Graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D_2n) dengan n ∈ Z^+ dan n ≥ 3

GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL-2n (D2n) DENGAN 𝒏 ∈ ℤ+ DAN 𝒏 ≥ 𝟑. SKRIPSI. Oleh: ROCHMAD HARTANTO NIM. 06510021. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013.

GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL-2n (D2n) DENGAN 𝒏 ∈ ℤ+ DAN 𝒏 ≥ 𝟑. SKRIPSI. Diajukan Kepada: Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si). Oleh: ROCHMAD HARTANTO NIM. 06510021. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013.

GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL-2n (D2n) DENGAN 𝒏 ∈ ℤ+ DAN 𝒏 ≥ 𝟑. SKRIPSI. Oleh: ROCHMAD HARTANTO NIM. 06510021. Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji: Tanggal: 11 Juni 2013. Pembimbing I. Pembimbing II. Drs. H. Turmudi, M.Si NIP. 19571005198203 1 006. H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 19710420 200003 1 003. Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

GRAF KONJUGASI DARI GRUP DIHEDRAL-2n (D2n) DENGAN 𝒏 ∈ ℤ+ DAN 𝒏 ≥ 𝟑. SKRIPSI. Oleh: ROCHMAD HARTANTO NIM. 06510021. Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 08 Juli 2013. Tanda Tangan. Susunan Dewan Penguji 1. Penguji Utama. 2. Ketua. 3. Sekretaris. 4. Anggota. : Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001. ____________. : Hairur Rahman, M.Si NIP.19800429 200604 1 003. ____________. : Drs. H. Turmudi, M.Si NIP. 19571005198203 1 006. ____________. : H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 19710420 200003 1 003. ____________. Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001.

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN. Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama. : Rochmad Hartanto. NIM. : 06510021. Jurusan. : Matematika. Fakultas. : Sains dan Teknologi. Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilalihan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.. Malang, 28 Juni 2013 Yang membuat pernyataan,. Rochmad Hartanto NIM. 06510021.

MOTTO. ْ َ ً َ َ َ َّ ُ ‫ َو ْاس ِب ْح ِفي ِب ُح ْو ِر َالف َوا ِئ ِد‬# ‫العلم‬ ِ ‫كل يو ٍم ِزيادة ِمن‬. Setiap Hari Bertambah Ilmu & Berenang Dalam Lautan Faedah.

PERSEMBAHAN. Ayahanda Sarnoe, S.Pd dan Ibunda Munir Kasmiatun, S.Pd Kakak Nur Eko Hardiono, S.T dan Nurul Syariffatun, S.Pd Adik Rois Prastyo Adik Ahwalul Lailiyah, S.Si.

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah, penulis haturkan ke hadirat Allah SWT yang telah menganugerahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga dapat menyelesaikan studi dan penulisan skripsi ini dengan lancar di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Penulis juga haturkan sholawat dan salam kepada nabi Muhammad SAW yang telah memberikan teladan terbaik sehingga penulis dapat berkarya dengan dasar kaidah syar’i dan akal secara Islam. Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penyelesaian skripsi ini. Ucapan terima kasih ini penulis sampaikan kepada: 1.. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 2.. Dr. Hj. Bayyinatul Muhtaromah, drh., M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 3.. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. 4.. Drs. H. Turmudi, M.Si dan H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd, selaku dosen pembimbing skipsi yang telah mengajarkan banyak keilmuan.. 5.. Segenap civitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen, terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingan.. viii.

6.. Ayahanda terbaik (Sarnoe) dan ibunda tercinta (Munir Kasmiatun) yang tak pernah berhenti memberikan do’a dan restu.. 7.. Adik terbaik (Rois Prastyo) dan adik terkasih (Ahwalul Lailiyah), terima kasih atas do’a dan motivasinya. Kepada Keluarga besar Pesantren luhur Malang, terkhusus kepada beliau Prof. Dr. Kyai. H. Ahmad Mudlor S.H yang senantiasa memberikan ilmu dan doa.. 8.. Keluarga besar UKM Pagar Nusa Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang, yang telah memberikan pengalaman berarti dalam perjalanan penulis.. 9.. M. Zuhdi Kurniawan, Imam Fachrudin, Fahmi abdullah dan semua rekan diskusi yang telah membantu kelancaran skripsi ini.. 10.. Sahabat-sahabat terbaik, mahasiswa Jurusan Matematika, terima kasih atas segala pengalaman berharga.. 11.. Semua pihak yang telah membantu penyelesaian skripsi ini, namun tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi penulis dan para. pembaca. Amin. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Malang. Penulis. ix.

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR .................................................................................... DAFTAR ISI ................................................................................................... DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... DAFTAR TABEL .......................................................................................... ABSTRAK ...................................................................................................... ABSTRACT .................................................................................................... ‫ ملخص‬.................................................................................................................. viii x xii xiii xiv xv xvi. BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1.1 Latar Belakang ............................................................................... 1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 1.3 Tujuan Penelitian............................................................................ 1.4 Batasan Masalah ............................................................................. 1.5 Manfaat Penelitian.......................................................................... 1.6 Metode Penelitian ........................................................................... 1.7 Sistematika Penulisan ...................................................................... 1 1 4 5 5 5 5 7. BAB II TINJAUAN PUSTAKA.................................................................... 2.1 Graf................................................................................................. 2.1.1 Definisi Graf ......................................................................... 2.1.2 Terhubung Langsung (Adjacent) dan Terkait Langsung (Incident) ............................................................. 2.1.2.1 Terhubung Langsung (Adjacent) ............................. 2.1.2.2 Terkait Langsung (Incident) .................................... 2.1.3 Matriks Keterhubungan (Adjacency matrix) ....................... 2.1.4 Macam-macam Graf ............................................................. 2.1.4.1 Graf Beraturan-r....................................................... 2.1.4.2 Graf Komplit ............................................................ 2.1.4.3 Graf Bipartisi ........................................................... 2.1.5 Graf Konjugasi ..................................................................... 2.2 Grup ................................................................................................ 2.2.1 Definisi Grup ........................................................................ 2.2.2 Sifat-sifat Grup ..................................................................... 2.2.3 Grup Dihedral ....................................................................... 2.2.4 Konjugasi pada Grup ............................................................ 2.3 Kajian Agama ................................................................................. 8 8 8. x. 10 10 11 11 12 12 13 13 14 15 15 17 18 20 23.

BAB III PEMBAHASAN .............................................................................. 3.1 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 ............................................................................................ 3.1.1 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8 ........................................... 3.1.1.1 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-6 (D6) ........................................................................ 3.1.1.2 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-8 (D8) ........................................................................ 3.1.1.3 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-10 (D10) ....................................................................... 3.1.1.4 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-12 (D12) ....................................................................... 3.1.1.5 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-14 (D14) ....................................................................... 3.1.1.6 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-16 (D16) ....................................................................... 3.2 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 Bilangan Ganjil ................................................. 3.2.1 Graf Konjugasi dari Grup dihedral-6 (D6) ........................... 3.2.2 Graf Konjugasi dari Grup dihedral-10 (D10) ........................ 3.2.3 Graf Konjugasi dari Grup dihedral-14 (D14) ........................ 3.2 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 Bilangan Genap ................................................. 3.2.1 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-8 (D8) .......................... 3.2.2 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-12 (D12) ....................... 3.2.3 Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-16 (D16) ....................... 3.4 Kajian Agama .................................................................................. 27 27 27 27 31 35 41 47 59 69 69 70 71 75 75 76 77 80. BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 84 4.1 Kesimpulan..................................................................................... 84 4.2 Saran .............................................................................................. 84 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 85. xi.

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Gambat 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambat 3.6 Gambar 3.7 Gambar 3.8 Gambar 3.9 Gambar 3.10 Gambar 3.11 Gambar 3.12 Gambar 3.13 Gambat 3.14 Gambar 3.15 Gambat 3.16 Gambar 3.17. Graf G ....................................................................................... Graf Beraturan-5 ....................................................................... Graf Komplit-3 ......................................................................... Graf Bipartisi5.5......................................................................... Graf Konjugasi Grup Dihedral-6 .............................................. Graf Konjugasi Grup Dihedral-6 .............................................. Graf Konjugasi Grup Dihedral-8 .............................................. Graf Konjugasi Grup Dihedral-10 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-12 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-14 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-16 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-6 .............................................. Graf Konjugasi Grup Dihedral-10 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-14 ............................................ Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 Bilangan Ganjil ...................................... Graf Konjugasi Grup Dihedral-8 .............................................. Graf Konjugasi Grup Dihedral-12 ............................................ Graf Konjugasi Grup Dihedral-16 ............................................ Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 Bilangan Genap ...................................... Graf Komplit-6 ......................................................................... Graf Komplit-8 ......................................................................... Graf Komplit-10 ......................................................................... xii. 10 13 13 14 15 31 34 41 47 59 68 70 71 72 31 76 77 78 80 81 82 82.

DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Matriks Kedekatan Graf G ............................................................... Tabel 2.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 ......................................................... Tabel 3.1 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 ......................................................... Tabel 3.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-8 ......................................................... Tabel 3.3 Tabel Cayley Grup Dihedral-10 ....................................................... Tabel 3.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-12 ....................................................... Tabel 3.5 Tabel Cayley Grup Dihedral-14 ....................................................... Tabel 3.6 Tabel Cayley Grup Dihedral-16 ........................................................ xiii. 12 20 28 31 35 42 48 60.

ABSTRAK Hartanto, Rochmad. 2013. Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd Kata kunci: Graf Konjugasi, Kelas Konjugasi, Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. Salah satu permasalahan dalam teori graf adalah menentukan graf konjugasi. Dengan menganggap unsur-unsur pada kelas konjugasi pada grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 adalah titik dan unsur-unsur pada kelas konjugasi dikatakan terhubung jika hanya jika unsur-unsur tersebut saling konjugasi satu sama lain. Maka diperoleh graf konjugasi pada grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. Penelitian dilakukan dengan tujuan untuk: Mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3, mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan ganjil, mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan genap. Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 adalah kumpulan graf komplit. graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan ganjil adalah kumpulan graf komplit yaitu satu graf komplit dengan 𝑛−1 satu titik, 2 graf komplit dengan dua titik, dan satu graf komplit dengan 𝑛 titik. graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan genap adalah kumpulan graf komplit yaitu dua graf komplit dengan 𝑛−2 𝑛 satu titik, 2 graf komplit dengan dua titik, dan dua graf komplit dengan 2 titik. Dengan kata lain graf konjugasi dapat ditulis sebagai berikut: 𝑛−1 𝐾2 ∪ 𝐾𝑛 , 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 2 . . 𝑛−2 2𝐾1 ∪ 𝐾2 ∪ 2𝐾𝑛 , 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 2 2 𝐾1 ∪. 𝐺=. Untuk penelitian selanjutnya dapat melakukan penelitian graf konjugasi selain pada grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3.. xiv.

ABSTRACT Hartanto, Rochmad, 2013. Conjugation Graph from Dyhedral-2n (D2n) Group with n  Z+ and n  3. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, State Islam University Mathematics of Maulana Malik Ibrahim Malang. Advisor: (I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) H. Wahyu Henky Irawan, M.Pd Keywords: Conjugation Graph, Conjugation Class, Dyhedral-2n (D2n) Group with n  Z+ and n  3 A problem in the graphic teory is to determine conjugation graph. The elements of conjugation class within dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 are some points (elements) in the conjugation class which are connected if and only if these elements have been conjugated to each other. Then obtained conjugation graph of dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3. The objectives of research are to understand the general pattern of conjugation graphic from dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3, to acknowledge the general pattern of conjugation graphic from dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 with n odd number, and to figure out the general pattern of conjugation graphic from dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 with n even number. The result of discussion indicates that conjugation graphic from dyhedral2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 is a set of complete graphics. Conjugation graphic from dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 with n odd number is a set of complete graphics such as a complete graphic with one point, a complete n 1 graphic with two points, and a complete graphic with n point. Conjugation 2 graphic of dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3 with n even number is a set of complete graphics which include two complete graphics with one point, a n2 n complete graphic with two points, and two complete graphic with point. 2 2 In other words can be written as follows: 𝑛−1 𝐾1 ∪ 𝐾2 ∪ 𝐾𝑛 , 𝑛 𝑜𝑑𝑑 2 . 𝐺= . 𝑛−2 2𝐾1 ∪ 𝐾2 ∪ 2𝐾𝑛 , 𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛 2 2 For further research can conduct research in addition to conjugation graph of dyhedral-2n (D2n) group with n  Z+ and n  3.. xv.

‫ملخص‬ ‫هرتنتو‪ ،‬رمحة‪ .2013 .‬غراف اقرتان من ثنائي السطح جمموعة ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪ .n ≥ 3‬أطروحة‪ .‬قسم الرياضيات‪ ،‬كلية‬ ‫العلوم والتكنولوجيا يف اجلامعة اإلسالمية موالنا مالك إبراهيم ماالنج الدولة‪.‬‬ ‫املشرف‪(I) :‬الدكاترة‪ .‬احلج‪ .‬الرتمذي‪،‬املاجستري‬ ‫(‪)II‬احلج‪ .‬الوحي هنكي إروان‪ ،‬املاجستري‬ ‫كلمات البحث‪ :‬غراف اقرتان‪ ،‬اقرتان فئة‪ ،‬ثنائي السطح جمموعة ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪.n ≥ 3‬‬ ‫واحدة من املشاكل يف حتديد الرسم البياين املوضوع هو اقرتان الرسم البياين‪ .‬وفيما يتعلق العناصر على جمموعة ثنائي‬ ‫السطح فئة اقرتان ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪ n ≥ 3‬نقطة وقال العناصر على الطبقة االقرتان أن تكون متصال إذا إال إذا كانت‬ ‫العناصر تصريف متبادلة مع بعضها البعض‪ .‬تعتمد على هذه األحباث خلفية أجريت لغرض‪ :‬معرفة النمط العام للفريق ثنائي‬ ‫السطحالرسم البياين املكورات ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪ ، n ≥ 3‬وحتديد النمط العام للفريق ثنائي السطح الرسم البياين املكورات ‪-‬‬ ‫‪-2n‬‬ ‫‪ )𝐷2𝑛 ( 2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪ n ≥ 3‬مع األعداد الفردية ن‪ ،‬ومعرفة النمط العام للفريق ثنائي السطح الرسم البياين املكورات‬ ‫( 𝑛‪ )𝐷2‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪ n ≥ 3‬مع ‪ n‬عدد زوجي‪.‬‬ ‫واستنادا إىل املناقشة ميكن احلصول على الرسم البياين املكورات ثنائي السطح من جمموعة ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪n‬‬ ‫‪ ≥ 3‬هي عبارة عن جمموعة من الرسم البياين كاملة‪ .‬اقرتان من جمموعة ثنائي السطح الرسم البياين ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪n ≥ 3‬‬ ‫مع األعداد الفردية ‪ n‬هو عبارة عن جمموعة من الرسم البياين كاملة من الرسم البياين كاملة برصيد نقطة واحدة‪،‬‬. ‫‪𝑛−1‬‬ ‫‪2‬‬. ‫رسم بياين‬. ‫كامل مع نقطتني‪ ،‬و رسم بياين كامل مع نقاط ن‪ .‬اقرتان من جمموعة ثنائي السطح الرسم البياين‬ ‫مع ‪ n‬عدد زوجي وهذا هو الرسم البياين كاملة هي عبارة عن جمموعة من اثنني من الرسوم البيانية كاملة مع نقطة واحدة‪،‬‬. ‫‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع ‪ n∈𝕫+‬و ‪n ≥ 3‬‬. ‫‪𝑛−2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫𝑛‬. ‫رسم بياين كامل مع نقطتني‪ ،‬و رسم بياين كامل مع ‪2‬نقطة‪ .‬مع كلمات البعض ميكن يكتب يف‪:‬‬ ‫‪𝑛−1‬‬ ‫الفردية 𝑛 ‪𝐾2 ∪ 𝐾𝑛 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=𝐺‬ ‫‪.‬‬ ‫‪𝑛−2‬‬ ‫∪ ‪2𝐾1‬‬ ‫زوجي 𝑛 ‪𝐾2 ∪ 2𝐾𝑛 ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ملزيد من البحوث ميكن إجراء حبوث باإلضافة إىل اقرتان جمموعة ثنائي السطح ثنائي السطح من جمموعة ‪ )𝐷2𝑛 ( -2n‬مع‬ ‫∪ ‪𝐾1‬‬. ‫‪ n∈𝕫+‬و ‪.n ≥ 3‬‬. ‫‪xvi‬‬.



BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Al-Qur’an telah memberikan kepada manusia kunci ilmu pengetahuan tentang dunia dan akhirat serta menyediakan peralatan untuk mencari dan meneliti segala sesuatu agar dapat mengungkap dan mengetahui keajaiban dari kedua dunia itu. Tidak diragukan lagi bahwa Al-Qur’an, dengan anjuran memperhatikan dan berpikir yang diulanginya beberapa kali menjadikan aktifitas studi dan penelitian dalam berbagai bidang sebagai sebuah keharusan bagi umat Islam. Karena itu Islam memerintahkan manusia untuk beribadah dan berpikir (Ummah, 2009:1). Telah banyak sekali ditemukan mukjizat ilmu pengetahuan dalam AlQur’an secara garis besar, termasuk matematika. Namun Al-Qur’an tidak mengangkat metode baru atau teknik baru dalam masalah ini, melainkan telah menunjukkan tentang adanya eksistensi dari sesuatu yang ada di balik alam semesta dengan cara yang sama seperti ia menunjukkan mengenai eksistensi alam semesta itu sendiri (Rahman, 1992:15). Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan oleh Alloh SWT dengan ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan. 1.

2. yang seimbang dan rapi (Abdussakir, 2007:79). Sebagaimana firman Alloh swt dalam surat Al-Furqon ayat 2 sebagai berikut:.                     “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai anak, dan tidak ada sekutu bagi-Nya dalam kekuasaan (Nya), dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya “(QS.25:2)”. Ayat di atas menjelaskan bahwa segala sesuatu yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Ahli matematika atau fisika tidak membuat suatu rumus sedikitpun. Mereka hanya menemukan rumus atau persamaan, sehingga rumus-rumus yang ada sekarang bukan diciptakan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan dalam bahasa matematika (Abdussakir, 2007:80). Dewasa ini semakin banyak muncul penggunaan model matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu dalam menyelesaikan permasalahan yang dihadapi dalam berbagai disiplin ilmu. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teoriteorinya dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan seharihari. Dengan mengkaji dan menganalisa model atau rumusan teori graf dapat diperlihatkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan permasalahan..

3. Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil aspek-apek yang dibutuhkan dan dibuang aspek-aspek lainnya (Fatkiyah, 2010:3). Ide dasar teori graf diperkenalkan pertama kali pada abad ke-18 oleh matematikawan Swis Leonhard Euler. Pada waktu itu, ia menggunakan graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang terkenal. Konisberg adalah sebuah kota disebelah timur Prussia (Jerman) dimana terdapat sungai pregel dan tempat tinggal Duke of Prussia pada abad ke-16 (tahun 1736). Sungai pregel membagi kota menjadi empat daratan yang mengalir mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua anak sungai. Pada abad ke-18 dibangunlah tujuh jembatan yang menghubungkan keempat daratan tersebut. Akhirnya Euler memecahkan masalah ini dengan mempresentasikannya kedalam graf dengan keempat daratan sebagai titik (vertec) dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge). Bahkan 3 abad setelahnya, teori ini masih digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Pada umumnya, teori graf digunakan untuk memodelkan persoalan dan mencari solusinya (Munir, 2005:354) Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi (Chartrand dan Lesniak, 1986:4). Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Banyaknya unsur di V disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order.

4. dan ukuran dari G tersebut cukup ditulis dengan p dan q (Abdussakir dkk, 2009:4). Dalam teori graf salah satu contohnya adalah graf konjugasi. Graf konjugasi adalah graf yang dibentuk dari elemen-elemen konjugasi. Diberikan 𝐺 merupakan. grup. non komutatif,. dan. 𝑒 , 𝑔1 , … 𝑔𝑛. merupakan kelas. konjugasi dari 𝐺, dua titik dalam graf saling terhubung jika hanya jika ke dua elemen dalam kelas konjugasi saling konjugasi satu sama lain. Sehingga graf ini disebut dengan graf konjugasi dari grup non komutatif (Kandasamy dan Smarandache, 2009:79). Menurut penulis cara untuk menentukan graf konjugasi dari grup dihedral2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 tersebut memerlukan waktu yang lama, sehingga perlu digunakan cara atau rumusan umum untuk menentukan graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. Karena belum terdapat penelitian tentang graf konjugasi ini maka dalam penelitian ini, penulis tertarik untuk melakukan penelitian tentang graf konjugasi ini, maka penulis merumuskan judul pada skripsi ini dengan “Graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3”. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dari penulisan skripsi ini adalah 1. Bagaimana pola graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 ?.

5. 2. Bagaimana pola graf konjugasi dari dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan ganjil ?. 3. Bagaimana pola graf konjugasi dari dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan genap ?. 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan penulisan skripsi ini adalah: 1. Mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. 2. Mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan ganjil. 3. Mengetahui pola umum graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dengan 𝑛 bilangan genap. 1.4 Batasan masalah Untuk tetap menjaga kedalaman pembahasan materi penulis membatasi penulisan skripsi ini pada graf sederhana dan juga membatasi pada grup dihedral2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 1.5 Manfaat Penelitian 1.. Bagi peneliti Dapat mengembangkan keilmuan matematika khususnya pengetahuan. mengenai graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3..

6. 2.. Bagi pembaca Dapat dijadikan sebagai bahan penelitian lebih lanjut mengenai dari grup. dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. 3.. Bagi Lembaga Sebagai bahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan. wawasan keilmuan khususnya tentang pembelajaran graf. 1.6. Metode Penelitian Metode dalam penelitian ini adalah deskriptif kualitatif, yaitu pencarian. fakta dengan interpretasi tepat untuk membuat gambaran atau lukisan secara sistematis, faktual, dan akurat. Dengan demikian, pendekatan yang digunakan adalah pendekatan kualitatif dengan metode kepustakaan (Library Research) yaitu usaha mendalami, mencermati, menelaah, dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam keperpustakaan (Fatkiyah, 2010:6). Studi. kepustakaan. merupakan. penampilan. argumentasi. penalaran. keilmuan untuk memaparkan hasil olah pikir mengenai suatu permasalahan atau topik kajian kepustakaan yang dibahas dalam penelitian ini. Adapun langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti dalam membahas penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Menentukan rumusan masalah tentang graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. 2. Mengumpulkan literatur utama yang dijadikan acuan dalam penelitian ini. Sumber yang dimaksud adalah Groups As Graf karya W.B. Vasantha.

7. Kandasamy dan Florentin yang diterbitkan tahun 2009. Mengambil definisi, teorema dan contoh-contoh tentang graf konjugasi. 3. Mengumpulkan literatur pendukung, baik yang bersumber dari buku, jurnal, internet, dan lainnya berupa definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan penelitian ini. Terutama yang berhubungan dengan graf, grup, konjugasi pada grup, kelas konjugasi dan graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. 4. Menganalisis data dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Menentukan grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 2. Menentukan kelas konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 3. Menggambar graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 4. Menentukan konjektur dan membuktikan konjektur graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 5. Menentukan konjektur dan membuktikan konjektur graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8 dengan 𝑛 bilangan ganjil. 6. Menentukan konjektur dan membuktikan konjektur graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8 dengan 𝑛 bilangan genap. 5. Melaporkan hasil penelitian..

8. 1.7. Sistematika Penulisan Agar penulisan skripsi ini lebih terarah dan mudah dipahami digunakan. sistematika penulisan yang terdiri dari empat bab yaitu : BAB 1. Pendahuluan Pendahuluan dalam skripsi ini meliputi: latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.. BAB II. Kajian Pustaka Bagian ini meliputi kajian tentang konsep teori yang yang akan digunakan dalam penelitian ini. Yaitu konsep dasar tentang graf dan aljabar abstrak, khususnya tentang konsep graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3. Serta hubungan kajian ini dengan konsep Al-Qur’an dan Hadits.. BAB III Pembahasan Pembahasan ini berisi tentang graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8, graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8 dengan 𝑛 bilangan ganjil, graf konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≥ 8 𝑛 bilangan genap. BAB IV Penutup Pada bab ini memuat kesimpulan dan saran dari penelitian yang sudah dilakukan..

