MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM
MENDUGA TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN
TABEL HAYAT RINGKAS
ZULKARNAEN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
ZULKARNAEN. Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap
Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Dalam menentukan besarnya klaim yang akan dibayar di kemudian hari, di bidang asuransi memerlukan informasi tentang peluang seseorang bertahan hidup menurut usia, sehingga memerlukan tabel hayat lengkap. Beberapa metode telah ditawarkan, di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, metode Brass Logit, model Heligman-Pollard (HP) dan metode Kostaki.
Tujuan karya tulis ini adalah mencoba memodifikasi metode Kostaki yang nantinya akan dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Pada
metode modifikasi Kostaki tidak memerlukan data standar dalam melakukan pendugaan terhadap tabel hayat lengkap, metode ini mengganti tabel hayat standar dengan interpolasi Lagrange 6 titik dan model HP. Pada karya tulis ini diberikan dua alternatif model HP, yang masing-masing modelnya telah disederhanakan agar lebih mudah dalam melakukan pendugaan nilai-nilai parameternya. Dengan demikian direkomendasikan tiga tambahan metode untuk dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Nilai kriteria uji yang digunakan dalam membandingkan metode-metode tersebut adalah rataan galat mutlak (MAE) dan koefisien determinasi (R2).
Data yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2002 dan 2007 yang diperoleh dari
Human Mortality Database (www.mortality.org). Data tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 digunakan sebagai data standar. Tahap pertama yang dilakukan adalah mengkaji masing-masing metode interpolasi tabel hayat ringkas. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 berdasarkan tabel hayat ringkas 2007 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan hasil yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode dengan tabel hayat lengkap 2007 yang asli. Untuk menguji kesesuaian data asli dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE dan R2.
Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh tiga metode interpolasi terbaik yang direkomendasikan untuk digunakan, yakni metode Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, dan Elandt-Johnson. Di antara ketiga metode tersebut hanya Kostaki yang memerlukan data standar. Oleh karena itu, direkomendasikan menggunakan metode Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange. Di antara metode Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange, metode Johnson yang paling direkomendasikan untuk digunakan, karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dalam penggunaannya.
ABSTRACT
ZULKARNAEN. Modification of the Kostaki Interpolation Method in Estimating Complete Life
Table Based on Abridged Life Table. Supervised by HADI SUMARNO and NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Information about a person's chances of survival according to age is needed to predict the amount of claims to be paid by an insurance company in the future. This requires a complete life table. Several methods are available to estimate a complete life table, among others there are Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, and Kostaki methods.
The purpose of this paper is to modify the Kostaki method, which then will be compared to the other interpolation methods. This method does not require a standard data in making estimation of a complete life table. Standard data are replaced by results of interpolated probability of dying on the abridged life table. The method of interpolation is a six-point Lagrangian interpolation and Heligman-Pollard (HP) method. This paper provides two alternative models of HP method. Each model has been simplified to make it easier to estimate the values of its parameters.
The data are derived from the USA life tables of 2002 and 2007, which are obtained from the Human Mortality Database. The complete USA life table of 2002 is used as the standard data. The first step is to examine each of the interpolation method of abridged life table. Furthermore, a complete USA life table of 2007 is developed based on USA abridged life table 2007 using each of the methods. The last step is comparing the results obtained by each method with the empirical complete USA life table of 2007. Mean absolute error and coefficient of determination are used to test the suitability of the empirical data with the estimated data based on the methods.
The results of this research recommend three best interpolation methods, namely Kostaki, modified Kostaki with Lagrangian interpolation, and Elandt-Johnson methods. Among these methods, only Kostaki method requires standard data of complete life table. Therefore, Elandt-Johnson method and modified Kostaki are recommended to be used. Between these methods, Elandt-Johnson is the most recommended, because it is simpler to apply.
MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM MENDUGA
TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN TABEL HAYAT RINGKAS
ZULKARNAEN
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul : Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat
Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas
Nama : Zulkarnaen
NIM : G54061920
Menyetujui,
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ………..
Pembimbing I,
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S.
NIP 19590926 198501 1 001
Pembimbing II,
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.
NIP 19640823 198903 1 001
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat dan nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul “Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas”.
Berbagai permasalahan yang muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S selaku pembimbing 1 yang selalu sabar mendidik, membimbing, memberikan ilmu sehingga penulis bisa menyelesaikan tugas akhir ini.
2. Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis.
3. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S yang bersedia menjadi penguji, dan telah memberikan banyak masukan.
4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang sudah diberikan selama saya menyelesaikan studi.
5. Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu Susi dan Bu Ade, terima kasih atas kemudahan administrasi, dukungan dan doanya.
6. Pemerintah Daerah Kabupaten Kutai Kartanegara yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.
7. Ayah, Ibu, Kakak dan Adik serta seluruh keluarga yang memberikan segala pengorbanan, dukungan dan motivasi selama penulis menyelesaikan studi.
8. Teman-teman mahasiswa angkatan 43: Arif, Andrew, Albrian, Dandi, Desi, Faizul, Fardan, Irsyad, Kuntoaji, Razon, Sunarsih, Sukarso, Tubagus, Yulfi dan teman-teman lainnya atas segenap dukungannya selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB. 9. Kakak-kakak mahasiswa matematika angkatan 41 dan 42 serta adik-adik mahasiswa
matematika angkatan 44, 45 dan 46 yang tidak bisa disebutkan satu per satu. 10. Keluarga besar FM BUD KUKAR atas dukungan, motivasi serta doanya.
11. Semua teman-teman Pondok D’QAQA atas dukungan, nasihat dan bantuan kepada penulis selama ini.
Besar harapan penulis agar karya ilmiah ini dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan dalam perbaikan atau kelanjutan karya ilmiah ini.
Bogor, Maret 2012
RIWAYAT HIDUP
Zulkarnaen lahir di Marangkayu Kabupaten Kutai Kartanegara Kalimantan timur pada tanggal 18 juni 1988 dari pasangan ayah Nazar Tahuka dan ibu Ida Ernia. Penulis merupakan anak ke tiga dari empat bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 009 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2000, pendidikan lanjutan di Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2003, dan pendidikan Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana jurusan Matematika di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Pemerintah Daerah Kutai Kartanegara.
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GRAFIK ... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... x
I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Permasalahan...
1 1.3. Tujuan...
1 II LANDASAN TEORI ... 2 2.1. Tabel hayat...
22.2. Fungsi dasar tabel hayat
...
22.3. Interpolasi Lagrange
...
22.4. Model tak linear
...
32.5. Regresi tak linear
...
32.6. Metode Levenberg Marquardt
...
42.7. Uji kesuaian data
...
42.8. Kurva bertahan hidup
...
4III METODE INTERPOLASI ... 6
3.1. Metode Elandt-Johnson
...
63.2. Metode Brass Logit
...
63.3. Model Heligman-Pollard (HP)
...
63.4. Metode Kostaki
...
73.5. Modifikasi Kostaki
...
