D P D P D P n n n n n o 

maka suatu operator yang bekerja terhadap y dan 0 1 2 2 1 1          n n n n n o P D P D P D P D P  Persamaan Karakteristik Persamaan:

  







1





0 3 2 1         n n D m m D m D m D m D D F 

disebut dengan persamaan karakteristik dan akar-akarnya m₁,m₂,m₃,,m_n disebut akar akar karakteristik. (Purcell, 2004)

1. Akar-akar rill yang berbeda

n n m m m m m1  2  3  _1 

maka penyelesaiannya adalah

x m n x m x m x m n e C e C e C e C y      1 2 3  3 2 1

2. Akar-akar yang berulang

n n m m m m m₁ ₂  ₃  _₁ 

maka penyelesaiannya adalah mx n n x m mx mx e x C e x C xe C e C y 2 1 3 2 1 3       

3. Akar-akar kompleks abi maka penyelesaiannya _adalah: a bix a bix ax



bix bix



Be Ae e e B e A      











bx R



Pe Q bx e P bx C bx C e ax ax ax      cos sin sin cos 2 1 Metode Operator

Integral khusus persamaan Diferensial

 

D y Q

F  dengan

Koefisien-koefisien konstan dinyatakan dengan

 

D Q F

1

. Untuk bentuk-bentuk tertentu

Q pekerjaan yang dilibatkan dalam menghitung simbol ini dapat dipandang secara sederhana, sebagai berikut : Persamaan difrensial : (Ayress, 1984)

 

D y Q F  maka Q D F y ) ( 1  Q m D m D m D m D y n      1 1 1 1 2 2 1    

_

 



   mx m m x m m x e e e y 1 2 1 3 2  

_{ }



m m x



m x n dx e Q e n n 1 n 

(4)

Persamaan difrensial:

 

D y Q F  maka Q D F y ) ( 1  a. jika Q berbentuk eax 0 ) ( ) ( 1 ) ( 1 _ _  e F a a F e D F y ax ax

b. jika Q berbentuk sin



axb



atau cos



axb











0 ) ( sin ) ( 1 sin ) ( 1 2 2 2        a F b ax a F b ax D F y









0 ) ( cos ) ( 1 cos ) ( 1 2 2 2        a F b ax a F b ax D F y c. jika Q berbentuk xm





0 ) ( 1 0 2 2 1 0        a x D a D a D a a x D F y m m m m _ d. jika Q berbentuk eax V(x) 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1     a F x V a D F e x V e D F y ax ax e. jika Q berbentuk x. V(x)



( )



( ) ) ( ) ( ) ( 1 ) ( . ) ( 1 2 V x D F D F x V D F x x V x D F y     PEMBAHASAN

Langkah-langkah solusi sistem persamaan diferensial linear Biasa dengan metode Kofaktor adalah: (Goode, 1991)

1) Mengubah sistem persamaan diferensial kedalam teknik operator yaitu F

 

D y Q

2) Mengeliminasikan persamaan untuk menentukan nilaix_pdany_p yaitu:

 

D Q F y dan Q D F x_p _p 1 ) ( 1   3) Menentukan persamaan karakteristik dalam menentukan akar riil dan berbeda, akar-akar yang berulang dan akar-akar-akar-akar kompleks yaitu nilai x_hdan y_h. 4) Mensubtitusikan hasil x

   

t ,xt

dan y

   

t , yt kedalam persamaan untuk menentukan nilai k.

5) Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear biasa yaitu : xx_hx_pdan y  y_h y_p

Studi Kasus Solusi Sistem Persamaan Linear Biasa dengan Metode Operator

Diberikan kasus 1 SPD linear biasa sebagai berikut:

(5)

 

1 1 2 2     t dt dy dt x d

 

2 1 2 3       x y t dt dy dt dx

Solusi umumnya adalah x

 

t  x_h x_p dan y

 

t  y_h y_p

Mengubah persamaan kedalam teknik operator : 1 1 2 2 2        t D x Dy t dt dy dt x d



3

 

