PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Modul adalah generalisasi dari ruang vektor yaitu dengan memperluas struk- tur lapangan pada ruang vektor menjadi ring yang strukturnya lebih umum. Dengan kata lain, suatu himpunan tidak kosong M disebut modul atas ring jika M adalah grup abelian terhadap penjumlahan yang memenuhi aksioma-aksioma pergandaan skalar terhadap ring. Di lain pihak, setiap ring dapat dipandang sebagai grup abe- lian terhadap operasi penjumlahan. Oleh karena itu, setiap ring dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Hal ini membuka peluang bagi konsep-konsep pada teori ring untuk digeneralisasikan ke teori modul.
Pada teori ring telah dikenal adanya konsep ideal prima yaitu suatu ideal sejati I di ring R dimana untuk setiap A, B ideal di R dengan AB ⊆ I berlaku A ⊆ I atau B ⊆ I. Pada kasus R adalah ring komutatif dengan elemen satuan definisi tersebut ekuivalen dengan untuk setiap a, b ∈ R jika berlaku ab ∈ I maka a ∈ I atau b ∈ I. Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri, maka perkalian ab ∈ I dapat dipandang sebagai perkalian a ∈ R (R sebagai modul) dan b ∈ R (R sebagai ring), sehingga jika I ideal prima, maka berlaku a ∈ I atau b ∈ I. Karena I ⊆ dari Ann(R/I) maka diperoleh b ∈ Ann(R/I). Hal ini memotivasi pendefinisian submodul prima di R-modul M . Submodul N dari R- modul M dikatakan submodul prima jika N merupakan submodul sejati di M dan untuk setiap r ∈ R, m ∈ M jika rm ∈ N maka m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ).
Salah satu contoh ideal prima adalah {0} pada daerah integral, karena un- tuk setiap a, b ∈ R, jika berlaku ab = 0, maka a = 0 atau b = 0. Namun, {0}
belum tentu merupakan ideal prima pada sebarang ring. Contohnya pada ring yang
1
memiliki elemen pembagi nol maka {0} bukanlah ideal prima. Oleh karena itu, di- definisikan ideal prima lemah yang merupakan generalisasi dari ideal prima. Suatu ideal sejati I di ring komutatif R dikatakan prima lemah jika untuk setiap a, b ∈ R dengan sifat ab ∈ I dan ab 6= 0 berlaku a ∈ I atau b ∈ I. Selanjutnya, konsep ideal prima lemah ini digeneralisasi ke teori modul sehingga pada teori modul juga di- kenal konsep submodul prima lemah. Submodul sejati N dari R-modul M disebut submodul prima lemah jika untuk setiap r ∈ R dan m ∈ M dengan sifat rm ∈ N dan rm 6= 0 berlaku m ∈ N atau r ∈ Ann(M/N ). Berdasarkan pendefinisian tersebut maka jelas bahwa setiap submodul prima adalah submodul prima lemah, tetapi kebalikannya belum tentu berlaku.
Pada teori ring juga dikenal konsep ring Artin, yaitu suatu ring yang setiap rantai turun ideal-idealnya akan stasioner. Dengan memandang suatu ring Artin se- bagai modul atas dirinya sendiri, berarti setiap ideal-idealnya merupakan submodul dari R-modul R. Akibatnya, submodul-submodul tersebut juga akan stasioner. Hal ini memotivasi munculnya pendefinisian modul Artin yaitu suatu modul yang setiap rantai turun submodul-submodulnya akan stasioner. Lebih lanjut, definisi tentang modul Artin dikembangkan ke konsep yang lebih umum yang disebut dengan mo- dul Atin lokal. Suatu R-modul M disebut modul Artin lokal jika MP merupakan modul Artin untuk setiap P ideal maksimal di R.
Pada beberapa buku telah dibahas beberapa sifat tentang submodul prima pa- da suatu modul atas ring komutatif. Dalam hal ini sifat-sifat tersebut berlaku pada modul secara umum. selain itu, beberapa penulis juga telah membahas dan meng- embangkan sifat-sifat submodul prima, beberapa di antaranya adalah Azizi (2006), Azizi(2007), McCasland and Moore (1992), Tiras and Alkan (2003). Pada tesis ini dikaji tentang sifat-sifat dan karakteristik submodul prima namun dikhususkan pada modul Artin. Selanjutnya, karakteristik dari submodul prima pada modul Ar- tin tersebut diberlakukan pada modul Artin lokal yaitu dengan menambah beberapa syarat yang harus dipenuhi.
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa secara umum setiap submodul prima adalah submodul prima lemah, tetapi kebalikannya belum tentu berlaku. Oleh kare- na itu, pada tesis ini juga akan dipelajari suatu kondisi agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima. Namun sebelumnya terlebih dahulu akan dibahas beberapa sifat dan karakteristik submodul prima lemah.
1.2. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah pada penelitian ini adalah:
1. Bagaimana sifat-sifat dan karakteristik dari submodul prima pada modul Ar- tin?
2. Syarat apa yang harus dipenuhi agar karaktersitik submodul prima pada mo- dul Artin juga berlaku pada modul Artin lokal?
3. Bagaimana sifat-sifat dan karakteristik dari submodul prima lemah?
4. Syarat apa yang harus dipenuhi agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima?
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari dan mengkaji sifat-sifat dan karakteristik submodul prima pada modul Artin dan selanjutnya akan dibahas le- bih lanjut pada modul Artin lokal. Selain itu, akan dikaji pula hubungan antara submodul prima dengan submodul prima lemah, sehingga berdasarkan hubungan tersebut akan ditentukan syarat tambahan agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima.
