bab ii telah direvisi teknik2

BAB II

METODE INTEGRASI

Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah:

Substitusi,

1) Integral Fungsi Trigonometri,

2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri, 3) Integral Parsial

4) Integral Fungsi Rasional, dan

5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

1. Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. ,

1 1

c n

x dx x

n

n _

 





asalkan n



-1 atau

b.



( )



'( )



( )



,

1

c n

x f dx x f x f

n n

 





asalkan n



-1

Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika integrannya berbentuk funsi berpangkat yaitu



f(x)



n,n 1 _{atau bentuk lain} yang tidak sejenis dengan tanda integrasinya, misalnya

_

sin(2x)dx_,



tan(2x 1)dx_{atau yang lainnya.}



_f(_x)



n. _{Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian} didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umuma. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:

Tentukan integral fungsi-fungsi berikut: 1.

_

1 x dx

Jawab

Substitusikan u 1 x

 u2 1 x

( 2) (1 )

x d u

d   

 2ududx

Substitusi bentuk terakhir ke

_

1 x dx_{, diperoleh}

_

u₍₂u₎du ₂

_

u2du

Dengan rumus dasar di dapat

_

₁ xdx ₂

_

u2du

u _c       

3 2

3

 (1 x)3 c 3

2

Akhirnya diperoleh

_

 x dx (1 x)3 c 3

2

1

2.

_

₍₁₂x₎3dx

Jawab

Substitusi _{E }

_

_12x

_

₂3





3 2 _{1 2x}

E   

 

_E2 _d



_{1 2x}



3

d   



x



dx EdE 31 2 (2)

2 _{ } 2



2 ) 2 1 (

3 x

EdE dx

Sehingga

_

_

 

 3 ₂

) 2 1 ( 3 )

2 1 (

x EdE E

dx x





4 3 2

3E dE E

dE E



 4

5

3 1

c E

    

 

   

 



9 4 3 1 4

9

c E 

 4

9

4 3



x



_ c

  

  _

 4

9 2 3 2 1 4 3

Akhirnya diperoleh x dx



x



_ c

  

  _  



4

9 2 3

3 _{1 2}

4 3 )

2 1

(

3.

_

₍₃x₁₂₎11dx

Jawab

Substitusi A(3x12)  d(A)d(3x12)  dA3dx

3 dA dx 

Sehingga

_

 

_

3 )

12 3

( _x 11_{dx A}11 dA



_

A11dA 3

1

 A )c 12 ( 3 1 12

 A12 c 36

 x c 36

) 12 3

( 12

Akhirnya diperoleh

_

x dx x c 12

) 12 3 ( )

12 3 (

12

11

4. cos22x dx



Jawab

Substitusikan U 2x dx

dU 2 

2 dU dx 

Sehingga







2 cos 2

cos2 _xdx 2 _A dA



_

_cos2 AdA 2

1



_

 AdA 2

2 cos 1 2 1



_

dA

_

cos2AdA 4

1 4

1

A Ac 8

2 sin 4

 x xc 8

4 sin 4 2

Akhirnya diperoleh

_

xdxx  xc 8

4 sin 2 2

cos2

5.

_

4x2 4x2 4x dx

Jawab

Substitusikan A_ 4x2 _4x

_ A2 _



4x2_4x



_ d(A2)_d



4x2 _4x



 AdA(4x2)dx

Sehingga

_

4x2 4x24x dx 

_

A.AdA



_

A2dA

 A3c 3 1

 3 4x2 4xc 3

1

Akhirnya diperoleh

_



x



x2 x dx 3 4x24c 3

1 4

4 2

4

6.

_

4 3t

tdt

Jawab

Substitusi Misal P 3t4 4

3 2 _{ }  P t

) 4 3 ( ) ( 2

 

 d P d t

dt PdP 3

2 



3 2PdP dt



Sehingga





         

  



 P

dP P P

t

tdt 3

2 3

4

4 3

2



_

(2P  8)dp 9

1 2

 P  Pc 9 8 27

2 3





t



 3t4c 9

8 4 3 27

2 3

Akhirnya diperoleh



t



t t c

t tdt

  

 

 



3 4

9 8 4 3 4 3 27

2 4

7.