73.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik
...
73.5.2. Model Heligman-Pollard alternatif
...
7IV PEMBAHASAN ... 9
4.1. Metode Elandt-Johnson
...
94.2. Metode Brass Logit
...
114.3. Model Heligman-Pollard (HP)
...
134.4. Metode Kostaki
...
144.5. Metode modifikasi Kostaki
...
154.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange
...
164.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1
...
174.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2
...
184.6. Perbandingan antar metode
...
19V KESIMPULAN ... 22
DAFTAR PUSTAKA ... 23
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑙𝐶 𝑥 dengan (2 ≤ 𝑥 ≤ 9) ... 10
2. Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung 𝑙𝐶 𝑥 dengan (11 ≤ 𝑥 ≤ 74) ... 10
3. Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard
...
144. Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑞𝑛 𝑥(I) dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 10
...
165. Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18) ... 17
6. Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21) ... 18
ix
DAFTAR GRAFIK
Halaman
1. Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup ... 5
2. Gambar 4.1 Plot 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap dan 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ... 9
3. Gambar 4.2 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Elandt-Johnson
...
114. Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit
...
125. Gambar 4.4 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit ... 13
6. Gambar 4.5 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan model Heligman-Pollard ... 14
7. Gambar 4.6 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Kostaki ... 15
8. Gambar 4.7 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange ... 17
9. Gambar 4.8 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 ... 18
10. Gambar 4.9 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2 ... 19
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Lampiran 1 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 ... 25
2. Lampiran 2 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ... 28
3. Lampiran 3 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002
...
294. Lampiran 4 Nilai 𝑙𝑥 untuk masing-masing metode yang digunakan
...
325. Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan (4.1) dan persamaan (4.2) ... 35
6. Lampiran 6 Program mencari parameter metode Brass Logit dengan software Mathematica 7.0 ... 36
7. Lampiran 7 Program pendugaan parameter Heligman-Pollard dengan software Mathematica 7.0 ... 37
8. Lampiran 8 Perhitungan nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥 pada metode Kostaki ... 39
9. Lampiran 9 Nilai koefisien untuk menghitung 𝑞𝑛 𝑥(I) dengan metode modifikasi Kostaki Lagrange ... 40
10. Lampiran 10 Perhitungan nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange ... 41
11. Lampiran 11 Nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) berdasarkan model HP 1 ... 42
12. Lampiran 12 Perhitungan nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 ... 43
13. Lampiran 13 Nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) berdasarkan model HP 2 ... 44
14. Lampiran 14 Perhitungan nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2
...
4515. Lampiran 15 Langkah yang dilakukan dalam melakukan pendugaan parameter model HP alternatif. ... 46
I PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang
Dalam rangka perencanaan pembangunan segala bidang di suatu negara, diperlukan informasi mengenai keadaan jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut usia. Informasi yang harus tersedia tidak hanya menyangkut keadaan pada saat perencanaan disusun, tetapi juga informasi masa lalu dan untuk masa yang akan datang.
Proyeksi penduduk adalah perhitungan jumlah penduduk (menurut komposisi usia dan jenis kelamin) di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan fertilitas, mortalitas dan migrasi. Pada proses proyeksi penduduk dibutuhkan tabel hayat yang digunakan sebagai alat analisis mortalitas. Adapun manfaat dari proyeksi penduduk adalah untuk perencanaan penyediaan beras, fasilitas kesehatan, fasilitas perumahan, dan fasilitas kesempatan kerja.
Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal
atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval lima atau sepuluh tahun. Adapun manfaat dari tabel hayat antara lain adalah sebagai berikut: (i) untuk keperluan analisis mortalitas, (ii) sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk, (iii) sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa, (iv) serta untuk mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat.
1.2. Permasalahan
Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.
1.3. Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: Melakukan interpolasi terhadap data tabel
hayat ringkas.
Membandingkan dan menentukan metode terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap.
II LANDASAN TEORI
2.1. Tabel hayat
Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal.
Tabel hayat berdasarkan penyusunannya diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat ringkas berisi data kematian penduduk yang dikelompokkan dalam interval usia 5 tahun atau 10 tahun. Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis digunakan.
(Siegel & Swanson 2004) Asumsi – asumsi dalam tabel hayat:
Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian.
Migrasi dianggap tidak ada, perubahan jumlah kelompok (kohort) hanya dipengaruhi oleh kematian.
Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut usia.
Besaran kohort adalah jumlah tetap dari jumlah kelahiran menurut jenis kelamin seperti 1.000; 10.000; atau 100.000 yang disebut dengan “radix tabel hayat” sehingga menyediakan perbandingan antara tabel-tabel yang berbeda.
(Wirosuhardjo et al. 1985)
2.2. Fungsi dasar tabel hayat
Fungsi dasar tabel hayat adalah menerangkan riwayat suatu kelompok (kohort) penduduk yang biasanya disebut radix. Pada kasus ini diberikan fungsi dasar tabel hayat dalam bentuk diskret yakni sebagai berikut:
1) 𝑥 : berarti usia 𝑥, dalam tabel hayat lengkap, kolom ini berisi 𝑥 = 0,1,2, … 𝛾, dengan 𝛾 adalah usia tertua.
2) 𝑙𝑥 : jumlah orang-orang yang hidup pada
usia 𝑥 (dimulai pada interval 𝑥 sampai 𝑥 + 𝑛) dari jumlah total kelahiran menurut “radix tabel hayat”. Kolom ini dimulai dengan 𝑙0 yang biasanya bernilai
100.000.
3) 𝑚𝑥 : tingkat kematian penduduk usia 𝑥
𝑚𝑥 =𝑑𝐿𝑥
𝑥 (2.1)
4) 𝑛 𝑥𝑞 : peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia 𝑥 + 𝑛, untuk penduduk yang berusia 𝑥.
𝑞𝑥 = 𝑛 𝑛𝑙𝑑𝑥
𝑥 =
𝑙𝑥− 𝑙𝑥+𝑛
𝑙𝑥 (2.2)
5) 𝑛 𝑥𝑑 : jumlah kematian dari orang-orang 𝑙𝑥 selama periode tahun 𝑛R.
𝑑
𝑛 𝑥= 𝑙𝑥− 𝑙𝑥+𝑛 (2.3)
6) 𝑛 𝑥𝐿 : lamanya waktu yang dijalani oleh sejumlah orang 𝑙𝑥, dalam interval usia 𝑥 sampai 𝑥 + 𝑛.
𝐿
𝑛 𝑥= 𝑙𝑥−𝑛2 𝑛 𝑥𝑑 =𝑛2(𝑙𝑥+ 𝑙𝑥+𝑛)
(2.4) 7) 𝑇𝑥 : lamanya waktu hidup yang dijalani
setelah mencapai usia 𝑥. 𝑇𝑥= � 𝐿𝑥
𝛾 𝑥
(2.5) 8) 𝑒0
𝑥R: tingkat harapan hidup pada usia 𝑥.
