Abstrak
Pada paper ini persamaan muka air dari gelombang air diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan syarat batas kinematik permukaan terhadap waktu. Integrasi dilakukan dengan metoda inversi integral dimana operasi integrasi diganti dengan operasi diferensiasi. Persamaan muka air yang dihasilkan merupakan superposisi dari sejumlah gelombang dengan amplitudo gelombang yang berbeda-beda, mempunyai karakteristik breaking dan dispersif.
Kata-kata kunci: Syarat batas kinematik permukaan, metoda inversi integral. Abstract
In this paper water surface equation due to water wave is formulated by integrating kinematic surface water boundary condition equation with respect to time using integration inversion method, where integration opera-tion is changed by differentiaopera-tion operaopera-tion. The resulted water surface equaopera-tion is superposiopera-tion of several wave with different amplitude and has breaking characteristic and dispersive.
Keywords: Kinematic water surface bundary condition, integration inversion method.
Catatan Teknik (Technical Notes)
Pengerjaan Metoda Inversi Integral pada Perumusan Persamaan Muka Air
Gelombang Air Nonlinier
Syawaluddin Hutahaean
Kelompok Keahlian Teknik Kelautan, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, E-mail: syawaluddin@ocean.itb.ac.id
Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil Jurnal Teoretis dan Terapan Bidang Rekayasa Sipil
1. Pendahuluan
Perumusan persamaan gelombang air dimulai dari perumusan persamaan muka air terlebih dahulu. Persamaan gelombang air linier (Dean, 1984), persamaan gelombang air nonlinier dari Stoke (Sarpkaya, 1981), persamaan gelombang air nonlinier, Hutahaean (2007a) dan (2008a) dirumuskan dengan merumuskan persamaan muka air terlebih dahulu. Karena itu ketepatan suatu teori gelombang sangat ditentukan dari ketepatan persamaan muka air yang digunakan.
Pada perumusan persamaan muka air dijumpai suatu proses integrasi terhadap waktu suatu persamaan nonlinier. Pada perumusan persamaan gelombang linier, dilakukan proses linierisasi dengan anggapan panjang gelombang sangat panjang dan perairan sangat dalam sehingga tidak dijumpai proses integrasi persamaan nonlinier. Hutahaean (2007a) dan (2008a), merumuskan persamaan gelombang nonlinier dengan mengambil suatu harga konstan pada salah satu komponen persamaan muka air, sehingga tidak dijumpai integrasi persamaaan nonlinier.
Pada penelitian ini, persamaan muka air dirumuskan tanpa melakukan proses linierisasi maupun pengambilan suatu harga konstan pada komponen nonlinier, sehingga terdapat suatu proses integrasi persamaan nonlinier periodik. Integrasi dilakukan dengan metoda inversi, yaitu operasi integrasi diganti dengan operasi differensiasi yang dapat dengan mudah dilakukan meskipun persamaan bersifat nonlinier. Dengan merumuskan persamaan muka air tanpa melakukan proses linierisasi ataupun pengerjaan asumsi yang menyebabkan persamaan menjadi linier, diharapkan diperoleh suatu persamaan muka air yang lebih tepat dan selanjutnya diperoleh persamaan gelombang yang lebih tepat juga.
2. Persamaan-persamaan Dasar
2.1 Persamaan diffrensial muka airPada muka air yang bergerak, berlaku persamaan syarat batas kinematika permukaan air (Dean, 1984) yaitu
x
u
t
w
∂
∂
+
∂
∂
=
η
ηη
η (1)dimana wη adalah kecepatan partikel air pada arah vertikal-z pada permukaan air, uη adalah kecepatan partikel pada arah horisontal-x pada permukaan air sedangkan η = η(x,t) adalah persamaan muka air yang menggambarkan fluktuasi muka air dengan referensi muka air diam. Dengan x sebagai sumbu horisontal dan z sebagai sumbu vertikal maka elevasi muka air diam adalah pada z = 0.