BAB II KAJIAN PUSTAKA. 2.1. Graf. 2.1.1. Definisi Graf Teori graf pertama kali ditemukan dalam tulisan Euler yang berisi tentang. pemecahan masalah jembatan Konisberg pada tahun 1736 yang sangat terkenal di eropa. Pada periode selanjutnya, teori graf terus berkembang seiring dengan banyaknya permasalahan yang bisa direpresentasikan dan diselesaikan dengan konsep graf, terutama pada masa tiga puluh tahun terakhir dianggap merupakan periode yang sangat intensif dalam aktifitas pengembangan teori graf (Sutarno, dkk., 2005:65). Definisi 1 Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan E adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di V yang disebut sebagai sisi (Chartrand dan Lesniak, 1986:4). Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Banyaknya unsur di V disebut order dari G dan dilambangkan dengan p(G) dan banyaknya unsur di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G tersebut cukup ditulis dengan p dan q (Abdussakir, dkk., 2009:4).. 9.

10. Contoh : Graf G yang memuat himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(𝐺), dengan V(G) = [a,b,c,d] dan E(G) = [ab,ad,ac,bc,cd] dapat digambarkan sebagai berikut :. e1 e5 e4. e2 e3. Gambar 2.1 Graf G. Graf. G. pada gambar 2.1 dapat dinyatakan sebagai G = (V(G),E(G)). dengan V(G) = [a,b,c,d] dan E(G) = [ab,ad,ac,bc,cd]. Dapat juga dituliskan V(𝐺) = [a,b,c,d] dan E(𝐺) = [e1,e2,e3,e4,e5]. Untuk e1 = (a,b), ,e2 = (b,c), e3 = (c,d), e4 = (d,a), e5 = (a,c). Graf G mempunyai 4 titik, sehingga order dari G adalah p = 4 dan mempunyai 5 sisi sehingga ukuran graf G adalah q = 5. 2.1.2 Terhubung langsung (Adjacent) dan terkait langsung (incident) 2.1.2.1 Terhubung langsung (Adjacent) Definisi 2 Dua titik pada graf G dikatakan terhubung langsung (adjacent) apabila kedua titik tersebut terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain , u terhubung langsung dengan i v jika (u,v) adalah sebuah sisi pada graf (Munir, 2005:365). Pada gambar 2.1 titik a dan b terhubung langsung dengan sebuah sisi e1..

11. 2.1.2.2 Terkait langsung (incident) Definisi 3 Untuk sembarang sisi e = (u,v) sisi e dikatakan terkait langsung dengan titik u dan titik v (Munir, 2005:365). Pada gambar 2.1 sisi e1 incident dengan titik a dan b, tetapi tidak incident dengan titik c. 2.1.3. Matriks Keterhubungan (Adjacency Matrixs). Definisi 4 Misalkan G graf dengan order 𝑝(𝑝 ≤ 1) dan ukuran 𝑞 serta himpunan titik 𝑉 𝐺 = {𝑣1,, 𝑣2, , … , 𝑣𝑛, }. Matriks Keterhubungan titik dari graf G, dinotasikan dengan 𝐴(G), adalah matriks (𝑝 𝑥 𝑝) dengan unsur pada baris i dan kolom j bernilai 1 jika titik 𝑣𝑖 terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗 , serta bernilai 0 jika titik 𝑣𝑖 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗 (Abdussakir, dkk., 2009:73). Dengan kata lain, matriks keterhubungan dapat ditulis 𝐴 G = 𝑎𝑖𝑗 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑝 dengan. 1 ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣𝑖 𝑣𝑗 ϵ E(G) ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣𝑖 𝑣𝑗 ∉E(G). 𝑎𝑖𝑗 = {0. matriks keterhubungan graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1 dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf G tidak memuat lup dan sisi rangkap. Contoh: Dari gambar 2.1 dapat terbentuk tabel 2.1 matriks keterhubungan graf G sebagai berikut:.

12. Tabel 2.1 Matriks Keterhubungan Graf G. a. b. c. d. a. 0. 1. 1. 1. b. 1. 0. 1. 0. c. 1. 1. 0. 1. d. 1. 0. 1. 0. Dari tabel 2.1 titik a dan b bernilai 1 karena terhubung langsung dan titik b dan d bernilai 0 karena tidak terhubung langsung. 2.1.3 Macam-macam Graf 2.1.3.1 Graf Beraturan-r Definisi 5 Graf G dikatakan beraturan-r jika masing-masing titik 𝑣 di G, maka Deg 𝑣 = r, untuk bilangan bulat tak negatif r. Suatu graf disebut beraturan jika graf tersebut beraturan-r untuk suatu bilangan bulat tak negatif (Abdussakir, dkk., 2009:20) Contoh :.

13. Gambar 2.6 Graf Beraturan- 5. 2.1.3.2 Graf komplit Definisi 6 Graf G dikatakan komplit jika setiap dua titik yang berbeda saling terhubung langsung (Adjacent). Graf komplit dinyatakan dengan simbol Kn (Abdussakir, dkk., 2009::20). Contoh :. Gambar 2.7 Graf Komplit-3 (𝐾3 ). 2.1.2.3 Graf Biparisi Definisi 7 Graf G dikatakan bipartisi jika himpunan titik pada G dapat dipartisi dua himpunan tak kosong 𝑉1 dan 𝑉2 sehingga masing-masing sisi pada graf G tersebut menghubungkan satu titik 𝑉1 dan dengan satu titik di 𝑉2 (Abdussakir,.

14. dkk., 2009:21). Contoh : V2. V1. Gambar 2.8 Graf Bipartisi Komplit5..5. 2.1.4 Graf Konjugasi Definisi 8 Diberikan 𝐺 merupakan. grup. non komutatif,. dan 𝑒 , 𝑔1 , … 𝑔𝑛. merupakan kelas konjugasi dari 𝐺, dua titik dalam graf saling terhubung jika hanya jika ke dua elemen dalam kelas konjugasi saling konjugasi satu sama lain. Sehingga graf ini disebut dengan graf konjugasi dari grup non komutatif (Kandasamy dan Smarandache, 2009:79). Contoh : Tentukan graf konjugasi dari grup dihedral -6 (D6) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }. Jawab :.

15. Kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral-6 (D6) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 } adalah: [1]= {1}, [𝑟] = {𝑟, 𝑟 2 }, [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 } dari kelas-kelas konjugasi di atas maka terbentuk graf konjugasi sebagai berikut:. 1. Gambar 2.13 Graf Konjugasi Dihedral-6 (D6). 2.2. Grup. 2.2.1 Definisi Grup Definisi 9 Diberikan Himpunan tidak kosong 𝐺 yang dilengkapi dengan operasi “∘ “ . Himpunan 𝐺 disebut grup terhapad operasi “∘” jika memenuhi empat aksioma berikut: 1. Operasi ∘ bersifat tertutup ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 maka 𝑎 ∘ 𝑏 𝜖 𝑅 2. Operasi ∘ bersifat assosiatif ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅 maka 𝑎 ∘ 𝑏 ∘ 𝑐 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐) 3. R punya unsur identitas terhadap operasi ∘.

16. Misal unsur identitas di 𝑅 adalah 𝐼 ∀𝑎 𝜖 𝑅 maka 𝑎 ∘ 𝐼 = 𝐼 ∘ 𝑎 = 𝑎 Jika 𝑎 ∘ 𝐼 = 𝑎maka 𝐼 disebut unsur identitas kanan Jika 𝐼 ∘ 𝑎 = 𝑎 maka I disebut unsur identitas kiri Jika unsur identitas kanan = identitas kiri maka dikatakan ada unsur identitas di 𝑅. 4. Setiap unsur di 𝑅 (punya invers) balikan terhadap operasi ∘ Misal 𝑎−1 adalah invers dari unsur 𝑎di 𝑅 ∀ 𝑎 ∘ 𝑅 ∃ 𝑎−1 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎−1 ∘ 𝑎 = 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝐼 Jika 𝑎 −1 ∘ 𝑎 = 𝐼 maka 𝑎−1 disebut invers kiri dari unsur 𝑎 Jika 𝑎 ∘ 𝑎 −1 = 𝐼 maka 𝑎−1 disebut invers kanan dari unsur 𝑎 Jika invers kanan = invers kiri maka dikatakan ada invers unsur 𝑎 (Raisinghania & Aggarwal, 1980:31). Contoh : Selidiki apakah (Z,+) merupakan grup. Jawab : i.. Ambil. 𝑎, 𝑏 Z,. maka. 𝑎 + 𝑏  Z.. Jadi. Z. tertutup. operasi penjumlahan. ii. Ambil 𝑎, 𝑏, 𝑐  Z , maka (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) Jadi operasi penjumlahan bersifat assosiatif di Z iii. Ambil 0 Z sehingga 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑍 . Jadi 0 adalah identitas penjumlahan. iv. Untuk masing-masing 𝑎 ∈ 𝑍 . ada −𝑎 ∈ 𝑍, ,. terhadap.

