Fungsi Bernilai Vektor
)) 3 3 (( 2 2
::
R
R
R
R
f
f
Definisi
Definisi
Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan
memadankan setiap setiap t t R R dengan dengan tepat tepat satu satu vektorvektor )) 3 3 (( 2 2 )) ((t t RR F F Notasi : Notasi : 1 1 22 11 22
(
( )
)
(
( )
)
( )
(
)
(
( )), (
, ( ))
t
t
F t
F
t
f
f t
t i
i f
f t
t j
j
f t f
f
t f t
t
1 1 2 2 33(
( )
)
(
( )
)
(
( )
)
(
( ))
t
t
F
F t
t
f
f t
t i
i f
f t
t j
j f
f t
t k
k
dengan1 1 ˆ ˆ ˆˆ
1
1.
. (
F
F t t
( )
)
t t
2
2 ( 3
i i
( 3))
t t
jj
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ(
( )
) cco
os
s
ssiin
n
2. 2.F
F t
t
tt i
i
t
t j
j k
k
2
2
ˆ ˆ ˆˆ(
(
)
) lln
n
6
6
3. 3.F
F
t
t
i
i
t
t
jj
t t
Contoh : Contoh : Daerah Asal (DDaerah Asal (DFF ) )
||
f f 1 1 f f 2 2 f f 33
F FD
D
t t R
R t t D
D
D
D
D
D
Daerah Hasil (R Daerah Hasil (R FF ) )
33
(
( )
)
||
F F F FR
R
F
F t t
R
R t t D
D
Contoh : Tentukan Domain dari Contoh : Tentukan Domain dari
t t ii t t jj t t F F (( )) 22 (( 33)) 11 Jawab : Jawab : 1 1 ( ( ) ) 2 2 f f 11 [[22, , )) f f t t t t DD 1 1 2 2 ( ( ) ) ( ( 33) ) f f 22 {{33}} f f t t t t D D RR
f f 1 1 f f 22
F FD
D
t t R
R t t D
D
D
D
t
t R
R
t
t
[[2
2,
, )
)
R
R
3
3
t t
[[2
2, )
, ) 3
3
[[2
2,,3
3)
) ((3
3, )
, )
Jadi Jadi2 ˆ ˆ 2. ( ) ln F t i 6 t j t
1 2 ( ) ln f t t
2( ) 6 f t
t 1(0, )
fD
2 ( , 6] f D
f 1 f 2
FD
t R t D
D
t R t
(0, ) ( , 6]
(0,6]
Jawab:Latihan
Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut
ˆ ˆ
( ) ( 4)
1.F t
t
i t j
2 ˆ ˆ ( ) 4 2. F t
t i t j 1 ˆ ˆ ( ) ( 4) 3. F t i t j t
2 1 ˆ ˆ ( ) 4 4. F t i t j t
Persamaan Parameter
Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter:
ˆ ˆ ˆ
( ) cos
sin
1.F t
t i
t j t k
1 ( ) ; 2 ( ) ; 3( ) , x f t y f t z f t t I Contoh :cos ,
sin ,
x
t y
t z t
ˆ ˆ( ) ( 4)
2.F t
t
i t j
x
( 4) ,
t
y
t
Garis
0w
wv
P0=(x0,y0,z0) P(x,y,z) x z y0
P P t v
0w w t v
v = 0w w t v
Jika z y x w , , 0 0 0 0 x , y , z w c b a v , ,at
x
x
0bt
y
y
0ct
z
z
0Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:
(Persamaan garis dalam bentuk vektor) vektor yang sejajar dengan garis
Contoh
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3>
Jawab: x, y, z 4,5,2 t 1,2, 3 t x 4 t y 5 2
t
z
2
3
Contoh
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4)
Jawab:
2 3 ;
3 2 ;
1 3
x
t
y
t
z
t
Sehingga Persamaan parameter garis tersebut: Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah
5 2, 1 3, 4 1
3, 2, 3
v
Latihan
1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang
melalui pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui
titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang
diberikan
a. (4,-6,3), <-2,1,5>
b. (2,5,-3) , <,-1,4,2>
Grafik Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan
Df =[a,b] 1 ˆ 2 ˆ ( ) ( ) ( ) F t
f t i
f t j ] [ atb (b) f (t) f (a) f c y xJika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung f (t)
menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu disebut titik pangkal lengkungan C
) (a f
disebut titik ujung lengkungan C
) (b f
kurva C disebut kurva tertutup
) ( ) (a f b f Jika
Grafik fungsi vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa
lengkungan/kurva di R
2(3)dengan arah tertentu
Cara menggambar grafik fungsi vektor :
1.
