BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III

PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT – SIFAT STATISTIKNYA

3.1 Perumusan Penduga

Misalkan N adalah proses Poisson non homogen pada interval [0,∞) dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas komponen periodik atau komponen siklik kali tren kuadratik. Dengan kata lain untuk sembarang titik ^s∈

[ )

^0,∞ kita dapat menuliskan fungsi intensitasλsebagai berikut

λ

( )

s =

(

λc^*

( )

s

)

as² (3.1) λ

( )

s =

(

λc^*

( )

s a s

)

² (3.2) λ

( )

s =

(

λc

( )

s

)

s² (3.3) dengan λ^*c

( )

s adalah fungsi periodik dengan periode τ dan a adalah kemiringan dari tren kuadratik serta λc

( )

s =aλ^*

( )

s . Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari λ_ckecuali bahwa λ_c adalah periodik dengan persamaan :

λc

(

s+kτ

)

=λc

( )

s (3.4) untuk semua s∈  dan k ∈ Ζ, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat.

Diasumsikan bahwa τ adalah diketahui.

Misalkan untuk suatu ω∈Ω , kita hanya memiliki sebuah realisasi

( )

N ω dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang

(

^{Ω ℑ, , P}

)

dengan fungsi intensitas seperti (3.1) yang diamati pada interval terbatas

[ ]

^{0, n ⊂}

[ )

^0,∞ . Karena s² diketahui maka untuk menduga fungsi intensitas λ

( )

s seperti pada (3.3) cukup diduga komponen periodiknya yaitu λ_c

( )

s . Karena λ_c adalah fungsi periodik dengan periode τ , maka masalah menduga λ_cpada titik s

dengan ^s∈

[ )

^0,∞ dapat direduksi menjadi masalah menduga λ_cpada titik s dengan ^s∈

[ )

^{0,τ .}

Kita juga asumsikan bahwa s adalah titik Lebesque dari λ yaitu berlaku :

( ) ( )

0

lim 1 0

2

h

h h s x s dx

h λ λ

↓

∫

− + − = . (3.5) Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesque dari λadalah fungsi λkontinu di s.

Misalkan ^{K: →}

[ )

^0,∞ merupakan fungsi bernilai real, yang disebut kernel, yang memenuhi sifat – sifat berikut: (K1) K merupakan fungsi kepekatan peluang, (K2) K terbatas, dan (K3) K memiliki daerah definisi pada [-1,1]

(Helmers et al. 2007). Misalkan juga h_n

merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu :

n 0

h ↓ (3.6) jika n→ ∞

Dengan notasi di atas, dapat dirumuskan penduga bagi λ_cpada titik ^s∈

[ )

^0,τ

sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( )

, , 2 0

0

1 ⁿ .

c n K

k n n

x s k

s K N dx

n h s k h

τ τ

λ τ

∞

=

− +

 

=  

+  

∑ ∫

 (3.7)

Ide dibalik pembentukan penduga tipe kernel di atas dapat digambarkan sebagai berikut. Dengan menggunakan (3.3) dan (3.4), kita peroleh :

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2

c( ) c

s s k

s s k

s s k

λ λ τ

λ λ τ

τ

= + = = +

+ . (3.8) Misalkan N_n: = #

{

^{k s: +kτ∈}

[ ]

^0,n

}

dimana # menyatakan banyaknya anggota.

( ) { [ ] }

0

( ) 1 0,

c c

n k

s s k I s k n

λ N ^∞ λ τ τ

=

=

∑

+ + ∈

=

( )

( )

2

{ [ ] }

0

1 0,

n k

s k

I s k n

N s k

λ τ

τ τ

∞

=

+ + ∈

∑

+

( )

2

( ) ( [ ] )

0

1 1 1

2 0,

n n

s k h s k h

n k n

x I x n dx

N s k h

τ

τ λ

τ

∞ + +

= + −

≈ ∈

∑

+

∫

=

( )

2

( [ ] [ ] )

0

1 1

, 0,

2 ^{n n}

n k n

EN s k h s k h n

N h s k τ τ

τ

∞

=

+ − + + ∩

∑

+

( )

2

( [ ] [ ] )

0

1 1

, 0,

2 ^{n n}

n k n

N s k h s k h n

N h s k

τ τ

τ

∞

=

≈ + − + + ∩

∑

+

( )

2

( [ ] [ ] )

0

1 , 0,

2 ^{n n}

k n

N s k h s k h n

n h s k

τ τ τ

τ

∞

=

≈ + − + + ∩

∑

+ (3.9)

dimana I menyatakan fungsi indikator. Agar pendekatan

( )

≈ pertama pada (3.9) berlaku, diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi λ_c dan asumsi (3.6) terpenuhi. Dengan demikian dari (3.9) dapat disimpulkan

( )

( ) ( [ ] [ ] )

. 2

0

ˆ 1 , 0,

c n 2 n n

k n

s N s k h s k h n

n h s k

λ τ τ τ

τ

∞

=

= + − + + ∩

∑

+ ^(3.10)

adalah penduga untuk λc

( )

s . Penduga ˆ,

( )

c n s

λ dapat ditulis kembali sebagai berikut:

( )

( )

^{[ ]}

( [ ] ) ^{( )}

, 2 0 1,1

0

1 1

ˆ , .

