MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

(1)

Catatan Kuliah

MA4181 MODEL RISIKO

“Enjoy the Risks”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung

(2)

Tentang MA4181 Model Risiko

A. Jadwal kuliah:

• Selasa; 11.00-12.30; R.StudyHall • Kamis; 11.00-12.30; R.StudyHall

B. Silabus:

• Ukuran Risiko (3 minggu) • Teori Kebangkrutan (2 minggu)

C. Buku teks:

Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evalu-ation.

D. Penilaian:

1. Ujian, 17/18 November 2011 (30%). 2. Tugas dan Presentasi (20%)

E. Matriks kegiatan perkuliahan:

Table 1: Materi kuliah MA4181 Model Risiko. Minggu- Materi Keterangan

9-11 Ukuran Risiko Penjelasan kuliah 12-13 Teori Kebangkrutan

13 Ujian 17/18 November 2011 14-15 Presentasi

(3)

Daftar Isi

1 Ukuran Risiko 1 1.1

Pendahuluan

. . . 1 1.2

Ukuran Risiko

. . . 2 1.3

Aksioma

. . . 2 1.4

Value-at-Risk (VaR)

. . . 3

1.5

Conditional Tail Expectation (CTE)

. . . 4

1.6

Transformasi PH

. . . 6 1.7

Transformasi Esscher

. . . 7 1.8

Metode Distortion-Function

. . . 8 1.9

Transformasi Wang

. . . 10 2 Teori Kebangkrutan 1 2.1

Pendahuluan

. . . 1

2.2

Bangkrut dan Peluang Bangkrut

. . . 2

2.3

Teori Kebangkrutan (Waktu Diskrit)

. . . 3

2.4

Kebangkrutan Waktu Hingga

. . . 4

(4)

BAB 1

Ukuran Risiko

Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, VaR dan ES, transformasi.

Tujuan:

1. Mempelajari ukura-ukuran risiko (premium-based, capital-based) 2. Menghitung VaR dari distribusi kerugian kontinu dan diskrit 3. Mempelajari/menurunkan transformasi pada ukuran risiko

1.1 Pendahuluan

Jenis-jenis risiko:

1. Risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar) 2. Risiko kredit (risiko dari nasabah)

3. Risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit)

Kegunaan ukuran risiko: 1. Menentukan modal 2. Menentukan premi

3. Manajemen risiko internal 4. Melaporkan kebijakan eksternal

(5)

1.2 Ukuran Risiko

Definisi:

Suatu ukuran risiko dari kerugian acak X, notasi ϱ(X), adalah fungsi bernilai riil ϱ : X → R, dimana R adalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif.

Misalkan mean dan variansi kerugian acak X adalah µX dan σX2. Ukuran risiko

“expected-value principle premium” dideﬁnisikan sebagai

ϱ(X) = (1 + θ) µX = µX + θ µX,

dimana θ ≥ 0 adalah “premium loading factor”. Ukuran risiko dikatakan “pure premium” saat θ = 0.

Ukuran risiko “variance principle premium” dideﬁnisikan sebagai:

ϱ(X) = µX + α σX2,

dimana α≥ 0 adalah “loading factor”.

1.3 Aksioma

Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan “coherent” (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah:

1. (T) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a,

ϱ(X + a) = ϱ(X) + a

2. (S) Untuk setiap X dan Y ,

ϱ(X + Y )≤ ϱ(X) + ϱ(Y )

3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a,

ϱ(a X) = a ϱ(X)

4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X ≤ Y ,

(6)

VaR

X

Figure 1.1: Value-at-Risk pada Distribusi Normal. Contoh/Latihan:

1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(X) ≥ 0 untuk

X ≥ 0.

2. “no unjustiﬁed loading”?

3. “no ripoﬀ”?

4. Tunjukkan bahwa ukuran risiko “expected-value principle premium” memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko “variance/standard deviation principle premium”?

1.4 Value-at-Risk (VaR)

Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian adalah nilai mini-mum suatu distribusi sdh peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan.

