ANALISIS PENAMPANG KOLOM

ANALISIS PENAMPANG KOLOM

ε

cu ’

=0

.0

03

ε

s

ε

s’

d

s

≥

ε

y

c

s

≥

ε

y

0,85 f

c’

h

b

+ Pusat plastis e

Pn

+

a=β

1.

c

T

S

C

s

Cc

Z

₁

Z

₂ e Pn = Pu/ф Mn = Pn . e

Seperti halnya pada balok, analisis kolom berdasarkan prinsip-prinsip sebagai berikut : 1. Kekuatan unsur harus didasarkan pada

prinsip-prinsip keseimbangan dan kompatibilitas regangan.

2. Regangan dalam baja dan beton berbanding lurus dengan jarak terhadap garis netral.

3. Regangan maksimum pada serat tekan terluar = 0,003

∑ V = 0

Pn + Ts – Cc – Cs = 0

Pn = Cc + Cs – Ts

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

Pn.e – Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a/2) = 0

Mn = Pn . e

Mn = Cs . k + Ts . k + Cc (h/2 - a/2)

NB

: Mahasiswa diminta unutk menentukan

persamaan keseimbangan momen

terhadap bagian penampang yang lain (serat tekan terluar, garis netral, dsb.)

∑ M = 0

( terhadap baja tarik/Ts

)

Pn (e+k) – Cs.2k – Cc (d – a/2) = 0

Pu Z1 = (d - a/2) Z2 = (d - d’) k k d

’

d

’

Regangan pada baja dan beton berbanding lurus dengan jarak terhadap garis netral :

003

,

0

'

'

003

,

0

:

tekan

baja

pada

Regangan

003

,

0

003

,

0

:

tarik

baja

pada

Regangan

' '

c

d

c

c

d

c

c

c

d

c

c

d

s s s s

























Gaya-gaya dalam : Cc = 0.85 fc’ a. b Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) Ts = As . fs

ε

s

< ε

y

maka fs = εs . Es

ε

s

≥ ε

y

maka fs = fy

ε

s

’ < ε

y

maka fs’ = εs . Es

ε

s

’ ≥ ε

y

maka fs’ = fy

ε

s

=

regangan pada baja tarik

ε

s

’ =

regangan pada baja tekan

ε

y

=

regangan leleh baja Es = modulus elastisitas baja fs = tegangan pada baja tarik fs’ = tegangan pada baja tekan

s



=

s s E f

;



y

=

s y

E

f

ε

c

= 0,003

ε

s

’

ε

s

c

d-c

d ’

grs netral

Berdasarkan kondisi regangan baja dan beton terdapat 3 kemungkinan yaitu : a. Kondisi bertulangan seimbang yaitu reganan pada serat tekan terluar = 0.003,

regangan baja tarik tepat mencapai regangan leleh ( εy ). b. Kondisi tarik

c. Kondisi tekan

a. b. c.

Bila nilai c dibuat sebagai variable, akan didapat banyak sekali pasangan Pn dg Mn, baik kondisi tarik maupun kondisi tekan. Bila pasangan tersebut dihubungkan satu dengan yang lain akan terbentuk diagram yang disebut dengan :

Diagram Interaksi Kolom.

Lihat Contoh soal.

Gambar Diagram Interaksi Kolom

ε

c = 0,003

ε

s

= ε

y

= f

y

/ E

s

c

b d

- c

b εc = 0,003

ε

s

> ε

y

c < c

b

d-c

εc = 0,003

ε

s

< ε

y

c>c

b

d-c

kondisi tekan ( c) kondisi tarik (b) Momen murni kondisi (a) bertulangan seimbang [balance] Tekan konsentris Mn Pn

Kondisi Bertulangan Seimbang [ BALANCE ]

ε

cu’

=

0.0 03

ε

s

₌

ε

y _s’

ε

d

s

≥

ε

y

c

b

≥

ε

y

0,8

5 fc’

h

b

+ Pusat plastis eb

P

nb +

a

b

=β

1.

c

T

S

C

s

C

c

Z

₁

Z

₂ eb Pnb= Pub/ф Mnb = Pnb . eb y s y s

f

E









d

fy

600

600

d

0,003

0,003

003

,

0

003

,

0

y























b b b y b b s

c

c

c

d

c

c

d

Kontrol regangan baja tekan :

003

,

0

'

'

003

,

0

' '

c

d

c

c

d

c

s s













Bila :

ε

s

< ε

y

maka f

s

= ε

s

. Es

ε

s

≥ ε

y

maka f

s

= f

y P_ub k k d

’

d

’