_

Akhirnya diperoleh c

Sehingga

_

t t  3/2dt 

_

ts

_

_{t }s

_

₂ ds 2 3

2 . . )

2

(

 _

_

s ds

t

t 2

2 ) 2 ( 3

2

s c t

t

 



 ₂ 3

3 1 ) 2 ( 3

2



t



c t

t

  

 2

9

2 2

) 2 ( 9

2

_ t t _c 9

) 2 (

2 2

5

Akhirnya diperoleh

_

_{t t dt } t t _c 9

) 2 ( 2 )

2

( 2

5 2

/ 3

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1. dx

x x



sin

2.

_

1 2 3 t dt

3.

_

 dx

x x

2 sin

2 cos 1

2

4.

_

 

  

dt t

t

t t t

1 3

1 3

sin ) 1 6 (

2 2

5.

_

 9 2

2 x

xdx

6.



x₍₃x₂₎3/2dx

7.

_

 dx x

x 16 2

8.

_

x dx

3 sin

9.

_

 x

xdx

2

cos 16

10.

_

cos(2x 4)dx

11.

_

xsin(x2 1)dx

12.

_

x2cos(x31)dx

13.

_

_x(x2 _3)12/7_dx 14.

_

  

dx x

x x

1 3 2 2

15.

_

_



 

dx e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

16. dt

e e

t t



 6 3 4

17.

_

 dx

x x

4

4 2

18.

_

4

4

x xdx

19.

_

sinx 1 2cosxdx

20.

_

 x dx xdx

2

2 1

21.

_

x₁3 ₁₂xx2dx

B. Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan antiturunannya. Bentuk dasar integral fungsi trigonometri tersebut adalah:

1)

_

sinxdx cosxc

2)

_

cosxdxsinxc

3)

_

tanx dxlnsecx c  lncosx c

4)

_

cotxdx lncscx c lnsinx c

6)

_

cscx dxlncscx cotx c

Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas, selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas adalah:

a. Bentuk

_

sinmxdx,



_cosmxdx

dengan m bilangan ganjil atau genap

positip

Kasus 1: m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1 _{dan diferensial d(sinx)cosxdxatau}

xdx x

d(cos ) sin _{. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan} antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.

Contoh: 1.

_

_sin3xdx

Jawab

_

_sin3_xdx

_

_sin(31)1_xdx sin2xsinxdx







_

(1 cos2_x)_d( cos_x)



_

1_d( cos_x)

_

cos2_d(cos_x)  x cos3xc

3 1 cos

Sehingga

_

3xdx x cos3xc 3

1 cos sin

2.

_

_cos5 xdx

Jawab

_

_cos5 xdx_

_

_cos(51)1xdx

cos4xcosxdx





_

(1 sin2_x)2_d(sin_x)

_ (1_2sin2_xsin4_x)_d(sin_x)





_

1_d(sin_x) 2

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)  x 3x sin5xc

5 1 sin 3 2

sin

Sehingga

_

5xdx x 3x _sin5xc 5

1 sin 3 2 sin cos

3.

_

sin5(2x)dx

Jawab:

Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan substitusi terlebih dahulu. Substitusikan u 2x dan du2dx atau

2 du dx

Sehingga

_



_

2 sin )

2 (

sin5 _{x dx} 5_udu



_

_sin5udu 2

1



_

sin usinudu 2

1 4



_

(1 cos ) (cos ) 2

1 2_u 2_{d u}



_

(1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

 u 3u _sin5uc 10

1 sin 3 1 cos 2 1

 x x sin 2xc 10

1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Akhirnya diperoleh

_

x dx x x sin 2xc

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2 1 )

2 (

sin5 3 5

Kasus 2 m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

x

Jawab

Akhirnya diperoleh

c

Soal-soal

5)

_

cos43x dx

6)

_

cos41 2xdx

7)

_

sin413xdx

8)

_



  

 

 x dx 5 2 1 cos2

9)

_



  

  

dx x 5

2 3 sin3

10)

_



  

  

dx x 2

4 1 cos2

b. Bentuk

_

_sinmx_cosnxdx

Terdapat dua kasus pada pengintegralan

_

_sinm x_cosnxdx .