17. sehingga 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0 . Jadi invers dari a adalah −𝑎 Dari (i),(ii),(iii) dan (iv) maka (Z,+) adalah grup. 2.2.2. Sifat-sifat Grup. Teorema 1 Jika 𝐺 grup dengan operasi ∘ , maka 1.. Elemen identitas dalam suatu grup adalah tunggal. 2.. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎−1 adalah tunggal. 3.. ( a ∘ a)-1 = a, untuk setiap a ∈ 𝐺. 4.. (a -1 ) -1 = a dan ( a ∘ b)-1 = b-1 ∘ a-1. Bukti : 1.. Misal (𝐺,∘) adalah grup Andaikan e dan h adalah elemen identitas ( 𝑒  ℎ ) maka berlaku 1. 𝑒 ∘ ℎ = ℎ ∘ 𝑒 = ℎ 2. 𝑒 ∘ ℎ = ℎ ∘ 𝑒 = 𝑒 karena 𝑒 ∘ ℎ dan ℎ ∘ 𝑒 adalah elemen tunggal pada 𝐺 maka dari (i) dan (ii) berakibat. 𝑒 = ℎ. (kontradiksi dengan pengandaian). Ini berarti bahwa. elemen identitas di 𝐺 adalah tunggal. 2. Misal (𝐺,∘) adalah grup. Andaikan invers dari 𝑎  𝐺 tidak tunggal yaitu 𝑎−1 1 −1 −1 dan 𝑎−1 2 dengan 𝑎1 𝑎2. Misal e adalah elemen identitas di 𝐺 maka berlaku 𝑎 ∘ 𝑎1−1 = 𝑎−1 1 ∘ 𝑎=𝑒 𝑎 ∘ 𝑎2−1 = 𝑎2−1 ∘ 𝑎 = 𝑒.

18. −1 −1 −1 selanjutnya 𝑎−1 1 ∘ (𝑎 ∘ 𝑎2 ) = 𝑎1 ∘ 𝑒 = 𝑎1. dan. (𝑎1−1 ∘ 𝑎 ) ∘ 𝑎2−1 = 𝑒 ∘ 𝑎2−1 = 𝑎2−1. karena operasi ∘ bersifat assosiatif di 𝐺 yang berarti bahwa −1 −1 −1 𝑎−1 1 ∘ (𝑎 ∘ 𝑎2 ) = (𝑎1 ∘ 𝑎 ) ∘ 𝑎2. 𝑎1−1 = 𝑎2−1 (kontradiksi dengan pengandaian). Ini berarti 𝐺 setiap unsur di 𝐺. punya invers yang tunggal. 3.. Untuk menunjukkan ( a ∘ a)-1 = a, dengan menunjukkan bahwa 𝑎 adalah invers dari 𝑎−1 (karena pada bagian (2) 𝑎 mempunyai invers tunggal ), karena 𝐺 suatu grup, maka ∀ 𝑎 ∈ 𝐺 berlaku bahwa 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∘ 𝑎 = 𝑒 maka 𝑎−1. 4.. Ambil 𝑎  𝐺 maka 𝑎−1  𝐺 sehingga 𝑎 ∘ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∘ 𝑎 = 𝑒 𝑖 . 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑒 𝑎 ∘ 𝑎−1 ∘ 𝑎−1. −1. 𝑎 ∘ (𝑎−1 ∘ 𝑎−1. −1. 𝑎. ∘ 𝑎. 𝑖𝑖 . 𝑎−1. ∘. 𝑎. = 𝑒 ∘ 𝑎−1 = 𝑎−1. −1. 𝑎 = 𝑎−1. −1. = 𝑎−1. −1. −1. = 𝑒. 𝑎−1. −1. ∘ (𝑎−1 ∘ 𝑎 ) = 𝑎−1. −1. ( 𝑎−1. −1. ∘ 𝑎−1 ) ∘ 𝑎 = 𝑎−1. −1. 𝑎 = 𝑎−1. −1. 𝑎 = 𝑎−1. −1. 𝑒. ∘. Dari (𝑖) dan (𝑖𝑖) maka 𝑎 = 𝑎−1. ∘ 𝑒. −1. Selanjutnya kita akan membuktikan dalil de Morgan (bagian ii) (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ (𝑎 ∘ 𝑏)−1 = 𝑒. −1. =𝑎.

19. (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑏 −1 ∘ 𝑎 −1 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑏 −1 ) ∘ 𝑎−1 = 𝑎 ∘ 𝑒 ∘ _−1 = 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑒 Dari (i) dan (ii) diperoleh 𝑎 ∘ 𝑏 ∘ (𝑎 𝑜 𝑏)−1 = (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑏−1 ∘ 𝑎−1 kanselasi kiri berlaku pada grup maka (𝑎 ∘ 𝑏)−1 = 𝑏−1 ∘ 𝑎−1 (Dummit dan Foote, 1991:18-20). 2.2.3 Grup Dihedral Definisi 10. Suatu grup dari semua simetri (rotasi dan refleksi) dari segi-n beraturan disebut grup dihedral-2n (D2n) (Wahyudin, 1989:80). Diketahui himpunan semua rotasi dan refleksi dari segi-n beraturan, D2n yang terdiri dari n rotasi yaitu identitas ditulis dalam notasi 1, 𝑟 = 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖. 360°. 𝑛. , 𝑟 ∘ r = r 2 = rotasi 2. 360°. 𝑛. ,. … , r 𝑛 −1 , dan 𝑛 refleksi pada 𝑛 sumbu simetri. Jika 𝑠 adalah salah satu dari refleksi-refleksi tersebut, maka D2 𝑛 = {1, 𝑟 𝑟 2 , … 𝑟 𝑛−1 , 𝑠, 𝑟𝑠, … , 𝑟 𝑛−1 𝑠}. Grup dihedral ini akan digunakan pada seluruh teks maka perlu beberapa notasi dan beberapa hitungan yang dapat menyederhanakan perhitungan selanjutnya dan membantu mengamati D2n sebagai grup abstrak, yaitu: 1. 2.. 1, r r 2 , … r n−1 adalah unsur yang berbeda 𝑠 =2. 3.. 𝑠 ≠ 𝑟 𝑖 untuk semua 𝑖 ∈ ℤ+. 4.. 𝑠𝑟 𝑖 ≠ 𝑠𝑟 𝑗 untuk semua 0 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, jadi D2n =.

20. {1, r r 2 , … r n−1 , 𝑠, sr, sr 2 … , sr n−1 }, yaitu setiap elemen dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk sk ri untuk 𝑘 = 0 atau 1 dan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. 5.. sr = r −1 s. 6.. sri = r−1 s , untuk semua 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 (Dummit dan Foote, 1991:26). Sifat-sifat tersebut digunakan untuk mempermudah penghitungan dihedral. Contoh : Dari bentuk D2 𝑛 = {1, 𝑟 𝑟 2 , … 𝑟 𝑛−1 , 𝑠, 𝑟𝑠, … , 𝑟 𝑛−1 𝑠 . Dapat diketahui Dihedral-2.3 (D2.3) = 𝑠, 𝑟 𝑠 2 = 𝑟 3 = 1 = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }, dengan 𝑟 𝑛 = 𝑟 3 = 1 adalah identitas dari Dihedral-2.3 (D2.3). Dengan tabel Cayley diperoleh sebagai berikut: Tabel 2.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D6). ∘. 1. 𝒓. 𝒓𝟐. 𝒔. 𝒔𝒓. 𝒔𝒓𝟐. 1. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝒓. 𝑟. 𝑟2. 1. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝒓𝟐. 𝑟2. 1. 𝑟. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝒔. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝒔𝒓. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑟2. 1. 𝒔𝒓𝟐. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑟. 𝑟2. 𝑟. 1. Dari tabel 2.2 𝑠𝑟 dikomposisikan dengan 𝑠 maka akan menghasilkan 𝑟2 dengan perhitungan sebagai berikut:. 𝑠𝑟 𝑠 = 𝑟 −1 𝑠 𝑠.