Persamaan syarat batas kinematik permukaan,
Persamaan (1), dapat ditulis menjadi persamaan muka air yaitu,
Untuk mendapatkan bentuk persamaan dari η, maka
Persamaan (2) diintegrasikan terhadap waktu t,
Penyelesaian integrasi pada Persamaan (3) tersebut sebenarnya terdapat konstanta integrasi c(t), tetapi untuk suatu fungsi periodik seperti persamaan muka air akibat gelombang yang bersifat periodik, maka dapat diambil c(t) = 0 (Dean, 1984).
2.2 Persamaan potensial aliran
Untuk menyelesaikan integrasi pada Persamaan (3), diperlukan bentuk dari wη dan uη, yang dapat diperoleh dari persamaan potensial aliran gelombang air hasil pnyelesaian persamaan Laplace.
Penyelesaian persamaan Laplace dengan metoda pemisahan variabel dan dengan pengerjaan syarat batas lateral periodik, Dean (1984), menghasilkan persamaan,
A, C dan D adalah suatu kontanta yang perlu dicari bentuknya, k adalah bilangan gelombang, σ = 2η / T = frekuensi sudut, T = perioda gelombang.
Pengerjaan syarat batas kinematik dasar perairan untuk dasar perairan miring, Hutahaean (2008a), diperoleh dimana didefinisikan,
x
u
w
t
∂
∂
−
=
∂
∂
η
η
η η (2) (3)(
x
,
t
)
=
η
∫
∫
∂
∂
−
dt
x
u
dt
w
η ηη
φ
=
A
(
Ce
kz+
De
−kz)
cos
kx
sin
σ
t
(4)φ
=
Ge
khβ
z
kx
σ
t
sin
cos
)
(
(5) ( ) ( ))
(
z
=
α
e
kh+z+
e
−k h+zβ
( ) ( ) 1(
)
z h k z h ke
e
z
=
α
++
− +β
; (6)G dan k adalah suatu konstanta yang perlu dicari bentuknya. G dan k adalah suatu besaran yang merupakan fungsi dari kedalaman. Untuk kedalaman perairan yang tidak konstan, fungsi dari posisi x, G
dan k juga merupakan fungsi dari x sehingga terdapat harga-harga ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x.
Dari persamaan potensial aliran (5) dapat diperoleh kecepatan partikel yaitu
kecepatan arah horisontal-x,
kecepatan arah vertikal-z,
Pada persamaan kecepatan horisontal u terdapat variabel ∂G / ∂x dan ∂k / ∂x yang perlu dicari bentuknya.
3. Formulasi
∂
G /
∂
x dan
∂
k /
∂
x
3.1 Tinjauan penyelesaian Persamaan LaplacePersamaan Laplace pada medan aliran pada bidang x-z,
Persamaan potensial aliran, Persamaan (4) diperoleh dari penyelesaian Persamaan (10) dengan metoda pemisahan variabel, Dean (1984), yaitu dianggap φ(x, z, t) = P(x)Q(z)sinσt, dimana berlaku kondisi,
x h x h ∂ ∂ − ∂ ∂ + = 1 1 α (7)
=
∂
∂
−
=
x
u
φ
Gke
khβ
(
z
)
sin
kx
sin
σ
t
(
)
kx
t
x
kh
z
z
Ge
khβ
(
)
β
1(
)
cos
sin
σ
∂
∂
+
−
t
kx
z
e
x
G
khβ
σ
sin
cos
)
(
∂
∂
−
(8)=
∂
∂
−
=
z
w
φ
−
Gke
khβ
1(
z
)
cos
kx
sin
σ
t
(9)2 2 2
1
k
P
x
P
−
=
∂
∂
(11) 2 2 21
k
Q
z
Q
=
∂
∂
dan (12)0
2 2 2 2=
∂
∂
+
∂
∂
z
x
φ
φ
(10)=
)
(
x
P
Ge
khkx
cos
(13)Dengan mengabaikan turunan ke 2 dan bentuk perkalian antar turunan,
Substitusi persamaan terakhir ke Persamaan (11), maka diperoleh persamaan,