Kasus 1 : m atau n ganjil

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih salah satu m atau n. Jika dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1 _{dan sifat diferensial d(sinx)cosxdxdan}

xdx x

d(cos ) sin _{dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara} sebelumnya.

Contoh

1.

_

_sin3x_cos2xdx

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

_

_sin3_xcos2_xdx

_

_sin(31)1_xcos2_xdx 

_

_sin2x_sinx_cos2xdx



_

(1 cos2x)cos2xsinxdx

_ (cos2_x cos4_x)_d(_ cos_x)











 cos2_xd(cos_x) cos4_xd(cos_x)

 3x cos5xc 5

1 cos 3 1

x x c   

 

 

3 1 cos 5 1

cos3 2

Akhirnya diperoleh x xdx x x c

  

 

 



cos ₃1

5 1 cos cos

sin3 2 3 2

2. _sin2x_cos3xdx



Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh

_

sin2xcos3xdx

_

sin2xcos2xcosxdx



_

sin2x(1 sin2x)cosxdx





sin2_x(1 sin2_x)_d(sin_x) 

_

sin2_xd(sin_x)

_

sin4_xd(sin_x)  3x sin5xc

5 1 sin 3 1

Akhirnya diperoleh

_

2x 3xdx 3x sin5xc 5

1 sin 3 1 cos

sin

3.

_

_sin3x_cos3xdx

Jawab

Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilihu salah satu dan diubah menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh





sin3xcos3xdx sin3xcos2xcosxdx



_

sin3_x(1 sin2_x)_d(sin_x) 

_

sin3_xd(sin_x)

_

sin5_xd(sin_x)  4x sin6xc

6 1 sin 4 1

Atau



_

(1 cos2_x)cos3_xd( cos_x) 

_

(cos3_x cos5_x)_d(cos_x)  4x _cos6xC

6 1 cos 4 1

Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.

Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut

2 2 cos 1

sin2_{x }  x dan

2 2 cos 1

cos2 _x  x

. Selanjutnya substitusikan kesaman pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.

1.

_

_cos2x_sin2 xdx

Jawab

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

_

_



  

      

  

 x x dx

xdx x

2 2 cos 1 2

2 cos 1 sin

cos2 2



_

(1 cos 2x)dx 4

1 2

_

   



 



 x dx

2 4 cos 1 1 4 1

_

   

 



 x dx

2 4 cos 2 1 4 1

x xc   

 

 

8 4 cos 2 4 1

x  x c 32

4 cos 8

Akhirnya diperoleh

_

x xdxx  xc 32

4 cos 8 sin

cos2 2

2.

_

_sin4 x_cos4 xdx

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin2x ₌

Bentuk integral fungsi trigonometri nxdx dan nxdx





tan , cot _{dibedakan dalam}

dua kasus.

Kasus 1: n bilangan ganjil

Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan _1tan2x_sec2x

atau _1cot2x_csc2x _{dan gunakan sifat diferensial d(tanx)sec}2_xdxatau

xdx x

d 2

csc )

(cot 

Contoh

Tentukan integral berikut ini 1.

_

_tan3 xdx

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas _1tan2x_sec2x_{dand(tanx) sec}2_xdx



Sehingga diperoleh





tan3xdx tan2xtanxdx

(sec2x 1)tanxdx









_

sec2xtanxdx

_

tanxdx



_

tanxsec2xdx lnsecx c



_

tanxdtanx lnsecxc

 tan x lnsecx c 2

1 2

2.

