Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas

MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM

MENDUGA TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN

TABEL HAYAT RINGKAS

ZULKARNAEN

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRAK

ZULKARNAEN. Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Dalam menentukan besarnya klaim yang akan dibayar di kemudian hari, di bidang asuransi memerlukan informasi tentang peluang seseorang bertahan hidup menurut usia, sehingga memerlukan tabel hayat lengkap. Beberapa metode telah ditawarkan, di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, metode Brass Logit, model Heligman-Pollard (HP) dan metode Kostaki.

Tujuan karya tulis ini adalah mencoba memodifikasi metode Kostaki yang nantinya akan dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Pada

metode modifikasi Kostaki tidak memerlukan data standar dalam melakukan pendugaan terhadap tabel hayat lengkap, metode ini mengganti tabel hayat standar dengan interpolasi Lagrange 6 titik dan model HP. Pada karya tulis ini diberikan dua alternatif model HP, yang masing-masing modelnya telah disederhanakan agar lebih mudah dalam melakukan pendugaan nilai-nilai parameternya. Dengan demikian direkomendasikan tiga tambahan metode untuk dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Nilai kriteria uji yang digunakan dalam membandingkan metode-metode tersebut adalah rataan galat mutlak (MAE) dan koefisien determinasi (R2).

Data yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2002 dan 2007 yang diperoleh dari

Human Mortality Database (www.mortality.org). Data tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 digunakan sebagai data standar. Tahap pertama yang dilakukan adalah mengkaji masing-masing metode interpolasi tabel hayat ringkas. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 berdasarkan tabel hayat ringkas 2007 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan hasil yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode dengan tabel hayat lengkap 2007 yang asli. Untuk menguji kesesuaian data asli dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE dan R2.

ABSTRACT

ZULKARNAEN. Modification of the Kostaki Interpolation Method in Estimating Complete Life Table Based on Abridged Life Table. Supervised by HADI SUMARNO and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA.

Information about a person's chances of survival according to age is needed to predict the amount of claims to be paid by an insurance company in the future. This requires a complete life table. Several methods are available to estimate a complete life table, among others there are Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, and Kostaki methods.

The purpose of this paper is to modify the Kostaki method, which then will be compared to the other interpolation methods. This method does not require a standard data in making estimation of a complete life table. Standard data are replaced by results of interpolated probability of dying on the abridged life table. The method of interpolation is a six-point Lagrangian interpolation and Heligman-Pollard (HP) method. This paper provides two alternative models of HP method. Each model has been simplified to make it easier to estimate the values of its parameters.

The data are derived from the USA life tables of 2002 and 2007, which are obtained from the Human Mortality Database. The complete USA life table of 2002 is used as the standard data. The first step is to examine each of the interpolation method of abridged life table. Furthermore, a complete USA life table of 2007 is developed based on USA abridged life table 2007 using each of the methods. The last step is comparing the results obtained by each method with the empirical complete USA life table of 2007. Mean absolute error and coefficient of determination are used to test the suitability of the empirical data with the estimated data based on the methods.

MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM MENDUGA

TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN TABEL HAYAT RINGKAS

ZULKARNAEN

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul : Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat

Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas

Nama : Zulkarnaen

NIM : G54061920

Menyetujui,

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus : ………..

Pembimbing I,

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S.

NIP 19590926 198501 1 001

Pembimbing II,

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat dan nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul “Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas”.

Berbagai permasalahan yang muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S selaku pembimbing 1 yang selalu sabar mendidik, membimbing, memberikan ilmu sehingga penulis bisa menyelesaikan tugas akhir ini.

2. Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis.

3. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S yang bersedia menjadi penguji, dan telah memberikan banyak masukan.

4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang sudah diberikan selama saya menyelesaikan studi.

5. Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu Susi dan Bu Ade, terima kasih atas kemudahan administrasi, dukungan dan doanya.

6. Pemerintah Daerah Kabupaten Kutai Kartanegara yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.

7. Ayah, Ibu, Kakak dan Adik serta seluruh keluarga yang memberikan segala pengorbanan, dukungan dan motivasi selama penulis menyelesaikan studi.

8. Teman-teman mahasiswa angkatan 43: Arif, Andrew, Albrian, Dandi, Desi, Faizul, Fardan, Irsyad, Kuntoaji, Razon, Sunarsih, Sukarso, Tubagus, Yulfi dan teman-teman lainnya atas segenap dukungannya selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB. 9. Kakak-kakak mahasiswa matematika angkatan 41 dan 42 serta adik-adik mahasiswa

matematika angkatan 44, 45 dan 46 yang tidak bisa disebutkan satu per satu. 10. Keluarga besar FM BUD KUKAR atas dukungan, motivasi serta doanya.

11. Semua teman-teman Pondok D’QAQA atas dukungan, nasihat dan bantuan kepada penulis selama ini.

Besar harapan penulis agar karya ilmiah ini dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan dalam perbaikan atau kelanjutan karya ilmiah ini.

Bogor, Maret 2012

RIWAYAT HIDUP

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GRAFIK ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... x

I

PENDAHULUAN ... 1

1.1.Latar Belakang ... 1

1.2.Permasalahan

...

1

1.3.Tujuan

...

1

II LANDASAN TEORI ... 2

2.1.Tabel hayat

...

2

2.2.Fungsi dasar tabel hayat

...

2

2.3.Interpolasi Lagrange

...

2

2.4.Model tak linear

...

3

2.5.Regresi tak linear

...

3

2.6.Metode Levenberg Marquardt

...

4

2.7.Uji kesuaian data

...

4

2.8.Kurva bertahan hidup

...

4

III METODE INTERPOLASI ... 6

3.1.Metode Elandt-Johnson

...

6

3.2.Metode Brass Logit

...

6

3.3.Model Heligman-Pollard (HP)

...

6

3.4.Metode Kostaki

...

7

3.5.Modifikasi Kostaki

...

7

3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik

...