Es Es x

Es = 200.000 MPa

Gaya-gaya dalam :

Cc = 0.85 fc’ a_b. b Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) Ts = As . fs

∑ V = 0

P

nb

+ Ts – Cc – Cs = 0

P

nb

= Cc + Cs – Ts

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

M

nb

– Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a

b

/2) = 0

M

nb

= Cs . k + Ts . k + Cc (h/2 – a

b

/2)

M

nb

= P

nb

. e

b atau eb = nb nb P M

ε

s

< ε

y

maka f

s

= ε

s

. Es

ε

s

≥ ε

y

maka f

s

= f

y

ε

s

’ < ε

y

maka f

s

’ = ε

s

. Es

ε

s

’ ≥ ε

y

maka f

s

’ = f

y

KONDISI MOMEN MURNI [ Pn = 0 ]

ε

cu’

=

0.0 03

ε

s

_>

ε

y _s’

ε

d

s

≥

ε

y

c

≥

ε

y

0,8 5 f c’ h

b

+ Pusat plastis

e

= 0

P

n=0 +

a=β

1.

c

T

S

C

s

C

c

Z

1

Z

2

Secara umum persamaan keseimbangan serupa dengan balok terlentur.

Gaya-gaya dalam : Cc = 0,85 fc’ a b Cs = As’ ( fs’ -0,85 fc’) Ts = As.fy ∑ V = 0 Pn + Ts – Cc – Cs = 0 0 + Ts – Cc – Cs = 0 Ts = Cc + Cs

∑ M = 0

( terhadap Ts

)

Mn = Cc . Z

1

+ Cs Z

2 k k d

’

d

’

Mn

Pn = 0

Momen murni Mn Pn Z1 = (d - a/2) Z2 = (d - d’)

KONDISI TEKAN KONSENTRIS [ Mn = 0 ]

Beban aksial maksimum yang boleh bekerja pada kolom ditentukan sbb : Pn mak = 0,80 Po untuk kolom dengan pengikat sengkang Pn mak = 0,85 Po untuk kolom dengan pengikat spiral

h

b

+

Pusat plastis

P

n

Kondisi tekan konsentris adalah kondisi dimana beban aksial tepat bekerja pada pusat plastis (e=0), sehingga Mn=0

Seluruh penampang beton dalam keadaan tekan, sehinggga tulangan pun dalam keadaan tekan. Panjang blok tegangan ( a ) sama dengan panjang penampang kolom ( h)

∑ V = 0

Pn – Cs1 – Cc – Cs2 = 0 Pn = Cs1 + Cs2 + Cc

= As1.fy + As2.fy + 0,85.fc’.a.b– 0.85.fc’.Ast = Ast . fy + 0,85.fc’.Ag – 0.85.fc’.Ast

= 0,85.fc’ (Ag-Ast) + Ast . fy

Beban Pn kondisi tekan konsentris disebut dg Po Po = 0,85 fc’ (Ag - Ast) + Ast . fy x Ag/Ag

= 0,85.fc’. Ag ( 1 – ρg ) + Ag . ρg . fy = Ag [ 0,85.fc’ (1 – ρg ) + ρg . fy ]

k k d

’

d

’

Pn e = 0 Mn = 0

C

s2

C

c

a=h

0,8 5 f c’

C

s1 Tekan Konsentris murni Mn Pn Pn=Po

As

1

_As

2 Ast = As1+As2 Pn_mak

CONTOH SOAL :

Buat Diagram Interaksi kolom berikut : As=As’ = 3 Ø 25 = 1471,875 mm2 fc’ = 20 MPa

fy = 240 MPa

Ast = As + As’ = 2943,750 mm2 Ag = 350 x 350 = 122500 mm2

1. KONDISI TEKAN KONSENTRIS

Po = 0,85 . fc’ [ Ag – Ast ] + Ast . fy = 0,85 . 20 [ 122500 – 2943,750 ] + 2943,75 . 240 = 2738956,25 N Pn mak = 0,80 Po = 2191165 N 350 mm 350 mm d’= 60 mm

2. Kondisi Bertulangan Seimbang [ BALANCE ]

fs’ = fy = 240 MPa

Gaya-gaya dalam :

Cc = 0.85 fc’ ab. b = 0,85. 20 . ( 0,85 . 207,143 ) . 350 = 1047625 N Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) = 1471,875 ( 240 – 0,85 . 20 ) = 328228,125 N Ts = As . fy = 1471,875 . 240 = 353250 N

ε

cu’

=

0.0 03

ε

s

₌

ε

y _s’