3.2 Pengerjaan persamaan kontinuitas
Persamaan kontinuitas pada medan aliran arah x-z, dimana x sumbu horisontal dan z adalah sumbu
Dari Persamaan (9),
Dari persamaan ∂w / ∂z dan persamaan kontinuitas, maka ∂u / ∂x haruslah berbentuk,
Dari Persamaan (8),
Dari Persamaan (14), haruslah
Persamaan dibagi dengan sin kxsin σt, untuk sin kxsin
σt ≠ 0
Substitusi ∂G / ∂x dari Persamaan (18),
Dari persamaan terakhir diperoleh,
Persamaan (26) ini bukan berarti perubahan harga k
persatuan panjang, tetapi menyatakan perbedaan antara harga k pada dasar perairan datar dengan pada dasar perairan miring. Bila pada dasar perairan datar k = k0, maka pada dasar perairan miring,
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperkecil k
atau memperbesar panjang gelombang. Dari Persamaan (18) dan (25),
=
∂
∂
x
P
kx
k
Ge
khsin
−
kx
x
kh
Ge
khcos
∂
∂
+
kx
e
x
G
khcos
∂
∂
+
(14)=
∂
∂
2 2x
P
kx
k
Ge
kh 2cos
−
kx
x
k
Ge
khsin
∂
∂
−
kx
x
kh
k
Ge
khsin
∂
∂
−
e
k
kx
x
G
khsin
∂
∂
−
kx
x
kh
k
Ge
khsin
∂
∂
−
e
k
kx
x
G
khsin
∂
∂
−
(15)=
∂
∂
P
x
P
1
2 2 2k
−
kx
x
k
tan
∂
∂
−
kx
x
kh
k
tan
2
∂
∂
−
kx
k
x
G
G
tan
2
∂
∂
−
(16)x
k
∂
∂
−
x
kh
k
∂
∂
−
2
2
=
0
∂
∂
−
k
x
G
G
(17) atau=
∂
∂
x
G
x
k
k
G
∂
∂
−
2
x
kh
G
∂
∂
−
(18)0
=
∂
∂
+
∂
∂
z
w
x
u
vertikal, berbentuk (20)=
∂
∂
x
u
t
kx
k
z
Ge
khβ
(
)
2cos
sin
σ
=
∂
∂
x
u
t
kx
k
z
Ge
khβ
(
)
2cos
sin
σ
t
kx
x
k
z
Ge
khβ
(
)
sin
sin
σ
∂
∂
+
(21)(
)
kx
t
x
kh
k
z
z
Ge
khβ
(
)
β
(
)
sin
sin
σ
2
1∂
∂
+
+
t
kx
k
z
e
x
G
khβ
σ
sin
sin
)
(
2
∂
∂
+
x
kh
∂
∂
0
=
(25)0
=
∂
∂
+
∂
∂
x
k
h
x
h
k
x
h
h
k
x
k
∂
∂
−
=
∂
∂
(26)x
h
h
k
k
k
∂
∂
−
=
0 0 (27)=
∂
∂
x
G
(18)x
h
h
G
∂
∂
2
=
∂
∂
z
w
t
kx
k
z
Ge
khβ
σ
sin
cos
)
(
2−
(19)t
kx
x
k
z
Ge
khβ
(
)
sin
sin
σ
∂
∂
(
)
kx
t
x
kh
k
z
z
Ge
khβ
(
)
β
(
)
sin
sin
σ
2
1∂
∂
+
+
0
sin
sin
)
(
2
=
∂
∂
+
e
z
k
kx
t
x
G
khβ
σ
(22)x
k
z
Ge
kh∂
∂
)
(
β
(
)
x
kh
k
z
z
Ge
kh∂
∂
+
+
2
β
(
)
β
1(
)
0
)
(
2
=
∂
∂
+
e
z
k
x
G
khβ
(23)x
k
z
Ge
kh∂
∂
)
(
β
(
)
x
kh
k
z
z
Ge
kh∂
∂
+
+
2
β
(
)
β
1(
)
0
)
(
2
)
(
=
∂
∂
−
∂
∂
−
x
kh
k
z
Ge
x
k
z
Ge
khβ
khβ
(24)Substitusi f(x,t)
=
∫
β
(
η
)
sin
σ
t
dt
1σ
β
(
η
)
cos
σ
t
1
1−
dt
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
∂
cos
∂
+
∫
(38) Sama halnya dengan bilangan gelombang k, makaPersamaan (28) ini hanya menyatakan perbedaan antara G pada dasar perairan datar dengan G pada dasar perairan miring. Bila G0 adalah harga G pada
dasar perairan datar, maka pada dasar perairan miring,
Jadi kemiringan dasar perairan akan memperbesar harga G. Baik Persamaan (26) maupun Persaman (28) menunjukkan bahwa semakin dalam perairan semakin kecil pengaruh kemiringan dan pada perairan yang sangat dalam pengaruh kemiringan akan hilang dengan sendirinya..