_

_cot3 xdx

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas _1cot2x_csc2x_{dand( cotx) csc}2_xdx

 

Sehingga diperoleh

_

cot3xdx

_

cot2xcotdx

(csc2x 1)cot dx









_

cotxcsc2xdx ln cscx c



_

cotxd cotxlncscx c

 cot xlncscx c 2

1 2

Kasus 2: n bilangan genap

Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas _1tan2x_sec2 x _dan x

x 2

2 _csc cot

1  . Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial

xdx x

d_{(tan )sec}2 _{atau d(cotx) csc}2_xdx

Perhatikan contoh berikut: 1.

_

_cot4 xdx

Jawab









_cot4 xdx _cot2 x 2dx



_

_(csc2 x ₁₎2dx

(csc4 x 2csc2 x 1)dx



 



=

_

(csc2x)csc2x 2csc2x1)dx

=

_

(1cot2_x)csc2_x 2csc2_x1_dx`

=

_

(1cot2x)d( cotx) 2

_

d( cotx)

_

dx

=  x  cot x2cotxxC 3

1 ) cot

( 3

=  cot xcotxxC 3

1 3

d.

_

_tanm x_secnxdx

, dan

_

_cotmx_cscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan2x_sec2x _atau

x

x 2

2 _csc cot

1 

Contoh

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x_sec2x_{, sehingga diperoleh}

_

_tan5x_sec4 xdx

=

_

_tan5 x_sec2 x_sec2 xdx

=

_

tan5x(1tan2x)sec2xdx

= (tan5_x tan7_x)_d(tan_x)





= 6 x tan8xC 8

1 tan 6 1

2.

_

_cot4x_csc4xdx

Jawab

_

_cot4x_csc4 xdx

=

_

cot4x(csc2x)(csc2x)dx

= cot4_x(cot2_ 1)_d(_ cot_x)



= (cot6_x cot4_x)_d(_ cot_x)



=  7x _cot5xC 5

1 cot 7 1

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan2x_sec2x _{atau 1 + cot}2_{x= csc}2_x. Contoh:

1.

_

_tan3 x_sec3 xdx

=

_

tan2 xtanxsec2 xsecxdx

=

_

tan2 _xsec2_d(sec_x)

= (sec2_x 1)sec2_xd(sec_x)





= (sec4_x sec2_x)_d(sec_x)

 

= 5x sec3xC 3

1 sec 5 1

2.

_

_tan3_xsec1/2 _xdx

= tan2xtanxsec32secx dx



= (sec2 _x 1)sec32 _xd(sec_x)



=

_

(sec1/2 _x sec32 _x) _d(sec_x) = _sec3/2x _2sec1/2x

3

e.

_

sinmxcosnxdx_,

_

sinmxsinnxdx,

_

cosmxcosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ]

2 1

x n m x

n

m  

sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ]

2 1

x n m x

n

m  



cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ]

2 1

x n m x

n

m  

Contoh

1.

_

sin _{3x cos 4x dx =}

_

[sin(34) sin(3 4) ] 2

1

x

x dx

=

_

sin7x 2

1

+ sin (-x) dx = cos7x

14 1

 _- cos

2 1

x + C

2.

_

sin3xsin2x_{dx =}

_

 [cos(32)  cos(3 2) ] 2

1

x

x _dx

= 

_



cos5x cosx



dx 2

1

= sin 10

1

 _{5x +} sin

2 1

x + c 3.

