Kar
Karena ena keskesimeimetriatrian, n, intintegregral al kitkita a perperoleoleh h dendengan gan batbatas as antantara ara 0 0 dandan
π
π
dandan kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,
[ [
]]
2 2 9 9 2 2 sin sin 4 4 1 1 sin sin 4 4 2 2 9 9 2 2 .. 2 2 cos cos 4 4 1 1 cos cos 4 4 2 2 9 9 )) 2 2 cos cos 1 1 (( 2 2 1 1 cos cos 4 4 4 4 )) cos cos cos cos 4 4 4 4 (( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π = = + + + + = = + + + + = = + + + + + + = = + + + + = =∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
d d d d d d d d d d d d d d A AContoh 2 Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat
Contoh 2 Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat
r
r
= = 4 4 ssiin n 22 .. Penyelesaian Mawar lengkap telah digambar pada contoh 3, pasal sebelumnya. Penyelesaian Mawar lengkap telah digambar pada contoh 3, pasal sebelumnya. Disini kita perlihatkan yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 5).Disini kita perlihatkan yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 5).
[ [
]]
θ θ θ θ θ θ θ θ π π d d A A f f 2 2 2 2 // 0 0 2 2 )) 2 2 sin sin 4 4 (( 2 2 1 1 )) (( 2 2 1 1 4 4∫
∫
= = ∆ ∆ ≈ ≈ ∆ ∆Gambar 5
[ ] [
θ θ]
π θ θ θ θ θ θ θ π π π π π π 2 4 sin 4 4 . 4 cos 4 2 4 cos 1 8 2 sin 16 2 1 2 / 0 2 / 0 2 / 0 2 / 0 2 / 0 2 2 / 0 = − = − = − = =∫
∫
∫
∫
d d d d AContoh 3 Tentukan luas daerah yang ada diluar kardioid
r
= 1 + cos dan didalamr
= 3 sin .Penyelesaian Grafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 6. Kita perlukan koordinat titik-titik potong; nilai kita tentukan dengan mencoba
menyelesaikan kedua persamaan secara serentak.
0 1 )(cos 1 cos 2 ( 0 1 cos cos 2 0 2 cos 2 cos 4 ) cos 1 ( 3 cos cos 2 1 sin 3 cos cos 2 1 sin 3 cos 1 2 2 2 2 2 2 = + − = − + = − + − = + + = + + = + θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
[
]
θ θ θ θ θ θ π π d A 2 2 3 / 2 2 ) cos 1 ( sin 3 2 1 ) cos 1 ( sin 3 2 1 4 + − = ∆ + − ≈ ∆∫
Gambar 6 π π θ θ , 3 1 , 2 1 cos = − =
[
]
[
]
299 . 1 4 3 3 2 3 2 3 2 2 1 2 cos 2 cos 2 2 1 ) 2 cos 1 ( 2 1 cos 2 1 ) 2 cos 1 ( 2 3 2 1 cos cos 2 1 sin 3 2 1 3 / 3 / 3 / 2 2 ≈ = + = − − = − − − − + = − − − =∫
∫
∫
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π π π d d d AGARIS SINGGUNG DALAM KOORDINAT KUTUB Dengan koordinat Cartesius, kemiringan * m dari garis singgung pada sebuah kurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d . Apabila r = f ( ) menentukan persamaan kurva, kita tulis
θ θ θ θ θ θ cos ) ( cos sin ) ( sin f r x f r y = = = = Jadi, θ θ θ θ θ θ
dx
d
d
dy
x
y
x
y
dx
dy
/ / / /lim
lim
0 0 = ∆ ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ Karena itulah, θ θ θ θ θ θ θ θ cos ) ( ' sin ) ( sin ) ( ' cos ) ( f f f f m + − + =Rumujs diatas menjadi sederhana apabila grafik r = f ( ) melalui kutub. Andaika, sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f (α) = 0 dan f ’(α) ≠ 0. Maka dikutub tersebut kita peroleh
α α α α α tan cos ) ( ' sin ) ( ' = = f f m
Oleh karena garis = α memiliki kemiringan tan α juga, maka kita dapat
mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva dikutub. Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa garis singgung kurva dikutub dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan f ( ) = 0.
Kita beri contoh sebagai berikut.