7

3.5.2. Model Heligman-Pollard alternatif

...

7

IV PEMBAHASAN ... 9

4.1.Metode Elandt-Johnson

...

9

4.2.Metode Brass Logit

...

11

4.3.Model Heligman-Pollard (HP)

...

13

4.4.Metode Kostaki

...

14

4.5.Metode modifikasi Kostaki

...

15

4.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange

...

16

4.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1

...

17

4.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2

...

18

4.6.Perbandingan antar metode

...

19

V KESIMPULAN ... 22

DAFTAR PUSTAKA ... 23

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1. Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung ��_� dengan (2 ≤ � ≤ 9) ... 10

2. Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung ��_� dengan (11 ≤ � ≤ 74) ... 10

3. Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard

...

14

4. Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung _���(I) dengan 1≤ � ≤10

...

16

5. Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18) ... 17

6. Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21) ... 18

ix

DAFTAR GRAFIK

Halaman

1. Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup ... 5

2. Gambar 4.1 Plot �_� tabel hayat lengkap dan �_� tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ... 9

3. Gambar 4.2 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Elandt-Johnson

...

11

4. Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit

...

12

5. Gambar 4.4 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Brass Logit ... 13

6. Gambar 4.5 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan model Heligman-Pollard ... 14

7. Gambar 4.6 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Kostaki ... 15

8. Gambar 4.7 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange ... 17

9. Gambar 4.8 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 ... 18

10. Gambar 4.9 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2 ... 19

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Lampiran 1 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 ... 25

2. Lampiran 2 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ... 28

3. Lampiran 3 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002

...

29

4. Lampiran 4 Nilai �� untuk masing-masing metode yang digunakan

...

32

5. Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan (4.1) dan persamaan (4.2) ... 35

6. Lampiran 6 Program mencari parameter metode Brass Logit dengan software Mathematica 7.0 ... 36

7. Lampiran 7 Program pendugaan parameter Heligman-Pollard dengan software Mathematica 7.0 ... 37

8. Lampiran 8 Perhitungan nilai konstanta _��� pada metode Kostaki ... 39

9. Lampiran 9 Nilai koefisien untuk menghitung _��_�(I) dengan metode modifikasi Kostaki Lagrange ... 40

10. Lampiran 10 Perhitungan nilai konstanta _��� pada metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange ... 41

11. Lampiran 11 Nilai _��_�(I) berdasarkan model HP 1 ... 42

12. Lampiran 12 Perhitungan nilai konstanta _��� pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 ... 43

13. Lampiran 13 Nilai _���(I) berdasarkan model HP 2 ... 44

14. Lampiran 14 Perhitungan nilai konstanta _��� pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2

...

45

I PENDAHULUAN

1.1.Latar belakang

Dalam rangka perencanaan pembangunan segala bidang di suatu negara, diperlukan informasi mengenai keadaan jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut usia. Informasi yang harus tersedia tidak hanya menyangkut keadaan pada saat perencanaan disusun, tetapi juga informasi masa lalu dan untuk masa yang akan datang.

Proyeksi penduduk adalah perhitungan jumlah penduduk (menurut komposisi usia dan jenis kelamin) di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan fertilitas, mortalitas dan migrasi. Pada proses proyeksi penduduk dibutuhkan tabel hayat yang digunakan sebagai alat analisis mortalitas. Adapun manfaat dari proyeksi penduduk adalah untuk perencanaan penyediaan beras, fasilitas kesehatan, fasilitas perumahan, dan fasilitas kesempatan kerja.

Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal

atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval lima atau sepuluh tahun. Adapun manfaat dari tabel hayat antara lain adalah sebagai berikut: (i) untuk keperluan analisis mortalitas, (ii) sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk, (iii) sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa, (iv) serta untuk mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat.

1.2.Permasalahan

Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.

1.3.Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:

 Melakukan interpolasi terhadap data tabel hayat ringkas.

II LANDASAN TEORI

2.1.Tabel hayat

Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal.

Tabel hayat berdasarkan penyusunannya diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat ringkas berisi data kematian penduduk yang dikelompokkan dalam interval usia 5 tahun atau 10 tahun. Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis digunakan.

(Siegel & Swanson 2004)

Asumsi – asumsi dalam tabel hayat:

 Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian.

 Migrasi dianggap tidak ada, perubahan jumlah kelompok (kohort) hanya dipengaruhi oleh kematian.

 Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut usia.

 Besaran kohort adalah jumlah tetap dari jumlah kelahiran menurut jenis kelamin seperti 1.000; 10.000; atau 100.000 yang disebut dengan “radix tabel hayat” sehingga menyediakan perbandingan antara tabel-tabel yang berbeda.

(Wirosuhardjo et al. 1985)

2.2. Fungsi dasar tabel hayat

Fungsi dasar tabel hayat adalah menerangkan riwayat suatu kelompok (kohort) penduduk yang biasanya disebut radix. Pada kasus ini diberikan fungsi dasar tabel hayat dalam bentuk diskret yakni sebagai berikut:

1) � : berarti usia �, dalam tabel hayat lengkap, kolom ini berisi �= 0,1,2, …�, dengan � adalah usia tertua.

2) �� : jumlah orang-orang yang hidup pada usia � (dimulai pada interval � sampai

�+�) dari jumlah total kelahiran menurut “radix tabel hayat”. Kolom ini dimulai dengan �0 yang biasanya bernilai 100.000.

3) �_� : tingkat kematian penduduk usia �

�� =��_�

� (2.1)

4) _{� �}� : peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia �+�, untuk penduduk yang berusia �.

�� =

� �_����=��− ��+�_�� (2.2)

5) _{� �}� : jumlah kematian dari orang-orang

�� selama periode tahun �R.

�

� �=��− ��+� (2.3)

6) _{� �}� : lamanya waktu yang dijalani oleh sejumlah orang ��, dalam interval usia �

sampai �+�.

�

� �=��−�₂ � �� =�₂(��+��+�)

(2.4)

7) �_� : lamanya waktu hidup yang dijalani setelah mencapai usia �.

��=� �� �

�

(2.5)

8) �0_�R: tingkat harapan hidup pada usia �.

Ini adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang.

�0 �=�_��

� (2.6)

Catatan: Dalam tabel hayat lengkap �= 1, sedangkan dalam tabel hayat ringkas biasanya menggunakan �= 5 atau �= 10.

(Brown 1997 )

2.3. Interpolasi Lagrange

yang diberikan. Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapat fungsi polinomial �(�) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (�_�,�_�) dengan �= 1,2, …�. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (� −1) yang melalui � titik berbeda adalah:

��−1(�) = � ����(�) (2.7)

�

�=1

dengan ��(�) merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:

��(�) = ∏ �� − ���

� �=1,�≠�

∏��=1,�≠����− ���

(2.8)

(Heath 1996)

2.4. Model tak linear

Model-model yang linear dalam parameter secara umum berbentuk:

�= �0+ �1�1+ �2�2+⋯+ ����+ � (2.9)

Sembarang model yang tidak berbentuk seperti persamaan (2.9) disebut model tak linear, maksudnya tak linear dalam parameternya. Model tak linear dapat dibagi menjadi dua jenis, yakni model linear intrinsik dan model tak linear intrinsik. Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat ditransformasi ke bentuk linear, jika suatu model tak linear tidak dapat di ubah ke bentuk linear, maka model tak linear tersebut adalah model tak linear intrinsik. Contoh untuk model-model tersebut adalah:

�= �1+�2�2+�� _(2.10) Model ini dapat ditransformasi ke dalam bentuk yang linear, menjadi:

ln(�) = �1+ �2�2 + � (2.11) Meskipun terdapat pangkat pada persamaan, persamaan tersebut tetap disebut persamaan yang linear (persamaan linear ordo-kedua), yang artinya linear dalam parameternya. Contoh untuk model tak linear intrinsik:

�= �1�е

−�2�_{− е}−�1�_�

�1− �2 +� (2.12)

Model ini dikatakan model tak linear intrinsik, karena tidak mungkin mengubah bentuknya ke dalam suatu bentuk yang linear dalam parameternya.

(Draper & Smith 1992)

2.5. Regresi tak linear

Bentuk sederhana dari persamaan regresi tak linear dapat dinyatakan sebagai berikut:

�= �(�;�) +� (2.13) dengan � adalah fungsi taklinear dari �= (�1,�2, … ,��)′ yang merupakan vektor dari peubah bebas dan �=��1,�2, … ,���′adalah parameter-parameternya. Apabila ada � data amatan, maka persamaan (2.13) menjadi:

��= �(��;�) +��

�= 1,2, … ,� (2.14) dengan ��= (�1�,�2�, … ,���)′. Galat persamaan tak linear ��= (ε1,ε2, … ,ε�)′ yang diasumsikan bebas dan berdistribusi normal ε ~ �(�,��2) dengan � vektor nol dan � matriks identitas, keduanya berukuran sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model tak linear didefinisikan sebagai berikut:

���(�) = �{�_�− �(��,�)}2 (2.15)

�

�=1

Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari �. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi � dilambangkan dengan �� merupakan nilai � yang meminimumkan ���(�). Nilai dugaan kuadrat terkecil �� dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.15 relatif terhadap �. Ini akan menghasilkan � persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai ��. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk :

�{�_�− ���_�,���

�

�=1

}���(��,�)

��� �_�=�� = 0

(2.16)

tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode Levenberg Marquardt.

(Draper & Smith 1992)

2.6. Metode Levenberg Marquardt

Metode Levenberg Marquardt adalah salah satu metode yang digunakan untuk menduga nilai parameter koefisien model-model tak linier. Secara umum metode Levenberg Marquardt dinyatakan sebagai berikut:

���+1_=���_{− �����}�_��_�����_�+� ���×��

−1

�����(�)

�(��) � �= 1,2, … ,� (2.17)

(Marquardt 1963)

Algoritma Metode Levenberg Marquardt adalah sebagai berikut:

1) Untuk �= 0 (iterasi ke-n), perlu menentukan nilai awal penaksir parameter (�0), nilai � adalah 0 <�< 1 atau yang biasanya faktor dari 10.

2) Memperbarui vektor parameter ���+1, secara iteratif sesuai dengan persamaan (2.17).

3) Menghitung �������+1�.

4) Jika �������+1�> �������� maka � dikalikan 10, kemudian kembali ke langkah (1).

5) Jika �������+1�< �������� maka � dibagi dengan 10, kemudian kembali ke langkah (1).

6) Iterasi berhenti jika

��������+1_{������}�−�������_� ��� × 100 < ���

Keterangan:

��� _{: vektor parameter pada iterasi ke-n.} �����_{� : matriks Jacobi.}

�� : nilai skalar pada iterasi ke-n. ��� : matriks Identitas �����_�(�(�)

�) � : persamaan normal.

(Ranganathan 2004)

2.7. Uji kesuaian data

Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan di antaranya adalah:

1) Galat mutlak (Absolute error, AE) Misalkan �� adalah data ke-i yang sebenarnya dan ��_� adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk

��. Galat mutlak didefinisikan sebagai

berikut:

��= |��− ���| ;

�= 1,2, … ,� (2.18) (Mathews 1992) 2) Rataan galat mutlak (Mean absolute

error, MAE)

Rataan galat mutlak untuk data ke-i

didefinisikan sebagai berikut:

���=1

��|��− ���| �

�=1

�= 1,2, …� (2.19) (Mathews 1992)

3) Koefisien determinasi �2

�2_{= 1−}∑��=1(��− ���)2 ∑�_�=1(��− ��)2

�= 1,2, … ,� (2.20) dengan �_�= nilai sebenarnya, ��_�= nilai dugaan, dan ��= nilai rata-rata.

(Agresti & Barbara 1986)

2.8. Kurva bertahan hidup

Kurva bertahan hidup adalah kurva yang menunjukkan jumlah atau proporsi dari individu yang bertahan hidup di setiap tahunnya. Kurva ini menyajikan hubungan antara �� pada sumbu-� dan usia (�) pada sumbu-�.

Ada tiga tipe kurva bertahan hidup:

2) Tipe II adalah perantara antara tipe I dan tipe III, angka kematian populasi relatif tetap pada setiap kelas usia atau dengan kata lain angka kematian konstan dialami tanpa memandang kelompok usia. Kurva ketahanan hidup untuk tipe ini berbentuk garis diagonal.

3) Tipe III pada populasi tingkat kematian tinggi di awal usia dan pertengahan usia sehingga kurva menurun sampai periode tertentu, kemudian relatif stabil ketika memasuki periode usia tua.

I

II ��

III

�

III METODE INTERPOLASI

3.1. Metode Elandt-Johnson

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson adalah:

1) Untuk usia 0–74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula

��=�∏ �� − ���≠� �

∏ ����≠� − ��� ��� � 6

�=1

� _(3.1)

dengan fungsi basis dari persamaan di atas adalah

��(�) =_{∏ ���}∏ �� − ����≠� _{− ���} �≠�

;

�= 1,2, … 6 (3.2) 2) Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan

berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival �(�) = exp��

�(1− ���)�= �1−��_{; �> 0, �> 0, �> 0, �=}

exp��

�� dan �= exp(�) dengan usia �

dan parameter � dan �. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai �� ditentukan dengan menggunakan rumus:

��+�

� _{= �}

��̂

(�+�)

�̂(�) (3.3)

�

dengan

�= 1, … ,4; �= 75,80, … ,� −15

�= 1, … , (119− �); �=� −10 (Elandt & Johnson 1980)

3.2. Metode Brass Logit

Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah:

1) Menduga parameter � dan � yang memenuhi hubungan linear berikut:

logit(1− ��) =�+�logit�1− ��� � (3.4)

dengan

logit(1− ��) =1 2ln�

1− �_�

�� � (3.5)

Parameter � dan � diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear

2) Setelah diperoleh nilai parameter � dan

�, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut:

��=

1

1 + exp [2(�+�logit(1− ��_�))] (3.6)

(Brass 1971)

3.3. Model Heligman-Pollard (HP)

Rumus matematik metode interpolasi dengan model Heligman-Pollard diberikan sebagai berikut:

��

�� =�(�+�)

�

+�exp�−� �ln��

��� 2

�+��� (3.7)

Keterangan:

� : representasi dari �10T.

�2T : perbedaan antara �0 dan �10T.

� : penurunan laju kematian anak-anak.

� : intensitas kematian pada dewasa muda.

� : sebaran usia terjadinya kecelakaan.

� : usia muda dengan kematian terbanyak.

� : tingkat kematian usia tua.

� : laju peningkatan kematian usia tua.

�,�,�,�,�,�,�,� ≥0

Tahapan yang dilakukan adalah menduga nilai parameter-parameter dari model Heligman-Pollard dengan meminimumkan:

���(�) =� �� ���

� � �−1�

2 (3.8) � �=1 dengan ��

� �= 1− �1− �(�+�;�) (3.9) �−1

Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

��= �

(�;�)

1 +�(�;�)=�(�;�) (3.10) dengan

�(�;�) =�(�+�)�+�exp�−� �ln��

��� 2

�

+���

(Heligman & Pollard 1980)

3.4. Metode Kostaki

Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:

1) Menentukan konstanta _��� untuk setiap interval usia [�,�+�) dengan menggunakan rumus:

�� � =

ln(1− �_{� �})

∑�−1_�=0ln (1− �_�+�(�)) (3.11)

dengan:

�

1

4 untuk

�

�

[1,4]

�

5

5 untuk

�

�

[5,9]

�

10

5 untuk

�

�

[10,14]

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

�

105

5 untuk

�

�

[105,109]

2) Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:

��= 1−(1− ��(�))��� (3.12)

Keterangan:

��(�): peluang seseorang tepat berusia �

meninggal sebelum mencapai usia �+ 1 pada tabel hayat standar.

(Kostaki 2000)

3.5. Modifikasi Kostaki

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode modifikasi Kostaki adalah:

1) Menentukan konstanta _��� untuk setiap interval usia [�,�+�) dengan menggunakan rumus:

�� � =

ln(1− ��_� )

∑ ln (1− �_�+�(I)

� �−1 �=0 ) (3.13) dengan:

�

1

4 untuk

�

�

[1,4]

�

5

5 untuk

�

�

[5,9]

�

10

5 untuk

�

�

[10,14]

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

�

105

5 untuk

�

�

[105,109]

2) Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:

�� = 1− �1− ��_� (I)����

(3.14)

Nilai _���(I) di atas berasal dari data hasil interpolasi �� pada tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif.

3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik

Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi �� pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan:

��(I)=�_{∏ ���}∏ �� − ��≠� _{− �}��_�� �≠� ��� � 6 �=1 � (3.15)

3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif

1) HP (1)

Usia anak-anak (1-9 tahun)

��(I) =

� �

(�+�)�

1+�(�+�)�_{+�exp�−��ln�}� ���

2

�+��� (3.16)

Usia muda (10-29 tahun)

��(I) ₌ �

�exp�−��ln�_����2� 1+�(�+�)�_{+�exp�−��ln�}�

��� 2

�+��� (3.17)

Usia tua (30 tahun ke atas)

��(I) ₌

� ��

�

1+�(�+�)�_{+�exp�−��ln�}� ���

2

�+��� (3.18)

2) HP (2)

Usia anak-anak (1-9 tahun)

��(I)=

� �

(�+�)�

1+�(�+�)� (3.19) Usia muda (10-29 tahun)

��(I)₌ �exp�−��ln�

� ���

2

� 1+�exp�−��ln��_���2�

� (3.20)

Usia tua (30 tahun ke atas)

��(I)=

� ��

�

9

IV PEMBAHASAN

Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel

hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara �� pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan

�� pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Plot �_� tabel hayat lengkap dan �_� tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007

Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva �� pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada sekitar 40% dari jumlah keseluruhan populasi.

Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2.

4.1. Metode Elandt-Johnson

Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasakan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut usia tertentu, yakni usia 0-10 tahun, usia 10-74 tahun, serta usia di atas 74 tahun. Untuk interval usia 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik seperti pada persamaan (3.1). Berdasarkan persamaan (3.1), koefisien yang digunakan untuk menghitung ��_� pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.2).

Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan (3.2) diberikan pada Tabel 4.1 (2 ≤ � ≤ 9) dan Tabel 4.2 (11

≤ � ≤ 74). _{} _ _    _  _             _  _{}          _             

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

10

Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung ��� dengan (2 ≤ � ≤ 9).

�1

� �_�5 �_�10 �_�15 �_�20 �_�25 �2

� _{0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156} �3

� _{0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159} �4

� _{0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088} �6

� _{-0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070} �7

� _{-0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104} �8

� _{-0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098} �9

� _{-0.0184 0.1408 1.0012 -0.1609 0.0431 -0.0059}

Keterangan: ��

� _{: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � yang tersedia pada tabel hayat ringkas.} ��

� _{: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia � dari tabel hayat lengkap yang akan diduga.}

Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung ��� dengan (11 ≤ � ≤ 74).

��5�−10 ��5�−5 ��5� ��5�+5 ��5�+10 ��5�+15

�5�+1

� _{0.0081 -0.0739 0.8870 0.2218 -0.0493 0.0063} �5�+2

� _{0.0116 -0.0998 0.6989 0.4659 -0.0874 0.0108} �5�+3

� _{0.0108 -0.0874 0.4659 0.6989 -0.0998 0.0116} �5�+4

� _{0.0063 -0.0493 0.2218 0.8870 -0.0739 0.0081}

Keterangan: �5�+�

� _{: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5�+� dari tabel hayat ringkas dengan �=−10,−5,0,5,10,15.} �5�+�

� _{: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5�+� dari tabel hayat lengkap yang akan diduga dengan} �= 1, … ,4.

dengan

�= 2 untuk ��11− �14�

⋮ ⋮ ⋮

�= 14 untuk ��70− �74�

Jika tabel hayat ringkas yang digunakan adalah 5 tahunan, maka nilai koefisien pada Tabel 4.1 yang digunakan, yakni nilai ��₁,

�5

� _, �_�10, �_�15, �_{�20, dan} �_{�25. Misalkan,}

untuk menghitung ��2 diperoleh:

�2=

� _0.5620�_{�1+ 0.7176}�_�5

− 0.4784��₁₀+ 0.2839��₁₅ −0.1007��₂₀+ 0.0156��₂₅ Perhitungan yang dilakukan pada Tabel 4.2 sama seperti pada Tabel 4.1. Misalkan, untuk menghitung ��11, diambil nilai �= 2, sehingga diperoleh:

�11

� _{= 0.0081}�_{�0−0.0739}�_�5

+0.8870��10+ 0.2218��15 − 0.0493��₂₀+ 0.0063��₂₅ Untuk usia di atas 74 tahun, metode ini mengasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival �(�) = exp(�

�(1−

exp(��))) =�1−��; �> 0, �> 0, �> 0,

�= exp(�

�) dan �= exp(�) dengan usia �, �

dan � adalah parameter. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dan rasio nilai ��� yang berdekatan, yang kemudian akan menghasilkan parameter �� dan �� untuk usia �. Nilai penduga untuk �� dan ��, yakni ���̅ dan �̂�̅ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan:

⎩ ⎨

⎧ �̂�̅=��1

�2� −1₅

���̅= 10 �1 ������5−1� dengan ⎩ ⎪ ⎨ ⎪

⎧ _�1= log ��

� ��+5 �

�2= log ��+5

� ��+10 �

�= 75,80, … ,� −10

11

Proses perhitungan akan berhenti pada saat ���̅ dan �̂�̅ untuk �̅=� −10, dengan � adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh nilai dugaan parameter ��_�̅ dan �̂_�̅ dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival

berdasarkan persamaan:

�̂(�+�) =��_�1−�̂��+� dengan

�= 1, … ,4 �= 75,80, … ,� −15

�= 1, … , (119− �) �=� −10

(4.2)

Dimulai dari survival �̂(�) kemudian menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni ��_� pada persamaan (3.3).

Hasil perhitungan ��_�̅ dan �̂_�̅ menggunakan persamaan (4.1) dan (4.2) diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil nilai �_� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva �_� pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Elandt-Johnson

Gambar 4.2 kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki perbedaan yang sangat kecil dengan metode Johnson, sehingga metode Elandt-Johnson dikatakan sangat baik dalam menduga �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007.

4.2. Metode Brass Logit

Brass (1971) mengasumsikan hubungan linear persamaan (3.4) yakni antara �� dan

��

� _. �_{�� merupakan jumlah penduduk yang}

bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan � dan � adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level

kematian dan slope kematian. Perubahan nilai

� berhubungan dengan distribusi usia yang berbeda yaitu apakah kematian usia anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Jika nilai �>1 berarti kematian usia anak-anak lebih rendah

dibandingkan dengan kematian usia dewasa, sebaliknya jika �< 1 berarti kematian usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian usia dewasa.

Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu perlu dilakukan pengujian linearitas antara logit (1− �_�) dengan logit �1− ���� menggunakan persamaan (3.4). Pada tulisan ini data yang digunakan sebagai data standar adalah tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002.

Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan bantuan Software Mathematica 7.0 diperoleh �=−0.154 dan �= 0.91 dengan �2= 0.9989 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara logit (1− ��) 2007 dan logit

�1− ���� 2002 dapat dilihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.

_{} _{} _ _ _ _          _      _{} _{} _ _  _ _              _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

 ElandtJohnson

12

Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit

Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat dihitung berdasarkan persamaan (3.4) dan persamaan (3.5) sehingga diperoleh persamaan (3.6).

Berdasarkan perhitungan �=−0.154 dan

�= 0.91, �< 1 artinya angka kematian

penduduk Amerika Serikat 2007 usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan usia muda. Parameter � yang mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva �� pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2002.

Bukti persamaan (3.6):

��= 1

1 + exp�2��+�logit�1− ��S ���

Diketahui:

logit(1− ��) =1 2ln�

1− ��

�� �

Bukti:

logit(1− �_�) =�+�logit�1− �S_�� 1

2ln� 1− ��

�� �=�+�logit�1− �� S _�

ln�1− ��

�� �= 2��+�logit�1− ��S ��

�1− ��_�

� �= exp�2��

+�logit�1− �S_���� 1

��− ��

��= exp�2��+�logit�1− ��S ���

1

��−1 = exp�2��+�logit�1− ��S ���

1

�� = 1 + exp�2��+�logit�1− ��S ���

�� = 1

1 + exp�2��+�logit�1− ��S ��� Berdasarkan hasil yang diperoleh persamaan (3.6) menjadi

�� =_{1+exp [2(−0.154+0}1_{.91logit(1− �}S_�))] (4.3)

Nilai �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubstitusi ��_� (data standar �_�) tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 kepersamaan (4.3). Nilai �� metode ini dapat dilihat pada lampiran 4. Perbandingan kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva �_� dengan metode Brass Logit tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.4.



4



2

0

2

4

6



4



2

0

2

4

logit



1



s

l

_x



13

Gambar 4.4 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Brass Logit

Kurva �� dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli, kecuali di usia sekitar 50 tahun ke atas nilai �_� berbeda jauh dengan nilai �� sebenarnya.

4.3. Model Heligman-Pollard (HP)

Menurut Heligman-Pollard (1980), model Heligman-Pollard adalah salah satu metode interpolasi yang merepresentasikan kematian selama rentang waktu seluruh kehidupan. Ide yang mendasari model Heligman-Pollard ini adalah bahwa kelompok kematian dapat dibagi menjadi tiga kelas, yakni komponen pertama merepresentasikan kematian bayi dan

anak-anak, komponen kedua

merepresentasikan kematian dewasa muda, dan komponen ketiga merepresentasikan kematian di usia tua.

Fungsi matematika model Heligman-Pollard diberikan pada persamaan (3.7). Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan tersebut adalah �(�;�), yakni suatu fungsi dengan variabel usia � dan � merupakan vektor parameter pada persamaan tersebut, maka rumus Heligman-Pollard akan menjadi:

��

��=�(�;�)

karena

��= 1− �� maka

�� = �(�;�) 1 +�(�;�)

Bukti hubungan _{� �}� dengan �_� pada model Heligman-Pollard:

�

� �= 1− �(1− ��+�) �−1

�=0

Bukti:

�

� �= 1− �� �

= 1− � ��

�� =��+� �� =��+1 �� ��+2 ��+1…

��+� ��+�−1

=����+1…��+�−1

=� ��+�

�−1

�=0

�

� �= 1− � ��+� �−1

�=0

= 1− �(1− ��+�)

�−1 �=0 _{} _  _     _                 _{} _ _ _  _ _            _   _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

 Brass Logit

14

Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah:

��

� �= 1− � �1− �

(�+�;�) 1 +�(�+�;�)�

�−1

�=0

Nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (3.8). Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini.

Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter Nilai Keterangan � 0.0073 Representasi dari �1 � 4.2105 Perbedaan antara �0 dan �1

� 0.2905 Penurunan laju kematian anak-anak. � 0.0009 Intensitas kematian pada dewasa muda. � 7.8659 Sebaran usia terjadinya kecelakaan. � 23.3058 Usia muda dengan kematian terbanyak. � 0.0001 Tingkat kematian usia tua.

� 1.0928 Laju peningkatan kematian usia tua.

Kemudian dengan mensubstitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh ke dalam persamaan (3.10) akan dihasilkan nilai dugaan �_� tabel hayat lengkap. Setelah nilai �� diperoleh, nilai �� dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi �� yaitu:

��+1= (1− ��)�� ;�= 0,1,2, … ,� (4.4)

� adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan

�0= 100000.

Hasil pendugaan �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva �_� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva �_� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan model Heligman-Pollard

Pola kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard mengikuti pola �_� tabel hayat lengkap Amerika Serikat yang asli. Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.

4.4. Metode Kostaki

Metode interpolasi Kostaki (Kostaki 2000) memberikan metode nonparametric

sederhana yang berkaitan dengan peluang kematian lima tahunan dan peluang kematian satu tahunan. Hipotesis dari metode ini adalah _{} _{} _   _ _                 _{} _ _    _             _   _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

 Heligman Pollard

15

bahwa dalam setiap usia interval [�,�+�), laju kematian sesaat �(�) tabel hayat ringkas adalah perkalian atau penggandaan konstanta laju kematian sesaat �(�) tabel hayat lengkap standar di interval usia yang sama. Hipotesis metode ini diberikan pada persamaan:

�(�) = _���∗ �(�)(�)

Oleh karena itu konstanta _��� konstan untuk setiap interval usia [�,�+�). Metode interpolasi Kostaki berdasarkan data standar diberikan pada persamaan (3.11). Kemudian untuk memperoleh nilai dugaan �� tahunan, hasil perhitungan persamaan (3.11) disubstitusi kepersamaan (3.12).

Bukti persamaan (3.11):

�� � =

ln(1− �_{� �})

∑�=1_�=0ln (1− �_�+�(�))

Diketahui: �(�) = ��∗ �(�)_(�) � Bukti: − � ��+���=− ��� �(�)�+��� � 0 � � 0

ln_���= _���ln_��(�)_�

_��_�= ln��� ln �(�) � �

= ln���

ln�∏ �(�)

�+� �=1

�=0 �

= ln�1− ��� �

ln�∏ �1− �(�)

�+�� �=1

�=0 �

= ln(1− ��� )

∑�=1_�=0 ln (1− �_�+�(�))

Metode Kostaki menggunakan tabel hayat standar yang serupa dengan metode Brass Logit, yakni tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Hasil nilai �_� dari metode Kostaki diberikan pada Lampiran 4 dan hasil keseluruhan untuk perhitungan nilai konstanta

��

� diberikan pada Lampiran 8.

Perbandingan kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Kostaki diberikan pada Gambar 4.6.

Gambar 4.6 Plot �� asli Amerika Serikat 2007 dan �� dengan metode Kostaki

Berdasarkan kurva �� pada Gambar 4.6 dengan menggunakan metode Kostaki, mengikuti pola kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan sangat baik.

4.5. Metode modifikasi Kostaki

Metode ini hampir serupa dengan metode Kostaki. Metode ini tidak memerlukan tabel hayat standar sebagai alat bantu untuk melakukan pendugaan tabel hayat lengkap. Namun, metode ini memerlukan metode _{} _{}    _   _         _    _{} _{} _    _   _              _{}

20 40 60 80 100

16

interpolasi yang lain sebagai pengganti tabel hayat standar. Pada tulisan ini digunakan metode interpolasi Lagrange enam titik, model HP 1, dan model HP 2 sebagai alat yang akan menginterpolasi �_� tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007.

4.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange

Metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange adalah kombinasi Kostaki dan

interpolasi Lagrange yang serupa dengan skenario interpolasi yang digunakan pada metode Elandt-Johnson. Proses interpolasi �� tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007, menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik. Nilai-nilai koefisien yang diperoleh untuk fungsi basis dari usia 1-10 tahun diberikan pada Tabel 4.4 di bawah ini.

Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung _���(I) dengan 1≤ � ≤10.

₄�1 ₅�5 ₅�10 ₅�15 ₅�20 ₅�25

�1 4

(I)

1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

�2 4

(I)

0.5620 0.7176 -0.4784 0.2839 -0.1007 0.0156

�3 4

(I)

0.2734 1.0472 -0.5319 0.2992 -0.1037 0.0159

�4 4

(I)

0.0965 1.1088 -0.3285 0.1728 -0.0584 0.0088

�5 5

(I)

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

�6 5

(I)

-0.0417 0.7980 0.3547 -0.1520 0.0480 -0.0070

�7 5

(I)

-0.0489 0.5616 0.6656 -0.2407 0.0728 -0.0104

�8 5

(I)

-0.0373 0.3332 0.8885 -0.2448 0.0701 -0.0098

�9 5

(I)

-0.0184 0.1408 1.0000 -0.1609 0.0431 -0.0059

�10 5

(I)

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Skenario interpolasi yang dilakukan adalah misalkan untuk memperoleh nilai

��(I)

� usia 11-15 tahun, menggunakan

titik-titik data interpolan �1= 0, �2= 5, �3= 10,

�4= 15, �5= 20, dan �6= 25. Kemudian

untuk memperoleh nilai _��_�(I) usia 16-20 tahun menggunakan titik-titik data �1= 5,

�2= 10, �3= 15, �4= 20, �5= 25, dan �6=

30. Proses yang sama dilakukan untuk data-data yang berikutnya.

Berdasarkan Tabel 4.4 perhitungan nilai

��(I)

� untuk interval usia 1-10 tahun

menggunakan 6 titik-titik data interpolan yakni �₁= 1, �₂= 5, �₃= 10, �₄= 15,

�5= 20, dan �6= 25. Misalkan untuk

menghitung nilai ₄�2(I) dengan menggunakan persamaan (3.15) adalah sebagai berikut:

�2(I)

4 = 0.56204�1+ 0.71765�5

− 0.4784₅�10+ 0.2839₅�15 − 0.1007₅�₂₀− 0.0156₅�₂₅

Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai �= 10. Hasil interpolasi yang selanjutnya masing-masing diberikan pada Lampiran 9.

Setelah dilakukan interpolasi dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange 6 titik, tahap pertama yang dilakukan adalah hasil nilai _���(I) akan disubstitusi kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta _���. Kemudian tahapan selanjutnya, untuk memperoleh nilai dugaan

17

Gambar 4.7 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange

Pola kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange mengikuti pola �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik.

4.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1

Model HP 1 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi �_� pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Pada metode interpolasi ini membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan kelompok usia.

Pertama menggunakan model (3.16) untuk menginterpolasi usia 1-9 tahun, kedua

menggunakan model (3.17) untuk

menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.18) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan parameter model-model tersebut diperoleh dengan bantuan Software MATLAB R2008b menggunakan metode Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil nilai parameter model-model tersebut diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini.

Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18).

Parameter Model (3.16) Model (3.17) Model (3.18)

A 0.7804 0.9321 1.0000

B 18.3491 0.9919 1.0001

C 0.9316 0.9841 0.9979

D 10.8156 0.5244 1.0000

E 1.7012 0.0069 0.9999

F 2.3520 5.49E-10 1.0000

G 7.6251 1.1553 2.44E-05

H 0.6697 0.9293 1.1426

Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai _��_�(I). Tahap kedua, hasil berdasarkan nilai _���(I) disubstitusi kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta _���. Kemudian tahap selanjutnya, hasil berdasarkan persamaan (3.13) disubstitusi

kepersamaan (3.14) untuk memperoleh nilai dugaan �� tahunan. Nilai _���(I), konstanta

��

� , dan hasil nilai �� dari metode ini

masing-masing diberikan pada Lampiran 11, 12 dan 4. Perbandingan kurva �� asli dan metode modifikasi Kostaki dengan HP 1 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.8.

_{} _{} _    _                   _{} _{} _    _ _             _  _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

18

Gambar 4.8 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1.