Definisi:

Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi FX(.) dan

δ adalah peluang, makab VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari X:

V aRδ(X) = FX−1(δ) = xδ

Jika FX(.) fungsi tangga (X tidak kontinu), dideﬁniskan

V aRδ(X) = inf{x ∈ [0, ∞) : FX(x)≥ δ}

(7)

Contoh/Latihan:

1. Hitung V aRδ untuk distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ2),P(α, γ).

2. Hitung V aRδ untuk δ = 0.94, 0.97 dari distribusi kerugian berikut:

X =            100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8

3. Tunjukkan bahwa V aRδ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak

memenuhi aksioma S.

1.5 Conditional Tail Expectation (CTE)

CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasi CT Eδ(X), dideﬁnisikan sebagai

CT Eδ(X) = E(X|X > xδ) atau CT Eδ(X) = E [ X|X > V aRδ(X) ] ,

untuk X kontinu. Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilai V aRδ(X):

E[X− V aRδ(X)|X > V aRδ(X)

]

,

disebut “conditional VaR” dan dinotasikan CV aRδ(X). Perhatikan bahwa

CV aRδ(X) = E

[

X− V aRδ(X)|X > V aRδ(X)

] = CT Eδ(X)− V aRδ(X)

Jika V aRδ digunakan sebagai modal, maka “shortfall” dari modal adalah

(8)

Ketika X kontinu, V aRδ = xδ dan “mean shortfall” nya adalah E[(X − xδ)+ ] = E[X− xδ|X > xδ ] P (X > xδ) = (1− δ) CV aRδ 1 (1− δ)E [ (X − xδ)+ ] = CV aRδ = CT Eδ(X)− xδ

Untuk mengevaluasi CT Eδ, perhatikan bahwa

CT Eδ = E(X|X > xδ) = 1 (1− δ) ∫ _∞ xδ x fX(x) dx = 1 (1− δ) ∫ _∞ xδ x dFX(x) = 1 (1− δ) ∫ 1 δ xξdξ,

untuk ξ = FX(x). CT Eδ dengan demikian dapat diinterpretasikan sebagai

rata-rata kuantil yang melampaui xδ. Analog,

1 (1− δ)

∫ 1

δ

V aRξdξ

yang disebut dengan “tail VaR” atau T V aRδ(X).

Contoh/Latihan:

1. Tentukan CT Eδdan CV ARδpada distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ2),P(α, γ).

2. Hitung CT Eδ untuk δ = 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan

nilai δ)dari distribusi kerugian berikut:

X =            100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8

3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M.

(9)

1.6 Transformasi PH

Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang dihara-pkan (expected loss) dituliskan sebagai

µX = ∫ _∞ 0 ( 1− FX(x) ) dx = ∫ _∞ 0 SX(x) dx

Misalkan ˜X terdistribusi dengan S_X˜(x) = ( SX(x) )1/ρ , ρ≥ 1, maka E( ˜X) = µ_X˜ = ∫ _∞ 0 S_X˜(x) dx = ∫ _∞ 0 ( SX(x) )1/ρ dx,

dimana parameter ρ disebut “risk-aversion index”. Distribusi dari ˜X disebut

“PH (proportional hazard) transform” atau transformasi PH dari distribusi X dengan parameter ρ.

Misalkan hX(x) dan h_X˜(x) sebagai fungsi hazard (hf) dari X dan ˜X, maka

h_X˜(x) = − 1 S_X˜(x) ( d S_X˜(x) dx ) =−1 ρ    ( SX(x) )(1/ρ)−1 S_X′ (x) ( SX(x) )1/ρ    =−1 ρ ( S_X′ (x) SX(x) ) = 1 ρhX(x)

Dapat disimpulkan bahwa hf dari ˜X proporsional terhadap hf dari X. Jika ρ ≥ 1, maka hf dari ˜X lebih kecil dari hf dari X, sehingga ˜X memiliki ekor

yang lebih tebal dari X. Contoh/Latihan:

