• Tidak ada hasil yang ditemukan

BAB6. kantilever

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "BAB6. kantilever"

Copied!
8
0
0

Teks penuh

(1)

Bab 6

Bab 6

GA

GAY

YA GESE

A GESER DAN

R DAN MOMEN

MOMEN TEKUK 

TEKUK 

Tinjauan Instruksional Khusus: Tinjauan Instruksional Khusus:

Mah

Mahasiasiswa swa didiharharapkapkan an mammampu pu mememahmahami ami konkonsep sep dasdasar ar mommomen en tektekuk uk daldalamam kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya int

internernalal, , tahtahanaanan n momomen men serserta ta hubhubunungan gan antantara ara inintentensitsitas as bebebanban, , gaygaya a gegeser ser dadann momen tekuk.

momen tekuk.

Definisi balok (

Definisi balok (beambeam))

Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya se

sertrta a momomemen n ((couplecouple) ) yayang ng teterlrletetak ak papada da susuatatu u bibidadang ng yayang ng memempmpununyayai i susumbmbuu longitudinal disebut balok (

longitudinal disebut balok (beambeam). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu horisontal.

horisontal.

Balok konsole (

Balok konsole (cantilever cantilever )) Jik

Jika a suasuatu tu balbalok ok didisansangga gga ataatau u dijdijepiepit t hahanya nya padpada a salsalah ah satsatuu ujun

ujungnya gnya sedesedemikimikian an sehisehingga ngga sumbsumbu u balobalok k tidatidak k dapadapat t berpberputar utar padpada a titik titik terstersebut,ebut, maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (

maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (cantilever beamcantilever beam). Tipe balok). Tipe balok ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang balok. balok. Gb. 6-1 Gb. 6-1 Balok sederhana Balok sederhana

Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya dis

disebuebut t babalok lok sedsederherhanaana. . IstIstililah ah “di“disansangga gga secsecara ara bebbebas” as” menmenyatyatakaakan n secsecara ara tidtidakak langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi pad

pada a ujujung ung batbatang ang jikjika a babatantang g menmengalgalami ami tektekukaukan n karkarena ena pempembebbebanaanan. n. BaBatantangg sederhana diilustrasik

sederhana diilustrasikan pada an pada Gb. 6-2.Gb. 6-2.  P   P  W W  N/m N/m  P   P  W W  N/m N/m  M   M 

(2)

Gb. 6-2

Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang muncul pada arah sumbu balok.

Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi seragam.

Balok menggantung

Suatu balok disangga secara bebas pada dua titik dan menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung (overhanging beam). Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3.

Gb. 6-3

Balok statis tertentu

Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok. Balok-balok demikian disebut Balok-balok statis tertentu.

Balok statis tak-tertentu

Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statis tak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4.

Gb. 6-4

Tipe pembebanan

Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya

32  P  2 W   P  1  P 3 P   P  W   P  2  P  1 (a) (b) (c)

(3)

terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5.

Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).

Gb. 6-5 Gaya internal dan momen pada balok

Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser. Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada balok, perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik tersebut. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Contoh 1.

Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a).

Gb. 6-6

Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yang lerletak pada jarak x dari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balok disebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengan suatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal V bersama-sama dengan suatu momen M seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b).

Gaya V  dan momen M  menahan balok sebelah kiri yang mempunyai gaya-gaya R 1, P 1, dan P 2 tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai V dan M  adalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas.

Tahanan momen

Momen M  yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan momen (resisting moment ) pada bagian D. Besarnya M  dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap

0  P  1 (a) (b)  M   P  2  P 3  P 4   R 1  R2  A  B C  D  x  x  R 1  x V   A a D b  P  1  P 2

(4)

poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi, 0 ) ( ) ( 2 1 1 0

=

+

+

=

M  M   R x  P   x a  P   x b atau ) ( ) ( 2 1 1 x  P   x a  P   x b  R M 

=

Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan momen-momen reaksi pada A dan gaya-gaya P 1 dan P 2. Momen tahanan M merupakan resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D. Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada bagian tertentu pada penampang melintang dan suatu tekanan pada bagian-bagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8.

Tahanan geser 

Gaya vertikal V yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan geser (resisting shear ) untukD. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,

0 2 1 1

=

=

 F v  R  P   P  V  atau V 

=

 R1

 P 1

P 2

Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8.

Momen tekuk

Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D

terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment ) pada D. Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan:

) ( ) ( 2 1 1 x  P   x a  P   x b  R

Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran yang sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M . Momen tekuk lebih lazim digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

Gaya geser 

Jumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan dengan  R1

 P 1

P 2 . Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V . Dalam perhitungan gaya geser lebih sering digunakan daripada tahanan geser.

Konvensi tanda

Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geser  dan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok

(5)

tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.

Gb. 6-7

Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip.

Persamaan pergeseran dan momen

Untuk mempermudah analisa biasanya digunakan sistem koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah persamaan, satu menyatakan gaya geser V sebagai fungsi jarak, misal x , dari salah satu ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk M sebagai fungsi x .