Pola kurva �_� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 mengikuti pola �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yangasli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik.

4.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2

Model HP 2 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi �� pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Metode interpolasi yang dilakukan serupa dengan yang dilakukan pada model HP 1, yakni interpolasi dilakukan dengan cara membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan

kelompok usia. Interpolasi yang pertama

menggunakan model (3.19) untuk

menginterpolasi usia 1-9 tahun, interpolasi kedua menggunakan model (3.20) untuk menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.21) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan untuk parameter-parameter model HP 2 diperoleh dengan bantuan Software MATLAB R2008b

menggunakan metode Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil yang telah diperoleh untuk nilai-nilai parameter tersebut diberikan pada Tabel 4.6 di bawah ini.

Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21).

Parameter Model (3.19) Model (3.20) Model (3.21)

A 0.9721 - -

B 234.7215 - -

C 1.0207 - -

D - 0.0077 -

E - 2.1744 -

F - 25.0809 -

G - - 1.22E-05

H - - 1.1426

Tahapan yang dilakukan serupa dengan tahapan pada modifikasi Kostaki dengan HP 1. Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing

model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai _���(I). Tahap kedua, hasil berdasarkan nilai _���(I) disubstitusi kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta _��_�. _{} _ _ _  _  _             _  _{} _{} _ _ _   _ _            _  _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

19

Kemudian tahap selanjutnya, hasil berdasarkan persamaan (3.13) disubstitusi kepersamaan (3.14) untuk memperoleh nilai dugaan �� tahunan. Nilai _���(I), konstanta

��

� , dan hasil nilai �� dari metode ini

masing-masing diberikan pada Lampiran 13, 14 dan 4. Perbandingan kurva �� asli dan metode modifikasi Kostaki dengan HP 2 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.9 di bawah ini.

Gambar 4.9 Plot �_� asli Amerika Serikat 2007 dan �_� dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2.

Pola kurva �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2 mengikuti pola �� tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data yang asli dengan baik.

4.6. Perbandingan antar metode

Berdasarkan metode interpolasi yang digunakan, masing-masing metode memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson, model HP, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2 tidak memerlukan data standar dalam melakukan proses komputasi, sedangkan metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan data standar dalam melakukan proses komputasi.

Metode Elandt-Johnson menggunakan 3 skema interpolasi, 2 skema interpolasi yang pertama adalah dengan menggunakan interpolasi Lagrange 6 titik untuk usia 0-74, dan skema yang berikutnya menggunakan fungsi Gompertz untuk usia 74-110 tahun. Metode Brass Logit adalah salah satu metode interpolasi yang memerlukan data standar, metode ini menjelaskan bahwa terdapat hubungan linear antara fungsi logit tabel hayat standar dan fungsi logit tabel hayat lainnya.

Metode interpolasi dengan model HP berbasis fungsi odds dari fungsi peluang kematian tabel hayat lengkap. Metode Kostaki adalah metode yang juga memerlukan data standar, metode ini menyatakan bahwa laju kematian tabel hayat ringkas merupakan perkalian konstanta laju kematian tabel hayat standar. Metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange adalah kombinasi metode Kostaki dengan interpolasi Lagrange 6 titik. Metode modifikasi Kostaki dengan HP 1 adalah kombinasi metode Kostaki dan model HP 1. Metode modifikasi Kostaki dengan HP 2 adalah kombinasi metode Kostaki dan model HP 2.

Perbandingan antar metode interpolasi tabel hayat ringkas, menggunakan dua nilai kriteria uji, yakni menentukan nilai rataan galat mutlak (MAE) dan koefisien determinasi (�2). Nilai rataan galat mutlak (MAE) adalah rata-rata dari galat mutlak yang digunakan untuk mengukur seberapa dekat nilai dugaan dengan nilai yang sebenarnya, semakin kecil nilainya maka semakin akurat dugaannya. Koefisien determinasi (�2) adalah proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model.

Urutan nilai kriteria uji terbaik untuk metode-metode interpolasi yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 4.7.

_{} _{} _    _                   _{} _ _  _  _ _             _  _{}

20 40 60 80 100

20000 40000 60000 80000 100000

20

Tabel 4.7 Urutan nilai kriteria uji terbaik untuk �_� pada masing-masing metode No

Metode Data

standar Acuan komputasi MAE �

2

1 Kostaki √ �(�) = ��∗ �(�)_(�)

� 11.9636 0.9999

2 Modifikasi Kostaki

dengan Lagrange -

Kombinasi Kostaki dan

Lagrange 6 titik 15.6818 0.9999

3 Elandt-Johnson - o Lagrange 6 titik

o Gompertz 15.7273 0.9999

4 Modifikasi Kostaki

dengan HP 1 -

Kombinasi Kostaki dan

HP (1) 53.0455 0.9999

5 Modifikasi Kostaki

dengan HP (2) -

Kombinasi Kostaki dan

HP (2) 53.2545 0.9999

6 Heligman-Pollard

(HP) -

Fungsi ��

�� 750.2636 0.9994

7 Brass Logit √ Fungsi Logit 982.2727 0.9979

Berdasarkan Tabel 4.11 metode Brass Logit adalah metode yang tidak direkomendasikan untuk digunakan karena memiliki nilai MAE tertinggi. Sedangkan untuk metode modifikasi Kostaki HP 1 dan modifikasi HP 2 ternyata hasilnya jauh lebih baik jika dibandingkan dengan model HP yang asli. Namun selain sulit dalam proses perhitungannya, nilai MAE kedua metode tersebut masih cukup besar sehingga tidak direkomendasikan untuk digunakan. Metode Kostaki, modifikasi Kostaki Lagrange dan Elandt-Johnson adalah tiga metode terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007. Di antara ketiga metode tersebut, Kostaki memerlukan data standar dalam melakukan proses pendugaan, sehingga metode ini tentu saja tidak berlaku untuk negara yang belum mempunyai data standar. Oleh ka