Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida

9

Endang Rusyaman1), Hendra Gunawan2), Asep Kuswandi Supriatna1), dan Rustam Effendy Siregar3)

1)

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unpad,

2)

Kelompk Keahlian Analisis dan Geometri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB,

3)

Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unpad e-mail: rusyaman@plasa.com, hgunawan@math.itb.ac.id

Diterima 3 Desember 2009, disetujui untuk dipublikasikan 11 Januari 2010

Abstrak

Dalam makalah ini akan dibahas syarat cukup bagi eksistensi interpolan deret ganda sinusoida, yaitu fungsi berbentuk deret sinus Fourier ganda yang melalui beberapa buah titik (xi, yj, cij), dengan 0 < xi < 1, dan 0 < yj

< 1. Pembuktian akan dilakukan melalui dekomposisi matriks yang memuat dua buah variabel menjadi perkalian dari dua buah matriks yang masing-masing memuat satu variabel, serta menunjukkan bahwa kedua matriks tersebut adalah nonsingular.

Kata Kunci: Interpolan, Deret sinus Fourier ganda, Dekomposisi Abstract

This paper presents a sufficient condition for the existence of a sinusoidal double series interpolant, that is the function of the form a double Fourier sine series that passes some arbitrary points (xi, yj, cij), with 0 < xi < 1, dan 0 < yj < 1. The proof is carried out by decomposing the matrix that contains two variables into the multiplication of two matrices each of which contains one variable only, and showing that both matrices are nonsingular.

Keywords: Interpolant, Double Fourier sine series, Decomposition

1. Pendahuluan

Dalam masalah satu dimensi, misalnya pada (Gunawan dkk, 2007) dan (Mastroianni dan Milovanovic, 2008), untuk mengetahui eksistensi fungsi berbentuk deret sinus

∑

= = N m m m x a x u 1 sin : ) ( π

yang melalui N buah titik (xi ,ci) dengan 0 < xi < 1, akan diperoleh sebuah sistem persamaan linear dengan N buah persamaan dan N buah variabel,

yaitu:

∑

= N m i m m x a 1 sin π = ci , i = 1, 2, . . . , N. Dari sejumlah literatur [lihat antara lain (Mastroianni dan Milovanovic, 2008)], diketahui bahwa N N N N x x N x x x N x x x x N x x x x N x x x π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M ≠ 0 .

Dengan demikian sistem persamaan linear di atas selalu mempunyai solusi, dan ini berarti bahwa interpolan sinusoida di atas dijamin eksistensinya.

Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana menjamin eksistensi suatu fungsi interpolan sinusoida berbentuk deret sinusganda

∑∑

= = M m N n mn m x n y a y x u 1 1 , sin sin : ) , ( π π

yang melalui K buah titik ((xi , yi), ci), dengan (xi ,

yi) di (0,1) × (0,1) dan ci bilangan real tertentu. Untuk memecahkan masalah ini, penulis akan membaginya dalam dua tahap. Pada tahap-1 akan dibahas eksistensi fungsi berbentuk deret sinus ganda u(x,y) yang melalui M.N buah titik homogen

(xi , yj , cij) dengan 0 < x1 < . . . < xM < 1 dan 0 <

y1 < . . . < yN < 1. Selanjutnya pada tahap-2 akan dibahas eksistensi deret sinus ganda u(x,y) yang

melalui K buah titik sebarang (data tak-homogen).

Pembaca diasumsikan akrab dengan aljabar linear elementer dan deret Fourier. Lihat misalnya (Bretscher, 1997), (Folland, 1992), dan (Tolstov, 1976).

2. Eksistensi Fungsi u(x,y) yang Melalui M.N Buah Titik

Untuk mengetahui eksistensi fungsi

∑∑

= = M m N n mn m x n y a y x u 1 1 , sin sin : ) , ( π π yang melalui

M.N buah titik (xi, yj, cij) di mana 0 < x1 < . . . <

xM < 1 dan 0 < y1 < . . . < yN < 1, terlebih dahulu (xi, yj, cij) tersebut disubstitusikan pada fungsi u(x,y) di atas sehingga diperoleh sistem persamaan linear

dengan M.N buah persamaan dan M.N buah variabel, yaitu u(xi,yj) =

∑∑

= = M m N n j i mn m x n y a 1 1 sin . sin π π =

∑∑

= = N n M m j i mn m x n y a 1 1 sin . sin π π = cij .