ε

d=290 mm

c

b

≥

ε

y

0,8 5 f c’ + ab=β1.cb

T

S

C

s

C

c

Z

1

Z

2 d fy 600 600 d 0,003 0,003 003 , 0 003 , 0 y        







b b b y b b s c c c d c c d =

290

240

600

600



= 207,143 mm ab = 176,041 mm

Kontrol regangan baja tekan :

0012

,

0

0,00213

003

,

0

143

,

207

60

-207,143

003

,

0

'

'

003

,

0

y ' '























c

d

c

c

d

c

s s Bila :

ε

s

< ε

y

maka f

s

= ε

s

. Es

ε

s

≥ ε

y

maka f

s

= f

y Es Es x

Es = 200.000 MPa

0,0012

Es

fy





y



e

b

≥

ε

y

Pn

b

∑ V = 0

P

nb

+ Ts – Cc – Cs = 0

P

nb

=

Cc + Cs – Ts

= 1047625 + 328228,125 – 353250 = 1022603,125 N

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

M

nb

– Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a

b

/2) = 0

M

nb

= 328228,125 . 115 + 353250 . 115 + 1047625 (350/2 – 176,071/2) = 169475944

,196 N mm

eb = nb nb

P

M

= 165,73 mm

DIAGRAM INTERAKSI KOLOM

Mnb = 169475944 Nmm 91860779.968 Nmm Pn Po = 2738956,25 N Pn mak = 2191165 N Pn b =1022603,125 N Mn

3. KONDISI MOMEN MURNI [ Pn = 0 ]

∑ V = 0 Cc + Cs - Ts = 0 0,85.fc’.a.b +As’ (fs’ – 0,85 fc’) – As . fy = 0 0,85.fc’.β1.c.b + As’ [

ε

s’ . Es – 0,85 fc’ ] - As . fy = 0 0,85.fc’.β1.c.b + As’ [( 0,003 c d c  ) Es – 0,85 fc’ ] - As . fy = 0 0,85 . fc’ . β1 . c2_{. b + As’ [} 003 , 0 ) (cd . Es – 0,85 fc’. c ] - As . fy . c = 0

0,85.fc’.β1.c2 _{. b + 0,003 . Es . As’ . c – 0,003 . Es . d’.As’ – 0,85.fc’.As’ – As . fy . c =0} 0,85.fc’.β1.b. c2 _{+ [0,003.Es.As’ – 0,85 .fc’ . As’ – As . fy] c - 0,003 . Es . d’ . As’ = 0} Selesaikan dengan Rumus ABC untuk persamaan Ac2 _{+ Bc + C = 0}

Dimana : A =0,85 . fc’ . β1 . b = 5057,5 B= 0,003.Es.As’ – 0,85 .fc’ . As’ – As . fy = 5048583,125 C= - 0,003 . Es . d’ . As’ = - 52987500

ε

cu’

=

0.0 03

ε

s

_>

ε

y _s’

ε

d

s

≥

ε

y

c

≥

ε

y

0,8 5 f c’

a=β

1.

c

T

S

C

s

C

c

Z

1

Z

2 Gaya-gaya dalam : Cc = 0,85 fc’ a b Cs = As’ ( fs’ - 0,85 fc’) Ts = As.fy ∑ V = 0 Pn + Ts – Cc – Cs = 0 0 + Ts – Cc – Cs = 0 Ts - Cc – Cs = 0

∑ M = 0

( terhadap Ts

)

Mn = Cc . Z

1

+ Cs Z

2

Asumsi baja tekan belum leleh :

Es

'.

fs'

003

,

0

'

'

003

,

0

s ' '

















c

d

c

c

d

c

s s Z1 = (d - a/2) Z2 = (d - d’)

Penyelesaian akar persamaan kwadrat tsb. didapat nilai c = 63,966 mm ;

a = 0,85 . 63,966 = 54,371 mm Kontrol regangan baja tekan :

003 , 0 ' ' c d c s  



=

0

,

003

966

,

63

60

966

,

63



= 0,000186 < εy = 0,0012 (

baja tekan belum leleh

)

fs’

= εs’ .

