Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi dengan tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak.
Definisi 15 (Ruang contoh dan kejadian)
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Himpunan bagian dari ruang contoh disebut kejadian.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi 16(Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (∅).
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi 17 (Medan- )
Medan-σ adalah himpunan Φ yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:
a. ∅ Φ.
b. Jika Φ maka Φ.
c. Jika , , … ∈ Φ maka ∈ Φ.
Medan-σ terkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, , r ∈ Ρ, disebut medan Borel, dan anggotanya disebut himpunan Borel.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi 18 (Ukuran peluang)
Ukuran peluang P pada ruang ukuran(Ω, Φ) adalah fungsi P : Φ → [0,1] yang memenuhi :
b. Jika , , … adalah himpunan anggota-anggota Φ yang saling lepas, yaitu ∪ ∅ , untuk setiap i, j dengan i ≠ j maka :
P P .
(Grimmett and Stirzaker 2001) Tripel (Ω, Φ, P) disebut dengan ruang peluang.
Definisi 19 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
P P P .
Secara umum, himpunan kejadian ; dikatakan saling bebas jika:
P P .
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 20 (Peubah acak)
Peubah acak adalah suatu fungsi X: Ω Ρ dengan sifat bahwa {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ Φ untuk setiap x ∈ Ρ.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi 21 ( Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah F: Ρ → [0, 1], yang didefinisikan
oleh F P .
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Peubah acak X disebut diskret jika himpunan semua kemungkinan nilai {x1, x2,…}
dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi 23 (Fungsi massa peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi : Ρ → 0,1 , yang diberikan oleh:
P .
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Definisi 24 (Peubah acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ 0, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh
λ
! , untuk 0,1,2, … .
(Ghahramani 2005)
Kekonvergenan
Definisi 25 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)
Barisan { } disebut mempunyai limit L dan kita tuliskan limn → ∞ = L atau
→ jika n → ∞ apabila untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n > M maka | | . Jika limn → ∞ = L ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, kita katakan barisan tersebut divergen.
Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan
kekonvergenan barisan peubah acak, untuk n → ∞. Definisi 26 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan , , , … adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, Φ, P). Kita katakan bahwa barisan peubah acak konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan , jika untuk setiap ε > 0, P | | > ε → 0 untuk n → ∞.
(Grimmett and Stirzaker 2001)
Nilai Harapan, Momen dan Ragam
Definisi 27 (Nilai harapan, momen dan ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
E .
∀
Momen ke-k, dengan k merupakan bilangan bulat positif, dari suatu peubah acak X adalah
E .
Misalkan momen ke-1, E(X) = μ. Maka momen pusat ke-k atau σ dari peubah acak X adalah
σ E μ .
Nilai harapan dari peubah acak X merupakan momen pertama dari X, sedangkan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Ragam (variance) dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σ adalah nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannnya yaitu :
E E E
∀
(Hogg et al. 2005)
Jika X adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Dari Definisi 27 kita bisa menuliskan bahwa
E E E E E E E E E E . Jadi Lema 7 terbukti.
Definisi 28
Misalkan X dan Y adalah peubah acak, covariance dari X dan Y didefinisikan
sebagai , E E E .
(Ghahramani 2005) Lema 8
Misalkan X dan Y adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah dua konstanta sebarang, berlaku
2 , .
Jika X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas, maka . (Ghahramani 2005) Bukti: E E E E E E E E E E E 2 E E
2 E E E 2 , . Jadi Lema 8 terbukti.
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi 29 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 30 (Penduga)
Misalkan , , … , adalalah contoh acak. Suatu statistik U( , , … , ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g( ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g( ) , dilambangkan oleh .
Bilamana nilai , , … , , maka nilai U( , , … , ) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g( ).
(Hogg et al. 2005)
Definisi 31 (Penduga tak bias)
a. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g( ), yaitu E[U( , , … , )] = g( ) disebut penduga tak bias bagi parameter g( ). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
b. Jika lim E , , … , , maka U( , , … , ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik.
(Hogg et al. 2005)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter ) , disebut penduga konsisten bagi .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 33 (MSE suatu penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai :
E Bias Var ,
dengan E .
(Hogg et al. 2005)
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 34 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
λ s ds ∞.
(Dudley 1989)
Definisi 35 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika
lim 1
2 ⏐λ λ ⏐dx 0.
(Wheeden and Zygmund 1977)
Simbol ‘big-oh’ dan ‘litle-o’ ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
a. Notasi Ο v x , , menyatakan bahwa terbatas untuk .
b. Notasi ο v x , , menyatakan bahwa → 0 untuk .
(Serfling 1980)
Dengan menggunakan Definisi 36 kita peroleh hal berikut
a. Suatu barisan bilangan nyata { disebut terbatas dan ditulis Ο 1 untuk ∞ jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga < < untuk semua bilangan asli n.
b. Suatu barisan yang konvergen ke 0, untuk ∞ dapat ditulis ο 1 untuk ∞.
(Purcell dan Varberg 1998)
Lema 9 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka
! ο | | ,
untuk .
(Serfling 1980) Bukti: Lihat Serfling (1980).
Lema 10 (Ketaksamaan Markov)
Jika X adalah peubah acak, maka untuk setiap t > 0,
P E | |
(Ghahramani 2005) Bukti:
Misalkan A himpunan nilai yang mungkin dari peubah acak X dan ∈ ; , maka E ∈ ∈ ∈ P sehingga P E | | . Jadi Lema 10 terbukti.
Lema 11 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan μ dan ragam σ , maka untuk setiap t > 0,
P | | σ .
(Ghahramani 2005)
Bukti:
Karena 0, dengan ketaksamaan Markov
P ≤ E σ .
Karena adalah eqivalen dengan | | , maka Lema 11 terbukti.
Lema 12 (Ketaksamaan Chauchy-Schwarz)
Jika X dan Y adalah peubah acak, maka berlaku E E E .
(Ghahramani 2005)
Untuk semua bilangan real , 0. Oleh karena untuk semua nilai dari
, 2 0.
Karena peubah acak nonnegatif mempunyai nilai harapan nonnegatif, maka
E 2 0.
Hal ini berimplikasi bahwa
E 2E E 0.
Jika ditulis menjadi bentuk polinomial dalam yang berderajat 2, maka kita dapatkan
E 2E E 0.
Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga pertidaksamaan di atas dapat ditulis
4 E 4E E 0
E E E E E E . Jadi Lema 12 terbukti.