21. = 𝑟2 1 = 𝑟2. 2.2.4 Konjugasi pada grup Definisi 11 Diberikan 𝐺 adalah grup non komutatif (non Abelian). Untuk ℎ , 𝑔 ∈ 𝐺, terdapat 𝑥 ∈ 𝐺 sedemikian hingga 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 . Maka kita sebut 𝑔 dan ℎ adalah saling konjugasi (Kandasamy dan Smarandache, 2009:12). Definisi 12 Diberikan 𝐺 merupakan grup non komutatif. 𝑎 = {𝑏 ∈ 𝐺 𝑎 dan 𝑏 saling konjugasi satu sama lain}. [a] disebut kelas konjugasi dari 𝐺 (Kandasamy dan Smarandache, 2009:79). Contoh : Tentukan kelas konjugasi dari grup Dihedral -6 (D6) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }. Jawab : Kelas konjugasi dari grup Dihedral -6 (D6) = 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 , karena 𝑟3 = 1 adalah identitas grup Dihedral -6 (D6) maka (D6) ={1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }. 1.. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 1 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 1 = 1 1 1−1 1= 11 1=1.

22. 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi, karena ada. berdasarkan definisi 11. 𝑥 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 1 = 1 1 1−1 . Sehingga kelas konjugasi [1] adalah {1}. 2.. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 2 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 𝑟 = 𝑠𝑟 2 𝑠 𝑟=𝑟 berdasarkan definisi 11 𝑟 dan 𝑟2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 ={ 𝑟, 𝑟 2 } dimana 𝑟 dan 𝑟2 saling konjugasi.. 3.. Akan ditunjukkan bahwa 𝑠, 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟2 saling konjugasi. a. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟2 𝑠𝑟 (𝑟2 ). −1. 𝑠 = 𝑠𝑟 2 𝑟 𝑠=𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu −1. 𝑟2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟2 𝑠𝑟 (𝑟2 ). b. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi..

23. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 −1. 𝑠𝑟 = 𝑟2 𝑠𝑟2 (𝑟2 ) 𝑠𝑟 = 𝑠 𝑟 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟. berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟2 𝑠𝑟2 (𝑟2 ). −1. c. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟2 = 𝑟2 𝑠 (𝑟2 ). −1. 𝑠𝑟2 = 𝑠𝑟 𝑟 𝑠𝑟2 = 𝑠𝑟2 berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟2 𝑠𝑟2 (𝑟2 ). −1. karena 𝑠, 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟2 saling konjugasi Maka terbentuk kelas konjugasi 𝑠 = 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 . Maka kelas konjugasi dari grup dihedral-6 (D6) adalah sebagai berikut: [1]= {1} [𝑟] = {𝑟, 𝑟 2 } [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }.

24. 2.3 Kajian Agama Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan oleh Alloh SWT dengan ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi (Abdussakir, 2007:79). Sebagaimana firman Alloh SWT dalam surat Al Furqon Ayat 2 sebagai berikut:.                     “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak mempunyai anak, dan tidak ada sekutu bagi-Nya dalam kekuasaan (Nya), dan Dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya “(QS.25:2)”. Ayat di atas menjelaskan bahwa segala sesuatu yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Ahli matematika atau fisika tidak membuat suatu rumus sedikitpun. Mereka hanya menemukan rumus atau persamaan, sehingga rumus-rumus yang ada sekarang bukan diciptakan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan dalam bahasa matematika (Abdussakir, 2007:80). Agama Islam memerintahkan agar setiap manusia untuk saling asih kepada sesama, karena pada dasarnya walaupun jasmani manusia berbeda-beda.

25. dan berasal dari berbagai suku-suku bangsa, budaya, adat-istiadat yang berbeda akan tetapi pada hakekatnya sesama manusia adalah saudara. Agama Islam sangat tidak mengajarkan adanya permusuhan, pertengkaran yang mengakibatkan bercerai-berai. Sesuai yang tercantum dalam Al-Hujurat ayat 13 :.                        “Hai manusia, Sesungguhnya Kami menciptakan kamu dari seorang laki-laki dan seorang perempuan dan menjadikan kamu berbangsa - bangsa dan bersuku-suku supaya kamu saling kenal-mengenal. Sesungguhnya orang yang paling mulia diantara kamu disisi Allah ialah orang yang paling taqwa diantara kamu. Sesungguhnya Allah Maha mengetahui lagi Maha Mengenal.”( Q.S. Al Hujuraat:13). Dalam surat Al-Hujuraat. ayat 13 menjelaskan. bahwa. Allah SWT. menciptakan manusia berbangsa-bangsa dan bersuku-suku, sudah pasti Allah SWT menciptakan hal semacam itu pasti mempunyai tujuan, yakni agar mereka saling mengenal. Bukan untuk saling membanggakan diri, dan tidak pula untuk pengagungan. Sebagai saudara sudah selayaknyalah sesama manusia saling menyayangi sehingga dapat saling. tolong menolong. Sehingga tidak tercipta. peperangan di dunia ini, karena sesungguhnya Allah SWT sangat tidak menyukai umat yang bercerai-berai (Al-Banna, 2010:627). Hal ini dapat direpresentasikan dalam bentuk graf dengan suku-suku atau bangsa-bangsa sebagai titik. Misalkan ambil n macam suku/bangsa, maka mempunyai n titik. Sedangkan bentuk hubungan untuk “saling mengenal”.

26. dianggap sebagai sebuah garis yang menghubungkan setiap suku/bangsa. Kerena sebagaimana dijelaskan dalam surat Al-Hujuraat ayat 13 bahwa manusia harus saling mengenal, maka antara titik satu dengan titik yang lainnya juga harus saling terhubung. Sehingga jika keterhubungan antar suku itu. digambarkan, akan. didapat gambar sebagai berikut:. Gambar 2.12. Representasi Graf Komplit Terhadap Hubungan Sesama Manusia. Gambar tersebut. merupakan pemisalan enam suku, graf di atas. mempunyai ciri-ciri graf komplit yakni setiap titik pada graf tersebut selalu adjacent. Apabila dengan banyak suku/bangsa maka akan menjadi graf komplit dengan titik..

BAB III PEMBAHASAN. 3.1. Graf Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝒏 ∈ ℤ+ dan 𝒏 ≥ 𝟑. Berdasar definisi 8, 11, 12 dan batasan masalah maka graf konjugasi dari. grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑛 ≥ 3 dapat diketahui dengan cara menentukan kelas konjugasi dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8. 3.1.1 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-2n (D2n) dengan 𝒏 ∈ ℤ+ dan 𝟑 ≤ 𝒏 ≤ 𝟖. Kelas-kelas konjugasi dari dari grup dihedral-2n (D2n) dengan 𝑛 ∈ ℤ+ dan 3 ≤ 𝑛 ≤ 8 adalah sebagai berikut: 3.1.1.1 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral -6 (D6) Dihedral-6 (D6) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 }. Dengan tabel Cayley diperoleh sebagai berikut:. 27.

28. Tabel 3.1 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 (D6). ∘. 1. 𝒓. 𝒓𝟐. 𝒔. 𝒔𝒓. 𝒔𝒓𝟐. 1. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝒓. 𝑟. 𝑟2. 1. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑠. 𝒓𝟐. 𝑟2. 1. 𝑟. 𝑠𝑟. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝒔. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝒔𝒓. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑟2. 1. 𝑟. 𝒔𝒓𝟐. 𝑠𝑟 2. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑟. 𝑟2. 1. Berdasarkan tabel 3.1 dapat diketahui kelas-kelas konjugasi dihedral-6 D6 = 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2. dengan 𝑔, ℎ ∈ D6 , dimana. terdapat. 𝑥 ∈ D6 ,. sedemikian sehingga 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 adalah sebagai berikut: 1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 1 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 1 = 1 1 1−1 1= 11 1=1 berdasarkan definisi 11. 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi, karena ada. 𝑥 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 1 = 1 1 1−1 . Sehingga kelas konjugasi [1] adalah {1}. 2. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 2 saling konjugasi..