Substitusi Persamaan (25) ke Persamaan (26)
kecepatan partikel arah horisontal-x menjadi,
4. Persamaan Muka Air
Dari Persamaan (30) dan (9), diperoleh kecepatan partikel air pada permukaan adalah,
Substitusi kedua persamaan kecepatan partikel air tersebut ke Persamaan (3),
sehingga β1(η)sinσt dan β(η)sinσt adalah persamaan
yang sangat nonlinier. Integral pada Persamaan (33)
tidak bisa diselesaikan sebagaimana halnya integrasi persamaan linier.
Penyelesaian integral pada Persamaan (33) akan diselesaikan dengan metoda inversi dimana operasi integral diganti dengan operasi diferensial. Metoda
inversi ini telah dikenal antara lain pada transformasi Laplace.
Sebagai ilustrasi dari metoda inversi ini akan diselesaikan
∫
β1(η)kcos kxsinσt dtBerdasarkan fungsi yang akan diintegrasikan
didefinisikan suatu fungsi f(x,t) yaitu f(x,t) = β1(η)cos kxcosσt
Pengambilan bentuk cosσt adalah agar ketika diturunkan terhadap t akan diperoleh bentuk sinσt yang merupakan bentuk dari persamaan yang diintegrasikan. Persamaan f(x,t) diturunkan terhadap t,
Selanjutnya persamaan terakhir dintegrasikan terha-dap waktu t,
Ruas kiri dipindah keruas kanan, suku ke 1 ruas kanan dipindah kekiri dan persamaan dibagi dengan σ,
Ruas kiri persamaan adalah suku yang diselesaikan integrasinya. Integrasi suku ke 2 pada ruas kanan persamaan diselesaikan dengan cara yang sama. Didefinisikan Dari Persamaan (6),
β
(
η
)
=
α
e
k(h+η)+
e
−k(h+η) ( ) ( ) 1(
)
η ηα
η
β
=
kh++
−k h+e
e
;=
∂
∂
t
f
t
kx
σ
η
σβ
1(
)
cos
sin
−
t
kx
t
k
β
(
η
)
η
cos
cos
σ
∂
∂
+
(34)=
)
,
(
x
t
f
σ
β
(
η
)
cos
kx
sin
σ
t
dt
1∫
−
dt
t
kx
t
k
β
(
η
)
η
cos
cos
σ
∂
∂
+
∫
(36)=
t
kx
σ
η
β
1(
)
cos
cos
σ
β
(
η
)
cos
kx
sin
σ
t
dt
1
∫
−
dt
t
kx
t
k
β
(
η
)
η
cos
cos
σ
∂
∂
+
∫
(37)=
)
,
(
x
t
f
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
∂
sin
∂
(39)∫
df
=
σ
β
(
η
)
cos
kx
sin
σ
t
dt
1∫
−
dt
t
kx
t
k
β
(
η
)
η
cos
cos
σ
∂
∂
+
∫
(35)x
h
h
G
G
G
∂
∂
+
=
2
0 0 (29)u
=
Ge
khβ
(
z
)
k
sin
kx
sin
σ
t
t
kx
z
e
x
G
khβ
σ
sin
cos
)
(
∂
∂
−
(30)(
x
,
t
)
=
η
Gke
khkx
β
η
σ
t
dt
sin
)
(
cos
1∫
−
Gke
khkx
β
η
σ
dt
sin
)
(
sin
∫
−
dt
t
kx
e
x
G
khβ
η
σ
sin
)
(
cos
∫
∂
∂
+
(33)w
η=
−
Ge
khβ
1(
η
)
k
cos
kx
sin
σ
t
(32)u
η=
Ge
khβ
(
η
)
k
sin
kx
sin
σ
t
t
kx
e
x
G
khβ
η
σ
sin
cos
)
(
∂
∂
−
(31)
=
∂
∂
t
f
t
t
k
β
η
η
σ
σ
σ
cos
)
(
∂
∂
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