Tentukan persamaan parameter dari kurva
2. Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi
parameter t ) dan gambarkan
Contoh
Gambarkan grafik fungsi vektor
ˆ ˆ
1. ( ) 3cos
F t
t i
2sin ; 0
t j
t
2
Persamaan parameternya: x = 3 cos t y = 2 sin t
x/3 = cos t y/2 = sin t cos2 t + sin2 t =1 2 2 1 3 2 x y Arahnya (ellips) ) 0 , 3 ( ˆ 3 ) 0 ( i F ) 2 , 0 ( ˆ 2 ) 2 ( j F ) 0 , 3 ( ˆ 3 ) ( i F ) 2 , 0 ( ˆ 2 ) 2 3 ( j F ) 0 , 3 ( ˆ 3 ) 2 ( i F 3 -3 2 -2 x y CPersamaan parameternya: 2
4
x y
Arahnya: (parabola) ˆ(0)
4
( 4, 0)
F
i
ˆ(4) 2
(0, 2)
F
j
-4 2 x y C ˆ ˆ( ) ( 4)
; 0
4
2.F t t
i t j
t
y
t
y
x
4
4
4
x t
t x
Latihan
2 ˆ ˆ 2. ( F t ) 4
t i t j ; 2
t 2 2 ˆ ˆ ( ) 4 ; 2 2 1. F t t i
t j
tGambarkan grafik fungsi vektor berikut:
2
ˆ ˆ 4. ( F t )
t 2 t i
t 3 ; 2 j
t 3
ˆ ˆ ( ) 4 1 2 ; 0 3 3. F t
t i t j
t 2 2 ˆ ˆ ( ) ; 5. F t
t i a t j
a t aEkivalen
Fungsi
f t dan g t ( ) ( )menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama pula.
disebut ekivalen jika
Contoh ˆ ˆ
( )
cos
sin , 0
f t
a
t i a
t j
t
2 2 ˆ ˆ( )
,
g t
t i
a
t j
a t a
Norm 1 2 3 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) f t
f t i
f t j f t k
1 2 2 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f t
f t
f t
f tMisalkan maka norm dari f t ( )
( ) ( )
Sifat fungsi vektor
k t f j t f i t f t f ( ) ( )ˆ ( )ˆ ( )ˆ 3 2 1 Misalkan g(t ) g (t )ˆi g (t ) j ˆ g (t )k ˆ 3 2 1 dan cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (t g t f 1 t g1 t f 2 t g2 t f 3 t g3 t f t g t f 1. k t g t g t f t f j t g t g t f t f i t g t g t f t f t g t g t g t f t f t f k j i t g x t f ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 2.
f t g t
i c
f t g t
j c
f t g t
k c t g t f c ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ 3 3 2 2 1 1 3. c =konstantaLimit
Definisi
lim (
)
0
0 0
(
)
t af t
L
t a
f t
L
Ilustrasi ) ( a L (t) f L -(t) f y x.
a+ a- εTeorema
1 ˆ 2 ˆ
( ) ( ) ( ) f t f t i f t j
Misalkan , maka f t ( ) mempunyai limit di a
f
1(t) dan f 2(t) mempunyai limit di a, dan
1 ˆ 2 ˆ lim ( ) lim ( ) lim ( )t a f t t a f t i ta f t j
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
t j t t i t t t ˆ 9 6 ˆ 3 9 lim . 1 2 2 2 3 j e t i t t t t ˆ ˆ sin lim . 2 0 t t t t lim ln( ), ln . 3 2 0
Jawab
t j t t i t t t ˆ 9 6 ˆ 3 9 lim . 1 2 2 2 3 t j t t i t t t t ˆ 9 6 lim ˆ 3 9 lim 2 2 3 2 3
t t j t t i t t t t t ˆ 3 3 2 3 lim ˆ 3 3 3 lim 3 3
j t t i t t t ˆ 3 2 lim ˆ 3 lim 3 3 j i ˆ 6 5 ˆ 6 e j t i t t t t ˆ ˆ sin lim . 2 0 e j t i t t t t t ˆ lim ˆ sin lim 0 0 i j i 0ˆ ˆ ˆ t t t t lim ln( ), ln . 3 2 0 t lim ln(t ), t lim0 t lnt 2 0 ln( ) lim 2 0 t t
karena (tidak ada)
Maka t t t tidak ada
t lim ln( ), ln
2 0
Latihan
Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan): t j t t i t t t ˆ 2 6 ˆ 4 2 lim . 1 2 2 2 j t t t i t t t ˆ 3 2 1 ˆ sin lim . 2 2 2 t e t t 1 , lim . 3 1/ 0
Turunan
1 2 3 ˆ ˆ ˆ( )
( )
( )
( )
f t
f t i
f t j f t k
Definisi: Misalkan 1 2 3 1 2 3 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim h f t h i f t h j f t h k f t i f t j f t k f t h
3 3 1 1 2 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ lim h f t h f t f t h f t f t h f t i j k h h h