_

cos _{y cos 4y dy =}

_

[cos(14)y

2 1

+cos(1-4)y] dy =

_

[cos5 cos(3 )]

2 1

y

x _dy

= y sin3yC 6

1 5 sin 10

1

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

dx x x





          

5 cos 5

sin3 3

dx x xcos 3 3

sin2 3

1





(sin32t) cos2tdt



_tan6 xdx dx x) 3 ( cot4



dx x x



4

csc cot



tan2xsec22xdx



_(tanx_cotx₎2dx



sin3xsinxdx



csc4 4ydy



_tan4_qsec2_qdq



cos2xsin3xdx





    

dx x 3 cot4

zdz

z 3

2 1

cos sin





_tan5_xsec3/2_xdx



cosxcos3xdx

dx x x





          

2 5 sin 2 sin

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri

digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. _a2_{ x}2 , a



Real b. _x2 _a2

c. _x2_{ a}2 , a



Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya 2

2 2 _{b x}

a  = 2

2

x b a

      

x b a2 2

 = 2

2

x b a

      

2 2 2_{x b}

a  =

2 2

      

a b

x atau ax2bxc yang dapat diubah menjadi bentuk

kuadrat sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat _a2 _{ x}2 atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =

a x

dengan -2 

2   t .

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a sin t maka _a2_{ x}2 = _a2_{ (asint)}2

= _a2(1 sin2_t)



= a cos t dx = a cos t dt.

Selanjutnya bentuk a2 _ x2 _ccostdan dx_acostdtsubstitusikan ke

dalam integral semula. Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:



_{4 x}2 dx Jawab

t

x

a

2 2 _x

Misal x = 2 sin t  sin t = 2 x

dx = 2 cos t dt

_{4 x}2 = _{4 4sin}2_{t 2cost} Sehingga

_

₄ x2 dx



2cost.2costdt

= 4

_

costcostdt

= 4

_

_cos2tdt

= 4

_

 t dt

2 ) 2 cos 1 (

= 2

_

dt _{+ 2}

_

cos2t _dt

= 2t2sintcostc

= _   

   _             

2 4 2 2 2 arcsin

2 x x x2 ₊

c

Atau 4

_

_cos2tdt

= 4 ( 2

cos sint t

+ tC 2 1

) = 2 sint cost + 2t + C = 2 

    

2 x

2 4 _x2

 _{+ 2 arc sin }     

2 x

+ C

= x x xC      



2 arcsin 2 2

4 2

2.



 2 4x x

dx

Jawab



 2 4x x

dx

=



  _{( 2)}2

4 x

dx

Misal (x-2) = 2 sin t, sin t = 2

2  x

dx = 2 cos t dt

4_ (x_ 2)2 _2cost_{, sehingga}

t

x

2

2 4 x

2  x

2 4x x

2



  ( 2)2

4 x

dx

=

_

t tdt cos 2

cos 2

=

_

dt

= t + C

= arc sin       

2 2 x

+ C

3.



 6 2 16 x x

dx

Jawab



 6 2 16 x x

dx

=



  _{( 3)}2

25 x dx

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt

_{25 (x 3)}2 _{= 5 cos t, sehingga}



 6 2 16 x x

dx

=

_

t tdt cos 5

cos 5

=

_

dt

= t + C = arc sin

5 3  x

+ C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca













 _{ }

 2 2 2

3

2 1 1

1 x x

dx

x dx



 dx

x x2 25



_x2 _{9 x}2

dx 



_x2 _{3 x}2 dx Jawab

5

2 6 16 x x 3

 x

Substitusi x = 3sin A`

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk _a2_x2 atau bentuk lain yang dapat diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a tan t maka _a2_x2 = _a2 _(atant)2

= _a2(1 tan2_t)



= a sec t

Selanjutnya bentuk a2_ x2 _ccostdan dx = a sec2_t .substitusikan ke

dalam integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini. 1.



 2 9 x

dx

Jawab

Misal x = 3 tan t

dx = 3 sec2t _dt

9x2  3 sec t, sehingga



 2 9 x

dx

=

_

t dt sec 3 sec

3 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln 9₃x2 ₃x _{+ C}

= ln ₉x2 x C

2.

