Tugas Penggunaan Metode Numerik dan MATL

(1)

Tugas Akhir Mata Kuliah Metode Numerik

Dr. Kebamoto

Penggunaan Metode Numerik dan

MATLAB dalam Fisika

Oleh :

A. Arif Sartono

6305220017

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS INDONESIA

(2)

(3)

Daftar Isi

B. Jika file Bisection dijalankan di Common Window dihasilkan : 6 C. Sedangkan hasil plot atau gambarnya sebagai beikut : ... 6

TUGAS AKHIR ... 7

1. Soal Nomor 1 ………. 7

2. Penyelesaian ……… 7

3. Matrik A : ………. 8

4. Matriks-matriks ini jika diselesaikan dengan menggunakan MATLAB, 9 A. Metode Langsung : ………... 9

B. Metode Biasa ………. 11

C. Metode Gauss Seidel ... 14

D. Metode Cramer ... 18

5. Deskripsi Penulisan Variabel ... 22

PENUTUP ... 23

(4)

BAGIAN I

PENDAHULUAN

1. Metode Numerik

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka

diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan

yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan

fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil

dan lain-lain dituntut hal yang sama, dimana dalam suatu perhitungan dengan data

numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi

informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan

profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan perhitungan

manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks

disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi

perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk

menghindari kesulitan dalam analisa.

Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini

mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa

dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan

matriks dapat dilakukan dengan mudah menggunakan teknologi informasi. Sudah

banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan

menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut

muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan

metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus,

maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara

harafiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan

secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi

aritmatika biasa.

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang

(5)

mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga

solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak

tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut

disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat

solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

Pada saat sebelum perkembangan teknologi informasi belum pesat seperti

sekarang ini, ada dua cara pendekatan yang biasa digunakan jika suatu persoalan

tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik, yaitu :

A. Solusi grafik dipakai untuk mencirikan suatu perilaku sistem, teknik ini kurang presisi karena sangat tergantung pada ketelitian penggambaran grafik.

B. Metode numerik secara manual. Secara teori pendekatan ini dapat digunakan dengan baik untuk penyelesaian masalah yang rumit, namun pada kenyataannya

seringkali menemui masalah. Masalah ini timbul biasanya karena kesalahan

kecil dalam perhitungan (Chapra & Canale, 1991)

C. Komputer dan metode numerik memberikan suatu alternatif pemecahan dari

masalah-masalah tersebut. Dengan menggunakan kemampuan komputer untuk

mendapatkan solusi langsung, hampir semua persoalan dapat diselesaikan tanpa

perlu penyederhanaan asumsi atau penggunaan teknik yang rumit. Selain

mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba

berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter

dan kriteria error.

Ada enam tahapan yang harus dilakukan dalam menyelesaikan persoalan dengan

metode numerik, yaitu :

a. Pemodelan, semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk

persamaan matematika. Penyederhanaan model, model matematika yang

diperoleh pada tahap pertama bisa saja masih kompleks. Untuk memudahkan

dan mempecepat kinerja komputer, model tersebut disederhanakan dengan

membuang parameter yang dapat diabaikan.

b. Formulasi numerik, setelah model matematika yang sederhana diperoleh,

tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, yaitu :

1.) Menentukan metode numerik yang akan digunakan beserta taksiran

analisis galat awal. Pemilihan metode didasari pada :

(6)

3.) Apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu eksekusinya cepat

?

c. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

d. Pemrograman, algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program

komputer, dengan terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian

dituliskan dalam bentuk program. (dengan menggunakan salah satu software

yang dapat mendukung untuk mempermudah pembuatannya, misalnya

MATLAB, sebagai catatan penulis juga akan menggunakan software ini)

e. Operasional, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum

menggunakan data sebenarnya.

f. Evaluasi, bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data

sesungguhnya, hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi

analisis hasil perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan

hasil-hasil empiric untuk menentukan kualitas solusi numerik.

