Uji apakah ada perbedaan signifikan antara mean masing-masing laboratorium. Gunakan α=0.05.

1 

MA 2081 STATISTIKA DASAR SEMESTER I 2012/2013 KK STATISTIKA, FMIPA ITB

UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)

Senin, 10 Desember 2012, 09.30 – 11.30 WIB (120 MENIT)

Kelas 01. Pengajar: Utriweni Mukhaiyar, Kelas 02. Pengajar: Sumanto Winotoharjo

 Jawablah pertanyaan berikut dengan ringkas dan jelas menggunakan bolpoin.

 Total nilai 100 dengan nilai tiap soal ditulis disebelah nomor.

1. [10] Misalkan S12 dan S22 masing-masing adalah variansi dari sampel-sampel yang saling bebas dengan ukuran n1=8 dan n2=12. Dua kelompok sampel tersebut diambil dari populasi berdistribusi normal dengan nilai variansi yang sama. Hitung peluang rasio variansi sampel P(S12 / S22 < 4,89).

2. [30] Seorang kontrolir melakukan suatu observasi terhadap produk keju selama 305 hari, yang diproduksi dari peternak dari daerah WWW dan peternak dari daerah MMM. Berikut ini, data produk keju sapi (pon) dari kedua daerah tersebut.

WWW : X

640 657 714 877 975 468

567 849 721 791 874 405

MMM: Y

699 891 632 815 589 764 524 727

597 868 652 978 479 733 549 790

Ujilah :

a. [10] Apakah ada perbedaan yang signifikan antara dengan , dengan 0.01.

b. [10] Dari hasil tersebut diatas, apakah ada perbedaan yang signifikan antara dengan . c. [10] Tentukan selang kepercayaan dari untuk 5%

3. [20] Empat laboratorium digunakan untuk menganalisa kimiawi dari suatu larutan. Sampel dari larutan tersebut dikirm ke laboratorium-laboratorium tersebut. Berikut ini data sampel yang dikirim ke masing-masing laboratorium.

Laboratorium

A B C D

58.7 61.4 60.9 59.1 58.2

62.7 64.5 63.1 59.2 60.3

55.9 56.1 57.3 55.2 58.1

60.7 60.3 60.9 61.4 62.3

Uji apakah ada perbedaan signifikan antara mean masing-masing laboratorium. Gunakan α=0.05.

4. [33] Suatu percobaan dilakukan untuk melihat pengaruh gaya elektromagnetis (dalam Volt) terhadap aliran radiasi (dalam kilowatt per meter persegi). Beberapa hasil pengukuran gaya elektromagnetis oleh radiometer dan aliran radiasi panas yang diakibatkannya ditulis ulang dalam tabel berikut:

Aliran radiasi panas (kW/m²) 15 31 51 55 67 89 Gaya elektromagnetis (V) 1.08 2.42 4.17 4.46 5.17 6.92

a. [4] Tentukan variabel bebas (prediktor, x) dan variabel tak bebas (respon, y) dari kasus di atas.

b. [4] Secara geometri (gambar), apakah model regresi linier sederhana y=0+1x+e dapat diterapkan pada kasus di atas.

c. [9] Taksir model regresi linier untuk kasus di atas.

d. [4] Apabila radiometer membaca 3 V, prediksikan nilai aliran radiasi panas yang timbul.

e. [4] Apabila radiometer membaca 8 V, dapatkah diprediksikan nilai aliran radiasi panas yang timbul? Jika ya, berapa nilainya? Jika tidak, terangkan kenapa.

f. [8] Apabila dua peubah di atas merupakan peubah acak, hitunglah nilai korelasi sampel dari dua peubah tersebut. Beri ulasan Anda.

5. [7] Berikut adalah plot nilai ACF (kiri) dan PACF (kanan) dari suatu deret waktu yang stasioner.

Tulislah persamaan model deret waktu yang mungkin untuk kasus di atas.

=== SEMOGA SUKSES ===

MA 2081 STATISTIKA DASAR SEMESTER I 2012/2013 KK STATISTIKA, FMIPA ITB

SOLUSI UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) Senin, 10 Desember 2012, 09.30 – 11.30 WIB (120 MENIT)

Kelas 01. Pengajar: Utriweni Mukhaiyar, Kelas 02. Pengajar: Sumanto Winotoharjo

1. Diket: S12: variansi sampel 1, S22: variansi sampel 2, n1=8 dan n2=12.

Ditanya : P(S12 / S22 < 4,89).