1



2 1 1 2 3            t y D x D t y x dt dy dt dx

Mencari nilai x

 

t dengan menghilangkan nilai y

 

t sehingga diperoleh:



32 23



 4 t x D D D _p

Untuk menentukan nilai x

 

t dengan sifat metode operator:



m



m m m x D a D a D a a x D F y    2 2 1 0 ) ( 1



a0 0













4



3 2 1 4 3 2 1 2 2 3         t D D D t D D D xp





     _ _      _ _ _  9 14 3 1 1 4 9 2 3 1 1 t D t D D xp  t t t D xp 9 14 6 1 9 14 3 1 1 _ 2      _ _ 

Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh:



2 3



0 0 3 2 2 2 3_ _ _ _ _ _ _ D D D D D D



D1



D3



0D0,D1,D3 D t t h C Ce Ce x 1 2 3 3    

Solusi umum untuk nilai x

 

t dan x

 

t

adalah:

 

t t e C e C C x x t x h p t t 9 14 6 1 2 3 3 2 1        

 

9 14 3 1 3 3 3 2       t e C e C t x t t

Mencari nilai y

 

t dengan menghilangkan nilai x

 



32 23







3 2



 D D D y_p t











3 2



3 2 1 2 3 3 2 1 2 2 3         t D D D t D D D y_p



3 2



9 2 3 1 1     _ _ _  D t D y_p       _ _  3 4 1 t D t t t D y_p 3 4 2 1 3 4 1  2      _ _ 

t t h K K e K e y 3 3 2 1    

(6)

Solusi umum untuk nilai y

 

t dan y

 

t

 

t t e K e K K y y t y _h _p t t 3 4 2 1 2 3 3 2 1        

 

3 4 3 3 3 2       t e K e K t y t t

Subtitusikan x

 

t dan y

 

t kedalam persamaan (1) atau (2) untuk menentukan nilai K₁,K₂,K₃sehingga diperoleh: 9 17 3 1 1  C  K , K₂C₂,K₃ 3C₃ Jadi Solusi Umum dari SPD Linear Biasa yang diberikan yaitu:

 

t C C e Ce t t x t t 9 14 6 1 2 3 3 2 1     

 

t C Ce Ce t t y t t 3 4 2 1 3 9 17 3 ₂ ₃ 3 2 1 1           _  

Diberikan kasus 2 SPD linear biasa sebagai berikut:

 

1 3 4 2 t  e y x dt dy dt dx_ _ _ _

 

2 2 2 t  e y x dt dy dt dx    

Solusi umumnya adalah x

 

t  xh xp dan y

 

t  y_h y_p

Mengubah persamaan kedalam teknik operator :



 



t t e y D x D e y x dt dy dt dx 3 1 4 1 2 3 4 2         



 



t t e y D x D e y x dt dy dt dx          2 2 2 2

Mencari nilai x

 



D2D2



x_p3et

 

0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1     a F x V a D F e x V e D F y ax ax

 







 

t t p e D D e D D x 3 2 1 1 3 2 1 2        



 











t t p e D e D D x 1 1 3 2 1 1 1         _   







   t t t t t p e e e dt e dt te x







2 , 1 0 2 1 0 2 2            D D D D D D t t h Ce C e x 2 2 1   

 

t dan x

 

t

adalah:

 

t t t p h x Ce Ce te x t x    1  2 2  ,

 

t t t t e t e e C e C t x  1 2 2 2  

Mencari nilai y

 





t p e y D D2 2 3

(7)

Untuk menentukan nilai y

 

0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1     a F x V a D F e x V e D F y ax ax

 

t

_

_

_

 

t p e D D e D D y 3 2 1 1 3 2 1 2     



 



 

t





t p e D e D D y 1 1 3 2 1 1 1           







  t t t t t p e e e dt e dt te y

t t

h Ke K e y  ₁  ₂ 2

 

t dan y

 

t

 

t t t p h y Ke Ke te y t y    1 1 2 2 

 

t t t t e t e e K e K t y  ₁ 2 ₂ 2  

Subtitusikan x

 

t dan y

 

t kedalam persamaan (1) atau (2) untuk menentukan nilai K₁, K₂sehingga diperoleh: 3 3 1 1 1 C K   , ₂ ₂ 3 1 C K 