sin
2 1 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
2sin
2∂
∂
+
=
∂
∂
∫
tdt
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
cos
t
t
k
β
η
η
σ
σ
2(
)
∂
sin
∂
dt
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
sin
2 1 2 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∫
dt
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
2sin
2 2∂
∂
−
∫
Dalam hal 3⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
t
η
2 2t
t
∂
∂
∂
∂
η
η
3 3t
∂
∂
η
dan=
∂
∂
∫
tdt
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
cos
t
t
k
β
η
η
σ
σ
2(
)
∂
sin
∂
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
cos
2 1 3 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
2cos
2 3∂
∂
+
=
∫
β
(
η
)
sin
σ
t
dt
1t
σ
η
β
σ
(
)
cos
1
1−
t
t
k
β
η
η
σ
σ
2(
)
∂
sin
∂
+
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
cos
2 1 3 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
t
t
k
β
η
η
σ
σ
(
)
2cos
2 3∂
∂
+
(43) 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ t η 2 2 t ∂ ∂ η dan=
∂
∂
∫
tdt
x
σ
η
η
β
(
)
sin
t
x
σ
η
η
β
σ
(
)
cos
1
∂
∂
−
t
x
t
k
β
η
η
η
σ
σ
2 1(
)
∂
sin
∂
∂
∂
+
t
x
t
σ
η
η
β
σ
(
)
sin
1
2 2∂
∂
∂
+
(44)x
t
∂
∂
∂
∂
η
η
setara dengan 2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
t
η
x
t
∂
∂
∂
2η
dan setara dengan 2 2t
∂
∂
η
=
)
,
(
x
t
η
G
e
khk
β
η
kx
σ
t
σ
1(
)
⎟
cos
cos
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
kx
t
k
e
G
khβ
η
η
σ
σ
σ
(
)
cos
sin
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
t
kx
t
k
e
G
khβ
η
η
σ
σ
σ
(
)
cos
cos
2 1 2 3⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
t
kx
t
k
e
G
khβ
η
η
σ
σ
σ
(
)
2cos
cos
2 2 2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
t
kx
x
k
e
G
khβ
η
η
σ
σ
(
)
⎟
⎠
sin
cos
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
t
kx
x
t
k
e
G
khβ
η
η
η
σ
σ
σ
1(
)
sin
sin
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
t
kx
x
t
k
e
G
khβ
η
η
σ
σ
σ
(
)
sin
sin
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
−
t
kx
x
e
x
h
h
G
khβ
η
η
σ
σ
2
(
)
cos
cos
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
Persamaan diturunkan terhadap t,
Integrasi, substitusi f(x,t), disusun lagi dan dibagi dengan σ
dianggap sangat kecil dan dapat diabaikan, maka integrasi suku ke 2 dan ke 3 dapat diselesaikan secara langsung dengan mengintegrasikan sin σt saja.