Dalam bentuk persamaan matriks, sistem di atas dapat dituliskan sebagai:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ N M N M M N M N M N M N M N M N N N N M M M M M M M M M M M M y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin . sin sin . sin ... sin sin 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L M O M M O M M O M L M M O M M M M L M O M M O M M O M L K M O M M O M M O M L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ MN N M M a a a a a a M M M M 1 2 12 1 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ MN N M M c c c c c c M M M M 1 2 12 1 11

yang secara sederhana dinyatakan sebagai A.(amn) = (cmn), dengan A matriks di atas yang berorde (M.N)×(M.N), serta (amn) dan (cmn) matriks berorde (M.N)×1.

Untuk menjamin eksistensi fungsi u(x,y)

yang melalui titik-titik tadi, persamaan linear di atas harus mempunyai solusi, dan hal ini dicapai apabila nilai determinan dari matriks A tidak sama

dengan nol. Dengan demikian syarat cukup bagi eksistensi fungsi u(x,y) adalah Det A ≠ 0.

Untuk menunjukkan hal tersebut, terlebih dahulu matriks A didekomposisi menjadi:

A (M.N)× (M.N) = Ax(M.N) × (M.N) . Ay(M.N) × (M.N) (1) dengan Ax(M.N) × (M.N) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ M M M M M M M M M M M M x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 L L L L O O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L M M M M M O M M M M M M M M M M L L L L M M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L dan Ay(M.N) × (M.N) =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ N N N N N N N N N N N N y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y y N y y π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L L L L O O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L M O M M M O M O M M M M M M M M L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L

Untuk membuktikan bahwa determinan kedua matriks di atas tidak nol, terlebih dahulu akan dibahas dua buah lema berikut.

Lema-1: Det Ax (M.N) × (M.N) = N x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x M M M M π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M . Bukti:

Terlihat bahwa Ax adalah matriks berorde

(M.N)×(M.N) yang terdiri dari N buah matriks partisi

yang masing-masing berorde (M×M) dan membentuk matriks diagonal pada Ax. Melalui operasi baris

elementer pada setiap kelompok matriks partisi tersebut, pada iterasi pertama, nilai dari kolom-1 mulai baris-2 (B2) sampai dengan baris-M (BM) dibuat sama dengan nol. Untuk itu dilakukan cara sebagai berikut: B2 = B 2 - 1 2

sin

sin

x

x

π

π

B1 ; B3 = B 3 - 1 3

sin

sin

x

x

π

π

B1 ; …; BM = BM - 1

sin

sin

x

x

M

π

π

B1 .

Selanjutnya dengan pola yang sama, iterasi diteruskan sampai iterasi ke-(N-1) pada setiap

kelompok partisi. Hasilnya, matriks Ax akan berubah

menjadi matriks segi tiga atas dengan nilai determinan sama dengan perkalian unsur-unsur diagonalnya. Karena matriks partisinya sama sebanyak N buah, maka nilai determinan tersebut

sama dengan perkalian dari determinan matriks

partisi masing-masing sebanyak N. Jadi Lema-1 di

atas terbukti. ■ Lema-2: Det Ay(M.N) × (M.N) = M y N y y y y N y y y y N y y y y N y y y N N N N π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M Bukti:

Langkah pertama, akan dihitung nilai dari

N N N N y y N y y y N y y y y N y y y y N y y y π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M . (2) Melalui operasi baris elementer, pada iterasi-1:

B2 = B 2 - 1 2 sin sin y y

π

π

_B 1 ; B3 = B 3 - 1 3 sin sin y y

π

π

_B 1 ; . . . ; BN = BN - 1

sin

sin

y

y

_N

π

π

B1 .

Diperoleh bahwa nilai dari determinan pada (2) adalah

) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 44 ) 1 ( 43 ) 1 ( 42 ) 1 ( 3 ) 1 ( 34 ) 1 ( 33 ) 1 ( 32 ) 1 ( 2 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22 1 1 1 1 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 sin ... 4 sin 3 sin 2 sin sin NN N N N N N N A A A A A A A A A A A A A A A A y N y y y y M O M M M M π π π π π (3) di mana: 1 1 2 2 ) 1 ( 22 _sin .sin2 sin 2 sin y y y y A π π π π − = ; 1 1 3 3 ) 1 ( 32 _sin .sin2 sin 2 sin y y y y A π π π π − = ; dst . . . ,

yang secara umum:

1 1 ) 1 ( _.sin sin sin sin j y y y y j Aij i _π i π π π − = .

Selanjutnya setelah dilakukan iterasi-2 dengan B3 = B3 ₍₁₎ 2; 22 ) 1 ( 32 _B A A ⋅ − B4 = B4 (1) 2; ; 22 ) 1 ( 42 _{B L} A A ⋅ − BN = BN ₍₁₎ 2; 22 ) 1 ( 2 _B A A_N ⋅ −

dan iterasi-3 dengan B4 = B4 (2) 3; 33 ) 2 ( 43 _B A A ⋅ − B5 = B5 ₍₂₎ 3; ; 33 ) 2 ( 53 _{B L} A A ⋅ − BN = BN (2) 3; 33 ) 2 ( 3 _B A A_N ⋅ −

maka nilai determinan pada (3) adalah

) 3 ( ) 3 ( 4 ) 3 ( 4 ) 3 ( 44 ) 2 ( 3 ) 2 ( 34 ) 2 ( 33 ) 1 ( 2 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22 1 1 1 1 1 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... 0 sin ... 4 sin 3 sin 2 sin sin NN N N N N A A A A A A A A A A A y N y y y y M O M M M M π π π π π (4) dengan ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 2 ( j i ij ij A A A A A = − ⋅ dan _{(2) 3}(2) 33 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 3 ( j i ij ij A A A A A = − ⋅ .

Apabila proses iterasi ini diteruskan, maka setelah iterasi ke-(N-1), nilai dari determinan pada (4)

adalah: ) 1 ( ) 3 ( 4 ) 3 ( 44 ) 2 ( 3 ) 2 ( 34 ) 2 ( 33 ) 1 ( 2 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22 1 1 1 1 1

...

0

0

0

0

...

0

0

0

...

0

0

...

0

sin

...

4

sin

3

sin

2

sin

sin

− N NN N N N

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

y

N

y

y

y

y

M

O

M

M

M

M

π

π

π

π

π

) 1 ( ) 3 ( 44 ) 2 ( 33 ) 1 ( 22 1 sin ⋅ ⋅ ⋅ − = N NN A A A A y _L π

( )

∏

= − = N i i ii A 1 ) 1 ( ₍₅₎ dengan: , , 2 sin . sin sin 2 sin , sin ₁ 1 2 2 ) 1 ( 22 1 ) 0 ( 11 y L y y y A y A π π π π π = − =

yang secara umum :

. ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( − − − − _{− ⋅} = k kj k ii k ik k ij k ij A A A A A

Langkah selanjutnya adalah membuktikan bahwa Det Ay(M.N) × (M.N) =

∏

₌

( )

− N i i ii A 1 ) 1 ( _.

Matriks Ay ini adalah matriks berorde (M.N) ×

(M.N) yang terdiri dari N 2 buah matriks partisi yang

masing-masing berukuran M×M. Untuk menghitung nilai determinannya, dilakukan melalui operasi baris elementer, dengan iterasi-1 sebagai berikut:

Bi.M + 1 = Bi.M + 1 1 1 sin sin y yi π π ₊ − B1; Bi.M + 2 = Bi.M + 2 1 1 sin sin y yi π π ₊ − B2 ; . . . ; Bi.M +M = Bi.M +M - 1 1

sin

sin

y

y

_i

π

π

₊ BM ,

Det Ay = ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin NN N NN N NN N NN N N N N N A A A A A A A A A A A A A A A A y N y y y N y y y N y y y N y y L L L L O O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L M O M M M O M O M M M M M M M M L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L π π π π π π π π π π π π dengan: 1 1 2 2 ) 1 ( 22

.

sin

2

sin

sin

2

sin

y

y

y

y

A

π

π

π

π

−

=

; 1 1 ) 1 ( 2

.

sin

2

sin

sin

2

sin

y

y

y

y

A

N N N

π

π

π

π

−

=

;

yang secara umum:

1 1 ) 1 (

_.

_sin

sin

sin

sin

j

y

y

y

y

j

A

i i ij

π

π

π

π

−

=

_.

Setelah iterasi-2 dengan operasi:

Bi.M + 1 = Bi.M + 1 ₍₁₎ 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( A A_i+ − BM+1 ; Bi.M + 2 = Bi.M + 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( A A_i+ − BM+2 ; . . . ; Bi.M +M = Bi.M +M ₍₁₎ 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( A A_i+ − B2M.

untuk i = 2, 3 , 4 , . . . , N-1, dan diteruskan sampai

iterasi ke-( N-1), maka diperoleh

Det Ay = ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 2 sin 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin 0 0 0 0 0 sin 0 0 0 0 2 sin 0 0 0 sin − − − − N NN N NN N NN N NN N N N N A A A A A A A A A A A A y N y y y N y y y N y y y N y y L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L M M M M M O M M M M M M M M M M L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L L L L L L L L L L M O M M M L M O M M M M O M M M L L L L L L π π π π π π π π π π π π dengan . ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 )( 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( − − − − − − − − − _{= − ⋅} N N N N N N N N N N NN N NN A A A A A

Jadi nilai dari determinan matriks segi tiga atas tersebut adalah: Det Ay =

(

)

( ) ( ) (

)

_N

( )

M i i ii M N NN M M A A A A y1 ⋅ 22(1) ⋅ 33(2) ( −1) =_⎢⎣⎡

∏

₌₁ (−1)_⎥⎦⎤ sinπ L

Det Ay = M y N y y y y N y y y y N y y y y N y y y N N N N π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M . ■ Teorema:

Jika A matriks berorde (M.N)×(M.N); dengan

A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ N M N M M N M N M N M N M N M N N N N M M M M M M M M M M M M y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x y N x M y N x y x M y x y x M y x π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin sin sin . sin ... sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 sin . sin ... 2 sin . sin sin . sin ... sin . sin 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L M O M L M M M M M M L M M L K M M L , maka Det A ≠ 0. Bukti:

Dari (1) diperoleh Det A = Det Ax . Det Ay .

Kemudian berdasarkan Lema-1 dan Lema-2 didapat: Det A= N x M x x x x M x x x x M x x x x M x x x M M M M π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M . M y N y y y y N y y y y N y y y y N y y y N N N N π π π π π π π π π π π π π π π π sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin sin ... 3 sin 2 sin sin 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 M O M M M

Selanjutnya karena Det Ax dan Det Ay

masing-masing bernilai tidak nol (Mastroianni dan Milovanovic, 2008), maka nilai dari Det A juga

tidak nol. ■

3. Penutup: Kasus Data Tak Homogen

Sebagai penutup makalah, dalam bagian ini akan dibahas eksistensi fungsi u(x,y) yang melalui K

buah titik sembarang (xi, yi, ci) dengan 0 < xi < 1, dan 0 < yi < 1 untuk i = 1, 2, . . . , K. Pembahasan akan dibagi dalam dua kasus berbeda.

Kasus-1: Apabila xi ≠ xj dan yi ≠ yj untuk setiap i dan j, maka dengan menyusun ulang xi dan yi sedemikian sehingga 0 < x1 < x2 < . . . < xK < 1 dan 0 < y1 < y2 < . . . < yK < 1, pandanglah titik (xi , yj) sebanyak K.K = K2 buah, sehingga K buah titik asal

tadi merupakan bagian di dalamnya. Berdasarkan masalah pada bagian 2 di atas, maka dijamin terdapat

fungsi u(x,y) yang melalui (M.N) = (K.K) = K2 buah

titik tadi, yang berarti juga melalui K buah titik

asalnya.

Kasus-2: Apabila xi = xj dan atau ys = yt untuk suatu i, j, s, dan t, maka xi dan yi yang tadinya masing-masing berjumlah K buah, dapat

disusun ulang sedemikian sehingga 0 < x1 < x2 < . . . < xM < 1 dan 0 < y1 < y2 < . . . < yN < 1 dengan M dan N masing-masing lebih kecil atau sama dengan K. Sebagai ilustrasi, dapat dilihat pada Gambar-1

dengan K = 8, x2 = x4, x7 = x8, dan y2 = y8 .

Gambar-1

Gambar-2

Selanjutnya pandanglah titik homogen (xi , yj) sebanyak M.N buah, dengan M buah absis dan N

buah ordinat, sehingga K buah titik asal tadi

merupakan bagian di dalamnya. Lihat Gambar-2 dengan N = 7 dan M = 6. Dengan demikian

berdasarkan masalah pada bagian 2 di atas maka

dijamin terdapat fungsi u(x,y) yang melalui (M.N)

buah titik tadi, yang berarti juga melalui K buah titik

asalnya.

Dengan demikian, interpolan sinusoida berbentuk deret sinus ganda yang melalui sejumlah titik sebarang, dijamin eksistensinya.

Ucapan Terima Kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada reviewer atas saran-saran perbaikannya. H. Gunawan berterima kasih kepada ITB yang telah mendanai riset ini melalui Program Riset KK no. 252/2009.

Daftar Pustaka

Bretscher, O., 1997, Linear Algebra with

Applications, Prentice-Hall, Englewood

Cliffs, New Jersey.

Folland, G.B., 1992, Fourier Analysis And Its Applications, Wadsworth & Brooks/Cole,

Pacific Grove, California.

Gunawan, H., F. Pranolo and E. Rusyaman, An Interpolation Method That Minimizes an Energy Integral of Fractional Order, in D. Kapur (Ed.), 2008, Asian Symposium of

Computer Mathematics 2007,

Springer-Verlag, 151-162.

Mastroianni, G. and G. V. Milovanovic, 2008,

Interpolation Processes: Basic Theory and Applications, Springer, Berlin.

Tolstov, G. P., 1976, Fourier Series, Dover