1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah

S_X˜ =

(

(10)

yang berakibat ˜

X ∼ E(λ/ρ)

Jadi,

E( ˜X) = ρ/λ≥ λ = E(X)

2. Apakah ukuran risiko µ_X˜ memenuhi aksioma T, S, PH, dan M?

1.7 Transformasi Esscher

Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentransformasi pdf. Jika X memiliki pdf fX(x), deﬁnisikan distribusi

kerugian ˜X dengan pdf f_X˜(x),

f_X˜(x) = w(x) fX(x),

dengan syarat w′(x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Pdf f_X˜(x) juga harus terdeﬁnisi dengan baik.

Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah

w(x) = e ρx MX(ρ) = e ρx ∫_∞ 0 eρxfX(x) dx , ρ > 0,

where MX(ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan

bahwa w′(x) > 0 dan ∫ _∞ 0 f_X˜(x) dx = 1

(pdf yang terdeﬁnisi dengan baik) Distribusi dari ˜X f_X˜(x) = eρx_f X(x) MX(ρ) , ρ > 0

disebut “Esscher transform” atau transformasi Esscher dari X dengan

(11)

eter ρ. Fungsi pembangkit momen dari ˜X adalah M_X˜(t) =

MX(ρ + t)

MX(ρ)

Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Ess-cher dari X,

ϱ(X) = E( ˜X) = E(X e

ρX₎

E(eρX₎ ,

dimana dϱ(X)/dρ ≥ 0 sehingga ρ dapat diinterpretasikan sebagai “risk-aversion index”.

Contoh/Latihan:

1. X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan “risk-adjusted premium”

2. Lakukan transformasi Esscher pada distribusi kerugian yang lain.

1.8 Metode Distortion-Function

Definisi:

Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan

g(0) = 0. Misalkan X peubah acak kerugian dengan sf SX(x). Fungsi distorsi

g(.) tidak turun dan SX(.) tidak naik, sehingga g(SX(x)) adalah fungsi tidak

naik dari x atau

dg(SX(x))

dx ≤ 0

Peubah acak ˜X dengan sf g(SX(x)) diinterpretasikan sebagai p.a. “risk-adjusted

loss” dan g(SX(x)) sebagai “risk-adjusted sf”. Diasumsikan g(.) terbuka ke

bawah, sehingga pdf dari ˜X adalah f_X˜(x) =− dg(SX(x)) dx = g ′_(S X(x)) fX(x) dimana dg′(SX(x)) dx ≥ 0

(12)

sehingga g′(SX(x)) fungsi tidak turun.

Misalkan X peubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) dideﬁnisikan

ϱ(X) =

∫ _∞

0

g(SX(x)) dx,

yang merupakan mean dari “risk-adjusted loss” ˜X.

Ukuran risiko distorsi antara lain

• “Pure premium”: g(u) = u • “PH risk-adjusted premium”: g(u) = u1/ρ • VaR g(SX(x)) = 1, 1− δ ≤ SX(x)≤ 1 atau g(SX(x)) = 1, 0≤ x ≤ V aRδ • CTE g(SX(x)) = SX(x) 1− δ , x > xδ = 1, 0≤ x ≤ xδ TEOREMA:

Misalkan g(.) adalah fungsi distorsi terbuka ke bawah. Ukuran risiko dari kerugian X,

ϱ(X) =

∫ _∞

0

g(SX(x)) dx,

memenuhi aksioma T, S, PH dan M. Dengan kata lain, ukuran risiko diatas adalah koheren.

(13)

1.9 Transformasi Wang

Pandang fungsi distorsi

g(u) = Φ

(

Φ−1(u) + ρ )

,

dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko,

ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama “Wang transform” atau

transfor-masi Wang.