3 3 1 1 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆlim lim lim
h h h f t h f t f t h f t f t h f t i j k h h h
1 2 3 ˆ ˆ ˆ '( ) '( ) '( ) f t i f t j f t k
1 2 3 ˆ ˆ ˆ '( ) '( ) '( ) '( ) f t
f t i
f t j f t k
JadiContoh
2 2 ˆ ˆ ( ) (2 3) t f t
t
i e j
. Tentukan 1. Diketahui f '(0) dan f ''(0) Jawab 2 ˆ ˆ"( ) 8 4
tf t
i
e j
2 ˆ ˆ'( ) 2 2 3 2 2
tf t
t
i
e j
2 ˆ ˆ 8 12 t i e j2 t
ˆ ˆ'(0) 12 2
f
i
j
ˆ ˆ''(0) 8 4
f
i
j
i. ii.Contoh
ˆ ˆ( ) cos2
tf t
t i e j
Tentukan 2. Diketahui . '( ) ''( ) a f t dan f t . '(0) ''(0)b sudut antara f dan f
Jawab a. f t '( ) 2sin 2
t i e jˆ
t ˆ , f t ''( ) 4 cos 2t i e jˆ t ˆ b. f '(0)
ˆj ; f "(0)
4i ˆ ˆj '(0). "(0) cos '(0) "(0) f f f f
1 17 1 1 cos 17
Latihan
1 2 2 ˆ ˆ ˆ(
) tan
tln
1
f t
t i t e
j
t
k
Tentukan 1. Diketahui '(0) f danf
''(0)
2 3 ˆ ˆ( )
tln( )
r t e i
t j
Tentukan 2. Diketahui[ ( ). '( )]
tD r t r t
3. Tentukanr t
'( )
danr t
"( )
a. b.
2 ˆ ˆ( )
t t tr t
e e i e j
5/ 3 ˆ ˆ( ) tan
2
r t
t i t j
Arti Geometris
Df =[a,b] ] [ a t b h) (t f (t) f (t) f -h) (t f c z y x O P Vektor f t h ( ) ( )f t , h 0 h
searah dengan vektor f t h f t (
) - ( ) Jika h 0, makamerupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat 0 ( ) ( ) lim '( ) h f t h f t f t h
f D
tGaris Singgung
Df =[a,b] ] [ atb ) (t f 0 ) (t ' f 0 c z y x O PPersamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
0 0
( )
( )
'( )
x t
f t
t f t
atau 1 0 2 0 3 0 1 0 2 3 0, ,
( ), ( ), ( )
'( ), '( 0), '( )
x y z
f t
f t
f t
t f t
f t
f t
Contoh
ˆ
ˆ ˆ
( ) cos
sin
f t
t i
t j t k
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, ).
Diketahui
ˆ
ˆ ˆ
'( )
sin
cos
f t
t i
t j k
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 =
ˆ ˆ ˆ '( ) 0 ( 1) f
i j k ˆ ˆ ˆ ( ) ( 1) 0 f
i j k 0, 1, 1 1,0, Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, )
Latihan
ˆ ˆ
( ) 3sin
4cos
f t
t i
t j
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). 1. Diketahui
2
ˆˆ ˆ
( ) t sin t cos 1
f t
e t i e
t j
t kTentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). 2. Diketahui
2
ˆ ˆ
( ) 2 2
3 2
f t
t
i
t
j
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2). 3. Diketahui
Gerak Sepanjang Kurva
Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter
x = f(t); y = g(t). maka
menyatakan vektor posisi dari titik P.
j t g i t f t r ( )
( ) ˆ
( ) ˆ Jika t berubah ujung vektor r (t) bergerak sepanjang lintasan titik P.
Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva
Definisi
1. Kecepatan
2. Percepatan jˆ ) t ( ' g i ˆ ) t ( ' f ) t ( ' r ) t ( v
titik P adalah ) t ( vdi sebut laju titik P
) t ( v jˆ ) t ( '' g i ˆ ) t ( '' f ) t ( '' r ) t ( a
titik P ) t ( adi sebut besar percepatan
) t ( a pada saat t 1. Gerak Linear q ) t ( h p ) t ( r
2. Gerak pada Lingkaran
real fungsi ) t ( h ; tetap vektor q , p
3. Gerak pada ellips
0 a , jˆ t sin a i ˆ t cos a ) t ( r
0 b , a , jˆ t sin b i ˆ t cos a ) t ( r 4. Gerak pada heliks Lingkaran k ˆ t b jˆ t sin a i ˆ t cos a ) t ( r
Contoh
Contoh Gerak Sepanjang Kurva
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai
Jawab
a. Persamaan parameter x = 3 cos t y = 2 sin t
x/3 = cos t y/2 = sin t cos2 t + sin2 t =1 1 2 3 2 2 x y (ellips) 3 -3 2 -2 x y.