Es = 0,000186 . 200000 = 37,2 MPa Gaya-gaya dalam : Cc = 0,85 fc’ a b = 0,85 . 20 . 54,371 . 350 = 323507,45 N Cs = As’ ( fs’ - 0,85 fc’) = 1471,875 [ 37,2 – 0,85 . 20 ] = 29731,875 N Ts = As.fy = 1471,875 . 240 = 353250 N ∑ V = 0 Ts - Cc – Cs = 0 353250 – 323507,45 – 29731,875 ≈ 0

∑ M = 0

( terhadap Ts

)

Mn = Cc . Z1 + Cs Z2 =

323507,45 ( 290 – 54,371/2 ) + 29731,875 ( 290 – 60 ) = 91860779.968 Nmm

Tentukan Pn, Mn, e untuk garis netral c =

2 1

_c

b

dan c =

2 1

_h

Gaya-gaya dalam :

Cc = 0.85 fc’ a. b = 0,85. 20 . ( 0,85 . 103,572 ) . 350 = 523815,39 N Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) = 1471,875 ( 240 – 0,85 . 20 ) = 328228,125 N Ts = As . fy = 1471,875 . 240 = 353250 N

ε

cu’

=

0.0 03

ε

s

₌

ε

y _s’

ε

d=290 mm

c

≥

ε

y

0,8 5 f c’ + a=β1.

c

T

S

C

s

C

c

Z

1

Z

2

* Menentukan Pn, Mn, e untuk c =

2

1

_c

b

c

b = 207,143 mm

c

= 2 1

_c

b = 103,572 mm

a

= 88,036 mm

Kontrol regangan baja tekan :

0012

,

0

0,00126

003

,

0

572

,

103

60

-103,572

003

,

0

'

'

003

,

0

y ' '























c

d

c

c

d

c

s s

(baja tekan leleh)

fs’

= fy = 240 MPa

e

≥

ε

y

∑ V = 0

P

n

+ Ts – Cc – Cs = 0

P

n

=

Cc + Cs – Ts

= 523815,39 + 328228,125 – 353250 = 498793,515 N

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

Pn . e – Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a/2) = 0 Mn = Pn . e

Mn

= 328228,125 . 115 + 353250 . 115 + 523815,39 (350/2 – 88,036 /2) = 170037677,625

N mm

e

b = nb nb P M = 340,898 mm

Menentukan Pn, Mn, e untuk garis netral c =

2 1

h = 175 mm

c

= 175 mm

a

= 148,75 mm

Kontrol regangan baja tekan :

0012

,

0

0,00197

003

,

0

175

60

-175

003

,

0

'

'

003

,

0

y ' '























c

d

c

c

d

c

s s

( Baja tekan leleh )

Gaya-gaya dalam :

Cc = 0.85 fc’ a. b = 0,85. 20 . 148,75 . 350 = 885062,5 N Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) = 1471,875 ( 240 – 0,85 . 20 ) = 328228,125 N Ts = As . fy = 1471,875 . 240 = 353250 N

∑ V = 0

P

n

+ Ts – Cc – Cs = 0

P

n

=

Cc + Cs – Ts

= 885062,5 + 328228,125 – 353250 = 860040,625 N

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

Pn . e – Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a/2) = 0 Mn = Pn . e

Mn

= 328228,125 . 115 + 353250 . 115 + 880040,625 (350/2 – 148,75/2) = 167429398,438

N mm

e

b = nb nb

P

M

= 194,676 mm

Tentukan Pn, Mn, e bila garis netral c = 275 mm

c

= 275 mm

a

= 233,75 mm

Kontrol regangan baja tekan :

0012

,

0

0,00234

003

,

0

275

60

-275

003

,

0

'

'

003

,

0

y ' '























c

d

c

c

d

c

s s

( Baja tekan leleh )

fs’

= fy = 240 MPa

Kontrol regangan baja tarik :

0012

,

0

0,001636

003

,

0

275

275

-290

003

,

0

003

,

0

y '























c

c

d

c

c

d

s s

( Baja tarik sudah leleh, sehingga fs = fy = 240 MPa )

Gaya-gaya dalam :

Cc = 0.85 fc’ a. b = 0,85. 20 . 233,75 . 350 = 1390812,5 N Cs’ = As’ ( fs' – 0.85 fc’ ) = 1471,875 ( 240 – 0,85 . 20 ) = 328228,125 N

Ts = As . fy = 1471,875 . 240 = 353250 N

∑ V = 0

P

n

+ Ts – Cc – Cs = 0

P

n

=

Cc + Cs – Ts

= 1390812,5 + 328228,125 – 353250 = 1365790,625 N

∑ M = 0

( terhadap pusat plastis

)

Pn . e – Cs . k – Ts . k – Cc (h/2- a/2) = 0 Mn = Pn . e

Mn

= 328228,125 . 115 + 353250 . 115 + 1390812,5 (350/2 – 233,75/2) = 159210690,938

N mm

e

b = nb nb

P

M

= 116,570 mm KESIMPULAN :

Dengan berbagai variasi nilai c, didapat ribuan kombinasi Pn dengan Mn.