_

 

 5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

Jawab

2 9x

x

3 t

t

x

2 2 _a

x 

_

 

 5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

= dx

x x x

x x

) 5 4 1 5

4 2 (

2 2



  

 

=





  



2) 1 ( 2) 1 (

2

2

2 _x

dx x

xdx

Misal (x+2) = tan t x = (tan t) - 2 dx = sec2 _{t dan}

( 2)2 1

 

x = sec t, sehingga





  



2) 1 ( 2) 1 (

2

2

2 _x

dx x

xdx

=

_

 

_

t tdt t

tdt t

sec sec sec

sec ). 2 (tan

2 2 2

= 2

_

tantsectdt 4

_

sectdt _-

_

sect _dt

= 2 sec t – 5 ln secttant C

= 2 x24x5 5ln x24x5(x2)C

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan







_{ 2} 2 9 x

dx

dx x



₃ 2



 dx

x x2 1



_x2 _{ 4x13} dx



_x23_2x5 xdx

dt t

t



4 2

2  x

5 4 2

  x x

1

Bentuk integral yang integrannya memuat _x2_{ a}2 atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,

-2 

2   t .

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena x = a tan t maka _x2_{ a}2 = _(asect)2 _{ a}2

= _a2(sec2_t 1) = atant

Selanjutnya bentuk _x2 _a2

 = atan dan dx = at secttant dtsubstitusikan

ke dalam integral semula.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

_

dx

x x2 9



Jawab

Misal x = 3 sec t dx = 3 sec t tan t dt _x2 _ 9 = 3 tan t, sehingga



dx

x x2 9

 ₌



t tdt

t t

tan sec 3 sec 3

tan 3

= 3

_

_tan2tdt

3

x

9

2 _

x

t t

2 2 _a

x 

x

= 3

_

(sec2t 1)dt

= 3 tan t – 3 t + C

= 3 x   arc xC 3 sec 3 3

9 2

2.



  2 8 2

x x

dx

Jawab



  2 8

2 _x

x dx

=



  1) 9 (_x 2

dx

Misal (x-1) = 3 sec t, gg dx = 3 sec t tgn t dt (_x 1)2 _ 9 _{= 3 tgn t, sehingga}



  1) 9 (_x 2

dx

=

_

t tdt tan 3

tan sec 3

=

_

sectdt

= ln secttant C

= ln x  x  x C

3 8 2 3

1 2

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.



x2 1dx



2 _{ 25} 2 x

dx x

dt t t



3 2 ₄



_6516xx2 dx



 6 2 x x

dx



 1 2 2

t t

dt

8 2 2

  x x

1  x

t

2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh



d(uv)



udv



vdu



_

udv

_

d(uv)

_

vdu



_

udvuv

_

vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

_

udv _tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini 1.

_

xcosxdx

Jawab

Bentuk

_

xcosxdx _{diubah menjadi}

_

udv

Misal

u



x

dan dvcosxdx= x sehingga du 1dxdan v

_

cosxdxsinx

Akibatnya

_

xcosxdx

_

xd(sinx) Dengan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}



x

(sin

x

)



cos

x



c

Akhirnya diperoleh 

_

xcosxdxxsinxcosxc

2.

_

x 1x _dx

Bentuk

_

x 1xdx _{diubah menjadi}

_

udv

Misal

u



x

dan dv  1x sehingga

du 1dxdan









2





3

3 2

1

1 2 1 1

2 1 1

1 xdx x dx x x

v

_

 

_

    

Sehingga

_

x 1x _{dx =}

_

1 ) 3

2

( 3 _x

xd

Berdasarkan rumus integral parsial

_

udvuv

_

vdu_{, diperoleh}

_

x 1x _{dx =}

_

1 ) 3

2

( 3 _x

xd

= 3 _{1 1} 3

2  x

-

_

1 ( )

3

23 _{xd x}

= 3 _{1 1} 3

2  x

-

_

3 ₁xdx 3

2

= 3 _{1 1} 3

2  x

- 1x)C 5

2 ( 3 2 ₅

= 3 _{1 1} 3

2  x

- ( 1x)C 15

4 ₅

3.