Contoh 4 Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 3 .
a. Tentukan kemiringan garis singgung di = π/6 dan = π/4. b. Tentukan garis singgung dikutub.
c. Gambar grafik.
d. Tentukan luas satu daun kurva.
Penyelesaian : θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos 3 cos 12 sin 3 sin 4 sin 3 cos 12 cos 3 sin 4 cos ) ( ' sin ) ( sin ) ( ' cos ) ( a. + − + = + − + = f f f f m 6 / Di θ =π 3 2 3 . 0 . 12 2 1 . 1 . 4 2 1 . 0 . 12 2 3 1 . 4
−
=
+
−
+
=
m 4 / Di θ =π 2 1 6 2 6 2 2 2 . 2 2 . 12 2 2 . 2 2 . 4 2 2 . 2 2 . 12 2 2 . 2 2 . 4 = − − − − = − − − = mb. Kita misalkan f ( ) = 4 sin θ 3 = 0. Setelah diselesaikan diperoleh = 0, = π /3, = 2π /3, = 4π /3, dan = 5π /3. c. Berhubung θ θ π θ π θ π θ π 3 sin 3 sin 3 cos 3 cos 3 sin ) 3 3 sin( ) ( 3 sin = − = − = −
Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita susun daftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini diperlihatkan pada Gambar 7.
r 0 π /12 π /6 π /4 π /3 5π /1 2 π /2 0 2,8 4 2,8 0 -2,8 -4 GAMBAR 7 r = 4 sin θ 3 3 4 6 sin 3 2 4 6 . 6 cos 6 4 4 ) 6 cos 1 ( 4 3 sin 8 ) 3 sin 4 ( 2 1 d. 3 / 0 3 / 0 3 / 0 3 / 0 2 3 / 0 2 3 / 0 π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π π π = − = − = − = = =
∫
∫
∫
∫
∫
d d d d d A SOAL-SOAL 12.8Dalam. Soal 1-10, gambarlah grafik fungsi yang diketahui dan ditentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut.
θ θ θ θ cos 4 4 5. cos 3 4 4. cos 3 3. ] 0 , sin 2 2. 0 , 1. − = + = + = > = > = r r r a a r a a r 0 , 2 sin 10. 2 sin 4 9. 2 cos 5 8. 0 ), sin 1 ( 7. sin 7 7 6. 2 2 2 > = = = > + = − = a a r r r a a r r θ θ θ θ θ
11. Gambar grafik limason r = 2 – 4 cos , dan tentukan luas daerah yang ada dalam simpai yang kecil.
12. Gambar limason r = 3 – 6 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai yang kecil.
13. Gambar limason r = 2 – 4 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai yang besar.
14. Gambar satu daun dari mawar berdaun empat dengan persamaan r = 3 cos
θ
2 dan tentukan lus daun tersebut.
15. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 4 cos 3θ dan tentukan luas daerah keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.
16. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 2 sin 3θ dan tentukan luas daerah keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.
17. Tentukan luas daerah yang terletak diantara lingkaran-lingkaran sepusat r = 7 dan r = 10.
18. Gambar daerah yang ada didalam lingkaran r = 3 sin dan diluar kardioid r = 1 + sin . Tentukan luas daerah itu.
19. Gambar daerah diluar lingkaran r = 2 dan didalam lemniskat 2
r = 8 cos
θ
2 . Tentukan luas daerah itu.
20. Gambar limason r = 3 – 6 sin dan tentukan luas daerah didalam simpai yang besar dan diluar simpai yang kecil.
21. Gambar daerah yang ada pada kuadran pertama yang terletak didalam kardoid r = 3 + 3 cos dan diluar kardioid r = 3 + 3 sin . Tentukan luas daerah tersebut.