2. Berbagai Metode

Dalam menyelesaikan data numerik diperlukan beberapa metode dan dari

metode-metode tersebut nantinya kita dapat menggunakan sarana komputer untuk

membantu menyelesaikan perhitungannya. Di sini akan dikemukakan 4 metode saja

yang berhubungan dengan tugas akhir penulis. Metode yang akan penulis gunakan

adalah :

A. Metode Langsung

Metode langsung ini artinya penyelesaian persoalan matematika diselesaikan

dengan cara menggunakan alat bantu yang sudah bisa menyelesaikan persoalan

tersebut. Metode langsung ini akan menggunakan bahasa pemrograman

MATLAB. Bahasa pemrograman matlab sudah memiliki berbagai fasilitas

untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang ada dan sering muncul. Jadi

perintah yang dipakai adalah dengan perintah yang sudah disediakan oleh

matlab.

B. Metode Biasa

Metode biasa ini maksudnya adalah bahwa persoalan matematika diselesaikan

dengan metode matematika biasa, yang memiliki cara-cara yang sudah lazim

digunakan. Dalam persoalan tugas nanti penulis memperoleh persoalan yang

(7)

menggunakan cara penyelesaian matematika operasi matriks, seperti

penggunaan determinan dan lain-lain.

C. Metode Gauss Seidel

Metode Gauss Seidel adalah suatu cara penyelesaian dengan menggunakan

iterasi. Kemudian dengan mengubah elemen matriks diagonalnya nol. Untuk

memulai perhitungan biasanya akan menggunakan tebakan awal.

D. Metode Cramer

Metode adalah metode yang menggunakan dasar perhitungan dengan cara

matriks juga, seperti mialnya matriks [Z][I]=[V] maka persamaannya dapat

dinyatakan sebagai

[ ] [ ]

Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numerik

diformulasikan menjadi suatu program. Perkembangan teknologi yang antara lain

mencakup bahasa pemrograman telah melalui beberapa tahap. Pada awalnya bersifat

Low Level Language dengan diperkenalkannya bahasa assembly. Disusul

perkembangan bahasa dengan tingkat Middle dan High Level Language seperti

FORTRAN, C++, BASIC / Visual Basic, Pascal, COBOL dan lain-lain. Akhir-akhir

ini bahasa script pemrograman dijadikan alternatif bagi praktisi karena

kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program. Dalam membuat suatu

program dapat dilakukan dengan cara yang sangat mudah dengan waktu yang relatif

lebih singkat dibandingkan dengan menggunakan bahasa Middle dan High Level

Language. Tulisan ini membahas tugas aplikasi dengan menggunakan bahasa

pemrograman MATLAB. Program MATLAB ini dapat ditulis dengan menggunakan

perintah yang sangat sederhana, namun dapat mencakup tuntutan untuk

menyelesaikan persoalan menganalisis data. Sekarang ini MATLAB adalah salah

satu bahasa pemrograman yang banyak digunakan. MATLAB mampu menangani

perhitungan sederhana seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

MATLAB juga mampu menyelesaikan perhitungan rumit, yang meliputi bilangan

kompleks, akar dan pangkat, logaritma dan fungi trigonometri. Seperti kalkulator

yang dapat diprogram, MATLAB dapat digunakan untuk menyimpan dan

mengambil data; dalam MATLAB juga dapat dibuat sekumpulan perintah untuk

mengotomatisasi suatu persamaan yang rumit, dan masih banyak lagi kemampuan

(8)

dapat mengembangkan dan melaksanakan program atau naskah, yang berisi perintah

MATLAB. Kita juga dapat melaksanakan perintah MATLAB, mengamati hasilnya,

dan kemudian melaksanakan sebuah perintah MATLAB lainnya yang berinteraksi

dengan data dalam memori, mengamati hasilnya.

A. Contoh Program MATLAB

Berikut ini adalah contoh program MATLAB dalam mencari akar-akar dengan

metode Bisection.

List Program

Program M-File dengan nama file Î bf1.m function y=bf1(x)

y=x^2-5*x+6;

(9)

B. Jika file Bisection dijalankan di Common Window dihasilkan :

(10)

BAGIAN II

TUGAS AKHIR

1. Soal Nomor 1

Penulis mendapat bagian tugas nomor 1. Soal nomor satu adalah Carilah kuat arus

pada masing-masing cabang !

2 Ω 6 Ω 3 Ω

12 volt 8 volt

R1 R₂ R3

V1 V2

I2 I3

I1

2. Penyelesaian

Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan

Kirchoff pada tiap lup arus.

Gambar 2

Untuk lup I2 seperti yang ditunjukkan pada gambar 2, jumlah dari jatuh tegangan

sekitar lup itu sama dengan tegangan sumber V1. Persamaannya adalah ... .

2. 1 ( 2 3). 2 1

(11)

Gambar 3

Untuk lup I3 seperti yang ditunjukkan pada gambar 3, jumlah dari jatuh tegangan

sekitar lup itu sama dengan tegangan sumber V2. Persamaannya adalah ... .

3. 3 ( 3 2). 2 2

I R + I +I R =V (1.2)

Untuk mendapatkan persamaan ketiga menggunakan hukum Kirchoff untuk

tegangan, persamaannya adalah … .

1 2 3 0 I I I

− + + = (1.3)

Dari persamaan (1.1), (1.2) dan (1.3) kita susun kembali menjadi :

1 2 2 2 3 1

Dari tiga persamaan (1.4) kita dapat menuliskan persamaan matriknya.

3. Matrik A :

Jika ditulis dalam bentuk operasi matrik adalah :

(12)

atau secara umum persamaan (1.8) dapat ditulis :

[ ][ ] [ ]

A B = C (1.9)

Sehingga dari persamaan (1.9) besar kuat arus dapat dinyatakan sebagai :

[ ] [ ]

_{[ ]}

A B

C

= (1.10)

Menurut data pada soal bahwa :

1 2 3

Sehingga matriksnya dapat ditulis sebagai berikut :

(1.11)

4. Matriks-matriks ini jika diselesaikan dengan menggunakan MATLAB, maka

flowchart dan list programnya adalah sebagai berikut :

A. Metode Langsung :

a. Algoritma Metode Langsung

:

1.) Program dimulai

2.) Sebagai persiapan membersihkan layar command window dan

menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi

3.) Menginput elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks A

4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C

5.) Menentukan variabel matriks B yang diisi dari hasil perhitungan matriks

A dibagi matriks B (perintah ini khusus bahasa program matlab)

6.) Menampilkan hasil elemen matriks B

(13)

b. Flowchart Metode Langsung

:

Input matriks

(3 3)× , (3 1)×

A C

B = A\C

Hasil

(3 1)× B

Selesai Hapus Layar

Mulai

c. Metode ini diberi nama file aruslistrik1.m

(14)

e. Hasil Output

B. Metode Biasa

a. Algoritma Metode Biasa :

1.) Program dimulai

menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi

3.) Menginput elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel matriks Z

4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C

5.) Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format

eksponen

6.) Menentukan variabel matriks Iakhir yang diisi dari hasil perhitungan

invers matriks Z dikali matriks C

7.) Menampilkan hasil elemen matriks Iakhir

(15)

b. Flowchart Metode Biasa :

Input matriks

(3 3)× , (3 1)×

Z C

Invers Z×C

Hasil Inv Z×C

Selesai Hapus Layar

& variabel Mulai

short g

c. Metode ini diberi nama aruslistrik2.m

(16)

(17)

e. Hasil Output

C. Metode Gauss Seidel

a. Algoritma Metode Gauss Seidel

1.) Program dimulai

menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi

3.) Menentukan variabel epsilon dengan nilai 0,0001 dan variabel x dengan

nilai 0

4.) Menginput elemen-elemen matriks berordo 3x3 ke dalam variabel

matriks A

5.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C

6.) Menentukan variabel I2, It3 dan iter serta memberikan masing-masing

nilai awal 0

7.) Menentukan implikasi dengan syarat x lebih besar atau sama dengan

epsilon

8.) Jika Implikasi nomor 7 benar langkah berikutnya mengerjakan nomor 9

9.) Menghitung proses dengan rumusan iter = iter + 1 ;

I1=(C1-A(1,2).I2-(1,3).It3)/A(1,1) ; I2=(C2-A(2,1).I1-A(2,3).It3)/A(2,2) ;

I3=(C3-A(3,1).I1-(3,2).I2)/A(3,3) ; Iakhir1 = mutlak dari I1; Iakhir2 = mutlak

(18)

10.)Menampilkan hasil iter; Iakhir1; Iakhir2; dan Iakhir3

11.)Jika implikasi salah program selesai dan jika implikasi benar

mengulangi proses nomor 9

b. Flowchart Metode Gauss Seidel :

c. Metode ini diberi nama aruslistrik3.m epsilon = 0.0001; x = 1 Iakhir1 = mutlak dari I1;

(19)

(20)

(21)

D. Metode Cramer

a. Algoritma Metode Cramer

1.) Program dimulai

menghapus isi variabel sebelumnya yang tidak berfungsi

matriks Z

4.) Menginput elemen matriks berordo 3x1 ke dalam variabel matriks C

5.) Mengatur agar variabel angka hanya 5 digit atau dengan format

eksponen

matriks A1 dengan elemen samadengan elemen Z kecuali A1(1,1) = C1,

elemen A1(2,1) = C2 dan elemen A1(3,1) = C3

9.) Menentukan variabel matriks B1 dengan nilai determinan dari A1 dibagi

determinan Z

10.)Menentukan variabel matriks B2 dengan nilai determinan dari A2 dibagi

determinan Z

11.)Menentukan variabel matriks B3 dengan nilai determinan dari A3 dibagi

determinan Z

12.)Memasukkan nilai nilai mutlak dari B1, B2 dan B3 masing-masing ke

dalam varibel Ba1, Ba2 dan Ba3

13.)Menampilkan hasil Ba1, Ba2 dan Ba3

(22)

b. Flowchart Metode Cramer :

B1 adalah determinan A1 dibagi determinan Z ;

(23)

c. Metode ini diberi nama aruslistrik4.m

(24)

(25)

e. Hasil Output

5. Deskripsi Penulisan Variabel dan Perintah yang digunakan dalam Program clc : menghapus layar

clear : menghapus variabel yang aktif sebelumnya

Tsuhu : Membuat variabel suhu berbentuk matriks, kemudian diisi dengan data Ckapasitas : Membuat variabel kapasitas berbentuk matriks, kemudian diisi dengan

data

p : menuliskan variabel polyfit

xi : menuliskan variabel suhu ke dalam sumbu x z : menuliskan variabel kapasitas ke dalam sumbu y

plot : perintah MATLAB untuk menggambar grafik hubungan kapasitas terhadap suhu

grid on : perintah MATLAB untuk mengaktifkan grid (garis-garis koordinat) syms T : perintah MATLAB utnuk mendefinisikan penulisan fungsi simbol Tsuhux : menuliskan variabel suhu yang akan di cari nilai kapasitasnya

Cy : mendefinisikan variabel fungsi kapasitas

(26)

BAGIAN III

PENUTUP

Penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada pembimbing yaitu Bapak Dr. Kebamoto. Tugas ini telah memberikan wawasan yang lebih berarti karena dengan mengerjakan tugas ini penulis merasa banyak terbantu sehingga dapat mengenali berbagai perintah program MATLAB yang ternyata begitu banyaknya perintah-perintah yang lebih bermanfaat dan aplikatif dibandingkan perintah-perintah program yang penulis kenal sebelumnya. Mudah-mudahan pada masa yang akan datang penulis dapat memanfaatkan untuk kepentingan pengajaran. Semoga tugas ini juga dapat bermanfaat dan dapat dimanfaatkan sebagai sarana belajar untuk penulis pribadi

khususnya dan untuk rekan-rekan sesama mahasiswa Departemen Fisika UI pada umumnya. Jika dalam tulisan program sederhana ini masih banyak terdapat kekurangan maka penulis mengharapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun untuk

peningkatan kemampuan penulis dalam mengenal dan menggunakan program MATLAB.

Referensi :

1. Cekmas Cekdin, Teori dan Contoh Soal Teknik Elektro, Andi Yogyakarta, 2005 2. Duane Hanselman & Bruce Littlefield, MATLAB Bahasa Komputasi Teknis, Andi

Yogyakarta, 2000