2

n

c n n n

k n

s I s k h s k h N d x

n h s k

λ τ τ τ

τ

∞

= −

= + − + +

∑

+

∫

(3.11)

Dengan mengganti fungsi _[ 1,1_]

( )

1 .

2Ι⁻ pada (3.11) dengan kernel umum K , maka kita dapatkan penduga pada (3.7).

3.1 Sifat – Sifat Statistik Penduga

Teorema 3.1 ( Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1),(K2),(K3), h_n ↓0,

λcmemiliki turunan keduaλ_c′′ berhingga pada s dan nh_n² → ∞ maka

(

^{ˆc n K, ,}

( ) )

^{c( ) c}₂^{( )s n2 1}₁ ²

^{( ) ( )}

ⁿ²

E λ s λ s λ h x K x dx o h

−

= + ′′

∫

+ (3.12) untuk n→ ∞

Bukti Teorema 1:

E

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^s

)

^=E

_{( )}

² 0

^{( ) ( )}

0

1 ⁿ

k n n

x s k

K N dx

n h s k h

τ τ

τ

∞

=

  − +  

   

 +   



∑ ∫



=

( )

2 0

( ) ( )

0

1 ⁿ

k n n

x s k

K EN dx

n h s k h

τ τ

τ

∞

=

− +

 

 

+  

∑ ∫

. (3.13)

Persamaan (3.13) dapat ditulis menjadi

( )

( ) ( [ ] ) ^{( )}

2 0

1 ( ) 0,

k n R n

x s k

K x I x n dx

n h s k h

τ τ λ

τ

∞

=

 − + 

  ∈

+  

∑ ∫

. (3.14)

Persamaan (3.14) dapat ditulis

=

( )

2

( ) ( [ ] )

0

1 0,

k n R n

K x x s k x s k n d x

n h s k h

τ λ τ τ

τ

∞

=

 

+ + Ι + + ∈

 

+  

∑ ∫

=

( )

2

( )( )

²

( [ ] )

0

1 _c 0, .

k n R n

K x x s x s k x s k n d x

n h s k h

τ λ τ τ

τ

∞

=

 

+ + + Ι + + ∈

 

+  

∑ ∫

(3.15) Dengan mengganti variabel, maka persamaan (3.15) dapat ditulis menjadi

( ) ( ) ( )

( )

2 ²

( [ ] )

0 n 0,

c n n

R k n

xh s k

K x xh s xh s k n dx

n h s k

τ λ τ τ

τ

∞

=

+ + + Ι + + ∈

∑

+

∫

(3.16)

Karena λ_c mempunyai turunan kedua pada s, mengakibatkan λ_cterbatas di sekitar s. Dengan menggunakan deret Taylor, yaitu :

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)

2!

n

c n c c n c n

xh s s s xh s x h h

λ + =λ +λ′ +λ′′ +ο

(3.17) dan fakta bahwa

( )

( )

2 ²

( [ ] ) ( )

0

0, 1 ,

n

n k

xh s k n

xh s k n

s k

τ τ

τ τ

∞

=

+ + Ι + + ∈ = + Ο

∑

+ (3.18)

untuk n→ ∞ berlaku seragam untuk semua x∈ −

[

h hn^, n

]

maka persamaan (3.16) menjadi

2 2

( )

1 2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

2!

n

c c n c n

x h n

K x s s xh s h O

n

τ λ λ λ ο

τ

−

 ′ ′′  

=

∫

 + + +  + 

1 1 1

2 2 2

1 1 1

( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2!

c

c c n n n

s K x dx s h xK x dx s h x K x dx h O n

λ λ λ ο

− − −

′′  

=

∫

+ ′

∫

+

∫

+ +   

(3.19) Karena K merupakan fungsi kepekatan peluang yang memiliki daerah definisi pada[-1,1], maka ¹

( )

1K x dx 1

− =

∫

. Karena kernel K adalah simetrik, maka

( )

1

1xK x dx 0

− =

∫

dan berdasarkan asumsi nh_n² → ∞, maka suku ke lima dari ruas kanan persamaan (3.19), yaitu O ¹

n

  

  sama dengan o h

( )

n² , untuk n→ ∞ . Sehingga persamaan (3.19) dapat ditulis menjadi

^E

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^s

)

^{= 2 1}1 ²

^{( ) ( )}

²

( ) ( ) 2

c

c n n

s λ s h x K x dx o h

λ −

+ ′′

∫

+

untuk n→ ∞ . Jadi Teorema 3.1 terbukti.