22. Tentukan luas daerah pada kuadran kedua yang ada didalam kardioid r = 2 + 2 sin dan diluar kardioid r = 2 + 2 cos .
23. Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva-kurva berikut, dititik =
3 /
a. r = 2 cos b. r = 1 + sin
c. r = sin 2θ
d. r = 4 – 3 cos
24. Tentukan semua titik pada kardioid r =a(1+cosθ )yang garis singgungnya adalah (a) mendatar, (b) tegak.
25. Tentukan semua titik pada limason r = 1 – 2 sin yang garis singgungnya adalah mendatar.
26. Andaikan r = f (θ ), dengan f kontinu pada selang tertutup [α, β]. Apabila L
panjang subur kurva dari = α hingga = , buktikan
∫
+= β
α f θ f θ d θ
L [ ( )]2 [ '( )]2
27. Gunakan rumus dalam soal 26 untuk menetukan panjang busur kardioid ) cos 1 ( + θ =a r
28. Tentukan panjang spiral logaritma θ /2 e
r
=
dari = 0 hingga = 2π .29. Hitung luas total mawar r =acosnθ , dimana n adalah bilangan bulat
positif
30. Gambarlah grafik strofoid r = sec - 2 cos dan hitung luas simpainya. 31. Perhatikan dua buah lingkaran r = 2a sin dan r = 2 b cos dengan
a
dan b positif.
a. Hitung luas daerah yang ada didalam kedua lingkaran tersebut .
b. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut saling berpotongan tegak lurus.
32. Diasumsikan bahwa sebuah planet yang massanya m berputar mengelilingi matahari (yang terletak pada kutubnya) dengan momentum sudut konstan sebesar 2
mr d /θ dt . Turunkan Hukum Kedua dari Kepler : Garis dari
matahari ke planet menyapu suatu daerah yang luasnya sama dalam waktu yang sama.
33. (Soal “Kambing Tua” Pertama) Seekor kambing diikat ke tepi sebuah kolom bundar yang jari-jarinya
a
dengan seutas tali yang panjangnya Ka (0 <kluas daerah yang dapat dijangkau oleh kambing (daerah diraster pada Gambar 8). Catatan: Soal ini telah pernah dijawab (Soal 49 Pasal 7.6); saudara harus mampu memberikan jawaban yang sama.
Gambar 8 Gambar 9
34. (Soal “Kambing Tua” Kedua) Ulangi lagi soal 33 tetapi dengan asumsi bahwa sekeliling kolam dipagari sedemikian rupa hingga dalam membentuk
irisan
A
, tali melilit sekeliling pagar (lihat Gambar 9). Petunjuk (: Jika saudara berminat, cobalah metode yang diberikan dalam pasal ini. Sebaiknya saudara perhatikan bahwa pada lilitanA
,
∆
A
≈
(1/2) | PT |2θ
∆
yang memberikan jumlah Riemann untuk suatu integral. Jawaban akhirnya adalah a2(π k 2/2+k 3/3), yang merupakan hasil yang diperlukan dalam soal 35.35. (Soal “Kambing Tua” Ketiga) Seekor kambing yang terikat memakan rerumputan didalam suatu kebun yang dibatasi oleh pagar melingkar yang jari-jarinya
a
; seekor kambing lain, yang terikat seperti pada soal 34,memakan rumput-rumputan diluar pagar. Hitung panjang tali jika kedua ekor kambing tersebut mampu menjangkau daerah yang luasnya sama.
12.9 Soal-soal Ulangan Bab KUIS BENAR-SALAH
Katakan benar atau salah ungkapan dibawah ini. Pertahankanlah pendirian anda. 1. Grafik y =ax2+bx+c adalah parabol untuk semua a,b,c.
2. Puncak parabol letaknya ditengah antara focus dan garis arah. 3. Puncak elips lebih dekat dengan garis arah daripada dengan focus. 4. Titik parabol yang terdekat dengan focus adalah puncaknya.
5. Hiperbol x2/a2− y2/b2 =1 dan y2/b2− x2/a2 =1 memiliki asimtot yang sama.
6. Keliling C elips x2/a2− y2/b2 =1 dengan b<a memenuhi 2π b<C <2π a. 7. Semakin berkurang keeksentrikan e sebuah elips semakin elips tersebut
menyerupai lingkaran.
8. Fokus elips 6 x2+4y2 =24 terletak pada sumbu x.
9. Persamaan 2 − 2 =0 y
x adalah persamaan hiperbol. 10. Persamaan ( y2 −4x+1)2 =0 adalah persamaan parabol. 11. Apabila k ≠0, x2 /a2 − y2 /b2 =k adalah persamaan hiperbol. 12. Apabila k ≠0, x2 /a2+ y2 /b2 =k adalah persamaan elips.