29. Ambil 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 2 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 𝑟 = 𝑠𝑟 2 𝑠 𝑟=𝑟 berdasarkan definisi 11 𝑟 dan 𝑟2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D6 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 ={ 𝑟, 𝑟 2 } dimana 𝑟 dan 𝑟2 saling konjugasi. 3. Akan ditunjukkan bahwa 𝑠, 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. a) Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 2 𝑠𝑟 (𝑟 2 )−1 𝑠 = 𝑠𝑟 2 𝑟 𝑠=𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 2 𝑠𝑟 (𝑟 2 )−1 b) Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 = 𝑟 2 𝑠𝑟 2 (𝑟 2 )−1 𝑠𝑟 = 𝑠 𝑟 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟.

30. berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟 2 𝑠𝑟 2 (𝑟 2 )−1 c) Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠 ∈ D6 , pilih 𝑥 = 𝑟 2 ∈ D6 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 2 = 𝑟 2 𝑠 (𝑟 2 )−1 𝑠𝑟 2 = 𝑠𝑟 𝑟 𝑠𝑟 2 = 𝑠𝑟 2 berdasarkan definisi 11 𝑠 dan 𝑠𝑟 2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 2 ∈ 𝐷6 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟 2 𝑠𝑟 2 (𝑟 2 )−1 . Dari a, b, c dapat terbentuk kelas konjugasi 𝑠 = 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 dimana 𝑠, 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟2 saling konjugasi. Dari 1, 2 dan 3 maka kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral-6 (D6) adalah: [1]= {1} [𝑟] = {𝑟, 𝑟 2 } [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 } Dari kelas-kelas konjugasi grup dihedral-6 (D6) tersebut dapat digambarkan graf konjugasi sebagai berikut :.

31. {1}. Gambar 3.1 Graf Konjugasi Grup Dihedral-6 (D6). 3.1.1.2 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-8 (D8) Dihedral-8 (D8) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 }. Dengan tabel Cayley diperoleh sebagai berikut: Tabel 3.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-8 (D8). ∘. 1. 𝒓. 𝒓𝟐. 𝒓𝟑. 𝒔. 𝒔𝒓. 𝒔𝒓𝟐. 𝒔𝒓𝟑. 1. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝒓. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 1. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝒓𝟐. 𝑟2. 𝑟3. 1. 𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝒓𝟑. 𝑟3. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝒔. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝒔𝒓. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝑟3. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝒔𝒓𝟐. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 1. 𝑟. 𝒔𝒓𝟑. 𝑠𝑟 3. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 1.

32. Berdasarkan tabel 3.2 dapat diketahui kelas-kelas konjugasi dihedral-8 ( D8 ) = 1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 , dengan 𝑔, ℎ ∈ D8 , dimana terdapat 𝑥 ∈ D8 , sedemikian sehingga 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 adalah sebagai berikut: 1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 ∈ D8 , pilih 𝑥 = 1 ∈ D8 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 1 = 1 1 1−1 1= 11 1=1 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 1 ∈ D8 yang memenuhi 1 = 1 1 1−1 . Sehingga kelas konjugasi [1] adalah {1}. 2. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 3 ∈ D8 , pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D8 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 𝑟 = 𝑠𝑟 3 𝑠 𝑟=𝑟 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D8 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 ={ 𝑟, 𝑟 3 } dimana 𝑟 dan 𝑟 3 saling konjugasi. 3. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 2 ∈ D8 , pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D8 maka.

33. 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 2 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 𝑟 2 = s𝑟 2 s 𝑟2 = 𝑟2 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D8 yang memenuhi 𝑟 2 = 𝑠 𝑟 2 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 2 ={ 𝑟 2 } dimana 𝑟 2 dan 𝑟 2 saling konjugasi. 4. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 ∈ D8 , pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D8 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 𝑟 −1 𝑠 = 𝑠𝑟 𝑟 3 𝑠=𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ D8 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 𝑟 −1 . maka terbentuk kelas konjugasi 𝑠 ={𝑠, 𝑠𝑟} dimana 𝑠 dan 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. 5. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 ∈ D8 , pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D8 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 = 𝑟 𝑠𝑟 3 𝑟 −1 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟 2 𝑟 3 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟.

34. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ D8 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟 𝑠𝑟 3 𝑟 −1 . Maka terbentuk kelas konjugasi. 𝑠𝑟 ={𝑠𝑟, 𝑠𝑟 3 } dimana 𝑠𝑟 dan 𝑠𝑟 3 saling konjugasi.. Dari 1,2,3,4 dan 5 maka kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral-8 (D8) adalah: [1] = {1} [𝑟] = {𝑟, 𝑟 3 } [𝑟 2 ] = {𝑟 2 } [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟 2 } [𝑠𝑟] = {𝑠𝑟, 𝑠𝑟 3 } Dari. kelas-kelas. konjugasi. grup. dihedral-8. (D8) tersebut. digambarkan graf konjugasi sebagai berikut :. {1}. {𝑟2 }. Gambar 3.2 Graf Konjugasi Grup Dihedral-8 (D8). dapat.

35. 3.1.1.3 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-10 (D10) Dihedral-10 (D10) = 1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4. Dengan tabel. Cayley diperoleh sebagai berikut:. Tabel 3.3 Tabel Cayley Grup Dihedral-10 (D10). ∘. 1. 𝒓. 𝒓𝟐. 𝒓𝟑. 𝒓𝟒. 𝒔. 𝒔𝒓. 𝒔𝒓𝟐. 𝒔𝒓𝟑. 𝒔𝒓𝟒. 1. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟 4. 𝒓. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 1. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝒓𝟐. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 1. 𝑟. 𝑠 𝑟3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝒓𝟑. 𝑟3. 𝑟4. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑠𝑟 2. 𝑠 𝑟3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝒓𝟒. 𝑟4. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠 𝑟3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝒔. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟 4. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠 𝑟3. 𝑠𝑟 4. 𝒔𝒓. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑟4. 1. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝑠 𝑟3. 𝒔𝒓𝟐. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑟3. 𝑟4. 1. 𝑠𝑟. 𝑠𝑟 2. 𝒔𝒓𝟑. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 1. 𝑠𝑟. 𝒔𝒓𝟒. 𝑠𝑟 4. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 1. 1. Berdasarkan tabel 3.2 dapat diketahui kelas-kelas konjugasi dihedral-10 (D10) = 1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4. dengan 𝑔, ℎ ∈ D10 , dimana terdapat. 𝑥 ∈ D10 , sedemikian sehingga 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 adalah sebagai berikut: 1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 1 ∈ D10 maka.

36. 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 1 = 1 1 1−1 1= 11 1=1 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 1 ∈ D10 yang memenuhi 1 = 1 1 1−1 , sehingga kelas konjugasi [1] adalah {1}. 2. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟4 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟4 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑠𝑟 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 = 𝑠𝑟 𝑟 4 𝑠𝑟 −1 𝑟 = 𝑠 𝑠𝑟 𝑟=𝑟. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟4 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠𝑟 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠𝑟 𝑟 4 𝑠𝑟 −1 , sehingga terbentuk kelas konjugasi 𝑟 = {𝑟, 𝑟 4 } dimana 𝑟 dan 𝑟4 saling konjugasi. 3. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟2 dan ℎ = 𝑟3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟2 dan ℎ = 𝑟3 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 2 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 𝑟 2 = 𝑠𝑟 3 𝑠 𝑟2 = 𝑟2.

37. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟2 dan ℎ = 𝑟3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 , sehingga terbentuk kelas konjugasi 𝑟 2 = {𝑟2 , 𝑟3} dimana 𝑟2 dan 𝑟3 saling konjugasi. 4. Akan ditunjukkan bahwa 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 , 𝑠𝑟 3 dan 𝑠𝑟4 a. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟3 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 3 𝑠𝑟 (𝑟 3 )−1 𝑠 = 𝑠𝑟 3 𝑟 2 𝑠=𝑠. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 3 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 3 𝑠𝑟 (𝑟 3 )−1 . b. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = s dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 (𝑟 )−1 𝑠 = 𝑠𝑟 𝑟 4 𝑠 =𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 (𝑟 )−1 c. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = s dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = s dan ℎ = 𝑠𝑟 3 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟 4 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1.