P (t) a (t) vb. r (t ) 3cost ˆi 2sint j ˆ
j t i t t v t r '( ) ( ) 3sin ˆ 2cos ˆ ) ( ˆ sin 2 ˆ cos 3 ) ( ) ( " t a t t i t j r t r
t t t v ( ) 9 sin2 4cos2
t t
t t t t 2 2 2 2 22 4 sin 4cos 5 sin 4 sin cos
sin 5 4 sin 5 2 t
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3 /2
yaitu pada titik (0, ±2)
Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0,
Latihan
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak
pada bidang adalah
x = 4 cos
tdan y = 3 sin
t(t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
Kelengkungan
Andaikan a
t
b,
r (t )
f (t ) iˆ
g (t ) jˆ vektor posisi titik P.
Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah
Laju titik yang bergerak itu adalah
b a t a 2 2 du ) u ( ' r du ) u ( ' g ) u ( ' f s ) ( ) ( ' t v t r dt ds
) ( 1 t v ds dt
Definisi. Vektor Singgung Satuan di P, Notasi T (t ) didefinisikan sbb Apabila P bergerak ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( t v t v t r t r t T
berubah arah ) (t T x o ydisebut vektor kelengkungan di P
ds T d
Kelengkungan di P; (kappa).
Dengan aturan rantai diperoleh
Jadi ) ( ) ( ' ) ( 1 ) ( ' t v t T t v t T ds dt dt T d ds T d
dan ds T d
disebut jari-jari kelengkungan
) ( ) ( ' t v t T ds T d
1
R12
,
ˆsin
8
ˆcos
8
)
(
.
1
r
t
3t
i
3t
j
di
titik
P
pada
t
Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
Jawab: j t t i t t t v t
r '( )
( )
24cos2 sin ˆ
24sin2 cos ˆ t t t t t
v ( ) 24 cos4 sin2 sin4 cos2
j t i t t v t v t T cos ˆ sin ˆ ) ( ) ( ) ( t t t t t
t sin (cos sin ) 24 cos sin
cos 24 2 2 2
2
j t i t t T '( )
sin ˆ
cos ˆ t t t t t t t t v t T t 2 sin 12 1 sin cos 24 1 sin cos 24 cos sin ) ( ) ( ' ) ( 2 2 Contoh:
6 1 2 1 . 12 1 6 sin 12 1 12 2 sin 12 1 ) 12 ( 6 1 R (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= /12 adalah 1/6,
Latihan
Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan 2 pada titik di , ˆ cos ˆ sin ) ( . 1 r t
et t i
et t j P t
1
ˆ, dititik pada 1 ˆ 2 ) ( . 2 r t
t i
t 2
j P t
2 1 pada titik di , ˆ 4 ˆ 4 ) ( . 3 r t
t 2 i
t j P t
9 pada titik di , ˆ ˆ 3 cos ˆ 3 sin ) ( . 5 r t
t i
t j
t k P t
6 pada titik di , ˆ 4 ˆ cos 8 ˆ sin 8 ) ( . 4 r t
t i
t j
t k P t
Teorema
Andaikan x = f (t ) dan y = g (t ) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka
2 2
32 ' ' " ' " ' y x x y y x Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku
2
32 ' 1 " y y Contoh
1. Tentukan kelengkungan elips
x = 2 cos t , y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = /2
Jawab: x’ = –2 sin t x” = –2 cos t y’ = 3 cos t y” = –3 sin t Kita peroleh
2 2
32 ' ' " ' " ' y x x y y x
2 2
32 2 2 cos 3 sin 2 cos 6 sin 6 t t t t
4sin 2 9cos2
32 6 t t Sehingga
4sin 20 9cos 20
32 6 ) 0 (
9 2 9 6 2 3 2 3 2 2 2 cos 9 2 sin 4 6 ) 2 ( 4 3 2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1) Jawab: y’ = 2x y” = 2 Kita peroleh
![Grafik Fungsi Bernilai Vektor Misalkan D f =[a,b] 1 ˆ 2 ˆ( ) ( ) ( ) F t f t i f t j [ ] a t b (b)f (t)f (a)f cy x](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dok/4062811.2783751/14.1167.33.1144.41.797/grafik-fungsi-bernilai-vektor-misalkan-d-ˆ-ˆ.webp)