Ini adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang. 𝑒0
𝑥=𝑇𝑙𝑥
𝑥 (2.6)
Catatan: Dalam tabel hayat lengkap 𝑛 = 1, sedangkan dalam tabel hayat ringkas biasanya menggunakan 𝑛 = 5 atau 𝑛 = 10.
(Brown 1997 )
2.3. Interpolasi Lagrange
Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data
yang diberikan. Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.
Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapat fungsi polinomial 𝑃(𝑥) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (𝑥𝑖, 𝑦𝑖)
dengan 𝑖 = 1,2, … 𝑛. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (𝑛 − 1) yang melalui 𝑛 titik berbeda adalah:
𝑃𝑛−1(𝑥) = � 𝑦𝑖𝐿𝑖(𝑥) (2.7) 𝑛
𝑖 = 1
dengan 𝐿𝑖(𝑥) merupakan fungsi basis
Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut: 𝐿𝑖(𝑥) = ∏ �𝑥 − 𝑥𝑗�
𝑛 𝑗=1,𝑗≠𝑖
∏𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖�𝑥𝑖− 𝑥𝑗� (2.8)
(Heath 1996)
2.4. Model tak linear
Model-model yang linear dalam parameter secara umum berbentuk:
𝑌 = 𝛽0+ 𝛽1𝑋1+ 𝛽2𝑋2+ ⋯ + 𝛽𝑝𝑋𝑝+ 𝜀
(2.9) Sembarang model yang tidak berbentuk seperti persamaan (2.9) disebut model tak linear, maksudnya tak linear dalam parameternya. Model tak linear dapat dibagi menjadi dua jenis, yakni model linear intrinsik dan model tak linear intrinsik. Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat ditransformasi ke bentuk linear, jika suatu model tak linear tidak dapat di ubah ke bentuk linear, maka model tak linear tersebut adalah model tak linear intrinsik. Contoh untuk model-model tersebut adalah:
𝑌 = е�𝛽1+ 𝛽2𝑡2 + 𝜀� (2.10) Model ini dapat ditransformasi ke dalam bentuk yang linear, menjadi:
ln(𝑌) = 𝛽1+ 𝛽2𝑡2 + 𝜀 (2.11)
Meskipun terdapat pangkat pada persamaan, persamaan tersebut tetap disebut persamaan yang linear (persamaan linear ordo-kedua), yang artinya linear dalam parameternya. Contoh untuk model tak linear intrinsik:
𝑌 = 𝛽1�е −𝛽𝛽2𝑡− е −𝛽1𝑡�
1− 𝛽2 + 𝜀 (2.12)
Model ini dikatakan model tak linear intrinsik, karena tidak mungkin mengubah bentuknya ke dalam suatu bentuk yang linear dalam parameternya.
(Draper & Smith 1992)
2.5. Regresi tak linear
Bentuk sederhana dari persamaan regresi tak linear dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝒀 = 𝑓(𝝃; 𝜽) + 𝛆 (2.13) dengan 𝑓 adalah fungsi taklinear dari 𝝃 = (𝜉1, 𝜉2, … , 𝜉𝑘)′ yang merupakan vektor dari
peubah bebas dan 𝜽 = �𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑝�′ adalah
parameter-parameternya. Apabila ada 𝑛 data amatan, maka persamaan (2.13) menjadi: 𝒀𝑢= 𝑓(𝝃𝑢; 𝜽) + 𝛆𝑢
𝑢 = 1,2, … , 𝑛 (2.14) dengan 𝝃𝑢= (𝜉1𝑢, 𝜉2𝑢, … , 𝜉𝑘𝑢)′. Galat
persamaan tak linear 𝛆𝑢= (ε1, ε2, … , ε𝑛)′
yang diasumsikan bebas dan berdistribusi normal ε ~ 𝑁(𝟎, 𝑰𝜎2) dengan 𝟎 vektor nol
dan 𝑰 matriks identitas, keduanya berukuran sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model tak linear didefinisikan sebagai berikut:
𝑆𝑆𝐸(𝜽) = �{𝑌𝑢− 𝑓(𝝃𝑢, 𝜽)}2 (2.15) 𝑛
𝑢=1
Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari 𝜽. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi 𝜽 dilambangkan dengan 𝜽� merupakan nilai 𝜽 yang meminimumkan 𝑆𝑆𝐸(𝜽). Nilai dugaan kuadrat terkecil 𝜽� dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.15 relatif terhadap 𝜽. Ini akan menghasilkan 𝑝 persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai 𝜽�. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk :
�{𝑌𝑢− 𝑓�𝝃𝑢, 𝜽�� 𝑛 𝑢=1 } �𝜕𝑓(𝝃𝜕𝜃𝑢, 𝜽) 𝑖 �𝜽=𝜽� = 0 (2.16)
dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑝, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan diferensial dari 𝑓(𝝃𝑢, 𝜽) terhadap 𝜃𝑖 dengan semua 𝜽
diganti dengan 𝜽�. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi tak linear
tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode Levenberg Marquardt.
(Draper & Smith 1992)
2.6. Metode Levenberg Marquardt
Metode Levenberg Marquardt adalah salah satu metode yang digunakan untuk menduga nilai parameter koefisien model-model tak linier. Secara umum metode Levenberg Marquardt dinyatakan sebagai berikut: 𝜷�𝑛+1= 𝜷�𝑛− �𝐽�𝜷�𝑛�𝑇𝐽�𝜷�𝑛� + 𝜆 𝑛𝐼𝑝×𝑝� −1 �𝜕𝑆𝑆𝐸(𝜷)𝜕(𝛽 𝑖) � 𝑖 = 1,2, … , 𝑝 (2.17) (Marquardt 1963) Algoritma Metode Levenberg Marquardt adalah sebagai berikut:
1) Untuk 𝑛 = 0 (iterasi ke-n), perlu menentukan nilai awal penaksir parameter (𝜷0), nilai 𝜆 adalah 0 < 𝜆 < 1
atau yang biasanya faktor dari 10. 2) Memperbarui vektor parameter 𝜷�𝑛+1,
secara iteratif sesuai dengan persamaan (2.17).
3) Menghitung 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛+1�.
4) Jika 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛+1� > 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛� maka 𝜆
dikalikan 10, kemudian kembali ke langkah (1).
5) Jika 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛+1� < 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛� maka 𝜆
dibagi dengan 10, kemudian kembali ke langkah (1).
6) Iterasi berhenti jika
�𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛+1𝑆𝑆𝐸�𝜷��− 𝑆𝑆𝐸�𝜷�𝑛� 𝑛� � × 100 < 𝑡𝑜𝑙
Keterangan:
𝜷�𝑛 : vektor parameter pada iterasi ke-n.
𝐽�𝜷�𝑛� : matriks Jacobi.
𝜆𝑛 : nilai skalar pada iterasi ke-n.
𝛪𝑝×𝑝 : matriks Identitas
�𝜕𝑆𝑆𝐸(𝜷)𝜕(𝛽
𝑖) � : persamaan normal.
(Ranganathan 2004)
2.7. Uji kesuaian data
Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan di antaranya adalah:
1) Galat mutlak (Absolute error, AE) Misalkan 𝑦𝑖 adalah data ke-i yang
sebenarnya dan 𝑦�𝑖 adalah data yang
diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk 𝑦𝑖. Galat mutlak didefinisikan sebagai
berikut:
𝐴𝐸 = |𝑦𝑖− 𝑦�𝑖| ;
𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.18) (Mathews 1992) 2) Rataan galat mutlak (Mean absolute
error, MAE)
Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut:
𝑀𝐴𝐸 =1𝑛�|𝑦𝑖− 𝑦�𝑖| 𝑛 𝑖=1 𝑖 = 1,2, … 𝑛 (2.19) (Mathews 1992) 3) Koefisien determinasi 𝑅2 𝑅2= 1 −∑ (𝑦𝑛𝑖=1 𝑖− 𝑦�𝑖)2 ∑ (𝑦𝑛𝑖=1 𝑖− 𝑦�)2 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.20) dengan 𝑦𝑖= nilai sebenarnya, 𝑦�𝑖= nilai
dugaan, dan 𝑦� = nilai rata-rata.
(Agresti & Barbara 1986)
2.8. Kurva bertahan hidup
Kurva bertahan hidup adalah kurva yang menunjukkan jumlah atau proporsi dari individu yang bertahan hidup di setiap tahunnya. Kurva ini menyajikan hubungan antara 𝑙𝑥 pada sumbu-𝑦 dan usia (𝑥) pada
sumbu-𝑥.
Ada tiga tipe kurva bertahan hidup:
1) Tipe I pada populasi, tidak banyak mengalami kematian di awal dan pertengahan usia, namun menurun secara tajam ketika angka kematian meningkat pada kelompok usia tua.
2) Tipe II adalah perantara antara tipe I dan tipe III, angka kematian populasi relatif tetap pada setiap kelas usia atau dengan kata lain angka kematian konstan dialami tanpa memandang kelompok usia. Kurva ketahanan hidup untuk tipe ini berbentuk garis diagonal.
3) Tipe III pada populasi tingkat kematian tinggi di awal usia dan pertengahan usia sehingga kurva menurun sampai periode tertentu, kemudian relatif stabil ketika memasuki periode usia tua.
I
II 𝑙𝑥
III
𝑥
Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup
III METODE INTERPOLASI
3.1. Metode Elandt-Johnson
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1) Untuk usia 0–74 tahun menggunakan
interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula
𝑙𝑥= �∏ �𝑥∏ �𝑥 − 𝑥𝑗≠𝑖 𝑗� 𝑖− 𝑥𝑗� 𝑗≠𝑖 𝑙𝑥𝑖 𝐴 6 𝑖=1 𝐶 (3.1)
dengan fungsi basis dari persamaan di atas adalah
𝐿𝑖(𝑥) =∏ �𝑥∏ �𝑥 − 𝑥𝑗≠𝑖 𝑗� 𝑖− 𝑥𝑗� 𝑗≠𝑖 ;
𝑖 = 1,2, … 6 (3.2) 2) Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan
berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival 𝑆(𝑥) = exp �𝑅𝑎(1 − 𝑒𝑎𝑥)� =
𝑏1−𝑐𝑥; 𝑥 > 0, 𝑅 > 0, 𝑎 > 0, 𝑏 =
exp �𝑅𝑎� dan 𝑐 = exp(𝑎) dengan usia 𝑥 dan parameter 𝑎 dan 𝑅. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai 𝑙𝑥
ditentukan dengan menggunakan rumus: 𝑙𝑥+𝑖 𝐶 = 𝑙 𝑥𝑆̂(𝑥 + 𝑖)𝑆̂(𝑥) (3.3) 𝐴 dengan 𝑖 = 1, … ,4; 𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 15 𝑖 = 1, … , (119 − 𝛾); 𝑥 = 𝛾 − 10 (Elandt & Johnson 1980)
3.2. Metode Brass Logit
Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah:
1) Menduga parameter 𝛼 dan 𝛽 yang memenuhi hubungan linear berikut: logit(1 − 𝑙𝑥) = 𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑆𝑥�
(3.4)
dengan
logit(1 − 𝑙𝑥) =12 ln �1 − 𝑙𝑙 𝑥
𝑥 � (3.5)
Parameter 𝛼 dan 𝛽 diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear
2) Setelah diperoleh nilai parameter 𝛼 dan 𝛽, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut: 𝑙𝑥 =1 + exp [2(𝛼 + 𝛽logit(1 − 𝑙1 𝑥))] 𝑆 (3.6) (Brass 1971) 3.3. Model Heligman-Pollard (HP)
Rumus matematik metode interpolasi dengan model Heligman-Pollard diberikan sebagai berikut: 𝑞𝑥 𝑝𝑥 = 𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 + 𝐷exp �−𝐸 �ln �𝑥𝐹��2� + 𝐺𝐻𝑥 (3.7) Keterangan: 𝐴 : representasi dari 𝑞10T.
𝐵2T : perbedaan antara 𝑑0 dan 𝑑10T.
𝐶 : penurunan laju kematian anak-anak. 𝐷 : intensitas kematian pada dewasa muda. 𝐸 : sebaran usia terjadinya kecelakaan. 𝐹 : usia muda dengan kematian terbanyak. 𝐺 : tingkat kematian usia tua.
𝐻 : laju peningkatan kematian usia tua. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 ≥ 0
Tahapan yang dilakukan adalah menduga nilai parameter-parameter dari model Heligman-Pollard dengan meminimumkan: 𝑆𝑆𝐸(𝑪) = � �𝑛 𝑥𝑞� 𝑞 𝑛 𝑥− 1� 2 (3.8) 𝑛 𝑖=1 dengan 𝑞� 𝑛 𝑥= 1 − � 1 − 𝑮(𝑥 + 𝑖; 𝑪) (3.9) 𝑛−1 𝑖=0
Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut: 𝑞𝑥=1 + 𝑭(𝑥; 𝑪) = 𝑮𝑭(𝑥; 𝑪) (𝑥; 𝑪) (3.10) dengan 𝑭(𝑥; 𝑪) = 𝐴(𝑥+𝐵)𝐶 + 𝐷exp �−𝐸 �ln �𝑥𝐹��2� +𝐺𝐻𝑥
(Heligman & Pollard 1980)
3.4. Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
1) Menentukan konstanta 𝐾𝑛 𝑥 untuk setiap
interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛) dengan menggunakan rumus: 𝐾𝑥 𝑛 = ln(1 − 𝑞𝑛 𝑥) ∑𝑛−1ln (1 − 𝑞𝑥+𝑖(𝑆) 𝑖=0 ) (3.11) dengan:
𝐾
1 4 untuk𝑥 𝜖 [1,4]
𝐾
5 5 untuk𝑥 𝜖 [5,9]
𝐾
10 5 untuk𝑥 𝜖 [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝐾
105 5 untuk𝑥 𝜖 [105,109]
2) Menghitung peluang kematian pada tabelhayat lengkap menggunakan rumus: 𝑞𝑥= 1 − (1 − 𝑞𝑥(𝑆))𝑛𝐾𝑥 (3.12)
Keterangan:
𝑞𝑥(𝑆): peluang seseorang tepat berusia 𝑥
meninggal sebelum mencapai usia 𝑥 + 1 pada tabel hayat standar.
(Kostaki 2000)
3.5. Modifikasi Kostaki
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode modifikasi Kostaki adalah:
1) Menentukan konstanta 𝐾𝑛 𝑥 untuk setiap
interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛) dengan menggunakan rumus: 𝐾𝑥 𝑛 =∑ ln(1 − 𝑞ln (1 − 𝑞𝑛 𝑥) 𝑥+𝑖(I) 𝑛 𝑛−1 𝑖=0 ) (3.13) dengan:
𝐾
1 4 untuk𝑥 𝜖 [1,4]
𝐾
5 5 untuk𝑥 𝜖 [5,9]
𝐾
10 5 untuk𝑥 𝜖 [10,14]
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝐾
105 5 untuk𝑥 𝜖 [105,109]
2) Menghitung peluang kematian pada tabelhayat lengkap menggunakan rumus: 𝑞𝑥 = 1 − �1 − 𝑞𝑛 𝑥(I)�𝑛𝐾𝑥
(3.14) Nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) di atas berasal dari data hasil
interpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas dengan
menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif.
3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik
Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥
pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan:
𝑞𝑥(I)= �∏ �𝑥∏ �𝑥 − 𝑥𝑗≠𝑖 𝑗� 𝑖− 𝑥𝑗� 𝑗≠𝑖 𝑛𝑞𝑥𝑖 6 𝑖=1 𝑛 (3.15)
3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif
Pada model Heligman-Pollard diberikan 2 alternatif model, yakni alternatif pertama berdasarkan persamaan (3.10) dan alternatif yang kedua berdasarkan persamaaan (3.7). Pada alternatif yang pertama dan kedua akan dicoba mengelompokkan model-model tersebut berdasarkan kelompok usia, yang nantinya akan dijadikan sebagai model-model untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat
ringkas. Model-model alternatif Heligman-Pollard diberikan sebagai berikut:
1) HP (1)
Usia anak-anak (1-9 tahun) 𝑞𝑥(I) = 𝑛 𝐴 (𝑥+𝐵)𝐶 1+𝐴(𝑥+𝐵)𝐶+𝐷exp�−𝐸�ln�𝑥 𝐹�� 2 �+𝐺𝐻𝑥 (3.16) Usia muda (10-29 tahun)
𝑞𝑥(I) = 𝑛 𝐷exp�−𝐸�ln�𝐹𝑥��2� 1+𝐴(𝑥+𝐵)𝐶+𝐷exp�−𝐸�ln�𝑥 𝐹�� 2 �+𝐺𝐻𝑥 (3.17) Usia tua (30 tahun ke atas)
𝑞𝑥(I) = 𝑛 𝐺𝐻 𝑥 1+𝐴(𝑥+𝐵)𝐶+𝐷exp�−𝐸�ln�𝑥 𝐹�� 2 �+𝐺𝐻𝑥 (3.18) 2) HP (2)
Usia anak-anak (1-9 tahun) 𝑞𝑥(I)=
𝑛 𝐴
(𝑥+𝐵)𝐶
1+𝐴(𝑥+𝐵)𝐶 (3.19) Usia muda (10-29 tahun)
𝑞𝑥(I)=
𝐷exp�−𝐸�ln�𝑥𝐹��2� 1+𝐷exp�−𝐸�ln�𝑥𝐹��2�
𝑛 (3.20)
Usia tua (30 tahun ke atas) 𝑞𝑥(I)=
𝑛 𝐺𝐻
𝑥
1+𝐺𝐻𝑥 (3.21)
9
IV PEMBAHASAN
Dalam penyusunannya, tabel hayatdiklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel
hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara 𝑙𝑥 pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat
2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Plot 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap dan 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007
Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva 𝑙𝑥 pada tabel hayat Amerika Serikat
2007 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada sekitar 40% dari jumlah keseluruhan populasi.
Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2.
4.1. Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasakan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut usia tertentu, yakni usia 0-10 tahun, usia 10-74 tahun, serta usia di atas 74 tahun. Untuk interval usia 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik seperti pada persamaan (3.1). Berdasarkan persamaan (3.1), koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑙𝐶𝑥 pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.2).
Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan (3.2) diberikan pada Tabel 4.1 (2 ≤ 𝑥 ≤ 9) dan Tabel 4.2 (11 ≤ 𝑥 ≤ 74). 20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Data Ringkas Data Lengkap
10
Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑙𝐶 𝑥 dengan (2 ≤ 𝑥 ≤ 9).
𝑙1 𝐴 𝑙 5 𝐴 𝑙 10 𝐴 𝑙 15 𝐴 𝑙 20 𝐴 𝑙 25 𝐴 𝑙2 𝐶 0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156 𝑙3 𝐶 0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159 𝑙4 𝐶 0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088 𝑙6 𝐶 -0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070 𝑙7 𝐶 -0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104 𝑙8 𝐶 -0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098 𝑙9 𝐶 -0.0184 0.1408 1.0012 -0.1609 0.0431 -0.0059 Keterangan: 𝑙𝑥
𝐴 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 𝑥 yang tersedia pada tabel hayat ringkas.
𝑙𝑥
𝐶 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 𝑥 dari tabel hayat lengkap yang akan diduga.
Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung 𝑙𝐶 𝑥 dengan (11 ≤ 𝑥 ≤ 74).
𝑙𝐴5𝑚−10 𝐴𝑙5𝑚−5 𝐴𝑙5𝑚 𝐴𝑙5𝑚+5 𝑙𝐴5𝑚+10 𝑙𝐴5𝑚+15 𝑙5𝑚+1 𝐶 0.0081 -0.0739 0.8870 0.2218 -0.0493 0.0063 𝑙5𝑚+2 𝐶 0.0116 -0.0998 0.6989 0.4659 -0.0874 0.0108 𝑙5𝑚+3 𝐶 0.0108 -0.0874 0.4659 0.6989 -0.0998 0.0116 𝑙5𝑚+4 𝐶 0.0063 -0.0493 0.2218 0.8870 -0.0739 0.0081 Keterangan: 𝑙5𝑚+𝑗
𝐴 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5𝑚 + 𝑗 dari tabel hayat ringkas dengan 𝑗 = −10, −5,0,5,10,15.
𝑙5𝑚+𝑖
𝐶 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5𝑚 + 𝑖 dari tabel hayat lengkap yang akan diduga dengan
𝑖 = 1, … ,4. dengan
𝑚 = 2 untuk 𝐶𝑙11− 𝑙𝐶14
⋮ ⋮ ⋮
𝑚 = 14 untuk 𝐶𝑙70− 𝑙𝐶74
Jika tabel hayat ringkas yang digunakan adalah 5 tahunan, maka nilai koefisien pada Tabel 4.1 yang digunakan, yakni nilai 𝑙𝐴1,
𝑙5 𝐴 , 𝑙 10 𝐴 , 𝑙 15 𝐴 , 𝑙 20 𝐴 , dan 𝑙 25 𝐴 . Misalkan,
untuk menghitung 𝑙𝐶2 diperoleh:
𝑙2= 𝐶 0.5620 𝑙 1 𝐴 + 0.7176 𝑙 5 𝐴 − 0.4784 𝑙𝐴10+ 0.2839 𝑙𝐴15 −0.1007 𝑙𝐴20+ 0.0156 𝑙𝐶 25
Perhitungan yang dilakukan pada Tabel 4.2 sama seperti pada Tabel 4.1. Misalkan, untuk menghitung 𝑙𝐶11, diambil nilai 𝑚 = 2,
sehingga diperoleh: 𝑙11 𝐶 = 0.0081 𝑙 0 𝐴 − 0.0739 𝑙 5 𝐴 +0.8870 𝑙𝐴10+ 0.2218 𝑙𝐴15 − 0.0493 𝑙𝐴20+ 0.0063 𝑙𝐶 25
Untuk usia di atas 74 tahun, metode ini mengasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival 𝑆(𝑥) = exp(𝑅𝑎(1 − exp(𝑎𝑥))) = 𝑏1−𝑐𝑥
; 𝑥 > 0, 𝑅 > 0, 𝑎 > 0,
𝑏 = exp(𝑅𝑎) dan 𝑐 = exp(𝑎) dengan usia 𝑥, 𝑎 dan 𝑅 adalah parameter. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dan rasio nilai 𝑙𝐴𝑥 yang berdekatan, yang
kemudian akan menghasilkan parameter 𝑏𝑥
dan 𝑐𝑥 untuk usia 𝑥. Nilai penduga untuk 𝑏𝑥
dan 𝑐𝑥, yakni 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ dapat ditentukan
dengan menggunakan persamaan:
⎩ ⎨ ⎧ 𝑐̂𝑥̅= �𝑦𝑦1 2� −15 𝑏�𝑥̅= 10 𝑦1 𝑐𝑥𝑥�𝑐𝑥5−1� dengan ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑦1= log 𝐴𝑙𝑥 𝑙𝑥+5 𝐴 𝑦2= log 𝑙𝑥+5 𝐴 𝑙𝑥+10 𝐴 𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 10 (4.1)
11
Proses perhitungan akan berhenti pada saat 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ untuk 𝑥̅ = 𝛾 −10, dengan 𝛾
adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh nilai dugaan parameter 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ dilanjutkan
dengan menghitung fungsi survival berdasarkan persamaan: 𝑆̂(𝑥 + 𝑖) = 𝑏�𝑥1−𝑐̂𝑥 𝑥+𝑖 dengan 𝑖 = 1, … ,4 𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 15 𝑖 = 1, … , (119 − 𝛾) 𝑥 = 𝛾 − 10 (4.2)
Dimulai dari survival 𝑆̂(𝑥) kemudian menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni 𝑙𝐶𝑥
pada persamaan (3.3).
Hasil perhitungan 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅
menggunakan persamaan (4.1) dan (4.2) diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil nilai 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat
2007 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 pada tabel hayat
lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Elandt-Johnson
Gambar 4.2 kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki perbedaan yang sangat kecil dengan metode Johnson, sehingga metode Elandt-Johnson dikatakan sangat baik dalam menduga 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 2007.
4.2. Metode Brass Logit
Brass (1971) mengasumsikan hubungan linear persamaan (3.4) yakni antara 𝑙𝑥 dan
𝑙𝑥 𝑆 . 𝑙
𝑥
𝑆 merupakan jumlah penduduk yang
bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan 𝛼 dan 𝛽 adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dan slope kematian. Perubahan nilai 𝛽 berhubungan dengan distribusi usia yang berbeda yaitu apakah kematian usia anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Jika nilai 𝛽 >1 berarti kematian usia anak-anak lebih rendah
dibandingkan dengan kematian usia dewasa, sebaliknya jika 𝛽 < 1 berarti kematian usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian usia dewasa.
Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu perlu dilakukan pengujian linearitas antara logit (1 − 𝑙𝑥)
dengan logit �1 − 𝑙𝑆
𝑥� menggunakan
persamaan (3.4). Pada tulisan ini data yang digunakan sebagai data standar adalah tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002.
Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan bantuan Software Mathematica
7.0 diperoleh 𝛼 = −0.154 dan 𝛽 = 0.91
dengan 𝑅2= 0.9989 yang berarti pemilihan
tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara logit (1 − 𝑙𝑥) 2007 dan logit
�1 − 𝑙𝑆
𝑥� 2002 dapat dilihat pada Gambar 4.3
di bawah ini. 20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 ElandtJohnson Asli
12
Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit Jumlah penduduk yang bertahan hidup
dari tabel hayat lengkap dapat dihitung berdasarkan persamaan (3.4) dan persamaan (3.5) sehingga diperoleh persamaan (3.6).
Berdasarkan perhitungan 𝛼 = −0.154 dan 𝛽 = 0.91, 𝛽 < 1 artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2007 usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan usia muda. Parameter 𝛽 yang mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva 𝑙𝑥 pada
tabel hayat Amerika Serikat 2007 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2002. Bukti persamaan (3.6): 𝑙𝑥= 1 1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙S𝑥��� Diketahui: logit(1 − 𝑙𝑥) =12 ln �1 − 𝑙𝑙 𝑥 𝑥 � Bukti: logit(1 − 𝑙𝑥) = 𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙S𝑥� 1 2 ln � 1 − 𝑙𝑥 𝑙𝑥 � = 𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑥 S � ln �1 − 𝑙𝑙 𝑥 𝑥 � = 2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑥 S �� �1 − 𝑙𝑙 𝑥 𝑥 � = exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙S𝑥��� 1 𝑙𝑥− 𝑙𝑥 𝑙𝑥= exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑥 S ��� 1 𝑙𝑥− 1 = exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑥 S ��� 1 𝑙𝑥 = 1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙𝑥 S ��� 𝑙𝑥 = 1 1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑙S𝑥���
Berdasarkan hasil yang diperoleh persamaan (3.6) menjadi
𝑙𝑥 =1+exp [2(−0.154+0.91logit(1− 𝑙1 S𝑥))] (4.3) Nilai 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 2007 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubstitusi 𝑙𝑆
𝑥 (data
standar 𝑙𝑥) tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 2002 kepersamaan (4.3). Nilai 𝑙𝑥
metode ini dapat dilihat pada lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥
dengan metode Brass Logit tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.4.
4
2
0
2
4
6
4
2
0
2
4
logit
1
sl
x
logit
1l
x
13
Gambar 4.4 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit
Kurva 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit
mengikuti pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli, kecuali di usia sekitar 50 tahun ke atas nilai 𝑙𝑥 berbeda
jauh dengan nilai 𝑙𝑥 sebenarnya.
4.3. Model Heligman-Pollard (HP)
Menurut Heligman-Pollard (1980), model Heligman-Pollard adalah salah satu metode interpolasi yang merepresentasikan kematian selama rentang waktu seluruh kehidupan. Ide yang mendasari model Heligman-Pollard ini adalah bahwa kelompok kematian dapat dibagi menjadi tiga kelas, yakni komponen pertama merepresentasikan kematian bayi dan anak-anak, komponen kedua merepresentasikan kematian dewasa muda, dan komponen ketiga merepresentasikan kematian di usia tua.
Fungsi matematika model Heligman-Pollard diberikan pada persamaan (3.7). Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan tersebut adalah 𝑭(𝑥; 𝑪), yakni suatu fungsi dengan variabel usia 𝑥 dan 𝑪 merupakan vektor parameter pada persamaan tersebut, maka rumus Heligman-Pollard akan menjadi:
𝑞𝑥 𝑝𝑥= 𝑭(𝑥; 𝑪) karena 𝑞𝑥= 1 − 𝑝𝑥 maka 𝑞𝑥 =1 + 𝑭(𝑥; 𝑪)𝑭(𝑥; 𝑪)
Bukti hubungan 𝑞𝑛 𝑥 dengan 𝑞𝑥 pada model
Heligman-Pollard: 𝑞 𝑛 𝑥= 1 − �(1 − 𝑞𝑥+𝑖) 𝑛−1 𝑖=0 Bukti: 𝑝 𝑛 𝑥= 1 − 𝑞𝑛 𝑥 = 1 − 𝑛 𝑥𝑙𝑑 𝑥 =𝑙𝑥+𝑛𝑙 𝑥 =𝑙𝑥+1𝑙 𝑥 𝑙𝑥+2 𝑙𝑥+1… 𝑙𝑥+𝑛 𝑙𝑥+𝑛−1 = 𝑝𝑥𝑝𝑥+1… 𝑝𝑥+𝑛−1 = � 𝑝𝑥+𝑖 𝑛−1 𝑖=0 𝑞 𝑛 𝑥= 1 − � 𝑝𝑥+𝑖 𝑛−1 𝑖=0 = 1 − �(1 − 𝑞𝑥+𝑖) 𝑛−1 𝑖=0 20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Brass Logit Asli
14
Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah:
𝑞�
𝑛 𝑥= 1 − � �1 −1 + 𝑭(𝑥 + 𝑖; 𝑪)�𝑭(𝑥 + 𝑖; 𝑪) 𝑛−1
𝑖=0
Nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (3.8). Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software
Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai
parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini.
Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter Nilai Keterangan 𝐴 0.0073 Representasi dari 𝑞1
𝐵 4.2105 Perbedaan antara 𝑑0 dan 𝑑1
𝐶 0.2905 Penurunan laju kematian anak-anak. 𝐷 0.0009 Intensitas kematian pada dewasa muda. 𝐸 7.8659 Sebaran usia terjadinya kecelakaan. 𝐹 23.3058 Usia muda dengan kematian terbanyak. 𝐺 0.0001 Tingkat kematian usia tua.
𝐻 1.0928 Laju peningkatan kematian usia tua. Kemudian dengan mensubstitusi nilai
penduga parameter-parameter yang telah diperoleh ke dalam persamaan (3.10) akan dihasilkan nilai dugaan 𝑞𝑥 tabel hayat
lengkap. Setelah nilai 𝑞𝑥 diperoleh, nilai 𝑙𝑥
dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi 𝑞𝑥 yaitu:
𝑙𝑥+1= (1 − 𝑞𝑥)𝑙𝑥 ; 𝑥 = 0,1,2, … , 𝛾 (4.4)
𝛾 adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan 𝑙0= 100000.
Hasil pendugaan 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel
hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan model Heligman-Pollard
Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel
hayat lengkap Amerika Serikat yang asli. Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.
4.4. Metode Kostaki
Metode interpolasi Kostaki (Kostaki 2000) memberikan metode nonparametric sederhana yang berkaitan dengan peluang kematian lima tahunan dan peluang kematian satu tahunan. Hipotesis dari metode ini adalah
20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Heligman Pollard Asli
15
bahwa dalam setiap usia interval [𝑥, 𝑥 + 𝑛), laju kematian sesaat 𝜇(𝑥) tabel hayat ringkas adalah perkalian atau penggandaan konstanta laju kematian sesaat 𝜇(𝑥) tabel hayat lengkap standar di interval usia yang sama. Hipotesis metode ini diberikan pada persamaan:
𝜇(𝑥) = 𝐾𝑛 𝑥∗ 𝜇(𝑆)(𝑥)
Oleh karena itu konstanta 𝐾𝑛 𝑥 konstan untuk
setiap interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛). Metode interpolasi Kostaki berdasarkan data standar diberikan pada persamaan (3.11). Kemudian untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan,
hasil perhitungan persamaan (3.11) disubstitusi kepersamaan (3.12). Bukti persamaan (3.11): 𝐾𝑥 𝑛 = ln(1 − 𝑞𝑛 𝑥) ∑𝑛=1ln (1 − 𝑞𝑥+𝑖(𝑆) 𝑖=0 ) Diketahui: 𝜇(𝑥) = 𝐾𝑛 𝑥∗ 𝜇(𝑆)(𝑥) Bukti: − � 𝜇𝑥+𝑠𝑑𝑠 = − 𝐾𝑥� 𝜇(𝑠)𝑥+𝑠𝑑𝑠 𝑛 0 𝑛 𝑛 0 ln 𝑝𝑛 𝑥 = 𝑛𝐾𝑥ln 𝑝𝑛 (𝑠)𝑥 𝐾𝑛 𝑥=ln 𝑝ln 𝑝𝑛(𝑠)𝑥 𝑥 𝑛 = ln 𝑝𝑛 𝑥 ln�∏ 𝑝(𝑠) 𝑥+𝑖 𝑛=1 𝑖=0 � = ln�1 − 𝑞𝑛 𝑥� ln�∏ �1 − 𝑞(𝑠) 𝑥+𝑖� 𝑛=1 𝑖=0 � = ln(1 − 𝑞𝑛 𝑥) ∑𝑛=1ln (1 − 𝑞𝑥+𝑖(𝑆) 𝑖=0 )
Metode Kostaki menggunakan tabel hayat standar yang serupa dengan metode Brass Logit, yakni tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Hasil nilai 𝑙𝑥 dari metode
Kostaki diberikan pada Lampiran 4 dan hasil keseluruhan untuk perhitungan nilai konstanta
𝐾𝑥
𝑛 diberikan pada Lampiran 8.
Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Kostaki diberikan pada Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Kostaki
Berdasarkan kurva 𝑙𝑥 pada Gambar 4.6
dengan menggunakan metode Kostaki, mengikuti pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan sangat baik.
4.5. Metode modifikasi Kostaki
Metode ini hampir serupa dengan metode Kostaki. Metode ini tidak memerlukan tabel hayat standar sebagai alat bantu untuk melakukan pendugaan tabel hayat lengkap. Namun, metode ini memerlukan metode
20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Kostaki Asli
16
interpolasi yang lain sebagai pengganti tabel hayat standar. Pada tulisan ini digunakan metode interpolasi Lagrange enam titik, model HP 1, dan model HP 2 sebagai alat yang akan menginterpolasi 𝑞𝑥 tabel hayat
ringkas Amerika Serikat 2007.
4.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange
Metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange adalah kombinasi Kostaki dan
interpolasi Lagrange yang serupa dengan skenario interpolasi yang digunakan pada metode Elandt-Johnson. Proses interpolasi 𝑞𝑥
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007, menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik. Nilai-nilai koefisien yang diperoleh untuk fungsi basis dari usia 1-10 tahun diberikan pada Tabel 4.4 di bawah ini.
Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑞𝑛 𝑥(I) dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 10.
𝑞 4 1 𝑞5 5 𝑞5 10 𝑞5 15 𝑞5 20 𝑞5 25 𝑞1 4 (I) 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 𝑞2 4 (I) 0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156 𝑞3 4 (I) 0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159 𝑞4 4 (I) 0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088 𝑞5 5 (I) 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 𝑞6 5 (I) -0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070 𝑞7 5 (I) -0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104 𝑞8 5 (I) -0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098 𝑞9 5 (I) -0.0184 0.1408 1.0000 -0.1609 0.0431 -0.0059 𝑞10 5 (I) 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Skenario interpolasi yang dilakukan adalah misalkan untuk memperoleh nilai
𝑞𝑥(I)
𝑛 usia 11-15 tahun, menggunakan
titik-titik data interpolan 𝑥1= 0, 𝑥2= 5, 𝑥3= 10,
𝑥4= 15, 𝑥5= 20, dan 𝑥6= 25. Kemudian
untuk memperoleh nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) usia 16-20
tahun menggunakan titik-titik data 𝑥1= 5,
𝑥2= 10, 𝑥3= 15, 𝑥4= 20, 𝑥5= 25, dan 𝑥6=
30. Proses yang sama dilakukan untuk data-data yang berikutnya.
Berdasarkan Tabel 4.4 perhitungan nilai 𝑞𝑥(I)
𝑛 untuk interval usia 1-10 tahun
menggunakan 6 titik-titik data interpolan yakni 𝑥1= 1, 𝑥2= 5, 𝑥3= 10, 𝑥4= 15,
𝑥5= 20, dan 𝑥6= 25. Misalkan untuk
menghitung nilai 𝑞4 2(I) dengan menggunakan
persamaan (3.15) adalah sebagai berikut: 𝑞2(I)
4 = 0.5620 𝑞4 1+ 0.7176 𝑞5 5
− 0.4784 𝑞5 10+ 0.2839 𝑞5 15
− 0.1007 𝑞5 20− 0.0156 𝑞5 25
Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai 𝑥 = 10. Hasil interpolasi yang selanjutnya masing-masing diberikan pada Lampiran 9.
Setelah dilakukan interpolasi dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange 6 titik, tahap pertama yang dilakukan adalah hasil nilai 𝑛𝑞𝑥(I) akan disubstitusi
kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥. Kemudian tahapan
selanjutnya, untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan, hasil yang diperoleh berdasarkan
perhitungan pada persamaan (3.13) disubstitusi kepersamaan (3.14). Nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥 dan hasil nilai 𝑙𝑥,
masing-masing diberikan pada Lampiran 10 dan Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel
hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi
Kostaki dengan Lagrange tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.7 di bawah ini.
17
Gambar 4.7 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki
dengan Lagrange Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik.
4.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1
Model HP 1 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Pada metode interpolasi ini membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan kelompok usia.
Pertama menggunakan model (3.16) untuk menginterpolasi usia 1-9 tahun, kedua menggunakan model (3.17) untuk menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.18) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan parameter model-model tersebut diperoleh dengan bantuan Software
MATLAB R2008b menggunakan metode
Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil nilai parameter model-model tersebut diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini.
Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18).
Parameter Model (3.16) Model (3.17) Model (3.18)
A 0.7804 0.9321 1.0000 B 18.3491 0.9919 1.0001 C 0.9316 0.9841 0.9979 D 10.8156 0.5244 1.0000 E 1.7012 0.0069 0.9999 F 2.3520 5.49E-10 1.0000 G 7.6251 1.1553 2.44E-05 H 0.6697 0.9293 1.1426
Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai 𝑞𝑛 𝑥(I). Tahap kedua, hasil berdasarkan
nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) disubstitusi kepersamaan (3.13)
untuk memperoleh nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥.
Kemudian tahap selanjutnya, hasil berdasarkan persamaan (3.13) disubstitusi
kepersamaan (3.14) untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan. Nilai 𝑞𝑛 𝑥(I), konstanta
𝐾𝑥
𝑛 , dan hasil nilai 𝑙𝑥 dari metode ini
masing-masing diberikan pada Lampiran 11, 12 dan 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 asli dan metode
modifikasi Kostaki dengan HP 1 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.8. 20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Kostaki Lagrange Asli
18
Gambar 4.8 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki
dengan model HP 1. Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2007 yangasli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik.
4.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2
Model HP 2 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Metode interpolasi yang dilakukan serupa dengan yang dilakukan pada model HP 1, yakni interpolasi dilakukan dengan cara membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan
kelompok usia. Interpolasi yang pertama menggunakan model (3.19) untuk menginterpolasi usia 1-9 tahun, interpolasi kedua menggunakan model (3.20) untuk menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.21) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan untuk parameter-parameter model HP 2 diperoleh dengan bantuan Software MATLAB R2008b
menggunakan metode Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil yang telah diperoleh untuk nilai-nilai parameter tersebut diberikan pada Tabel 4.6 di bawah ini.
Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21).
Parameter Model (3.19) Model (3.20) Model (3.21)
A 0.9721 - - B 234.7215 - - C 1.0207 - - D - 0.0077 - E - 2.1744 - F - 25.0809 - G - - 1.22E-05 H - - 1.1426
Tahapan yang dilakukan serupa dengan tahapan pada modifikasi Kostaki dengan HP 1. Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing
model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai 𝑞𝑛 𝑥(I). Tahap kedua, hasil berdasarkan
nilai 𝑞𝑛 𝑥(I) disubstitusi kepersamaan (3.13)
untuk memperoleh nilai konstanta 𝐾𝑛 𝑥.
20 40 60 80 100 20000 40000 60000 80000 100000 Kostaki HP1 Asli