Diagram gaya geser dan momen tekuk

Plot untuk persamaan gaya geser V dan momen tekuk M  masing-masing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini absis (horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok dan ordinat (vertikal) menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik dari batang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum setiap kuantitasnya.

Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk

Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan dengan w ( x ) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung kiri ( A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabel x .

35 Momen tekuk negatip

Momen tekuk positip

Gaya geser positip Gaya geser negatip

 x w(x)

(6)

Gb. 6-8

Untuk suatu nilai x , hubungan antara beban w ( x ) dan gaya geser V adalah

dx dV  w

=

dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk M adalah

dx dM  V 

=

Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2.

Fungsi singularitas

Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut:

n

n  x  x a

  f   ( )

=

(

)

dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x < a dan bernilai ( x 

-a)n jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan

demikian jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana pernyataan biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3.

Contoh 2.

Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik pada balok.

Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti pada gambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx  dan menggambarkan

diagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geser V bekerja pada sisi

kiri elemen dan untuk elemen sepanjang dx tersebut besarnya berubah menjadi V + dV . Demikian juga momen tekuk M  yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secara

bertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diatas

elemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan w N/m. Diagram gaya-gaya

ini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh

(a) (b)

o

=

(M 

+

dM )

+

Vdx

+

wdx(dx /2)

=

0 atau 2 2 1

w

(

d x

)

V d x

d M 

= + 36  x dx  x w(x) dx V  V+dV  wN/m  M  O . M+dM 

(7)

Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untuk diperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengan demikian, Vdx dM  = atau dx dM  V 

=

Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadap x .

Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagram gaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit. Misalnya, dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip pada suatu bagian balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titik itu juga positip. Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geser   juga diikuti oleh perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya.

Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, maka kemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennya adalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Ini mengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurva dengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. .

Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kita dapat membuat turunan kedua dari M terhadap x , yaitu d 2/dx 2. Apabila nilai turunan

kedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkan nilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekung kebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum.

Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kita peroleh 0 ) (

+

=

+

V  V  dV  wdx atau dx dV  w

=

Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya.

Contoh 3.

Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan beban terdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Dengan menggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.

Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini kita peroleh persamaan kesetimbangan statis:

2 1 wL  P  V 

=

+

8 2 1 wL  PL M   = +

meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuknya.

Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban terkonsentrasi P dan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkan konvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan:

(a)  P   B w / unit panjang   L/2 L/2 (b)  P   B w / unit panjang  O V  1  M  1  x 

(8)

1 0 2 ) (

 

 

 

 

  −

=

 P  x w  x L V 

yang mengindikasikan gaya geser pada setiap posisi x .

Secara sama, momen tekuk pada setiap posisi x adalah

2 1 2 2 ) (

 

 

 

 

  −

=

 P  x w  x L M 

Dengan demikian, diagram gaya geser dan momen tekuknya adalah seperti ditunjukkan pada gambar (c) dan (d) dibawah ini.

38 (a)  P   B w / unit panjang   L/2 L/2 Gaya geser  (c)  P  w o L/2 Momen tekuk  (d)  PL+w o L 2  /8  PL/2

Gambar

Diagram gaya geser dan momen tekuk
Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini kita peroleh persamaan kesetimbangan statis:

Referensi

Dokumen terkait

Menjadi tantangan yang tidak kecil untuk menjaga agar upaya pembangunan sebagai proses modernisasi, sebagai proses budaya, berjalan dengan serasi, dan masyarakat dapat

Faktor penting yang mempengaruhi pertumbuhan dan kelangsungan hidup ikan selain pakan adalah kualitas air terutama suhu. Karena suhu dapat mempengaruhi pertumbuhan dan

Tuntutan kompetisi mata pelajaran yang harus dibekalkan kepada peserta didik berupa pengetahuan (knowledge), keteramplan (skills), dan etika atau karakter (ethic

Hal ini dapat dilihat bahwa siswa yang berperilaku menyimpang memandang sebagai perilaku yang wajar sementara siswa yang tidak menyimpang memandang sebagai perilaku yang

Tugas akhir yang berjudul “Perancangan Komunikasi Visula Ilustrasi Prangko Kampung Betawi” ini merupakan salah satu persyaratan untuk gelar kesarjanaan pada jurusan Desain

Data umum yang paling menunjang sikap remaja tentang perilaku seksual pranikah sesudah diberikan penyuluhan adalah informasi, responden mendapatkan informasi tentang

Metode thresholding bekerja dengan beberapa langkah yaitu Mengkonversi ruang warna citra RGB menjadi Grayscale, Melakukan segmentasi citra menggunakan metode

Oleh karena itu, perlu adanya solusi berupa strategi komunikasi yang meliputi Brand dan Promosi yang dapat mewakili identitas kawasan tersebut secara menyeluruh ke khalayak