38. 𝑠 = 𝑟 4 𝑠𝑟 3 (𝑟 4 )−1 𝑠 = 𝑠𝑟 4 𝑟 𝑠 =𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑔 = s dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 4 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 4 𝑠𝑟 3 (𝑟 4 )−1 . d. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟2. ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟3 ∈ D10 maka. 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 = 𝑟 3 𝑠𝑟 2 (𝑟 3 )−1 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟 4 𝑟 2 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟 𝑔=𝑐=𝑠. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟2 saling konjugasi, karena −1. ada 𝑥 yaitu 𝑟 3 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟3 𝑠𝑟2 (𝑟3 ). .. e. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 ( 𝑟 )−1 𝑠 = 𝑠𝑟 𝑟 4 𝑠 =𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 ( 𝑟 )−1 . f. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 saling konjugasi..

39. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟 4 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 = 𝑟 4 𝑠𝑟 4 (𝑟 4 )−1 𝑠𝑟 = 𝑠 𝑟 𝑠𝑟 = 𝑠𝑟 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 4 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟 = 𝑟 4 𝑠𝑟 4 (𝑟 4 )−1 . g. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟2 dan ℎ = 𝑠𝑟3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟2 dan ℎ = 𝑠𝑟3 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟3 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 2 = 𝑟 3 𝑠𝑟 3 (𝑟 3 )−1 𝑠𝑟 2 = s 𝑟 2 𝑠𝑟 2 = 𝑠𝑟 2. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟2 dan ℎ = 𝑠𝑟3. saling konjugasi, karena. ada 𝑥 yaitu 𝑟 3 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟2 = 𝑟 3 𝑠𝑟 3 (𝑟 3 )−1 . h. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 2 = 𝑟 𝑠𝑟 4 ( 𝑟)−1 𝑠𝑟 2 = 𝑠𝑟 3 𝑟 4 𝑠𝑟 2 = 𝑠𝑟 2 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟 2 = 𝑟 𝑠𝑟 4 ( 𝑟)−1 ..

40. i. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟3 dan ℎ = 𝑠𝑟4 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟3 dan ℎ = 𝑠𝑟4 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟3 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 3 = 𝑟 3 𝑠𝑟 4 (𝑟 3 )−1 𝑠𝑟 3 = sr 𝑟 2 𝑠𝑟 3 = 𝑠𝑟 3. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟3 dan ℎ = 𝑠𝑟4 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 3 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟3 = 𝑟 3 𝑠𝑟 4 (𝑟 3 )−1 . j. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟4 dan ℎ = 𝑠 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟4 dan ℎ = 𝑠 ∈ D10 , pilih 𝑥 = 𝑟3 ∈ D10 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟 4 = 𝑟 3 𝑠 (𝑟 3 )−1 𝑠𝑟 4 = s𝑟 2 𝑟 2 𝑠𝑟 4 = 𝑠𝑟 4. berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠𝑟4 dan ℎ = 𝑠 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 3 ∈ 𝐷10 yang memenuhi 𝑠𝑟4 = 𝑟 3 𝑠 (𝑟 3 )−1 . dari a, b, c d ,e 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 , 𝑠𝑟 3 , dan 𝑠𝑟 4 saling konjugasi sehingga terbentuk kelas konjugasi [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4 }.. Dari 1, 2, 3 dan 4 maka kelas-kelas konjugasi dari grup dihedral-10 (D10) adalah: [1] = {1} [𝑟] = {𝑟, 𝑟 4 } [𝑟 2 ] = {𝑟 2 , 𝑟 3 }.

41. [𝑠] = {𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟 2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4 } Dari kelas konjugasi grup dihedral-10 (D10) tersebut dapat digambarkan graf konjugasi sebagai berikut :. {1}. Gambar 3.3 Graf Konjugasi Grup Dihedral-10 (D10). 3.1.1.4 Kelas-kelas Konjugasi dari Grup Dihedral-12 (D12) Dihedral-12 (D12) = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑟 5 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4 , 𝑠𝑟 5 }. Dengan tabel Cayley diperoleh sebagai berikut:.

42. Tabel 3.4 Tabel Cayley Grup Dihedral -12 (D12). ∘. 1. 𝒓. 𝒓𝟐. 𝒓𝟑. 𝒓𝟒. 𝒓𝟓. 𝒔. 𝒔𝒓. 𝒔𝒓𝟐. 𝒔𝒓𝟑. 𝒔𝒓𝟒. 𝒔𝒓𝟓. 1. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝒓. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝒓𝟐. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑠 𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝒓𝟑. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝒓𝟒. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑠𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝒓𝟓. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝒔. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 𝒔𝒓. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝒔𝒓𝟐. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝒔𝒓𝟑. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝑟2. 𝒔𝒓𝟒. 𝑠𝑟4. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. 𝑟. 𝒔𝒓𝟓. 𝑠𝑟5. 𝑠. 𝑠𝑟. 𝑠 𝑟2. 𝑠𝑟 3. 𝑠𝑟4. 𝑟. 𝑟2. 𝑟3. 𝑟4. 𝑟5. 1. Berdasarkan tabel 3.2 dapat diketahui kelas-kelas konjugasi dihedral-12 D12 = {1, 𝑟, 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 , 𝑟 5 , 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2 , 𝑠𝑟 3 , 𝑠𝑟 4 , 𝑠𝑟 5 } dengan. 𝑔, ℎ ∈ D12 , dimana. terdapat 𝑥 ∈ D12 , sedemikian sehingga 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 adalah sebagai berikut: 1. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 ∈ D12 , pilih 𝑥 = 1 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 1 = 1 1 1−1.

43. 1= 11 1=1 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 1 dan ℎ = 1 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 1 ∈ D12 yang memenuhi 1 = 1 1 1−1 , sehingga kelas konjugasi [1] adalah {1}. 2. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 5 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 5 ∈ D12 pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 = 𝑠 𝑟 5 𝑠 −1 𝑟 = 𝑠𝑟 5 𝑠 𝑟=𝑟 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 dan ℎ = 𝑟 5 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D12 yang memenuhi 𝑟 = 𝑠 𝑟 5 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 ={ 𝑟, 𝑟 5 } dimana 𝑟 dan 𝑟 5 saling konjugasi. 3. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 4 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 4 ∈ D12 pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 2 = 𝑠 𝑟 4 𝑠 −1 𝑟 2 = 𝑠𝑟 4 𝑠 𝑟2 = 𝑟2 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 2 dan ℎ = 𝑟 4 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D12 yang memenuhi 𝑟 2 = 𝑠 𝑟 4 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 2 ={ 𝑟 2 , 𝑟 4 } dimana 𝑟 2 dan 𝑟 4 saling konjugasi..

44. 4. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑟 3 dan ℎ = 𝑟 3 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑟 3 dan ℎ = 𝑟 3 ∈ D12 pilih 𝑥 = 𝑠 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑟 3 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 𝑟 3 = 𝑠𝑟 3 𝑠 𝑟3 = 𝑟3 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑟 3 dan ℎ = 𝑟 3 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑠 ∈ D12 yang memenuhi𝑟 3 = 𝑠 𝑟 3 𝑠 −1 , maka terbentuk kelas konjugasi 𝑟 3 ={ 𝑟 3 } dimana 𝑟 3 dan 𝑟 3 saling konjugasi. 5. Akan ditunjukkan bahwa 𝑠, 𝑠𝑟 2 dan 𝑠𝑟4 saling konjugasi. a. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 ∈ D12 pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 𝑟 −1 𝑠 = 𝑠𝑟 𝑟 5 𝑠=𝑠 berdasarkan definisi 11 𝑔 = 𝑠 dan ℎ = 𝑠𝑟 2 saling konjugasi, karena ada 𝑥 yaitu 𝑟 ∈ D12 yang memenuhi 𝑠 = 𝑟 𝑠𝑟 2 𝑟 −1 . b. Akan ditunjukkan bahwa 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 saling konjugasi. Ambil 𝑔 = 𝑠𝑟 2 dan ℎ = 𝑠𝑟 4 ∈ D12 pilih 𝑥 = 𝑟 ∈ D12 maka 𝑔 = 𝑥 ℎ 𝑥 −1 𝑠𝑟2 = 𝑟 𝑠𝑟 4 𝑟 −1 𝑠𝑟2 = 𝑠𝑟3 𝑟5.