Jawab:

⁄

⁄ ~ _,

Karena

1 maka,

~ _, Dengan demikian,

4,89 1 4,89 1 4,89 1 0,01 0,99

2. Misal p.a X : produk keju sapi dari peternak daerah WWW (dalam pon) Y : produk keju sapi dari peternak daerah MMM (dalam pon)

2 2

12, 711.5, 30068.09, =173.40 16, 705.4, 20082.13, =141.71

X X X

Y Y Y

n X S S

n Y S S

  

  

a. Uji hipotesis untuk rasio variansi kedua populasi di atas.

 H0 :



²_X

 

_Y²

H1 :



²_X

 

_Y² (uji dua arah)

 Daerah kritis : Ho ditolak jika F hitung > f (0.01 ; 11 , 15) = 3.73 atau F hitung < f (0.99 ; 11 , 15) = 1 1

(0.01;15,11) 4.25 0.24

f  

 Statistik uji:

2

hit 2

30068.09

1.497 20082.13

X Y

F S

 S  

 Karena F hitung berada pada daerah penerimaan maka Ho tidak ditolak.

 Kesimpulan : data yang ada dianggap memiliki variansi yang sama.

b. Akan dilakukan uji kesamaan mean dua populasi,

0

1

: atau 0

: atau 0

X Y X Y

X Y X Y

H H

   

   

  

  

Dari soal bagian (a) diperoleh kesimpulan bahwa variansi populasi dua produk keju tersebut dapat dianggap sama. Jadi, statistika uji yang digunakan adalah:

1 1

^{nX nY} 2

P

X Y

X Y

T t

S n n

 

 





dengan

 ¹ 

²

 ¹ 

²

2

X X Y Y

P

X Y

n S n S

S n n

  

  

Dari sampel diperoleh:

11 30068.09 15 20082.13

24306.96 155.91

P

26

s      

hitung

711.5 705.4 6.06 155.91 0.38 59.54 0.11

t 

  



Untuk α=2% maka dari tabel diperoleh t_0.01;26

 2.478

Karena

 2.478 

t_hitung

 2.478

maka

H

₀ tidak ditolak.

3 

Berarti, tidak ada perbedaan yang signifikan antara dengan .

c. Karena untuk α=5% juga berlaku , maka SK 95% untuk sbb:

; / 2 ; / 2

1 1 1 1

( )

_{p X Y}

( )

_p

X Y X Y

X Y t S X Y t S

n n n n

 

 

 

        

dengan

11 30068.09 15 20082.13

24306.96 155.91

P

26

s   

  

Untuk

  5%,

t_0.025;26

 2.056

1 1 1 1

(711.5 705.4) 2.056(155.91) (711.5 705.4) 2.056(155.91)

12 16 12 16

6.06 320.47(0.38) 6.06 320.47(0.38)

116.39 128.45

X Y

X Y

X Y

 

 

 

        

    

   

3. Misalkan p.a Xij: hasil analisis kimiawi suatu larutan sampel ke-j pada laboratorium ke-i.

Rumusan hipotesis H0 : 1 = 2 = 3 = 4

H1 : ada i dan j dimana i  j

Laboratorium

A B C D A² B² C² D²

58.7 62.7 55.9 60.7 3445.69 3931.29 3124.81 3684.49 61.4 64.5 56.1 60.3 3769.96 4160.25 3147.21 3636.09 60.9 63.1 57.3 60.9 3708.81 3981.61 3283.29 3708.81 59.1 59.2 55.2 61.4 3492.81 3504.64 3047.04 3769.96 58.2 60.3 58.1 62.3 3387.24 3636.09 3375.61 3881.29 Jumlah 298.3 309.8 282.6 305.6 17804.51 19213.88 15977.96 18680.64

k 4

ni 5

N 20

a 71556.68 b 71676.99 c 71642.61 Besaran-besaran ANOVA

∑ ∑ 1196.3

5 5 5 5

1431134

20 71556.68 71676.99

∑ 298.3 309.8 282.6 305.6

5 88982.89 95976.04 79862.76 93391.36

5 71642.61

TABEL ANOVA

Sumber variasi Jumlah Kuadrat dk Rataan

kuadrat F Ftabel=f0.05;3,16

perlakuan (between) c – a = 85.9255 3 28.6418 13.3295 3.2388 galat (within) b – c = 34.38 16 2.1488

total b – a = 120.3055 19

Karena 13,3295 > 3.2388 maka H0 ditolak. Artinya terdapatsetidaknya satu rataan hasil yang berbeda dari hasil lab lainnya.