Substistusi hasil integrasi ini ke Persamaan (38),
Persamaan (43) adalah hasil integrasi dengan tingkat ketelitian O(δ2) dimana integrasi dilakukan hanya sampai dijumpai suku
Pada Persamaan (43) tersebut terlihat bahwa konvergensi integrasi terjadi dengan semakin tingginya harga n pada pangkat dari kn dimana k
adalah bilangan yang berharga < 1, dan naiknya harga n pada pangkat dari
Dengan cara yang sama, diperoleh
Hasil integrasi pada Persamaan (44) ini juga mempunyai tingkat ketelitian O(δ2), dimana
Substitusi Persamaan (28), (43) dan (44) ke
Persamaan (33) diperoleh persamaan muka air adalah, (40) (41) (42) n t ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂
η
n n t ∂ ∂η
t
kx
x
t
k
e
x
h
h
G
khβ
η
η
η
σ
σ
σ
2
(
)
cos
sin
1
1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
t
kx
x
t
e
x
h
h
G
khβ
η
η
σ
σ
σ
(
)
cos
sin
1
2
1
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
+
(45)(
x
,
t
)
=
η
GF
kx
σ
t
σ
cos
cos
(46)η
(
x
,
t
)
=
A
cos
kx
cos
σ
t
(47)σ
GF
A
=
F
A
G
=
σ
dan (48) F = ekhkβ
1(η
) t k ekh ∂ ∂ −β
η
η
σ
( ) 2 2 1 2 3 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − t k ekhβ
η
η
σ
2 2 2 2 ) ( t k ekh ∂ ∂ −β
η
η
σ
x k ekh ∂ ∂ +β
(η
)η
x t k ekh ∂ ∂ ∂ ∂ −β
η
η
η
σ
1( ) 2 x t k ekh ∂ ∂ ∂ −β
η
η
σ
2 ) ( x e x h h kh ∂ ∂ ∂ ∂ −β
(η
)η
2 1 x t k e x h h kh ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +β
η
η
η
σ
( ) 2 1 1 x t e x h h kh ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +β
η
η
σ
2 ) ( 1 2 12
2
sin
cos
cos
sin
kx
=
kx
=
σ
t
=
σ
t
=
2
kA
x
=
−
∂
∂η
maka=
F
e
khk
β
1(
η
)
2
)
(
kA
k
e
khβ
η
−
)
(
1η
β
k
e
kh0
2
)
(
=
−
e
khk
β
η
kA
)
(
)
(
2
1η
β
η
β
=
kA
atau)
(
tanh
2
=
k
h
+
η
kA
Persamaan (45), menunjukkan bahwa persamaan muka air pada gelombang air merupakan superposisi dari sejumlah gelombang dengan amplitudo yang berbeda-beda, dimana sebagai amplitudo adalah unsur dalam kurung pada masing-masing suku pada ruas kanan persamaan. Amplitudo terbesar adalah pada suku ke 1, dengan perbedaan yang cukup besar dibandingkan dengan amplitudo suku-suku lainnya. Amplitudo terbesar ke 2 adalah amplitudo pada suku ke 5, tetapi amplitudo pada suku ini adalah (∂η/∂x) kali lebih kecil dari suku ke amplitudo suku ke 1. Karena itu profil muka air akibat gelombang mempunyai bentuk utama dengan bentuk persamaan
Acos kxcos σt sebagaimana halnya dengan bentuk persamaan suku ke 1.
Dengan mengambil kondisi cos kx= sin kx dan cos σt = sin σt, maka Persamaan (45) dapat ditulis menjadi,
Persamaan potensial aliran dirumuskan dengan anggapan bahwa potensial aliran tersebut bersifat periodik, sehingga ruas kanan Persamaan (45)
maupun (46) juga akan bersifat periodik. Untuk suatu fungsi periodik, maka GF / σ haruslah suatu bilangan konstan sehingga Persamaan (46) menjadi
A adalah amplitudo gelombang, dimana
Pada persamaan untuk F, terdapat unsur η dan turunannya ∂η / ∂t , ∂η / ∂x dan seterusnya. Harga dari unsur-unsur tersebut dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (47), dengan mengambil kondisi
4.1 Analisis karakteristik breaking
Bila harga F dihitung hanya dengan menggunakan suku ke 1 dan ke 5 saja, dimana hal ini berarti integrasi dilakukan dengan tingkat ketelitian O(δ0), maka bentuk F adalah
Dengan menggunakan Persamaan (47) dan dengan mengambil kondisi
substitusi harga ini pada Persamaan (50),
Pada F → 0 maka η(x, t) → 0 pada seluruh panjang gelombang. Kondisi ini adalah breaking pertama yang dialami gelombang dan terjadi pada perairan yang relatif masih dalam, dimana gelombang seolah-olah menghilang kemudian muncul lagi didepannya. Pada F → 0,
Pada dasar perairan datar, persamaan terakhir menjadi, (52) (53) (54)
2
2
sin
cos
kx
=
kx
=
dan2
2
sin
cos
σ
t
=
σ
t
=
=
F
e
khk
β
1(
η
)
x
k
e
kh∂
∂
+
β
(
η
)
η
(49) (50) (51)
)
(
tanh
2
η
π
+
=
k
h
L
H
φ
=
G
e
khk
h
z
kx
σ
t
sin
cos
)
(
cosh
2
+
G
=
khe
G
2
khe
G
2
G
cosh
k
(
h
+
z
)
cos
kx
sin
σ
t
=
∂
∂
−
=
x
u
φ
Gk
cosh
k
(
h
+
z
)
sin
kx
sin
σ
t
=
∂
∂
x
u
∫
− −=
−
+
∂
∂
η η h hw
w
dz
x
u
0
x
u
t
w
∂
∂
+
∂
∂
=
η
ηη
η pada dasar perairan datar
0
=
∂
∂
−
=
− −x
h
u
w
h h substitusi u serta integrasi diselesaikan,
=
∂
∂
t
η
−
Gk
sinh
k
(
h
+
η
)
cos
kx
sin
σ
t
kh
h
kh
h
k
(
)
cosh
(
1
)
cosh
cosh
+
η
=
+
η
=
kh
h
k
(
)
sinh
sinh
+
η
=
dan1
<<
h
η
Pada perairan dalam
sehingga
=
∂
∂
t
η
t
kx
kh
Gk
sin
cos
sin
σ
−
t
kx
kh
x
Gk
η
cosh
sin
sin
σ
∂
∂
−
kh
k
A
G
sinh
σ
=
dengan persamaan muka air ini maka=
∂
∂
t
η
t
kx
kA
x
σ
η
cos
sin
−
=
∂
∂
sehinggat
kx
kh
Gk
sin
cos
sin
σ
−
t
t
kx
kh
A
Gk
2cosh
sin
2cos
σ
sin
σ
−
=
)
,
(
x
t
η
Gk
kh
kx
σ
t
σ
sinh
cos
cos
t
kx
kh
A
k
G
σ
σ
2 2 2sin
sin
cosh
2
−
=
φ
e
z
kx
t
F
A
khβ
σ
σ
sin
cos
)
(
Dengan H = 24, dimana H adalah tinggi gelombangdan k = 2 π / L, L adalah panjang gelombang, maka diperoleh kriteria breaking adalah
Kriteria breaking dari Miche, Sarpkaya (1981), yang diperoleh dari hasil eksperimen di laboratorium adalah H / L = 0.143tanhkh. Dari hal ini maka persamaan muka air Persamaan (45) mempunyai karakteristik breaking dengan kondisi breaking mempunyai bentuk yang sama dengan kondisi breaking dari Miche. Hutahaean (2007b) dan (2008b), mengembangkan model transformasi gelombang dengan persamaan muka air yang dirumuskan dengan tingkat ketelitian, dimana model ternasformasi gelombang yang dihaslkan dapat memodelkan breaking
4.2 Analisis karakteristik dispersif
Analisis karaktristik dispersif akan dapat diamati dengan jelas bila dilakukan pada dasar perairan datar. Bila persamaan potensial aliran (5) dikerjakan pada dasar perairan datar, maka akan diperoleh persamaan
Mengingat kedalaman konstan, maka ekh juga konstan, maka sebagai konstanta baru
Integrasi persamaan kontinuitas terhadap kedalaman,
Substitusi syarat batas kinematik permukaan
Dengan anggapan gelombang panjang, maka suku kedua pada ruas kanan persamaan dapat diabaikan. Persamaan muka air gelombang linier tersebut diintegrasikan terhadap waktu f, diperoleh persamaan muka air berbentuk, η(x, t) = Acoskxcos σt, dimana
Persamaan diintegrasikan terhadap waktu t, dimana untuk fungsí periodik dapat diambil konstanta integrasi c(t) = 0,
suku ke dua pada ruas kanan persamaan selalu mengurangi elevasi muka air atau mengurangi amplitudo gelombang dimana pengurangan amplitudo ini merupakan sifat dispersif dari gelombang air. Pengurangan amplitudo merupakan kehilangan energi gelombang. Berdesarkan hukum kekekalan energi, maka energi yang hilang tersebut yang paling mungkin adalah menjadi energi kinetik air yaitu timbulnya arus tetap selain arus eliptik. Dispersifitas tersebut sebanding dengan amplitudo gelombang, semakin besar amplitudo semakin besar dispersifitasnya.
4.3 Bilangan gelombang k
Substitusi G dari Persamaan (48) ke Persamaan (5) (55) (56) (57) (59) (60) (61)
t
kx
kh
A
k
G
σ
σ
2 2 2sin
sin
cosh
2
selalu positif, sehingga(62)
(63)
n
t
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
η
dan pada derajad turunan
n n
t
∂
∂
η
Dengan menggunakan Persamaan (63) dan dengan menggunakan persamaaan momentum-x permukaan, Hutahaean (2007a), diperoleh persamaan dispersi untuk menghitung harga bilangan gelombang k.
5. Kesimpulan
Dari hasil pembahasan pada bagian-bagian terdahulu, dapat diambil sejumlah kesimpulan yaitu,
1. Integrasi persamaan nonlinier periodik dapat diselesaikan dengan mudah dengan mengerjakan metoda inversi integral.
2. Pengerjaan inversi integral pada persamaan muka air mempunyai konvergensi dengan adanya unsur
kn,
3. Pengerjaan metoda inversi integral pada perumusan persamaan muka air menghasilkan persamaan muka air yang merupakan superposisi dari sejumlah gelombang, semakin tinggi tingkat ketelitian yang digunakan semakin banyak komponen gelombang yang dihasilkan.
4. Persamaan muka air hasil inversi integral mempunyai karakteristik breaking. Sehingga pemodelan transformasi gelombang dengan persamaan ini akan dapat memodelkan breaking. 5. Persamaan muka air yang dihasilkan mempunyai
karakteristik dispersif, dimana dispersifitasnya sebanding dengan besar amplitudo yaitu semakin besar amplitudo semakin besar dispersifitasnya. Penelitian lanjut yang diperlukan adalah penelitian mengenai tingkat ketelitian integrasi yang optimal serta aplikasi persamaan pada pemodelan dinamika gelombang antara lain pengembangan model transformasi gelombang. Selain itu perlu pembuktian secara analitik bahwa kehilangan energi gelombang akibat peristiwa dispersif, menyebabkan timbulnya arus tetap.
Daftar Pustaka
Dean, R.G., and Dalrymple, 1984. Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists.
New Jersey:Prentice-Hall, Englewood Cliffs. Hutahaean, S., 2007a, Kajian Teoritis terhadap
Persamaan Gelombang Nonlinier, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB:
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 14, No. 3.
Hutahaean, S., 2007b, Model Refraksi Gelombang dengan Menggunakan Persamaan Gelombang Nonlinier, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB: Jurnal Infrastruktur dan Lingkungan Binaan, Vol. III, No. 2.
Hutahaean, S., 2008a, Persamaan Gelombang Nonlinier pada Dasar Perairan Miring,
Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB:
Jurnal Teknik Sipil, Vol. 15 No.1.
Hutahaean, S., 2008b, Model Refraksi-Difraksi Gelombang Air Oleh Batimetri,Jurnal Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, ITB: Vol. 15 No.2.
Sarpkaya, T. and Isacson, M., 1981, Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures, Van Nostrand Reinhold Company.