Teorema 3.2 ( Aproksimasi asimtotik bagi ragam )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), h_n ↓0, untuk n→ ∞ , maka

(

^{, ,}

( ) )

² 2

^{( )}

¹1 ²

^{( )}

2

1 6

c c n K

n n

Var s s K x dx

n h n h

λ π λ ο

−

 

= +  

 



∫

(3.20)

untuk n→ ∞ , asalkan s adalah titik Lebesgue bagi λ_c. Bukti Teorema 3.2 :

Untuk nilai n yang besar dan k≠ j,interval

[

s+kτ−h sn^, +kτ +hn

]

dan

[

s+ jτ−h sn^, + jτ +hn

]

tidak overlap sehingga untuk semua ,

k≠ j

( ) ( )

n

x s k

K N dx

h τ

 − + 

 

  dan

( ) ( )

n

x s j

K N dx

h τ

 − + 

 

  adalah bebas.

Sehingga Var

(

^{λc n K, ,} ( )^s

)

dapat ditentukan sebagai berikut:

^Var

(

^{λc n K, ,} ( )^s

)

^{= 2}2

n τ Var

( )

2 0

( ) ( )

0

1 ⁿ

k n n

x s k

K N dx

h s k h

τ τ

∞

=

  − +  

   

 +   



∑ ∫



=

( )

( ) ^{( ) ( ( ) )}

2

2 2

2 2 2 0

0

1 ⁿ .

n k n

x s k

K Var N dx

n h s k h

τ τ

τ

∞

=

− +

 

 

 

∑

+

∫

(3.21)

Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var (N) = E(N) sehingga (3.21) menjadi

( ) ( ) ( ( ) )

2

2 4

2 2 0

0

1 ⁿ .

n k n

x s k

K E N dx

n h s k h

τ τ

τ

∞

=

− +

 

 

+  

∑ ∫

=

( )

( ) ^{( ) ( )}

2

2

2 2 2 2 0

0

1 ⁿ .

n k n

x s k

K x dx

n h s k h

τ τ λ

τ

∞

=

− +

 

 

 

∑

+

∫

(3.22)

Dengan penggantian variabel, serta menggunakan persamaan (3.3) dan (3.4), maka persamaan (3.22) dapat ditulis

( ) ( ) ( [ ) )

2

2 2 2 4

0

1 0,

n k R n

K x x s k I x s k n d x

n h s k h

τ λ τ τ

τ

∞

=

 

+ + + + ∈

 

+  

∑ ∫

( ) ( ( ) ) ^{( )} ( [ ) )

2

2 2 2 2 4

0

1 _c 0,

n k R n

K x x s x s k I x s k n d x

n h s k h

τ λ τ τ

τ

∞

=

 

=   + + + + + ∈

+  

∑ ∫

=

( ) ( )

( )

²

( [ ) )

2 2

4 2 2

0

0, .

c

n R n k

x s k

K x x s I x s k n d x

n h h s k

τ λ τ τ

τ

∞

=

+ +

 

+ + + ∈

 

 

∑

+

∫

^(3.23)

Dapat diperhatikan bahwa

( )

( )

4 ²

( [

0,

) )

k

x s k

I x s k n dx

s k

τ τ

τ

∞

=−∞

+ + + + ∈

∑

+ ⁼₆^π_τ²² + o(1) (3.24)

untuk n→ ∞ berlaku seragam untuk semua x∈ −

[

h hn^, n

]

. Dengan menyubstitusikan persamaan (3.24) ke (3.23) diperoleh

Var

(

^{λc n K, ,}

( )

^s

)

⁼ 2² 2 ²

^{( )}

²2

^{( )}

1

c 6

n R n

K x x s dx o

n h h

τ λ π

τ

   

+ +

   

 

 

∫

(3.25)

untuk n→ ∞ .

Dengan penggantian variabel, maka persamaan (3.25) dapat ditulis menjadi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

1 .

6 _{n n R}K x ^c xhⁿ s dx o 6 _{n n R}K x ^c xhⁿ s dx

n h h n h h

π ^ ^ λ + + π ^ ^ λ +

 

∫

 

∫

(3.26) Selanjutnya, dari suku pertama (3.26) kita mempunyai

( )

1 2

n

n

h

c n

n h

xh s dx

h λ

− +

∫

= ¹

( ( ) ( ) ( ) )

2

n

n

h

c n c c

n h

xh s s s dx

h λ λ λ

− + − +

∫

= ¹

( ( ) ( ) )

¹

( )

2 2

n n

n n

h h

c n c c

h h

n n

xh s s dx s dx

h λ λ h λ

− + − + −

∫ ∫

. (3.27)

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama (3.27) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar , yaitu

( ) ( )

1 2

n

n

h

c n c

h n

xh s s dx

h λ λ

− + −

∫

^. (3.28)

Dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi λ_c, maka kuatitas (3.28) konvergen ke nol jika n→ ∞ , atau dapat juga ditulis ^o

( )

¹ . Sedangkan suku kedua persamaan (3.27) adalah

1

( )

2

n

n

h h c n

h λ s dx

∫

− ^=λc(s).

Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

( )

1 2

n

n

h

c n

h n

xh s dx

h λ

− +

∫

^{=λc(s) +o}

( )

^{1 .}

untuk n→ ∞ .

Dengan demikian (3.26) dapat ditulis menjadi

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) )

2 1 2 2 1 2

2 1 s 1 2 1 s 1

6 _n K x dx ^c o o 6 _n K x dx ^c o

n h n h

π λ π λ

− −

 

+ +   +

 

∫ ∫

= ² ₂

( )

^{1 2}

( ) ( )

₂^{2 1 2}

( )

₂

( )

^{1 2}

( )

₂

1 1 1

s s 1

6 1 6

c c

n n n n

K x dx o K x dx o K x dx o

n h n h n h n h

π λ π λ

− − −

   

+ +   +  

 

 

∫ ∫ ∫

untuk n→ ∞ . Akhirnya didapatkan

(

^{, ,}

( ) )

² 2

^{( )}

¹1 ²

^{( )}

2

1 6

c c n K

n n

Var s s K x dx

n h n h

λ π λ ο

−

 

= +  

 



∫

(3.29)

untuk n→ ∞ . Jadi Teorema 3.2 terbukti.

Akibat 3.1 ( Aproksimasi asimtotik bagi MSE )

Misalkan fungsi intensitas λmemenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), h_n ↓0, nh_n² → ∞dan

λcmemiliki turunan kedua λ_c^′′berhingga pada s maka

^MSE

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^s

) (

¹1 ^{2 ( )}

)

^{2 4 2 2( ) 1}1 ^{2( ) 2}

^{( )}

⁴

1 1

( ) ,

4 6

c

c n n

n n

s x K x dx h s K x dx o h

n h n h

λ π λ ο

− −

 

= ′′ + +  +

 

∫ ∫

untukn→ ∞ . (3.30)

Bukti Akibat 3.1 :

^MSE

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^s

)

⁼

(

^Bias

(

^{λˆc n K, ,}

^{( )}

^s

) )

^2+Var

(

^{λˆc n K, ,}

^{( )}

^s

)

(3.31)

dengan ^Bias

(

^{λˆc n K, ,}

( )

^s

)

^{= E}

(

^{λˆc n K, ,}

^{( )}

^s

)

^−λc

^{( )}

^{s .}

Dengan menggunakan Teorema 3.1 dan 3.2 kita peroleh

(

, ,

( ) )

^{2 1}1 ²

^{( )} ( )

²

ˆ ( )

2

c

c n K n n

Bias λ s λ s h x K x dx o h

−

= ′′

∫

+

dan

(

^{, ,}

( ) )

² 2

^{( )}

¹1 ²

^{( )}

2

1 , 6

c c n K

n n

Var s s K x dx

n h n h

λ π λ ο

−

 

= +  

 



∫

untukn→ ∞ .

Sehingga persamaan (3.31) dapat ditulis menjadi:

^{2 1 2} ( )

( )

^{2 2 2} ₂^{( ) 1 2}( ) ₂

1 1

( ) 1

2 6

c c

n n

n n

s s

h x K x dx o h K x dx

n h n h

λ π λ ο

− −

′′  

 

=

∫

+  +

∫

+  

(

¹1 ² ( )

)

^{2 4 2 2( ) 1}1 ^{2( ) 2}

^{( )}

⁴

1 1

( ) ,

4 6

c

c n n

n n

s x K x dx h s K x dx o h

n h n h

λ π λ ο

− −

 

= ′′ + +  +

 

∫ ∫

(3.32)

untukn→ ∞

Dengan demikian Akibat 3.1 terbukti.