1.4. Tinjauan Pustaka
Dalam penyusunan tesis ini, digunakan sejumlah buku dan paper sebagai bahan referensi. Ada berbagai macam buku yang membahas tentang modul. Na- mun, dalam penulisan tesis ini, konsep dasar terkait ring, modul dan submodul
penulis menggunakan buku Adkins (1992) dan Wisbauer (1991) sebagai referen- si utama. Selanjutnya buku Matsumura (1992), Hungerford (2000), dan Dummit (2004) sebagai referensi pendukung. Pembahasan tentang ideal prima lemah meng- gunakan paper yang ditulis oleh Anderson dan Smith (2007) dan paper yang ditulis oleh Herano dkk (2010). Sedangkan teori terkait submodul prima selain mengguna- kan Adkins dan Wisbauer penulis juga menggunakan paper yang ditulis oleh Dauns (1978). Selanjutnya, dasar teori terkait modul Artin selain menggunakan referensi utama juga menggunakan paper yang ditulis oleh Taherizadeh (2008) .
Lebih lanjut, pembahasan mengenai sifat-sifat submodul prima pada modul Artin serta hubungan antara submodul prima dan submodul prima lemah digunakan paper yang ditulis oleh Azizi(2009) yang juga merupakan pembahasan utama dari penulisan tesis ini. Selanjutnya, pembahasan mengenai modul Artin lokal meng- gunakan paper yang ditulis oleh Jabbar (2012). Sedangkan teori terkait submodul prima lemah digunakan paper yang ditulis oleh Atani dan Farzalipour (2010). Se- lain itu, beberapa jurnal pendukung dalam penelitian ini antara lain, Azizi (2005), Azizi (2008) dan Jabbar (2013).
1.5. Metode Penelitian
Di dalam tesis ini secara umum dibahas mengenai sifat-sifat submodul prima pada modul Artin yang kemudian diberlakukan pada modul Artin lokal dan juga dibahas tentang submodul prima lemah. Lebih lanjut, dibahas juga hubungan antara submodul prima dan submodul prima lemah. Konsep mendasar yang dipelajari terlebih dahulu adalah konsep ring dan modul, meliputi ideal, ideal prima, ideal prima lemah, ring Artin, submodul, submodul prima, dan modul Artin.
Pada penelitian ini secara khusus akan dikaji mengenai karakteristik sub- modul prima pada modul Artin yaitu dengan mempelajari karakteristik ideal prima pada modul Artin. Untuk itu terlebih dahulu dipelajari beberapa sifat yang berlaku pada submodul prima pada modul Artin yaitu dengan berdasarkan pada sifat-sifat submodul prima pada modul atas ring komutatif secara umum. Dalam mempelajari
sifat-sifat submodul prima pada modul Artin terlebih dahulu akan dibahas konsep terkait modul siklik dan modul sederhana. Selanjutnya, mempelajari submodul pri- ma lemah yang merupakan generalisasi dari submodul prima dan ideal prima le- mah. selain itu, juga mempelajari sifat-sifat yang berlaku pada submodul prima lemah dan kemudian mempelajari hubugan submodul prima dengan submodul pri- ma lemah. Berdasarkan hubungan keduanya, akan ditentukan syarat tambahan agar submodul prima lemah merupakan syarat cukup bagi submodul prima.
Modul (Adkins 1992)
Ring
(Wisbauer 1991, Adkins 1992)
Submodul prima (Adkins 1992, Dauns
1978)
Ideal Prima Lemah (Anderson 2003,
Hirano 2010) Ideal dan Ideal Prima
(Adkins 1992, Wisbauer 1991) Ring Artin
(Wisbauer 1991)
Modul Artin (Wisbauer 1991)
Karakteristik submodul prima pada
modul Artin (Azizi 2009) Modul Artin Lokal
(Jabbar 2012)
Hubungan submodul prima dan submodul prima lemah pada modul dengan submodul-submodul sikiknya
memenuhi kondisi rantai turun ( Azizi 2009)
Submodul Prima Lemah (Atani 2007)
1.6. Sistematika Penulisan
Pada penulisan tesis ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut.
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini dijelaskan tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, me- tode penelitian, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas mengenai teori-teori yang digunakan sebagai dasar dalam pe- nelitian. Bab ini memuat penjelasan tentang Ideal pada ring R yang difokuskan pada ideal prima dan ideal prima lemah, submodul prima pada modul atas ring ko- mutatif secara umum, ring Artin, serta modul Artin.
BAB III SUBMODUL PRIMA PADA MODUL ARTIN DAN SUBMODUL PRIMA LEMAH
Pada bab ini dibahas tentang karakteristik submodul prima pada Modul Artin serta teorema-teorema yang terkait. Selanjutnya dibahas juga tentang modul Artin lokal.
Selain itu, dibahas juga sifat-sifat terkait submodul prima lemah yang kemudian dilanjutkan dengan pembahsan mengenai hubungan submodul prima dan submodul prima lemah guna untuk menjawab rumusan-rumusan msalah yang diberikan.
BAB IV KESIMPULAN
Bab ini berisi kesimpulan atau jawaban dari rumusan masalah yang telah diberikan.