Misalkan X adalah peubah acak kerugian dan ˜X peubah acak hasil

transfor-masi Wang dari X. Ukuran risiko hasil transfortransfor-masi adalah

ϱ(X) = E( ˜X) = ∫ _∞ 0 Φ ( Φ−1(SX(x)) + ρ ) dx Latihan:

1. Tentukan nilai g(0) dan g(1)

2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah

3. Tunjukkan bahwa dE( ˜X)/dρ > 0

4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ2_{, tentukan}

distribusi kerugian berdasarkan transformasi Wang dan tentukan pula “risk-adjusted premium”

(14)

BAB 2

Teori Kebangkrutan

Silabus: Fungsi surplus, peluang ultimate ruin, peluang bangkrut sebelum waktu hingga, teori kebangkrutan (waktu diskrit), proses Poisson.

Tujuan:

1. Mempelajari konsep surplus

2. Menghitung peluang ultimate ruin dan peluang bangkrut sebelum waktu hingga

3. Memahami dan memodelkan teori kebangkrutan (waktu diskrit) 4. Memahami proses Poisson dalam klaim dan kebangkrutan

2.1 Pendahuluan

Konsep surplus:

1. Perusahaan asuransi memiliki modal awal atau initial surplus 2. Perusahaan menerima premi dan membayarkan klaim

3. Premi bersifat konstan sedangkan klaim/kerugian bersifat acak dan tidak pasti

4. Net surplus adalah modal awal + premi - klaim

5. Jika net surplus kurang dari atau sama dengan nol = Bangkrut atau

Ruin

(15)

Fungsi surplus

Misalkan perusahaan asuransi memiliki modal u saat waktu t = 0. Modal ini disebut initial surplus. Perusahaan menerima premi setiap waktu (secara reguler). Klaim kerugian sebesar Xi dibayarkan setiap akhir periode i, i =

1, 2, . . .. Asumsikan {Xi} saling bebas dan berdistribusi identik.

Model yang merepresentasikan surplus pada waktu n dengan modal awal u adalah U (n; u) = u + n− n ∑ i=1 Xi, untuk n = 1, 2, . . ..

2.2 Bangkrut dan Peluang Bangkrut

Definisi

Kebangkrutan akan terjadi pada waktu n jika

U (n; u)≤ 0

untuk pertama kali pada waktu n, n≥ 1. Definisi

Peubah acak T (u) yang menyatakan waktu bangkrut atau time of ruin adalah

T (u) = min{n ≥ 1 : U(n; u) ≤ 0}

Definisi

Diberikan suatu initial surplu u, peluang ultimate ruin adalah

ψ(u) = P (T (u) <∞)

Definisi

Diberikan suatu initial surplus u, peluang bangkrut pada waktu t adalah

ψ(t; u) = P (T (u) < t)

(16)

2.3 Teori Kebangkrutan (Waktu Diskrit)

Pandang kasus ψ(0) atau peluang bangkrut saat initial surplus u = 0:

P (bangkrut saatu = 0) = ψ(0)

= P (bangkrut saat u = 0| tidak ada klaim saat t = 1)P (tidak ada klaim saat t = 1) + P (bangkrut saat u = 0| ada 1 klaim saat t = 1)P (ada 1 klaim saat t = 1) + P (bangkrut saat u = 0| ada 2 klaim saat t = 1)P (ada 2 klaim saat t = 1) + · · · = ψ(1) fX(0) + 1· fX(1) + 1· fX(2) +· · ·

= ψ(1) fX(0) + SX(0)

Untuk u = 1,

ψ(1) = ψ(2) fX(0) + ψ(1) fX(1) + SX(1).

Untuk u≥ 1, modelnya adalah

ψ(u) = fX(0) ψ(u + 1) + u ∑ j=1 fX(j) ψ(u + 1− j) + SX(u) atau ψ(u + 1) = 1 fX(0) ( ψ(u)− u ∑ j=1 fX(j) ψ(u + 1− j) − SX(u) ) . Teorema

Untuk fungsi surplus waktu diskrit, peluang ultimate ruin memenuhi ketak-samaan Lundberg:

ψ(u)≤ exp(−r∗u),

dimana r∗ adalah adjustment coeﬃcient, yaitu nilai r > 0 yang memenuhi persamaan E(er(X−1)) = 1.