Jadi Solusi Umum dari SPD Linear Biasa yang diberikan yaitu:

 

t t t e t e C e C t x  ₁  ₂ 2 

 

t t t e t e C e C t y           2 2 1 3 1 3 1

Diberikan kasus 3 SPD linear biasa sebagai berikut:

 

1 sin 2y t  dt dy dt dx   

 

2 0      x y dt dy dt dx

Solusi umumnya adalah:

 

t xh xp

x   dan y

 

t  y_hy_p

Mengubah persamaan kedalam teknik operator :

  

D x D



y t t y dt dy dt dx sin 2 sin 2       



1

 

1



0 0          y D x D y x dt dy dt dx

Mencari nilai x

 



2D2



x_p costsint

 









( ) 0 sin ) ( 1 sin ) ( 1 2 2 2        a F b ax a F b ax D F y















t t



D D D t t D xp sin cos 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 2 2 1            















t t t D D x_p sin 2 1 sin cos 2 2 4 4 1 2       

(8)

1 2 2 0 2 2        D D D t h Ce x  ₁

 

t dan x

 

t

adalah:

 

t x x Ce t x h p t sin 2 1 1     ,

 

t Ce t x t cos 2 1 1   

Mencari nilai y

 



2D2



y_p costsint

Untuk menentukan nilai y

 













 

t t



D D D t t D y_p sin cos 2 2 2 2 2 2 1 sin cos 2 2 1        















t t t D D yp sin 2 1 sin cos 2 2 4 4 1 2     

Persamaan karakteristik akar-akar yang berulang sehingga diperoleh: yh K1et

 

t dan y

 

t

 

t y y Ke t y h p t sin 2 1 1    

 

t Ke t y t cos 2 1 1   

Subtitusikan x

 

t dan y

 

t kedalam persamaan (1) atau (2) untuk

menentukan nilai K sehingga ₁

diperoleh: ₁ ₁ 3 1

C K  ,

Jadi Solusi Umum dari SPD Linear Biasa yang diberikan yaitu: (Spehley, 1974)

 

t Ce t x t sin 2 1 1  

 

t C t y sin 2 1 3 1 1  

KESIMPULAN DAN SARAN

Langkah-langkah solusi sistem persamaan diferensial linear Biasa dengan metode Kofaktor adalah:

1. Mengubah sistem persamaan diferensial kedalam teknik operator yaitu F

 

D y Q

2. Mengeliminasikan persamaan untuk menentukan nilaixpdanyp

yaitu

 

Q D F y Q D F xp p 1 , ) ( 1 _  3. Menentukan persamaan karakteristik dalam menentukan akar riil dan berbeda, akar-akar yang berulang dan akar-akar-akar-akar kompleks yaitu nilai x_hdan y_h. 4. Mensubtitusikan hasil x

   

t ,xt

dan y

   

t , yt kedalam persamaan untuk menentukan nilai k.

(9)

5. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear biasa yaitu : xx_hx_pdan y y_h y_p Bagi pembaca yang tertarik dan untuk memperdalam disarankan membahas mengenai metode ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear biasa dengan orde yang lebih tinggi dan dengan metode yang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Ayress Frank, JR, Ph,D, 1984. Persamaan Diferensial, Seri Buku Schaum, Terjemahan Dr. Lily Ratna, Jakarta: Erlangga.

Anton, H dan C, Rorres, 2004. Aljabar

Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan

oleh R. Indriasari dan I. Harman. Jakarta: Erlangga.

Finizio, N dan G, Ladas. 1988.

Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern.

Terjemahan oleh Dra. Widiarti. Santoso. Jakarta: Eerlangga.

Goode, S. W. 1991. An Introduction to

Differential Equations and Linear Algebra. New York:

Prentice-Hall International, Inc.

Purcell, E, J, D. Varberg, dan S, E, Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 2

(Edisi Kedelapan) Jakarta: Erlangga.

Shepley L. Ross. 1974. Differentiaal

Equations. New York: