BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari-hari. Tanpa sadar kita sering menjumpai data statistika. Ilmu statistika dapat membantu seseorang dalam menyelesaikan masalah yang kaitannya dengan data tunggal maupun kelompok. Salah satu jenis dari statistika mengenai kemiringan dan keruncingan. Dalam malakah ini, akan dijelaskan mengenai pengertian, jenis dan kurva dari suatu kemiringan dan keruncingan distribusi data tunggal maupun kelompok. Materi dalam makalah ini juga dilengkapi dengan contoh soal dan latihan soal untuk menguji pemahaman dari materi yang telah dipelajari.
B. Rumusan Masalah 1.
2. 3.
BAB II PEMBAHASAN
Misalkan kita mempunyai sekumpulan data populasi. Apabila digambarkan grafiknya maka akan diperoleh beberapa macam model distribusinya. Dari beberap model distribusi tersebut ada enam model yang dikaitkan dengan ukuran kemiringan dan ukuran keruncingan. Oleh karena itu berikut ini akan dibahas kedua macam ukuran tersebut.
A. UKURAN KEMIRINGAN
Kemiringan (skewness) dari suatu distribusi adalah derajat kesetangkupan (derajat simetris) dari distribusi tersebut (Sartono, 1997). Adapun ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan derajat ketidaksimetrisan suatu lengkungan halus (kurva) dari suatu distribusi frekuensi. Dapat pula dikatakan bahwa ukuran kemiringan adalah harga yang menunjukkan seberapa jauh distribusi itu menyimpang dari simetris. Jika kita tinjau berdasarkan kemiringan, suatu kurva distribusi dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu sebagai berikut:
1. Jika koefisien kemiringannya lebih kecil dari nol (<0), model distribusinya negatif
2. Jika koefisien kemiringannya sama dengan nol (= 0), model distribusinya simetris
3. Jika koefisien kemiringannya lebih besar dari nol (> 0), model distribusinya positif.
Ada beberapa rumus untuk menghitung koefisien kemiringan, yaitu: a. Koefisien kemiringan pertama dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan : = rata-rata Mo = modus
S = simpangan baku b. Koefisien kemiringan kedua dari Pearson
Koefisien kemiringan
Keterangan : = rata-rata Me = median
S = simpangan baku
c. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
dengan = kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
Koefisien kemiringan =
dengan = Persentil ke 90
= Persentil ke 50
= Persentil ke 10
Contoh :
Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam kg) yang baru lahir selama seminggu tertentu di rumah sakit bersalin “Sehat” dapat dilihat dalam tabel berikut.
Berat Badan bayi yang Baru Lahir
Selama Seminggu tertentu di Rumah Sakit Bersalin Berat Badan (Kg) Banyak Bayi
2,5 – 2,6 2
Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil. Penyelesaian :
1. Menggunakan rumus kemiringan pertama dari pearson
(Kg) (Fi) (xi)
Jumlah 28 88 19 233
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
= = = 3,14
Modus = Tb Mo + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus p = panjang kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya Berdasarkan frekuensi kelas modus terletak di kelas keempat. Jadi tbm = 3,1 – 0,05 = 3,05, p =0,2, d1= 7-5 = 2, d2 = 7-6 = 1.
Modus = tbm + p (
= 3,05+ 0,2 (
S = P
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2
= 0,2 . 1,47 = 0,294
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
= -0,13
Karena koefisien kemiringannya -0,13 yaitu kurang dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi negatif.
Koefisien kemiringan
Sebelumnya kiita sudah ketahui :
= 3,14 , s = 0,294
Median = = = , terletak dikelas interval ke-4.
Jadi tbm = 3,1 – 0,05 = 3,05, p = 3,1 – 2,9 = 0,2, F =
Me = Tb Me + p (
= 3,05+ 0,2 (
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,11 = 3,16
Koefisien kemiringan
=
=
=
= - 0,204
3. Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil Rumus yang digunakan adalah:
dengan = kuartil pertama
= kuartil kedua
= kuartil ketiga.
Sebelumnya kita harus mencari terlebih dahulu nilai-nilai (kuartil pertama),
(kuartil kedua, (kuartil ketiga)
Untuk (kuartil pertama)
Kelas kuartil pertama adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dati frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit n,
yaitu x 28 orang = 7 orang.
Ternyata kelas kuartil pertama terletak pada kelas interval ketiga, karena jumlah frekuensinya (2 + 3 + 5) orang = 10 orang. Sehingga kita bisa menghitung besaran-besaran yang diperlukan dalam rumus kuartil pertama, yaitu
= 2,9 – 0,05 = 2, 85
p = 0,2
F = 2 + 3 = 5 = 5
= + p ( )
= 2,85 + 0,2 ( )
= 2,85 + 0,08 = 2,93
Untuk (kuartil kedua)
Letak ada pada data ke- = x 28 orang = 14 orang, yaitu pada kelas ke-4, interval 3,1 – 3,2 sehingga:
= 3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2; F = 10; dan = 7.
= + p ( )
= 3,05 + 0,2 ( )
= 3,05 + 0,11 = 3,16
Untuk (kuartil ketiga)
Letak ada pada data ke- n = x 28 orang = 21, yaitu pada kelas ke-5,
interval 3,3 – 3,4 sehingga:
= + p ( )
= 3,25 + 0,2 ( )
= 3,25 + 0,2 ( )
= 3,25 + 0,13 = 3,38
Diperoleh koefisien kemiringan =
=
=
= -0,022
Karena koefisien kemiringannya -0,022 yaitu kurang dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi negatif.
4. Koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil Koefisien kemiringan =
Untuk persentil ke 90,
Kelas persentil ke 90 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit n.
Ternyata kelas persentil ke 90 terletak pada interval keenam, karena jumlah frekuensinya mencapai (2 + 3 + 5 + 7 + 6 + 5) orang = 28 orang sehingga kita bisa menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 90,
yaitu b = 3,5 – 0,05 = 3,45; p = 0,2; F= 2 + 3 + 5 + 7 + 6 = 23; dan = 5
Jadi: = Tb + p
= 3,45 + 0,2
= 3,45 + 0,2 ( )
= 3,45 + 0,088 = 3.538
Untuk persentil ke 50,
Kelas persentil ke 50 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit n,
yaitu = x 28 orang = 14 orang.
Ternyata kelas persentil ke 50 terletak pada kelas interval keempat, karena jumlah frekuensinya mencapai (2+3+5+7) orang = 17 orang. Sehingga kita bisa menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 50, yaitu b =
3,1 – 0,05 = 3,05; p = 0,2, F = 10 ; = 7
= 3,05 + 0,2
= 3,05 + 0,2 (
= 3,05 + 0,11 = 3,16
Untuk persentil ke 10,
Kelas persentil ke 10 adalah sebuah kelas interval yang frekuensinya apabila
dijumlahkan dari frekuensi kelas interval pertama mencapai paling sedikit n,
yaitu = x 28 orang = 2,8 orang.
Ternyata kelas persentil ke 10 terletak pada kelas interval kedua, karena jumlah frekuensinya mencapai (2 + 3) orang = 5 orang. Sehingga kita bisa menghitung besar-besaran yang diperlukan dalam rumus persentil ke 10, yaitu b = 2,7 – 0,05 =
2,65; p = 2,9 – 2,7 = 0,2; F = 2; = 3
Jadi : = Tb + p
= 2,65 + 0,2
= 2,65 + 0,2
Koefisien kemiringan =
=
=
=
= - 0,094
Karena koefisien kemiringannya -0,094 yaitu kurang dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi negatif.
B. UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis)
Selain kemiringan, kita perlu juga mengetahui keruncingan/kelancipan (kurtosis) suatu distribusi. Kurtosis (peadkedness) dari suatu distribusi adalah derajat kelancipan dari distribusi tersebut dibandingkan terhadap distribusi normal (kurva normal). Ditinjau dari segi kelancipannya, suatu distribusi dapat dibedakan menjadi tiga :
Leptokurtik Platikurtik Mesokurtik
2. Jika suatu distribusi (kurva) normal, distribusinya disebut mesokurtis
3. Jika suatu distribusi (kurva) lebih lancip ataulebih ramping dibandingkan terhadap kurva normal, distribusinya disebut leptokurtis.
Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik, platikurtik atau mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien kurtosisnya. Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus koefisien kurtosis, yaitu :
dengan : = Kuartil kesatu
= Kuartil ketiga
= Persentil ke 10
= Persentil ke 90
Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu :
1. jika koefisien kurtosisnya kurang dari 0,263 (< 0,263), maka distribusinya adalah platikurtis
2. jika koefisien kurtosisnya sama dengan 0,263 (=0,263), maka distribusinya adalah mesokurtis
3. jika koefisien kurtosisnya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya adalah leptokurtis
Contoh:
Lihat data dalam daftar (1), yaitu mengenai berat badan bayi yang baru lahir selama seminggu tertentu dari rumah sakit bersalin “Sehat”. Hitung koefisien kurtosisnya.
Penyelesaian:
Rumus yang digunakannya adalah :
Kita sudah menghitung : = 2,93, = 3,38, = 2,703 dan = 3,538
Berarti: K =
=
=
= 0,269
Karena koefisien keruncingannya lebih dari 0,263 (>0,263), maka distribusinya adalah leptokurtis.
Soal – soal latihan :
1. Tentukan koefisien kemiringan data berat badan 100 orang dibawah ini menggunakan rumus pertama dari pearson dan tentukan jenis distribusinya !
Berat Badan (kg) Banyaknya (orang)
25-29 8
2. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan menggunakan rumus kedua dari pearson dan tentukan jenis distribusinya ! 3. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan
menggunakan nilai kuartilnya dan tentukan jenis distribusinya !
4. Dari data soal no. 1 di atas, tentukanlah koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai persentilnya dan tentukan jenis distribusinya !
Kunci jawaban :
Jumlah 100 4205 101 425
1. Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
= = = 42,05
Modus = tbm + p (
Keterangan : tbm = tepi bawah kelas modus p = panjang kelas
Modus = tbm + p (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 2,916 = 37,416
S = P
= 5
= 5
= 5
= 5
= 5 = 5 . 1,79 = 8,95
Koefisien kemiringan pertama dari pearson =
=
=
Karena koefisien kemiringannya 0,517 yaitu lebih dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi positif.
2. Diketahui :Kita sudah mendapatkan hasil 42,05, s = 8,95 Ditanya : Berapa nilai koefisien kemiringan kedua dari Pearson ?
Penyelesaian : Koefisien kemiringan
Median = = = , terletak dikelas interval ke-4.
Jadi, tbMe = 40 – 0,5 = 39,5, p = 5, F = 8+12+26 = 46, F 16
Me = Tb Me + p (
= 39,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25 = 40,75
Koefisien kemiringan kedua dari pearson
=
=
=
= 0,435
3. Diketahui :
Ditanya :Berapa nilai koefisien kemiringannya menggunakan nilai kuartil? Penyelesaian : Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil
Koefisien kemiringan =
Letak = n
= 100
= 25 terletak dikelas interval ke 3.
Jadi tb = 35 – 0,5 = 34,5, p= 5, F = 8+12 = 20, F 26
= tb + p (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 5 (
= 34,5 + 0,961 = 35,461
= 40,75
Letak = = = 75 terletak dikelas interval ke 5.
= tb + p (
= 44,5 + 5 (
= 44,5 + 4,3 = 48,5
Koefisien kemiringan =
=
=
=
= 0,188
Karena koefisien kemiringannya 0,188 yaitu lebih dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi positif
4. Penyelesaian : Nilai koefisien kemiringan menggunakan nilai persentil
Koefisien kemiringan =
Letak = = = 90 terletak dikelas interval ke 7.
Jadi tb = 55 –0,5= 54,5, p = 5, F =8+12+26+16+15+9 = 86, F 14
= 54,5 + 5 (
= 54,5 + 1,42 = 55,92
Letak = = = 50 terletak dikelas ke 4.
Jadi tb = 40 –0,5= 39,5, p = 5, F =8+12+26 = 46, F 16
= tb + p (
= 54,5 + 5 (
= 39,5 + 1,25 = 40,75
Letak = = = 10 terletak dikelas ke 2.
Jadi tb = 30 –0,5= 29,5, p = 5, F =8, F 12
= tb + p (
= 29,5 + 5 (
= 29,5 + 0,83 = 30,33
Koefisien kemiringan =
=
=
= 0,185
Karena koefisien kemiringannya 0,185 yaitu lebih dari 0, maka model distribusinya adalah distribusi positif.
5. Diketahui : = 35,461, = 48,5 , = 55,214 , = 30,33
Ditanya : Berapa nilai koefisien keruncingannya dan termasuk jenis distribusi apa ?
Penyelesaian :
K =
=
=
=
= 0,254
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