Diskusi:

Dapatkah anda menunjukkan bahwa log MX(r) = r ?

(17)

Contoh. Misalkan klaim X setiap saat mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter θ. Peluang ultimate ruin saat u = 0,

ψ(0) = ψ(1) fX(0) + SX(0)

= ψ(1) (1− θ) + θ = θ = E(X),

Sedangkan ψ(1) dapat dihitung dengan mudah dari persamaan diatas yaitu

ψ(1) = 0. Dapatkah kita menghitung ψ(2)?

Contoh/Latihan:

1. Tunjukkan bahwa untuk model surplus diskrit, ψ(0) = E(X) 2. Diketahui p.a klaim X memiliki fungsi peluang:

fX(0) = 0.5; fX(1) = fX(2) = 0.2; fX(3) = 0.1

Hitung peluang ψ(u) untuk u≥ 0.

2.4 Kebangkrutan Waktu Hingga

Diberikan initial surplus u = 0. Pada saat t = 1, kebangkrutan akan terjadi dengan peluang

ψ(1; 0) = P (T (0)≥ 1)

= P (X1 = 1) + P (X1 = 2) +· · ·

= SX(0)

dimana X1 menyatakan banyaknya klaim pada waktu t = 1.

Misalkan u = 1. Kebangkrutan pada saat t = 1 terjadi dengan peluang

ψ(1; 1) = P (T (1)≥ 1)

= P (X1 = 2) + P (X1 = 3) +· · ·

= SX(1)

Kita pandang kasus kebangkrutan saat t = 2, diberikan initial surplus u = 0. Kebangkrutan pada saat atau sebelum (at or before time) t = 2 akan terjadi karena

(18)

• Bangkrut saat t = 1

• Rugi sebesar j saat t = 1 untuk j = 0, 1, . . . , u yang kemudian diikuti

oleh kebangkrutan pada saat/periode t− 1 sesudahnya

Kebangkrutan saat t, diberikan initial surplus u:

ψ(t; u) = ψ(1; u) + u ∑ j=0 fX(j) ψ(t− 1; u + 1 − j) Contoh/Latihan:

1. Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang

fX(0) = 0.5; fX(1) = fX(2) = 0.2; fX(3) = 0.1.

Hitung peluang kebangkrutan saat atau sebelum waktu t = 1, 2, diberikan

u = 0, 1.

2. Claim severity setiap periode berdistribusi geometrik dengan parameter 0.6. Hitung peluang bangkrut saat atau sebelum t = 2, diberikan initial

surplus u = 2.

2.5 Fungsi Surplus Waktu Kontinu

Pandang model yang merepresentasikan surplus pada waktu t dengan modal awal u adalah

U (t; u) = u + c t− S(t),

dimana S(t) = X1+ X2+· · ·+XN (t) atau dengan kata lain total kerugian atau

aggregate loss. Jika N (t) = 0 maka S(t) = 0. Kita akan memandang khusus

saat N (t) adalah proses Poisson. Definisi

N (t) adalah suatu proses Poisson dengan parameter λ, yaitu laju terjadinya events setiap unit waktu, jika

(a) N (t2)− N(t1)∼ P OI(λ (t2− t1))

(b) N (t) memenuhi independent increments

(19)

Diskusi:

• S(t) merupakan compound Poisson process

• U(t; u) merupakan compound Poisson surplus process • E(S(1)) = E(N(1))E(X) = λ µX

• c = (1 + θ)E(S(1)), dimana θ > 0 adalah loading factor

Contoh/Latihan:

1. Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang

fX(0) = 0.5; fX(1) = fX(2) = 0.2; fX(3) = 0.1.

Hitung r∗. Hitung ketaksamaan Lundberg untuk u = 0, 1.

2. Dapatkah anda menentukan ketaksamaan Lundberg untuk kasus waktu kontinu?