_

sinx _ex_dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

sinx _ex_{dx =}

_

_{sin x d(e}x₎

= exsinx

_

exd(sinx) = ex_sinx

_

ex_cosxdx

Diperoleh bentuk

_

ex_cosxdx

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx dv = exdx_{, v =}



exdx

= _ex_{, sehingga:}

_

cosx _ex _{dx =}

_

_{cos x d(} x₎

e

= excosx

_

exd(cosx) = ex_cosx

_

ex₍ _sinx₎dx

= excosx

_

exsinx)dx, Akhirnya diperoleh



sinx _ex _{dx = e}x_sinx

_

_ex_cosxdx

= ex_sinx _ex_cosx

_

_ex_sinx)dx,



sinx _ex _{dx =}

2 1

 x ex_sin

2 1

C x ex_{cos }

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

dx x x



_sec2

dx x x



sec tan

dx x



_sin3

dx x x tan



dx x arctan



dx x xln





_x3 _2x₇

dx

dx x arccos2





_x2

e2x_dx



₁xdx_2x dx



cos3xsin3x_dx



ex ₁xdx



(x 2)cos(x 2)_dx

dx xex



2



(2x 1)e 13xdx



_sec3 x

dx



_x3 ₂

4 x dx



ln3x _dx



x2sinx

dx



x2 1 x

dx

dx x x



2_sec2

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =

) (

) (

x g

x f

, dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)



0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = ao + a1x + a2 x2 + a3x3+ … + an xn , n = 1, 2, 3, … , sehingga

fungsi rasional adalah fungsi berbentuk _gf₍(_xx₎) yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh f(x) =

2 3 1

2 _{ }



x x

x

……….fungsi rasional sejati

f(x) =

4 4

4

2 2

 



x x

x

……….fungsi rasional tidak sejati)

f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

...fungsi rasional tidak sejati)

tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) =

x x

x x x

5 1 2

3 3 5

   

= x2_3 ₊

x x

x

5 ) 1 14 (

3

 

F(x) = _gf₍(_xx₎) , g(x)



0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = _gf₍(_xx₎) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a) fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2 _{+bx + c)}

fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2_bxc)(_{px2 + qx + c)}

fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2_bxc) _{n dan seterusnya.}

Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal :



) (

) (

x g

x

f _...

) (

)

( _{2 2}

2 1

1

1 _

 

 ax b

A b

ax A

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

... ) ( ) ( ) ( ) (

) (

3 3 2

2

1 _

     

b ax

A b

ax A b

ax A x

g x f

...

(kombinasi kuadrat berbeda)

...

(kombinasi linear dan kuadrat)

Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2 , …An dan B1, B2, …Bn .

Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Contoh : (Faktor linear berbeda) 1. Tentukan

_

 dx

x 1

2

2

2.

_

integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

_

_

Sehingga dx

x

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:



_x2 _{ 9}

dx



_x2_7x6



_ _ dx

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang) 1.

_

Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

_

Sehingga diperoleh

= ln C

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

_

= dx

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4,

Hasil akhir pengintegralan



Soal-soal Tentukan



_ dx

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

r

, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh 1.

_

= dx

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat

Maka diperoleh

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( )

) (

) (

x f x g x g

x f

 _{dan g(x) mememuat fungsi}

trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

F(x) =

x x cos

sin 1

F(x) =

x x sin

cos sin 2

1 

F(x) =

x x cos

2 sin

5 

F(x) =

x sin 2 3

1 

F(x) =

x x cos sin

1

2  

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:



_1sindx_{x cosx}



_2dx_cosx



_1sindx_xcosx



12sin_sin_xcosx dx



_{3 2}1_sinx dx

x = 2 arc tan z sehingga dx = dz z2

1 2

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tan z maka:

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan 

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_xcos2_x1

Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos2x _sin2 _x

= 2 2 _{2 2}

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = ₂

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!