4. Diket : Suatu percobaan dilakukan untuk melihat pengaruh gaya elektromagnetis (dalam Volt) terhadap aliran radiasi (dalam kilowatt per meter persegi).

Aliran radiasi panas (kW/m²) 15 31 51 55 67 89 Gaya elektromagnetis (V) 1.08 2.42 4.17 4.46 5.17 6.92 Ditanya:

a. Variabel bebas (prediktor, x) dan variabel tak bebas (respon, y).

b. Diagram pencar dan apakah model regresi linier sederhana y=0+1x+e dapat diterapkan pada kasus di atas.

c. Taksiran model d. 3 maka ?

e. 8 maka ? dan alasan.

f. Misalkan X dan Y peubah acak. Maka ? Jawab:

a. Misalkan X : gaya elektromagnetis (Volt) adalah variabel bebas (prediktor) Y : Aliran radiasi panas (kW/m²) adalah variabel tak bebas (respon)

b. Diagram pencar

Berdasarkan diagram pencar di atas terlihat bahwa adanya pola linier antara variabel x dan y.

Dengan demikian model regresi linier sederhana y=0+1x+e dapat diterapkan pada kasus di atas.

c. Taksiran model regresi

X Y X² Y² XY

1.08 15 1.1664 225 16.2

2.42 31 5.8564 961 75.02

4.17 51 17.3889 2601 212.67

4.46 55 19.8916 3025 245.3

5.17 67 26.7289 4489 346.39

6.92 89 47.8864 7921 615.88

jumlah: 24.22 308 118.9186 19222 1511.46 JKXX 21.15053

JKYY 3411.333 JKXY 268.1667 b1 12.67896 b0 0.152617

 

²

 

²

2

24.22

118.9186 21.15053

XX

6

JK x x

    n   

 

²

 

²

2

308

19222 3411.333

YY

6

JK y y

    n   

  (24.22)(308)

1511.46 268.1667

XY

6

x y

JK xy

     n   

Menghitung parameter model regresi linier sederhana

1

268.1667

12.679 21.15053

XY XX

b JK



JK

 

dan

0 1

308 24.22

12.679 0.1526

6 6

b   y b x   

Jadi taksiran model regresi linier sederhana :

y ˆ   b

₀

b x

₁

  y ˆ 0.1526 12.679  x

d. Jika 3 maka 0.1526 12.679 3 38.189

Jadi apabila radiometer membaca 3 V, prediksi nilai aliran radiasi panas yang timbul adalah 38,189 kW/m².

e. Jika 8 maka nilai aliran radiasi panas yang timbul tidak diprediksi dengan menggunakan persamaan regresi yang diperoleh. Karena nilai gaya 8 V berada di luar selang prediksi yang bisa

0 20 40 60 80 100

0 2 4 6 8

aliran radiasi panas(y)

gaya elektromagnetis (x)

5 

dilakukan dengan model tersebut. Dengan perkataan lain, model regresi bosa digunakan untuk prediksi di dalam selang pembangun model (interpolasi).

f. Misalkan X dan Y peubah acak. Maka

.

. . 0.9985

Diperoleh nilai korelasi sampel 0,9985 yang hampir sama dengan 1, artinya korelasi antara gaya elektromagnetis dan aliran radiasi panas yang timbul sangat kuat, yaitu terdapat hubungan yang sangat linier (positif) di antara dua variabel tersebut.

5. Berikut adalah plot nilai ACF (kiri) dan PACF (kanan) dari suatu deret waktu yang stasioner.

Analisis grafik:

ACF menurun dengan pola sinus teredam, PACF cut-off (patah) setelah lag 1. Maka berdasarkan grafik ACF dan PACF di atas, model yang sesuai adalah AR(1), yaitu:

dengan Zt adalah peubah acak yang menyatakan observasi pada waktu t dengan koefisien paramater autoregressive adalah , dan at adalah galat pada waktu t.