13. Jarak antara fokus-fokus kurva x2 /a2 + y2/b2 =1 adalah 2 2
2 a −b
14. Grafik persamaan x2 /9− y2/8=−2 tidak memotong sumbu
x
.15. Cahaya yang dipancarkan dari sebuah titik yang terletak diantara focus dan puncak terdekat sebuah cermin yang berbentuk elips, akan dipantulkan diluar
focus yang lain.
16. Himpunan titik-titik yang sama jauhnya dari lingkaran x2 + y2 =1 dan garis x
= 3 adalah parabol.
17. Dari hukum Kepler tentang luas daerah yang dilintasi oleh garis hubung antara matahari dan planet dapat ditarik kesimpulan bahwa laju gerak planet terbesar dicapai pada saat planet itu berada pada puncak kurva lintasannya yang terlekat dengan matahari.
18. Sebuah elips digambar dengan menggunakan seutas tali sepanjang 8 satuan yang diikatkan pada dua focus berjarak 2 satuan; maka panjang garis tengah yang pendek adalah 60 satuan.
19. Grafik persamaan x2+ y2 +Cx+ Dx+F =0 lingkaran, titik atau himpunan
kosong.
20. Grafik persamaan 2 x2+ y2 +Cx+ Dy+F =0 tak mungkin berupa satu titik. 21. Grafik persamaan Ax2 + Bxy+Cy2 + Dx+ Ey+F =0 adalah perpotongan antara
sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua untuk segala pilihan
, , , , , B C D E A dan F .
22. Dalam sebuah sistem koordinat yang sesuai, persamaan perpotongan antara sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua dapat ditulis sebagai
0 2 2 + + + + = F Ey Dx Cy Ax .
23. Grafik sebuah hiperbol terletak dalam ke empat kuadran sistem koordinat Cartesius.
24. Apabila penampang konik melalui (1, 0), (-1, 0), (0, 1), dan (0, -1) maka penampang konik tersebut adalah lingkaran.
25. Grafik persamaan kutub r =4cos(θ −π /3) adalah lingkaran.
26. Tiap titik pada bidang memiliki koordinat kutub yang tak hingga banyaknya. 27. Semua titik potong dua kurva dengan persamaan kutub masing-masing
) (θ
f
r = dan r = g (θ ) dapat ditemukan dengan jalan menyelesaikan kedua persamaan itu sekaligus.
28. Apabila f sebuah fungsi ganjil, maka grafik dari r = f (θ ) simetrik terhadap sumbu y (yaitu garis θ =π /2).
29. Apabila f sebuah fungsi genap, maka grafik dari r = f (θ )simetrik terhadap sumbu x (garis θ =0).
30. Grafik r =4cos3θ adalah mawar berdaun tiga yang luasnya kurang dari
setengah luas lingkaran dengan jari-jari 4.
SOAL-SOAL ANEKA RAGAM
1. Padankanlah kurva yang tersedia dengan persamaan yang cocok. 1) Tidak ada grafik.
2) Satu titik. 3) Satu garis.
4) Dua garis sejajar.
5) Dua garis berpotongan. 6) Sebuah lingkaran. 7) Sebuah parabol. 8) Sebuah elips. 9) Sebuah hiperbol.
10) Bukan salah satu diatas. (a) x2 −4y2 =0 (b) x2 −4y2 =0.01 (c) x2 −4=0 (d) x2
−
4x+
4=
0 (e) x2 +4y2 =0 (f) x2 +4 y2 = x (g) x2 +4 y2 =− x (h) x2 +4y2 =−1 (i) ( x2 +4y−1)2 =0 (j) 3 x2+4 y2 =−x2 +1Dalam soal 2-10, sebutlah konik yang persamaannya diketahui dibawah ini. Tentukan puncak, fokus dan kemudian gambarlah grafiknya.
0 16 4 6. 0 9 5. 0 900 36 25 4. 0 36 4 9 3. 0 6 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = + = + − = − + = − y x y x y x y x x y 3 ) cos 2 ( 10. sin 2 2 5 9. 0 225 9 9 8. 0 225 25 9 7. 2 2 2 2 = + + = = − + = − − θ θ r r y x y x
Dalam soal 11-18, tentukan persamaan Cartesius konik yang diketahui sifatnya sebagai berikut.
11. Puncak di (±4, 0) dan keksentrikan 2 1
12. Keksentrikan 1, fokus (0, -3), dan puncak (0, 0).
13. Keksentrikan 1, puncak (0, 0), simetrik terhadap sumbu x, dan melalui titik (-1, 3).
14. Keksentrikan
3 5
dan puncak (0, ±3). 15. Puncak di (±2, 0) dan asimtot x±2y =0 .
16. Parabol dengan fokus (3, 2) dan puncak (3, 3).
17. Elips dengan pusat (1, 2), satu fokus di (4, 2), dan garis tengah panjang sama dengan 10.
18. Hiperbol dengan puncak (2, 0) dan (2, 6) dan keksentrikan
3 10
.
Dalam soal 19-22, gunakan proses melengkapkan kuadrat untuk menyederhanakan persamaan dibawah ini menjadi bentuk baku. Sebutlah kemudian jenis kurva yang bersangkutan dab gambarlah grafiknya.
0 68 20 36 10 3 22. 0 28 6 8 21. 0 36 36 24 9 4 20. 0 81 36 24 4 4 19. 2 2 2 2 2 2 2 = + − + − = + + + = + − − + = + + − + y x y x y x x y x y x y x y x
23. Pemutaran sumbu koordinat dengan sudut = 45o mengubah persamaan
10
3 2
2+ + =
y xy
x menjadi bentuk ru2
+
sv2=
10. Tentukan r dan s, sebutlah jenis konik, dan tentukan jarak antara focus-fokusnya.24. Tentukan sudut putar yang diperlukan untuk menghilangkan suku campuran dalam persamaan 7 x2+8 xy+y2 =9. Susunlah kemudian
persamaan uv yang sesuai dan tentukan jenis konik yang bersangkutan.
Dalam soal 25-36, selidikilah persamaan kutub yang diketahui dan kemudian gambarlah grafiknya.
θ θ θ cos 3 4 31. 4 29. 2 cos 27. cos 6 25. − = = = = r r r r θ θ θ θ cos 3 2 32. cos 5 5 30. cos 3 28. sin 5 26. − = − = = = r r r r 0 , 36. 3 sin 4 34. 2 sin 16 35. 3 2 33. 2 ≥ = = = = θ θ θ θ π θ r r r
37. Tentukan persamaan Cartesius grafik yang diketahui persamaan kutubnya 0 9 ) sin (cos 6 2 − θ + θ + = r r Gambarlah grafiknya.
38. Tentukan persamaan Cartesius grafik dengan persamaan kutub
9 2 cos 2 θ = r Gambarlah grafiknya.
39. Tentukan kemiringan garis singgung grafik dengan persamaan
θ cos 3 3
+
=
rPada titik grafik dengan θ π
6 1
=
40. Gambarlah grafik persamaan
θ
sin 5
=
r dan r
=
2+
sinθTentukan titik potongnya.
41. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik
θ cos 5 5− = r (lihat soal 30).
42. Tentukan luas daerah yang ada diluar limason r
=
2+
sinθ dan didalamlingkaran r =5sinθ (lihat soal 40).
43. Sebuah mobil balap yang sedang melaju pada suatu lintasan yang berbentuk elips dengan persamaan 2/400+ 2/100=1
y
x pada suatu titik (16, 6) tidak
dapat dikendalikan lagi dan terus bergerak sepanjang garis singgungnya sehingga menabrak pohon dititik (14, k ). Tentukan k .
13. GEOMETRI PADA BIDANG, VEKTOR
13.1 Kurva Bidang : Penyajian Secara Parameter
13.2 Vektor pada Bidang : Pendekatan Secara Geometri 13.3 Vektor pada Bidang : Pendekatan secara Aljabar 13.4 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 13.5 Kelengkungan dan Percepatan
![Gambar 6 π π θ θ 3 , 12,cos1=−= [ ] [ ] 299. 4 13323223212cos2cos221 )2cos12(cos121)2cos12(321coscos21sin2313/3/3/22≈= += −−= −−−−+=−−−=∫ ∫ ∫ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π π π π π π d d d A](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/1875732.3000130/3.1167.376.883.396.835/gambar-cos-cos-cos-cos-cos-cos-coscos.webp)
